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§1 生活中的变量关系
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.通过生活中的实际例子，认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系.
能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别.
2.培养类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析
归纳和比较来提高实践能力.
知识点一 依赖关系与函数关系
1.依赖关系
在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量
的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系.
2.函数关系
如果在一个变化过程中，有两个变量和，对于变量的__________，变量 都
有__________的值和它对应，那么就是的______，其中是________， 是
________.
注意：函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系，要确定两变
量间的函数关系，关键是分清楚谁是自变量，谁是因变量.
每一个值
唯一确定
函数
自变量
因变量
【诊断分析】
下列两个变量之间存在依赖关系的是________，其中是函数关系的是____.
①圆的周长和它的半径；
②某同学的数学成绩与他在数学学科上所花的时间；
③家庭收入与消费支出.
①②③
①
知识点二 分段函数
有些函数在其定义域中，对于自变量 的不同__________，有着不同的________
__，这样的函数叫作分段函数.
取值范围
对应关系
【诊断分析】
分段函数中的取值集合分别是各段函数中的取值集合的______， 的取值集合
分别是各段函数中 的取值集合的______.
并集
并集
探究点一 变量间的关系
例1（1） （多选题）若变量是变量 的函数,则( )
AC
A.变量, 之间具有依赖关系
B.变量是变量 的函数
C.当每取一个值时,变量 都有唯一的值与之对应
D.当每取一个值时,变量 都有唯一的值与之对应
[解析] 因为变量是变量的函数,所以变量,之间具有依赖关系，且当 每取一
个值时,变量都有唯一的值与之对应，故选 .
（2）下列变量间的关系是函数关系的是( )
C
A.某种农作物单位种植面积的施肥量与产量
B.某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C.正方形的面积与其边长 之间的关系
D.光照时间和苹果的亩产量
[解析] A是依赖关系，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系.故选C.
变式 下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
（1）做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系；
解：科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离与时间 的关系
为，其中是常量，很显然，对于时间 在其变化范围内的每一个取值，
都有唯一的下落距离 与之对应，故这两个变量之间存在依赖关系，且下落距离
是时间的函数.
（2）商品的销售额与广告费之间的关系；
解：商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的
销售额还受其他因素的影响，如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的
销售额与广告费之间不是函数关系.
（3）家庭的食品支出与电视机价格之间的关系.
解：家庭的食品支出与电视机价格之间不存在依赖关系.
［素养小结］
依赖关系与函数关系的判断方法与步骤：对于两个变量，首先判断一个变量的
改变是否影响另一个变量，若是，则两个变量具有依赖关系；若不是，则两个
变量不具有依赖关系.当两个变量具有依赖关系时，再判断一个变量的确定是否
决定另一个变量的确定，若是，则两个变量是函数关系；若不是，则两个变量
是非函数关系.
探究点二 变量关系的应用
例2 大家都听说过“龟兔赛跑”的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲
起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已
晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程， 为时
间，则下列图象中与故事情节相吻合的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 对于A，此函数图象中， 先取到最大值，即兔子先到达终点，不符合
题意.
对于B，此函数图象中， 第2段随时间的增加一直保持不变，
与“当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶”不符.
对于C，此函数图象中， ， 同时到达终点，不符合题意.
对于D，易知符合题意.故选D.
变式 （多选题）一辆赛车在一个周长为 的封闭跑道上行驶，跑道由几段
直道和弯道组成，图①反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路
程之间的关系.
根据图①，以下说法中正确的是( )
A.在这第二圈的到 之间，赛车速度逐渐增加
B.在整个跑道，最长的直线路程不超过
C.大约在这第二圈的到 之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶
D.在图②的四条曲线（注：为初始记录数据时的位置）中，曲线 最能符合赛
车的运动轨迹
[解析] 由题图①知，在到 之间，图象上升，故在这第二圈的
到 之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；
在整个跑道上，高速行驶时长最长在到 之间，但直道加减速也有
过程，故最长的直线路程一定超过，故B不正确；
最长直线路程应在到 之间开始，故C不正确；
由图①可知，跑道应有3个弯道，且直线路段两长一短，故D正确.故选 .
√
√
［素养小结］
利用图象表示两个变量间的关系更加直观，更能反映两个变量相互影响的变化
趋势.解题时要注意关注图象的上升、下降，增加、减小的速度快慢等特征.还要
注意利用图象中的数据.
拓展 列车从地出发直达外的地，途中要经过离地的 地.假
设列车匀速行驶，后从地到达 地.
（1）求列车的行驶速度，并建立列车与地的距离（单位：）关于时间
（单位： ）的函数关系；
解：列车的行驶速度为 .
由题意知
（2）在平面直角坐标系中画出函数的图象.
解：图象如图所示.
