(共31张PPT)
§2 函数
2.2 函数的表示法
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.掌握函数常用的三种表示法.
2.能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点.
3.理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题.
4.培养数形结合与分类讨论的数学思想，激发学习热情.
知识点 函数的表示法
函数的表 示方法 解析法 一个函数的对应关系可以用________的解析表达式
（简称解析式）表示出来,这种方法称为解析法
列表法 用______的形式表示两个变量之间的函数关系的方法,
称为列表法
图象法 用______把两个变量间的函数关系表示出来的方法,称
为图象法
自变量
表格
图象
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）任何一个函数都可以用图象法表示.( )
×
[解析] 有些函数是不能画出图象的，如
（2）函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.( )
×
[解析] 函数图象可以是连续不断的曲线，也可以是直线、折线、孤立的点等.如
的图象就不是连续不断的曲线.
（3）函数与 的图象相同.( )
×
[解析] 两函数的定义域不同，故图象不同.
探究点一 函数的解析式
例1 根据下列条件，求 的解析式.
（1）已知满足 ；
解: ，
所以 .
（2）已知是二次函数，且满足， ；
解:设，因为，所以 ，
因为，所以 ，
整理得 ，所以解得所以 .
（3）已知满足 ；
解:令，则，所以,则, ,
所以 .
（4）已知满足 .
解:在中，用替换得 ，
由②得 ，
将③代入①得 .
变式（1） 已知，则函数 的解析式为
___________________________.
[解析] 设，则， ，
所以，
所以 的解析式为 .
（2）（多选题）已知一次函数满足，则 的解析式
可能为( )
AD
A. B.
C. D.
[解析] 设 ，
则，
所以 解得或
则或.故选 .
［素养小结］
求解函数解析式的几种常用方法：
（1）待定系数法，如果已知函数的类型，通常用待定系数法；
（2）换元法或配凑法，已知复合函数 的表达式可用换元法，当表达式
较简单时也可用配凑法；
（3）消参法，若已知抽象函数 的表达式，则可用解方程组消参的方法求解
.
拓展 [2024·四川自贡高一期中] 已知，则 的解
析式为_______________.
[解析] 因为，所以 ，两式联
立解得 .
探究点二 作函数图象
例2 作出下列函数的图象.
（1） ；
解:这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线
上，其部分图象如图①所示.
（2） .
解:因为 ，所以这个函数的图象如图②所示.
变式 已知函数
（1）求， 的值；
解：因为
所以 ，
.
（2）在给出的平面直角坐标系（如图）中，画出 的图象；
解： 的图象如图所示.
（3）由（2）中作出的图象指出函数 的值域.
解：由的图象可知函数的值域为 .
［素养小结］
作函数图象时通常需通过列表、描点、连线三个步骤来完成，具体作图时需注
意四点：（1）先确定函数的定义域，要在定义域内作图；（2）图象是实线还
是虚线，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；（3）作分段函数的图
象时，应根据不同取值范围上的解析式分别作出；（4）函数图象可以是连续的
曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.
探究点三 列表法表示函数
例3（1） 已知函数， 分别由下表给出，则
1 2 3
2 1 1
1 2 3
3 2 1
① ___；
1
[解析] 由表知， .
②若，则 ___.
1
[解析] 由表知，，，由表知 .
（2）已知函数 由下表给出，
1 2 3 4 5
则 的值为( )
D
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] ， .故选D.
［素养小结］
用列表法表示函数时不用计算函数值，看表就知道函数值，列表法必须罗列出
所有的自变量与函数值之间的对应关系.不是所有函数都可以用列表法表示，如
函数 .
探究点四 求分段函数的解析式
［提问］ 如何求分段函数的解析式？
解：根据不同“段”上的自变量，分段求出解析式.
例4 某市出租汽车收费标准如下：路程在以内含按起步
价11元收费，超过 的路程按2.4元/ 收费.
（1）试写出收费额（单位：元）关于路程单位：的函数解析式；
解:由题意知当时，，
当 时， ，
因此关于的函数解析式为
（2）若王先生某次乘车付车费35元，求此次出租车行驶的路程.
解:由（1）可知由 ，得，
解得 ，
即此次出租车行驶的路程为 .
变式 已知函数的图象如图所示，则 的解析式是
_ __________ __.
