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§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性和最值
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间.
2.掌握函数的单调性的定义，会用定义法证明函数的单调性.
3.熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用.
4.通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合、分类讨论
等基本的数学思想方法，提高数学运算和直观想象能力.
知识点一 函数单调性的定义
1.增函数
设函数的定义域是.如果对于任意的 ，
，当 时，都有______________，那么就
称函数是增函数，如图所示.特别地，当 是定
义域上的一个区间时，也称函数在区间 上单
调递增.
2.减函数
设函数的定义域是.如果对于任意的，，当 时，都有
______________，那么就称函数是减函数，如图所示.特别地，当 是定
义域上的一个区间时，也称函数在区间 上单调递减.
【诊断分析】
判断函数在区间上的单调性时，因为， ，
，所以函数在区间 上单调递减，这种叙述对吗？
解：不对.判断函数在区间上的单调性时不能取特殊值，而应在此区间上任选两
数，，且有大小之分，再比较与 的大小，从而判断单调性.
知识点二 函数的单调性与单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就称函数 在区
间上具有________.此时，区间为函数 的__________.
单调性
单调区间
【诊断分析】
1.如果函数在定义域上的两个区间，上都单调递减，那么 的单调
递减区间能写成 吗？
解:不能.单调区间不能取并集，如在上单调递减，在 上也单
调递减，但不能说在 上是减函数.
2.任何函数在定义域上都具有单调性吗？
解：函数的单调性是指函数在定义域上或定义域的某个区间上的变化趋势，是
单调递增或单调递减的一种定性描述，它是函数的局部性质.有的函数不具有单
调性，例如函数再如函数 ，它的定义域不能
用区间表示，也不能说它在定义域上具有单调性.
知识点三 函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件
结论
几何意义
纵坐标
纵坐标
【诊断分析】
若函数满足恒成立，则此函数的最小值就是 吗？
解:不是.虽然恒成立，但在函数定义域内找不到一个 的值使
，根据最小值的定义可知题中结论不成立.
探究点一 函数单调性定义的理解
例1 若函数的定义域为，且满足，则函数
在 上( )
D
A.是增函数 B.是减函数 C.先增后减 D.单调性无法确定
[解析] 函数单调性的定义突出了, 的任意性，仅凭区间内有限个函数值的大
小关系是不能判断函数的单调性的，排除A,B,C.故选D.
变式 下列说法正确的是( )
D
A.在区间上存在，，当时，有，则在区间 上单
调递增
B.所有的函数都具有单调性
C.函数 在整个定义域上是增函数
D.若函数在上单调，且，则函数在 上是减函数
[解析] 根据单调性的定义可知A错误；
不是所有的函数都具有单调性，如函数，B错误；
对于C，在和 上均单调递增，但不能说在整个定义域上是
增函数，如，而 ，故C错误；
对于D，由函数在上单调，即在上是增函数或减函数，
且， ，可以判断函数在 上是减函数，D正确.故选D.
［素养小结］
函数单调性的定义中,有三个特征：一是,属于同一区间；二是, 是该
区间内的任意两个实数，判断单调性时不能用两个特殊值代替；三是, 有大
小之分，通常规定.另外函数单调递增或单调递减是针对定义域 上的某
个区间而言的，显然 .
探究点二 利用图象求函数的单调区间、最值
例2-1 函数, 的图象如图所示,求函数的单调区间及最值.
解：由题图可知，函数的单调递增区间是， ，单调递减区间是
，， .当时，取得最大值3，
当时，取得最小值 .
故函数的最大值为3，最小值为 .
例2-2 已知函数
（1）画出函数 的图象；
解:函数的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，作出 的
图象如图所示.
（2）求函数 的单调区间、最大值.
解:由函数的图象可知，函数的单调递增区间为 ,单调递减区间
为.当时，函数 取得最大值6，
函数 的最大值为6.
变式（1） 如图所示是函数的大致图象，
则函数 的单调递增区间是__ _______________，
单调递减区间是______ ______.
,
,
[解析] 观察图象可知的单调递增区间为
， ，单调递减区间为， .
（2）[2024·福建厦门高一期中] 设函数 .
①画出函数 的图象；
解：
画出函数 的图象如图所示.
②写出函数 的单调递增区间；
解：由图可知，函数的单调递增区间为， .
③求在区间上的最小值 .