1.依赖关系与函数关系的区别
若一个变量的变化能引起另一个变量的变化，则这两个变量之间存在依赖关系；
函数关系是一种特殊的依赖关系.函数研究的是数集之间的对应关系，这种对应
关系是唯一的，即其中一个变量完全由另一个变量决定.
2.分段函数
（1）分段函数是一个函数而不是几个函数.处理分段函数问题时，首先要确定
自变量的值属于哪一个区间，再选取相应的对应关系.
（2）注意写分段函数的自变量的取值区间时，区间端点应不重不漏.
（3）分段函数的图象由几个不同的部分组成，作分段函数的图象时，应根据不
同的定义区间上的不同解析式分别作出.
判断两变量间是否存在函数关系常用定义法
例 下列变量之间是否存在函数关系？若存在指出自变量与因变量.
（1）斜抛出去的手榴弹在空中运动的高度与时间的关系;
解：抛出去的手榴弹在空中运动的每一个时间对应一个高度，但除最高点外，
每一个高度对应的时间有两个，一个是上升时对应的时间，一个是下降时对应
的时间，因此在它们之间存在函数关系，其中时间是自变量，高度是因变量.
（2）在弹性限度内，弹簧的伸长长度与弹簧所受力之间的关系.
解：在弹性限度内，弹簧的伸长长度与弹簧所受力之间存在函数关系，其中，
弹簧所受力是因变量，弹簧的伸长长度是自变量.第二章 函数
§1 生活中的变量关系
【课前预习】
知识点一
2.每一个值 唯一确定 函数 自变量 因变量
诊断分析
①②③ ①
知识点二
取值范围 对应关系
诊断分析
并集 并集
【课中探究】
探究点一
例1 (1)AC (2)C [解析] (1)因为变量y是变量x的函数,所以变量x,y之间具有依赖关系,且当x每取一个值时,变量y都有唯一的值与之对应,故选AC.
(2)A是依赖关系,B是依赖关系,C是函数关系,D是依赖关系.故选C.
变式 解:(1)科学家通过实验发现,做自由落体运动的物体下落的距离h与时间t的关系为h=gt2,其中g是常量,很显然,对于时间t在其变化范围内的每一个取值,都有唯一的下落距离h与之对应,故这两个变量之间存在依赖关系,且下落距离是时间的函数.
(2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系,但商品的销售额还受其他因素的影响,如产品的质量、价格、售后服务等,所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系.
(3)家庭的食品支出与电视机价格之间不存在依赖关系.
探究点二
例2 D [解析] 对于A,此函数图象中,S2先取到最大值,即兔子先到达终点,不符合题意.对于B,此函数图象中,S2第2段随时间的增加一直保持不变,与“当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶”不符.对于C,此函数图象中,S1,S2同时到达终点,不符合题意.对于D,易知符合题意.故选D.
变式 AD [解析] 由题图①知,在2.6 km到2.8 km之间,图象上升,故在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间,赛车速度逐渐增加,故A正确;在整个跑道上,高速行驶时长最长在1.8 km到2.4 km之间,但直道加减速也有过程,故最长的直线路程一定超过0.6 km,故B不正确;最长直线路程应在1.4 km到1.8 km之间开始,故C不正确;由图①可知,跑道应有3个弯道,且直线路段两长一短,故D正确.故选AD.
拓展 解:(1)列车的行驶速度为500÷5=100(km/h).
由题意知s=
(2)图象如图所示.第二章 函数
§1 生活中的变量关系
1.D [解析] 选项A中的任意一个锐角的度数总对应唯一的一个余弦值,是函数关系;选项B中任意一个正方形的边长总对应唯一的一个面积,是函数关系;选项C中任意正n边形的边数n总对应唯一的一个正n边形的内角和,是函数关系;选项D中母亲的身高与子女的身高不是一一对应的关系,不是函数关系.故选D.
2.A [解析] 积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用,可以防止土壤中的热量向外散发,还可以阻止外界冷空气的侵入,具有增产肥田的作用,所以下雪与来年的丰收具有依赖关系,但不是函数关系.故选A.
3.C [解析] 由题图可知,当天15时的温度最高,最高温度是36 ℃,当天3时的温度最低,最低温度是22 ℃,当天的最高温度与最低温度相差14 ℃,当天21时的温度是30 ℃.故A,B,D中说法正确,C中说法错误.故选C.
4.D [解析] 在D选项中,当x=1时,y=±1,即y没有唯一确定的值和x对应,所以x,y不具有函数关系,其余选项中的x,y均具有函数关系.故选D.
5.C [解析] 由依赖关系及函数关系的定义知A,B中说法正确;对于C,D,如m=n2,则m是n的函数,而n=±,n不是m的函数,故C中说法错误,D中说法正确.故选C.