[解析] 函数的图象由两条线段组成，
结合图象知
［素养小结］
求实际问题中的分段函数,应结合实际问题的意义进行分段,求出自变量在各个取
值范围内的对应关系（解析式或图象）即可.
1.函数图象的判断
要判断图象是否是某个函数的图象，首先要明确这个图象是否满足函数的三要
素.另外还需注意：（1）图象上的点的坐标都满足关系 ；（2）满
足关系的点 都在图象上.
2.解析法的特点
解析法表示函数可以简明、全面地概括变量间的关系，而且通过解析式可求出
任意一个自变量所对应的函数值，但它不能形象、直观地反映函数的某些性质，
而且并不是所有的函数都能用解析式表示.
1.待定系数法
已知函数解析式的类型求其解析式时，通常利用待定系数法求解.
例1 已知二次函数的图象关于直线对称，且方程 的两个实
根的平方和为10，若的图象过点，求 的解析式.
解：设 ，
函数的图象关于直线 对称，，即 .
又的图象过点， .
由方程 的两个实根的平方和为10，
得，即 .
由①②③可得，， ， .
2.函数与方程法
在已知函数的符号且等式含有可以对称代换的式子时，常用解方程组的方法求
其解析式.
例2（1） 若，求 的解析式.
解：因为，所以 ②，
联立,消去，解得 .
（2）若函数满足，求 的解析式.
解：因为，所以 ，
得，则 .
（3）若函数满足，求 的解析式.
解：因为，所以 ，联立①②
消去，可得 .
例3 求函数 的定义域和值域.
解： ， 函数的定义域为 .
当时，， ；
当时，， ；
当时，， .
故函数的值域为 .
3.定义法
在解决分段函数的定义域、值域及最值的问题时常用定义法.2.2 函数的表示法
【课前预习】
知识点
自变量 表格 图象
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)有些函数是不能画出图象的,如f(x)=
(2)函数图象可以是连续不断的曲线,也可以是直线、折线、孤立的点等.如f(x)=的图象就不是连续不断的曲线.
(3)两函数的定义域不同,故图象不同.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)f(x+1)=x2+4x+1=(x+1)2+2(x+1)-2,
所以f(x)=x2+2x-2.
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为f(0)=1,所以c=1,
因为f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x,整理得2ax+a+b=2x,
所以解得所以f(x)=x2-x+1.
(3)令t=,则t≥0,所以x=t2-1,则f(t)=t2-1-1=t2-2,t≥0,所以f(x)=x2-2(x≥0).
(4)在2f+f(x)=x(x≠0)①中,用替换x得2f(x)+f=(x≠0)②,
由②得f=-2f(x)③,
将③代入①得f(x)=-(x≠0).
变式 (1)f(x)=2x2-4x+5(x≥-1) (2)AD
[解析] (1)设t=-1,则t≥-1,=t+1,所以f(t)=2(t+1)2-8(t+1)+11=2t2-4t+5,所以f(x)的解析式为f(x)=2x2-4x+5(x≥-1).
(2)设f(x)=kx+b(k≠0),则f[f(x)]=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=81x+80,所以解得或则f(x)=9x+8或f(x)=-9x-10.故选AD.
拓展 f(x)=-9x+ [解析] 因为f(x)+2f(-x)=9x+2,所以f(-x)+2f(x)=-9x+2,两式联立解得f(x)=-9x+.
探究点二
例2 解:(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=x+1上,其部分图象如图①所示.
(2)因为0≤x<3,所以这个函数的图象如图②所示.
变式 解:(1)因为f(x)=
所以f=+2×=-, f=-+2×=.
(2)f(x)的图象如图所示.
(3)由f(x)的图象可知函数f(x)的值域为[-1,1].
探究点三
例3 (1)①1 ②1 (2)D [解析] (1)①由表知g(1)=3,∴f[g(1)]=f(3)=1.
②由表知g(2)=2,∵g[f(x)]=2,∴f(x)=2,由表知x=1.
(2)∵f(2022)=4,∴f[1949f(2022)]=f(1949×4)=5.故选D.
探究点四
提问 解:根据不同“段”上的自变量,分段求出解析式.