解：由图知，当时，在 上单调递减，
此时；当时， .
所以
［素养小结］
1.图象法求函数单调区间的关键：
（1）作图：准确作出函数图象.
（2）结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间.
2.利用图象求函数最值，关键是在图象上找到最高点和最低点的纵坐标，从而
确定函数的最大值与最小值.
[解析] 令,解得或,则
作出的图象，如图中实线所示.
由图可知，函数的最小值为 .
拓展 [2024·湖北孝感高一期中] 设函数,．用 表
示,中的较大者，记为,，则 的最小值是___.
探究点三 一元二次函数的单调性与最值
例3 已知函数， 为实数.
（1）若，求在 上的取值范围；
解：当时， ，其图象开口向上，对称轴为直线
，
所以在上单调递减，在 上单调递增.
当时，，，所以 在
上的取值范围为 .
（2）若，求函数 的最小值.
解：函数的图象开口向上，对称轴为直线 .
当，即时，函数在区间 上单调递增，
所以 ；
当，即时，函数在区间 上单调递减，
所以；
当，即 时， .
综上，当时，
变式 已知函数 .
（1）若函数的值域是，求实数 的值.
解: 函数的值域是，且二次函数 的图象是抛
物线，其开口向下，
方程有且只有一个解，即 ，
解得或， 的值为0或4.
（2）若函数在上单调递减，求实数 的取值范围.
解:函数 的图象是抛物线，其开口向下，对称轴是直线
，要使在上单调递减，应满足,， 的取值
范围是 .
（3）是否存在实数，使得在上的取值范围是 ？若存在，求出实
数 的值；若不存在，说明理由.
解:假设存在实数，使得在上的取值范围是.
当，即 时，在 上单调递减，
则即 无解；
当，即时，在 上单调递增，
则即解得 ；
当，即时，在 上先增后减，
且在 处取得最大值，
由 ，
解得或（不满足，均舍去）.
综上，存在实数 ，使得在上的取值范围是 .
［素养小结］
对于不含参数的一元二次函数的最值问题，只需确定二次函数图象的对称轴，
由函数的图象确定最高点、最低点，代入相应的自变量的值求出最值.
而对于含参数的一元二次函数的最值问题，通常需根据所给区间及图象的对称
轴位置进行分类讨论，即常见的有“动轴动区间”“动轴定区间”“定轴动区间”三种
类型.
以一元二次函数的图象开口向上、对称轴为直线为例，在区间
上，
①最小值：
②最大值：
1.对函数单调性的理解
（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域内不同的区间上可
以有不同的单调性.
（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的， 有以下几
个特征：一是任意性，即任意取， ，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性
时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定 ；三是属于同
一个单调区间.
（3）单调性能使自变量取值的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由
是增（减）函数且 .
（4）并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有单调递增区
间又有单调递减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性.
2.单调性的判断方法
（1）定义法：利用定义严格判断.
（2）图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间.
（3）用两个函数和（差）的单调性的规律判断：“增增增”“减减 减”“增-
减增”“减-增 减”.
3.对函数最值的三点说明
（1）最大（小）值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数
的最小值是0，有 .
（2）最大（小）值定义中的“任意”是说对于定义域上的每一个值都必须满足不
等式，即对于定义域上的全部元素都有 成立，也就是说，
函数的图象不能位于直线 的上（下）方.
（3）最大（小）值定义中的“存在”是说定义域上至少有一个实数可使等号成立，
也就是说的图象与直线 至少有一个交点.
一、单调性反映在图象上，函数在区间 上的图象从左到右是上升（下降）
的，说明函数在区间 上单调递增（减）.
例1 [2024·广东广州八十九中高一期中] 已知
函数
（1）在图中画出函数 的图象；
解:函数在上的图象是直线在直线 及其左侧的部分，
在上的图象是抛物线在直线与直线 之间的
部分，
在上的图象是直线 在直
线及其右侧的部分，则函数 的图象如
图.
（2）当时，写出 的单调区间.
解:由的图象知，函数在上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增，在 上单调递减，
所以当时，的单调递增区间为， ，单调递减区间为
.
二、函数最大值的几何意义是函数图象最高点的纵坐标，函数最小值的几
何意义是函数图象最低点的纵坐标.