6.B [解析] 在[4,10]内,距离没变化,在[10,12]内,距离继续增加,结合选项,只有B符合.故选B.
7.C [解析] 结合题意可知,图象应满足早晨37℃以上,中午37℃,下午37℃以上,半夜37℃.只有C选项符合.故选C.
8.BC [解析] 观察表格可以看出,当x=1时,y=-1,-4,则y不是x的函数;当z=0时,x=1,2,3,5,6,则x不是z的函数.易知w是x的函数,z是x的函数.故选BC.
9.①③ [解析] ①中,该同学的数学成绩与他的数学基础水平、学习方法、勤奋程度等因素有关,而与他的考号没有关系,故二者之间不存在依赖关系,更不是函数关系;②中,因为抛物线上的任意一点都是由该点的坐标唯一确定的,是一一对应的,所以抛物线上的点与该点的坐标之间是函数关系;③中,橘子的产量除了与气候有关外,还受施肥、管理等因素的影响,所以橘子的产量与气候之间不是函数关系.故填①③.
10.②③ [解析] 由题图可知前三年中,产量增长的速度由快到慢,第三年后产量之和没有增长,只有②③正确.故填②③.
11.解:(1)由题图可知当速度相同时,甲车的燃油效率最高,即当速度相同时,消耗1 L汽油,甲车的行驶路程最远,所以以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少.
(2)由题图可知当速度小于70 km/h时,丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,所以用丙车比用乙车更省油.
12.解:(1)易知表中两个变量之间存在依赖关系,且是函数关系.
(2)由题中表格可知,当老师讲解概念所用的时间为10 min时,学生对概念的接受能力是59.
(3)由题中表格可知,当老师讲解概念所用的时间为13 min时,学生对概念的接受能力最强.
13.AC [解析] 对于A,容器为圆柱形,水的高度随时间均匀变化,所以A正确;对于B,容器下粗上细,水的高度的变化应先慢后快,所以B不正确;对于C,容器下细上粗,水的高度的变化应先快后慢,所以C正确;对于D,容器为球形,水的高度的变化应为快—慢—快,所以D不正确.故选AC.第二章 函数
§1 生活中的变量关系
【学习目标】
1.通过生活中的实际例子,认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系.能够利用初中对函数的认识,了解依赖关系与函数关系的联系与区别.
2.培养类比分析问题的能力,并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高实践能力.
◆ 知识点一 依赖关系与函数关系
1.依赖关系
在某变化过程中有两个变量,如果其中一个变量的值发生了变化,另一个变量的值也会随之发生变化,那么就称这两个变量具有依赖关系.
2.函数关系
如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的 ,变量y都有 的值和它对应,那么y就是x的 ,其中x是 ,y是 .
注意:函数关系一定是依赖关系,而依赖关系不一定是函数关系,要确定两变量间的函数关系,关键是分清楚谁是自变量,谁是因变量.
【诊断分析】 下列两个变量之间存在依赖关系的是 ,其中是函数关系的是 .
①圆的周长和它的半径;
②某同学的数学成绩与他在数学学科上所花的时间;
③家庭收入与消费支出.
◆ 知识点二 分段函数
有些函数在其定义域中,对于自变量x的不同 ,有着不同的 ,这样的函数叫作分段函数.
【诊断分析】 分段函数中x的取值集合分别是各段函数中x的取值集合的 ,y的取值集合分别是各段函数中y的取值集合的 .
◆ 探究点一 变量间的关系
例1 (1)(多选题)若变量y是变量x的函数,则 ( )
A.变量x,y之间具有依赖关系
B.变量x是变量y的函数
C.当x每取一个值时,变量y都有唯一的值与之对应
D.当y每取一个值时,变量x都有唯一的值与之对应
(2)下列变量间的关系是函数关系的是 ( )
A.某种农作物单位种植面积的施肥量与产量
B.某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C.正方形的面积S与其边长a之间的关系
D.光照时间和苹果的亩产量
变式 下列过程中,各变量之间是否存在依赖关系 其中哪些是函数关系
(1)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系;
(2)商品的销售额与广告费之间的关系;
(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系.
[素养小结]
依赖关系与函数关系的判断方法与步骤:对于两个变量,首先判断一个变量的改变是否影响另一个变量,若是,则两个变量具有依赖关系;若不是,则两个变量不具有依赖关系.当两个变量具有依赖关系时,再判断一个变量的确定是否决定另一个变量的确定,若是,则两个变量是函数关系;若不是,则两个变量是非函数关系.
◆ 探究点二 变量关系的应用
例2 大家都听说过“龟兔赛跑”的故事:领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉.当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.用S1,S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下列图象中与故事情节相吻合的是 ( )
A B C D
变式 (多选题)一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶,跑道由几段直道和弯道组成,图①反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系.