例4 解:(1)由题意知当0≤x≤3时,y=11,当x>3时,y=11+2.4(x-3)=2.4x+3.8,
因此y关于x的函数解析式为y=
(2)由(1)可知y=由y=35,
得2.4x+3.8=35,解得x=13,
即此次出租车行驶的路程为13 km.
变式 f(x)= [解析] 函数f(x)的图象由两条线段组成,结合图象知f(x)=2.2 函数的表示法
【学习目标】
1.掌握函数常用的三种表示法.
2.能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,了解函数不同表示法的优缺点.
3.理解分段函数及其表示法,会处理某些简单的分段函数问题.
4.培养数形结合与分类讨论的数学思想,激发学习热情.
◆ 知识点 函数的表示法
函数的 表示 方法 解析法 一个函数的对应关系可以用 的解析表达式(简称解析式)表示出来,这种方法称为解析法
列表法 用 的形式表示两个变量之间的函数关系的方法,称为列表法
图象法 用 把两个变量间的函数关系表示出来的方法,称为图象法
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个函数都可以用图象法表示. ( )
(2)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线. ( )
(3)函数f(x)=x+1与g(x)=x+1(x∈N)的图象相同. ( )
◆ 探究点一 函数的解析式
例1 根据下列条件,求f(x)的解析式.
(1)已知f(x)满足f(x+1)=x2+4x+1;
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x;
(3)已知f(x)满足f()=x-1;
(4)已知f(x)满足2f+f(x)=x(x≠0).
变式 (1)已知f(-1)=2x-8+11,则函数f(x)的解析式为 .
(2)(多选题)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]=81x+80,则f(x)的解析式可能为 ( )
A.f(x)=9x+8
B.f(x)=-9x-8
C.f(x)=9x+10
D.f(x)=-9x-10
[素养小结]
求解函数解析式的几种常用方法:
(1)待定系数法,如果已知函数的类型,通常用待定系数法;
(2)换元法或配凑法,已知复合函数f[g(x)]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法;
(3)消参法,若已知抽象函数f(x)的表达式,则可用解方程组消参的方法求解f(x).
拓展 [2024·四川自贡高一期中] 已知f(x)+2f(-x)=9x+2,则f(x)的解析式为 .
◆ 探究点二 作函数图象
例2 作出下列函数的图象.
(1)y=x+1(x∈Z);
(2)y=x2-2x(x∈[0,3)).
变式 已知函数f(x)=
(1)求f,f的值;
(2)在给出的平面直角坐标系(如图)中,画出f(x)的图象;
(3)由(2)中作出的图象指出函数f(x)的值域.
[素养小结]
作函数图象时通常需通过列表、描点、连线三个步骤来完成,具体作图时需注意四点:(1)先确定函数的定义域,要在定义域内作图;(2)图象是实线还是虚线,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;(3)作分段函数的图象时,应根据不同取值范围上的解析式分别作出;(4)函数图象可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.
◆ 探究点三 列表法表示函数
例3 (1)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出,则
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
①f[g(1)]= ;
②若g[f(x)]=2,则x= .
(2)已知函数f(x)由下表给出,
x x<1921 1921≤ x<1949 1949≤ x<2021 2021≤ x<2049 x≥2049
f(x) 1 2 3 4 5
则f[1949f(2022)]的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[素养小结]
用列表法表示函数时不用计算函数值,看表就知道函数值,列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系.不是所有函数都可以用列表法表示,如函数f(x)=x.
◆ 探究点四 求分段函数的解析式
[提问] 如何求分段函数的解析式
例4 某市出租汽车收费标准如下:路程在3 km以内(含3 km)按起步价11元收费,超过3 km的路程按2.4元/km收费.
(1)试写出收费额y(单位:元)关于路程x(单位:km)的函数解析式;
(2)若王先生某次乘车付车费35元,求此次出租车行驶的路程.
变式 已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是 .
[素养小结]
求实际问题中的分段函数,应结合实际问题的意义进行分段,求出自变量在各个取值范围内的对应关系(解析式或图象)即可.2.2 函数的表示法(A)
1.D [解析] 令t=x-2,则x=t+2,且t∈R,所以f(t)=(t+2)2=t2+4t+4,则f(x)=x2+4x+4.故选D.
2.A [解析] 由列表可得f(3)=4,所以f[f(3)]=f(4)=1.故选A.