例2 如图,气温 关于时间的函数记为 ,
观察这个函数的图象,请问函数的最大值、最小值
在函数图象的什么部位取得 函数的最大值、最小
值各是什么
解：曲线的最高点对应的纵坐标为函数的最大值,最大值为9;曲线的最低点对应的纵
坐标为函数的最小值,最小值为 .§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性和最值
【课前预习】
知识点一
1.f(x1)
f(x2)
诊断分析
解:不对.判断函数在区间上的单调性时不能取特殊值,而应在此区间上任选两数x1,x2,且有大小之分,再比较f(x1)与f(x2)的大小,从而判断单调性.
知识点二
单调性 单调区间
诊断分析
1.解:不能.单调区间不能取并集,如y=在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上也单调递减,但不能说y=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.
2.解:函数的单调性是指函数在定义域上或定义域的某个区间上的变化趋势,是单调递增或单调递减的一种定性描述,它是函数的局部性质.有的函数不具有单调性,例如函数y=再如函数y=x+1(x∈Z),它的定义域不能用区间表示,也不能说它在定义域上具有单调性.
知识点三
≤ ≥ f(x0)=M 纵坐标 纵坐标
诊断分析
解:不是.虽然x2≥-1恒成立,但在函数定义域内找不到一个x0的值使f(x0)=-1,根据最小值的定义可知题中结论不成立.
【课中探究】
探究点一
例1 D [解析] 函数单调性的定义突出了x1,x2 的任意性,仅凭区间内有限个函数值的大小关系是不能判断函数的单调性的,排除A,B,C.故选D.
变式 D [解析] 根据单调性的定义可知A错误;不是所有的函数都具有单调性,如函数f(x)=1,B错误;对于C,f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递增,但不能说在整个定义域上是增函数,如-1<2,而f(-1)>f(2),故C错误;对于D,由函数f(x)在R上单调,即f(x)在R上是增函数或减函数,且0<2,f(0)>f(2),可以判断函数f(x)在R上是减函数,D正确.故选D.
探究点二
例2-1 解:由题图可知,函数的单调递增区间是[-1.5,3],[5,6],单调递减区间是[-4,-1.5],[3,5],[6,7].
当x=3时,f(x)取得最大值3,当x=-1.5时,f(x)取得最小值-2.
故函数的最大值为3,最小值为-2.
例2-2 解:(1)函数f(x)的图象由三段构成,每段都为一次函数图象的一部分,作出f(x)的图象如图所示.
(2)由函数f(x)的图象可知,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1],单调递减区间为(1,+∞).当x=1时,函数f(x)取得最大值6,
∴函数f(x)的最大值为6.
变式 (1)(-∞,-1],[1,+∞) [-1,0),(0,1] [解析] 观察图象可知f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],[1,+∞),单调递减区间为[-1,0),(0,1].
(2)解:①f(x)=x|x-2|=
画出函数f(x)的图象如图所示.
②由图可知,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1),(2,+∞).
③由图知,当1此时g(a)=f(a)=2a-a2;当a>2时,g(a)=f(2)=0.
所以g(a)=
拓展 1 [解析] 令x2≥x+2,解得x≥2或x≤-1,则M(x)=
作出M(x)的图象,如图中实线所示.由图可知,函数M(x)的最小值为M(-1)=1.
探究点三
例3 解:(1)当m=4时,f(x)=2x2+4x-1,其图象开口向上,对称轴为直线x=-1,
所以f(x)在[-2,-1]上单调递减,在(-1,1]上单调递增.
当x∈[-2,1]时,f(x)min=f(-1)=-3,f(x)max=f(1)=5,所以f(x)在[-2,1]上的取值范围为[-3,5].
(2)函数f(x)=2x2+mx-1的图象开口向上,对称轴为直线x=-.
当-≤-1,即m≥4时,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,所以f(x)min=f(-1)=1-m;
当-≥1,即m≤-4时,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=1+m;当-1<-<1,即-4综上,当x∈[-1,1]时,f(x)min=
变式 解:(1)∵函数f(x)=-x2+mx-m的值域是(-∞,0],且二次函数f(x)的图象是抛物线,其开口向下,
∴方程f(x)=0有且只有一个解,即Δ=m2-4m=0,
解得m=0或m=4,∴m的值为0或4.
(2)函数f(x)=-x2+mx-m的图象是抛物线,其开口向下,对称轴是直线x=,要使f(x)在[-1,0]上单调递减,应满足≤-1,∴m≤-2,∴m的取值范围是(-∞,-2].