根据图①,以下说法中正确的是 ( )
A.在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间,赛车速度逐渐增加
B.在整个跑道,最长的直线路程不超过0.6 km
C.大约在这第二圈的0.4 km到0.6 km之间,赛车开始了那段最长直线路程的行驶
D.在图②的四条曲线(注:S为初始记录数据时的位置)中,曲线B最能符合赛车的运动轨迹
[素养小结]
利用图象表示两个变量间的关系更加直观,更能反映两个变量相互影响的变化趋势.解题时要注意关注图象的上升、下降,增加、减小的速度快慢等特征.还要注意利用图象中的数据.
拓展 列车从A地出发直达500 km外的B地,途中要经过离A地200 km的C地.假设列车匀速行驶,5 h后从A地到达B地.
(1)求列车的行驶速度,并建立列车与C地的距离s(单位:km)关于时间t(单位:h)的函数关系;
(2)在平面直角坐标系中画出函数的图象.第二章 函数
§1 生活中的变量关系
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.下列两个变量之间的关系,不是函数关系的是 ( )
A.锐角的度数和它的余弦值
B.正方形的边长和面积
C.正n(n≥3)边形的边数和内角和
D.母亲的身高与子女的身高
2.谚语“瑞雪兆丰年”说明 ( )
A.下雪与来年的丰收具有依赖关系
B.下雪与来年的丰收具有函数关系
C.下雪是丰收的函数
D.丰收是下雪的函数
3.如图是某天的温度与时间的关系图,则下列说法中不正确的是 ( )
A.当天15时的温度最高
B.当天3时的温度最低
C.当天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D.当天21时的温度是30 ℃
4.下列选项中,变量x,y不具有函数关系的是( )
A.y=x-1 B.y=
C.y=3x2+ D.y2=x2
5.下列说法不正确的是 ( )
A.依赖关系不一定是函数关系
B.函数关系是依赖关系
C.如果变量m是变量n的函数,那么变量n也是变量m的函数
D.如果变量m是变量n的函数,那么变量n不一定是变量m的函数
6.星期天,小明从家出发,出去散步,如图描述了他散步过程中离家的距离S(单位:m)与散步所用的时间t(单位:min)之间的函数关系,根据图象,下面的描述符合小明散步情况的是 ( )
A.从家出发,到一个公共阅报栏,看了一会儿报,就回家了
B.从家出发,到一个公共阅报栏,看了一会儿报后,继续向前走了一段,然后回家了
C.从家出发,散了一会儿步(没有停留),然后回家了
D.从家出发,散了一会儿步,就去找同学了,18 min后才回家
7.一天,亮亮发烧了,早晨他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了,中午时的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了.下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时~24时)体温的变化情况的是 ( )
A B C D
8.(多选题)变量x与变量y,w,z的对应值如下表所示.
x 1 2 3 1 5 6
y -1 -2 -3 -4 -1 -6
w 2 0 1 2 4 8
z 0 0 0 0 0 0
下列说法正确的是 ( )
A.y是x的函数 B.w是x的函数
C.z是x的函数 D.x是z的函数
二、填空题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)
9.给出下列变量:
①某同学在6次考试中的数学成绩与他的考号;
②抛物线上的点与该点的坐标;
③橘子的产量与气候.
其中不是函数关系的有 .(填序号)
10.某工厂八年来产品累计产量C(即前t年年产量之和)与时间t(单位:年)的函数关系如图,下列四种说法中正确的是 .(填序号)
①前三年中,产量增长的速度越来越快;
②前三年中,产量增长的速度越来越慢;
③第三年后,这种产品停止生产;
④第三年后,年产量保持不变.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
11.(10分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的路程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,根据图中的描述回答以下问题:
(1)以相同速度行驶相同路程,三辆车中,哪辆车消耗汽油最少
(2)某城市机动车最高限速70 km/h,相同条件下在该市行驶乙、丙两辆车,哪辆更省油
12.(10分)经研究发现,学生对概念的接受能力y与老师讲解概念所用的时间x(0≤x≤20)(单位:min)之间有如下关系:
x 2 5 7 10 12 13 14 17 20
y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
(1)上表中两个变量之间是否存在依赖关系 若存在依赖关系,是否是函数关系
(2)当老师讲解概念所用的时间是10 min时,学生对概念的接受能力是多少
(3)根据表格中的数据,你认为老师讲解概念所用的时间为几分钟时,学生对概念的接受能力最强
13.(5分)(多选题)将水注入不同形状的玻璃容器中,从空瓶到注满为止,设单位时间内进水量相同.如图所示,在每个容器下方给出的图象中,能正确反映该容器中水面的高度随时间变化规律的是 ( )
A B C D