3.D [解析] 开始时离学校最远,则A,C错误;因为先跑步,所以在开始的一段较短的时间内离学校的距离减少的较快,然后走路,所以后来离学校的距离减少的较慢,故选D.
4.D [解析] 依据题意,当05.D [解析] 对于A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于B,f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x);对于C,f(2x)=-2x=2f(x);对于D,f(2x)=4x+1≠2f(x).故选D.
6.B [解析] 由题图可知g(2)=1,由表格可知f(1)=2,∴f[g(2)]=f(1)=2,故选B.
7.D [解析] 因为f(x+1)<4,所以当x+1≤0,即x≤-1时,f(x+1)=x<4,所以x≤-1;当x+1>0,即x>-1时,f(x+1)=(x+1)2<4,解得-38.AD [解析] 由f(x)=x2+4x+3,得f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=x2+10x+24,即a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3=x2+10x+24,由对应系数相等得解得或所以a-b=6或a-b=-2.故选AD.
9.BD [解析] 由题意知,当0≤x≤1时,y=x;当110.1 [解析] 由题知,f(3)=2,所以g[f(3)]=g(2)=1.
11.4或-2 [解析] 令x+1=t,则x=t-1.由f(x+1)=2x2-3可得f(t)=2(t-1)2-3,所以f(m)=2(m-1)2-3=15,解得m=4或m=-2.
12.f(x)=-x- [解析] 由题意知函数f(x)满足f(x)=2f+3x,即f(x)-2f=3x,用代换式中的x,可得f-2f(x)=,由
解得f(x)=-x-.
13.解:设f(x)=ax+b(a≠0),则f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b,又f[f(x)]=4x+8,∴a2x+ab+b=4x+8,即解得或
∴f(x)=2x+或f(x)=-2x-8.
14.解:(1)f(-1)=-(-1)-1=0;f[f(-1)]=f(0)=1;f{f[f(-1)]}=f(1)=-12+2×1=1.
(2)函数f(x)的图象如图所示.
15.B [解析] 对于f(x2-ax)=|x+1|,当x=0时,f(0)=1,当x=a时,f(a2-a·a)=f(0)=|a+1|,所以1=|a+1|,则有a=0或-2.若a=0,则f(x2)=|x+1|,当x=1时,f(1)=2,当x=-1时,f(1)=0,不满足题意.若a=-2,则f(x2+2x)=|x+1|=,则f(x)=(x≥-1),故选B.
16.解:(1)g(2)=2-1=1,∴f[g(2)]=f(1)=12-1=0;f(2)=22-1=3,∴g[f(2)]=g(3)=3-1=2.
(2)当x>0时,g(x)=x-1,∴f[g(x)]=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x.
(3)当x>1或x<-1时,x2-1>0,∴g[f(x)]=g(x2-1)=(x2-1)-1=x2-2;当-1≤x≤1时,x2-1≤0,
∴g[f(x)]=g(x2-1)=2-(x2-1)=-x2+3.
故g[f(x)]=2.2 函数的表示法(A)
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.已知函数f(x-2)=x2,则f(x)= ( )
A.x2+2 B.x2-4x+4
C.x2-2 D.x2+4x+4
2.已知函数f(x)由下表给出,则f[f(3)]等于 ( )
x 1 2 3 4
f(x) 3 2 4 1
A.1 B.2
C.3 D.4
3.某同学离家去学校,由于怕迟到,所以先跑步,跑累了再走余下的路程,在所给图中,纵轴表示离校的距离,横轴表示出发后的时间,则下列四个图中较符合该同学走法的是 ( )
A B C D
4.已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始顺次经过点C,D绕正方形的边界向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S(S>0),则函数S=f(x)的图象是 ( )
A B C D
5.下列函数中不满足f(2x)=2f(x)的是 ( )
A.f(x)=|x|
B.f(x)=x-|x|
C.f(x)=-x
D.f(x)=2x+1
6.已知函数y=f(x)由下表给出,函数y=g(x)的图象如图所示,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f[g(2)]的值为 ( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A.3 B.2 C.1 D.0
7.已知函数f(x)=则满足f(x+1)<4的实数x的取值范围为 ( )
A.(-1,0) B.(-∞,4)
C.(-∞,0)∪(0,1) D.(-∞,1)
8.(多选题)已知a,b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则a-b的值可以为 ( )
A.6 B.-6 C.2 D.-2
9.(多选题)如图所示的图象表示的函数解析式可以为 ( )
A.y=|x-1|(0≤x≤2)
B.y=-|x-1|(0≤x≤2)
C.y=-|x-1|(0≤x≤2)
D.y=
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.给出函数f(x),g(x)如下表,则g[f(3)]= .
x 1 2 3 4
f(x) 3 4 2 1
g(x) 2 1 6 8
11.已知f(x+1)=2x2-3,若f(m)=15,则m= .