(3)假设存在实数m,使得f(x)在[2,3]上的取值范围是[2,3].当≤2,即m≤4时,f(x)在[2,3]上单调递减,
则即无解;
当≥3,即m≥6时,f(x)在[2,3]上单调递增,
则即解得m=6;
当2<<3,即4且f(x)在x=处取得最大值,
由f=-+m·-m=3,
解得m=-2或m=6(不满足4第1课时 函数的单调性和最值
1.C [解析] 对于A项,由题图可知,函数f(x)在区间[-5,-3]上单调递增,故A中说法正确;对于B项,由题图可知,函数f(x)在区间[1,4]上单调递增,故B中说法正确;对于C项,由题图可知,函数f(x)在区间[-3,1]上单调递减,在区间[4,5]上单调递减,但是f(1)2.B [解析] 由题知,函数在定义域上是增函数或减函数,若是增函数,则从左到右图象逐渐上升,函数值逐渐增大,可知B满足.故选B.
3.C [解析] 二次函数y=x2-6x+10图象的对称轴为直线x=3,且图象开口向上,所以函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上先减后增.故选C.
4.D [解析] 不在同一单调区间上的函数值不能确定大小关系.故选D.
5.B [解析] 当x∈[-1,0]时,函数f(x)=x2单调递减,所以f(x)∈[0,1];当x∈(0,1]时,函数f(x)=单调递减,所以f(x)≥1.综上所述,f(x)≥0.所以f(x)在定义域[-1,1]上有最小值0,无最大值.故选B.
6.D [解析] 因为二次函数f(x)=x2+x-2的图象的对称轴为直线x=-,且开口向上,-∈[-1,1),所以由函数f(x)的图象知,当x=-时,函数f(x)取得最小值-,由x≠1,得f(x)在[-1,1)上无最大值.所以函数f(x)在区间[-1,1)上无最大值,最小值为-.故选D.
7.D [解析] 当x-3≤-x2+4x-3,即0≤x≤3时,f(x)=x-3;当x-3>-x2+4x-3,即x<0或x>3时,f(x)=-x2+4x-3.所以f(x)=当0≤x≤3时,f(x)=x-3单调递增,所以f(x)≤f(3)=3-3=0;当x<0时,f(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1单调递增,所以f(x)3时,f(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1单调递减,所以f(x)8.AB [解析] 当a>0时,f(x)=ax+1是增函数,则f(2)-f(1)=(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,f(x)=ax+1是减函数,则f(1)-f(2)=(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.故选AB.
9.BC [解析] 因为二次函数y=x2-3x-4=-(x∈R)的图象为开口方向向上,对称轴为直线x=的抛物线,所以当x∈时,函数单调递减,当x∈时,函数单调递增,所以当x=时,y=x2-3x-4取得最小值,ymin=--4=-.令x2-3x-4=-4,解得x=0或x=3.因为f(x)=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,所以≤m≤3,结合选项知,实数m的值可以是2或3.故选BC.
10.-16 [解析] 因为函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上单调递增,在区间(-∞,-2]上单调递减,所以f(x)图象的对称轴为直线x=-2,所以=-2,即m=-16.
11.(-∞,0] [解析] 当x>0时,y=|x|-1=x-1,此时函数单调递增,当x≤0时,y=|x|-1=-x-1,此时函数单调递减,故函数的单调递减区间为(-∞,0].
12.① [解析] 若f(x)在[a,c]上单调递增,则f(c)≥f(x),x∈[a,c],若f(x)在[c,b]上单调递减,则f(c)≥f(x),x∈[c,b],所以f(x)max=f(c),故①正确;若f(x)在[a,c)上单调递增,在[c,b]上单调递减,则函数f(x)的最大值不一定为f(c),如f(x)=故②错误;若f(x)在(a,c]上单调递增,在[c,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a)或f(c),故③错误;若f(x)在[a,c]上单调递增,在(c,b)上单调递减,则函数f(x)的最大值不一定为f(c),如f(x)=故④错误.故填①.
13.解:(1)作出f(x)的图象,如图所示.
由图可知,f(x)的单调递增区间是(-∞,1],[2,+∞),单调递减区间是[1,2].
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)min=f(-2)=-3,f(x)max=f(1)=0,即函数f(x)在[-2,2]上的最大值为0,最小值为-3.
14.解:由题意得,函数f(x)=x2+ax+3的图象开口向上,图象的对称轴为直线x=-.
(1)当1≤-,即a≤-2时,f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以f(1)=1+a+3=a+4=-3,解得a=-7,符合题意.
(2)当-1<-<1,即-2(3)当-≤-1,即a≥2时,f(x)在区间[-1,1]上单调递增,所以f(-1)=1-a+3=4-a=-3,解得a=7,符合题意.综上可知,a的值为7或-7.
15.A [解析] 由已知可得a≠0.当x≤1时,f(x)=x2-1,显然f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,所以f(x)在x=0处取得最小值f(0)=0-1=-1.易知二次函数y=ax2-x+2=a+(x∈R)的图象的对称轴为直线x=.当a>0,>1,即01时,f(x)在x=处取得最小值f=≥-1,可得≤a<;当a>0,0<≤1,即a≥时,f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时,f(x)>a-1+2≥-1,可得a≥;当a<0时,f(x)在(1,+∞)上单调递减,则f(x)在(1,+∞)上必存在比-1小的函数值,不满足题意.综上,a≥.故选A.
16.解:(1)当x<0时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1在(-∞,-1]上单调递减,在[-1,0)上单调递增,
当x≥0时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1在[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
因此函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1],[0,1],单调递增区间为[-1,0),[1,+∞).
函数f(x)在[a,a+2]上单调,显然区间[a,a+2]的长度为2,因此[a,a+2] (-∞,-1]或[a,a+2] [1,+∞),
则a+2≤-1或a≥1,解得a≤-3或a≥1,
所以实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).
(2)当a>-1时,a+2>1,由(1)知,当-1当a>1时,f(x)在区间[a,a+2]上单调递增,则g(a)=f(a)=a2-2a,所以g(a)=§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性和最值
【学习目标】
1.利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间.
2.掌握函数的单调性的定义,会用定义法证明函数的单调性.
3.熟悉常见函数(绝对值函数、二次函数、分段函数等)的单调性及简单应用.
4.通过函数单调性的概念的学习和简单的应用,体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法,提高数学运算和直观想象能力.
◆ 知识点一 函数单调性的定义
1.增函数
设函数y=f(x)的定义域是D.如果对于任意的x1,x2∈D,当x12.减函数
设函数y=f(x)的定义域是D.如果对于任意的x1,x2∈D,当x1【诊断分析】 判断函数f(x)=x2在区间[-1,1]上的单调性时,因为-1,0∈[-1,1],f(-1)>f(0),所以函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,这种叙述对吗
◆ 知识点二 函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有 .此时,区间I为函数y=f(x)的 .
【诊断分析】 1.如果函数f(x)在定义域上的两个区间D1,D2上都单调递减,那么f(x)的单调递减区间能写成D1∪D2吗
2.任何函数在定义域上都具有单调性吗
◆ 知识点三 函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 设函数y=f(x)的定义域为D,存在实数M,对所有的x∈D,都有
f(x) M f(x) M
存在x0∈D,使得
结论 称M为函数y=f(x)的最大值 称M为函数y=f(x)的最小值
几何 意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的
【诊断分析】 若函数f(x)=x2满足f(x)≥-1恒成立,则此函数的最小值就是-1吗
◆ 探究点一 函数单调性定义的理解
例1 若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(2)A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.单调性无法确定
变式 下列说法正确的是 ( )
A.在区间A上存在x1,x2,当x1B.所有的函数都具有单调性
C.函数f(x)=-在整个定义域上是增函数
D.若函数f(x)在R上单调,且f(0)>f(2),则函数f(x)在R上是减函数
[素养小结]
函数单调性的定义中x1,x2有三个特征:一是x1,x2属于同一区间;二是x1,x2是该区间内的任意两个实数,判断单调性时不能用两个特殊值代替;三是x1,x2有大小之分,通常规定x1◆ 探究点二 利用图象求函数的单调区间、最值
例2-1 函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象如图所示,求函数的单调区间及最值.
例2-2 已知函数f(x)=
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)求函数f(x)的单调区间、最大值.
变式 (1)如图所示是函数f(x)=x+的大致图象,则函数f(x)的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .
(2)[2024·福建厦门高一期中] 设函数f(x)=x|x-2|.
①画出函数f(x)的图象;
②写出函数f(x)的单调递增区间;
③求f(x)在区间[1,a](a>1)上的最小值g(a).