12.已知函数f(x)满足f(x)=2f+3x,则f(x)的解析式为 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知f(x)是一次函数,若f[f(x)]=4x+8,求f(x)的解析式.
14.(10分)已知函数f(x)=
(1)求f(-1),f[f(-1)],f{f[f(-1)]}的值;
(2)画出函数f(x)的图象.
15.(5分)若对于任意的x∈R都有f(x2-ax)=|x+1|,则f(x)= ( )
A. B.
C.|x| D.+1
16.(15分)已知f(x)=x2-1,g(x)=
(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值;
(2)当x>0时,求f[g(x)]的解析式;
(3)求g[f(x)]的解析式.2.2 函数的表示法(B)
1.D [解析] 令t=2x+1,则x=,所以f(t)=3·-2=t-,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x-,又因为f(a)=7,所以a-=7,解得a=7.故选D.
2.D [解析] 由题意得2x+y=20,即y=20-2x.由题意得则解得53.A [解析] 由题知,取x=y=1,则f(1)+f(1)=f(2),即f(2)=2f(1),所以f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-3.故选A.
4.A [解析] 由表格可知f(2)=1,f(3)=2,所以f(x0)=f(2)-f(3)=-1.再由表格可知f(1)=-1,所以x0=1.
5.A [解析] 由题图可知,当t=100时,S1=S2,所以100m+20=100n,即n=m+.所以当t=50时,S1-S2=50m+20-50n=50m+20-50m-=10,即当一个月的打出电话时间为50分钟时,A,B两种方式产生的电话费之差是10元.故选A.
6.A [解析] 当0≤x≤3时,函数f(x)的图象过点(0,0),(3,6),此时f(x)=2x;当3≤x≤9时,函数f(x)的图象过点(3,6),(9,0),设f(x)=kx+b,则解得
此时f(x)=-x+9.所以f(x)=所以f(x0)>4等价于或解得27.C [解析] 对于每个时刻t,都有唯一的h,d与之对应,所以A,B中说法正确;当d不取最大水面对应圆的直径时,对于每个d,都有两个h与之对应,所以C中说法错误;对于每个h,都有唯一的d与之对应,所以D中说法正确.故选C.
8.BCD [解析] 结合表格可知,当x=1时,f(1)=2,则f[f(1)]=f(2)=3≠1-1=0,不满足题意;当x=2时,f(2)=3,f[f(2)]=f(3)=4≠2-1,不满足题意;当x=3时,f(3)=4,f[f(3)]=f(4)=2=3-1,满足题意;当x=4时,f(4)=2,f[f(4)]=f(2)=3=4-1,满足题意;当x=5时,f(5)=3,f[f(5)]=f(3)=4=5-1,满足题意.故选BCD.
9.AC [解析] 由题意知,当-1≤x<0时,[x]=-1,则f(x)=x-[x]=x+1;当0≤x<1时,[x]=0,则f(x)=x-[x]=x;当1≤x<2时,[x]=1,则f(x)=x-[x]=x-1;当2≤x<3时,[x]=2,则f(x)=x-[x]=x-2.画出函数f(x)=x-[x]的部分图象如图所示.f(-3.9)=-3.9-(-4)=0.1,f(4.1)=4.1-4=0.1,由图可知,函数f(x)的值域为[0,1).故选AC.
10. [解析] 因为函数f=x2+=+2,所以f(x)=x2+2,所以f=+2=.
11.2 [解析] 因为f(0)=2,所以f[f(0)]=f(2)=4+2a=4a,解得a=2.
12.f(x)=-x [解析] ∵f(x)+2f(2-x)=x①,∴f(2-x)+2f(x)=2-x②,联立①②可得f(x)=-x.