[素养小结]
1.图象法求函数单调区间的关键:
(1)作图:准确作出函数图象.
(2)结论:上升图象对应单调递增区间,下降图象对应单调递减区间.
2.利用图象求函数最值,关键是在图象上找到最高点和最低点的纵坐标,从而确定函数的最大值与最小值.
拓展 [2024·湖北孝感高一期中] 设函数f(x)=x+2,g(x)=x2.用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},则M(x)的最小值是 .
◆ 探究点三 一元二次函数的单调性与最值
例3 已知函数f(x)=2x2+mx-1,m为实数.
(1)若m=4,求f(x)在[-2,1]上的取值范围;
(2)若x∈[-1,1],求函数f(x)的最小值.
变式 已知函数f(x)=-x2+mx-m.
(1)若函数f(x)的值域是(-∞,0],求实数m的值.
(2)若函数f(x)在[-1,0]上单调递减,求实数m的取值范围.
(3)是否存在实数m,使得f(x)在[2,3]上的取值范围是[2,3] 若存在,求出实数m的值;若不存在,说明理由.
[素养小结]
对于不含参数的一元二次函数的最值问题,只需确定二次函数图象的对称轴,由函数的图象确定最高点、最低点,代入相应的自变量的值求出最值.
而对于含参数的一元二次函数的最值问题,通常需根据所给区间及图象的对称轴位置进行分类讨论,即常见的有“动轴动区间”“动轴定区间”“定轴动区间”三种类型.
以一元二次函数f(x)的图象开口向上、对称轴为直线x=m为例,在区间[a,b]上,
①最小值:f(x)min=
②最大值:f(x)max=§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性和最值
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数f(x)的图象,则下列关于函数f(x)的说法错误的是 ( )
A.函数f(x)在区间[-5,-3]上单调递增
B.函数f(x)在区间[1,4]上单调递增
C.函数f(x)在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
D.函数f(x)在区间[-5,5]上不单调
2.下列四个图象所对应的函数在定义域上具有单调性的是 ( )
A B C D
3.函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上 ( )
A.单调递增 B.单调递减
C.先减后增 D.先增后减
4.已知f(x)在区间(a,b),(b,c)上都单调递增,设x1∈(a,b),x2∈(b,c),那么 ( )
A.f(x1)>f(x2)
B.f(x1)C.f(x1)=f(x2)
D.f(x1)与f(x2)的大小关系不确定
5.已知函数f(x)=则f(x)在定义域[-1,1]上 ( )
A.有最小值0,最大值1
B.有最小值0,无最大值
C.有最小值0,最大值5
D.有最小值1,最大值5
6.已知函数f(x)=x2+x-2,则函数f(x)在区间[-1,1)上 ( )
A.最大值为0,最小值为-
B.最大值为0,最小值为-2
C.最大值为0,无最小值
D.无最大值,最小值为-
7.已知min{a,b}=设f(x)=min{x-3,-x2+4x-3},则函数f(x)的最大值是 ( )
A.-2 B.1 C.-3 D.0
8.(多选题)若函数f(x)=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值可能是 ( )
A.2 B.-2 C.1 D.0
9.(多选题)若函数f(x)=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则实数m的值可以是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.若函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上单调递增,在区间(-∞,-2]上单调递减,则m= .
11.函数y=|x|-1的单调递减区间为 .
12.已知函数f(x)的定义域为[a,b],a①若f(x)在[a,c]上单调递增,在[c,b]上单调递减,则f(x)max=f(c);
②若f(x)在[a,c)上单调递增,在[c,b]上单调递减,则f(x)max=f(c);
③若f(x)在(a,c]上单调递增,在[c,b]上单调递减,则f(x)max=f(c);
④若f(x)在[a,c]上单调递增,在(c,b)上单调递减,则f(x)max=f(c).
其中说法正确的是 (填序号).
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知函数f(x)=
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象,并写出函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值.
14.(10分)已知函数f(x)=x2+ax+3,当函数f(x)在[-1,1]上的最小值为-3时,求实数a的值.
15.(5分)已知函数f(x)=的最小值是-1,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
16.(15分)已知函数f(x)=
(1)若函数f(x)在区间[a,a+2]上单调,求实数a的取值范围;
(2)当a>-1时,记f(x)在区间[a,a+2]上的最小值为g(a),求g(a)的解析式.