13.解:设=t(t≥0),则x=t2-1,∴f(t)=t2-2,
∴f(x)=x2-2(x≥0).
14.解:(1)由题知f(1)=12-2×1=-1,
所以f[f(1)]=f(-1)==-1.
(2)当a<0时,由f(a)=2,得=2,解得a=(舍去);
当0≤a<3时,由f(a)=2,得a2-2a=2,解得a=1+或a=1-(舍去);
当a≥3时,由f(a)=2,得-a+6=2,解得a=4.
综上,a的值为1+或4.
(3)作出函数f(x)的图象,如图所示.
由图可知,函数f(x)的值域为(-∞,3].
15.B [解析] 由题意知,函数f(x)的定义域为[0,4],所以f(x)的值域为[f(0),f(4)].当0≤x≤1时,可得0≤5x≤5,若函数f(x)满足题意,则可得
所以5≤m≤9,所以实数m的取值范围是[5,9].故选B.
16.解:(1)当t=时,图形为直角边长为的等腰直角三角形,所以f=××=.
(2)当0当1设直线x=t与线段AB交于点C,与x轴交于点D,过点A作AE垂直x轴于点E,
可知△BCD∽△BAE,得==.
因为BD=3-t,所以CD=(3-t),
则S△BCD=·BD·CD=(3-t)2,因此当1当t>3时,f(t)=×3×1=.
综上所述,f(t)=2.2 函数的表示法(B)
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.已知f(2x+1)=3x-2,且f(a)=7,则a= ( )
A.2 B.3
C.5 D.7
2.已知一个等腰三角形的周长为20,则底边长y关于腰长x的函数解析式是 ( )
A.y=
B.y=20-2x
C.y=(5D.y=20-2x(53.已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),若f(1)=-1,则f(3)=( )
A.-3 B.-2
C.-1 D.0
4.已知函数f(x)由以下表格给出,若f(x0)=f(2)-f(3),则x0等于 ( )
x 1 2 3 4
f(x) -1 1 2 1
A.1 B.2
C.0 D.-1
5.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的打出电话时间t(单位:分钟)与电话费S(单位:元)的函数图象如图所示,A种方式对应的函数解析式为S1=mt+20(m为常数),B种方式对应的函数解析式为S2=nt(n为常数),则当一个月的打出电话时间为50分钟时,A,B两种方式产生的电话费之差是 ( )
A.10元 B.20元
C.30元 D.元
6.如图是函数f(x)的图象,若f(x0)>4,则x0的取值范围是 ( )
A.(2,5)
B.(1,5)
C.(1,4)
D.(2,4)
7.如图为一个高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一个排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,在某时刻t,水面的高度为h,水面对应圆的直径为d,则下列说法错误的是 ( )
A.h是t的函数
B.d是t的函数
C.h是d的函数
D.d是h的函数
8.(多选题)已知函数f(x)用列表法表示如下,
x 1 2 3 4 5
f(x) 2 3 4 2 3
若f[f(x)]=x-1,则x可取 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
9.(多选题)对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2.设函数f(x)=x-[x],则下列说法中正确的是 ( )
A.f(-3.9)=0.1
B.函数f(x)的值域为[0,1]
C.函数f(x)的值域为[0,1)
D.f(4.1)=0.2
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.已知函数f=x2+,则f= .
11.已知函数f(x)=若f[f(0)]=4a,则实数a= .
12.已知对于任意实数x,函数f(x)都满足f(x)+2f(2-x)=x,则f(x)的解析式为 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分) 已知函数f()=x-1,求f(x)的解析式.
14.(10分)[2024·天津静海六中高一期中] 已知函数f(x)=
(1)求f[f(1)]的值;
(2)若f(a)=2,求a的值;
(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象,并根据图象写出函数f(x)的值域.
15.(5分)如果函数f(x)的定义域为[a,b],且值域为[f(a),f(b)],则称f(x)为“Ω函数”.已知函数f(x)=是“Ω函数”,则m的取值范围是 ( )
A.[4,9] B.[5,9]
C.[4,+∞) D.[5,+∞)
16.(15分)如图,△OAB在平面直角坐标系xOy内,点A,B的坐标分别为(1,1)和(3,0),记△OAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形的面积为f(t).
(1)求f的值;
(2)求f(t)的解析式.
