4.3 等比数列（同步练习）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第二册

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4.3 等比数列
一、选择题
1．数列1，1，1， ，1， 必为（　　）
A．等差数列，但不是等比数列
B．等比数列，但不是等差数列
C．既是等差数列，又是等比数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
2．在等比数列{an}中，a3a7＝3，则a5＝（　　）
A．3 B．±3 C． D．±
3．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S3＝3，S9＝21，则S6＝（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
4．有限数列2﹣2，1，22，24，…，22n的项数是（　　）
A．n+1 B．2n﹣4 C．n D．n+2
5．已知数列{an}为等比数列，若a2 a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项，则数列{an}的公比q＝（　　）
A． B．2 C． D．4
6．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝1，S4＝3，则S6＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．7
7．中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第六天走的里程数约为（　　）
A．5.51 B．11.02 C．22.05 D．44.09
8．设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an，若存在两项am，ak，使得am ak，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在各项均为正数的等比数列{an}中，a12a19＝16，则log2a8+log2a23＝　 　 ．
10．若各项均为正数的等比数列{an}中，a1a3＝1，，则 　 　 ．
11．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S3＝4，a4+a5+a6＝8，则　 　 ．
三、多选题
（多选）12．若1，a，b，c，16成等比数列，则（　　）
A．a＝2 B．b＝4 C．c＝8 D．ac＝16
（多选）13．已知数列{an}满足an+1＝2an，则下列说法正确的有（　　）
A．若a1＝2，则an＝2n
B．数列{an}为等比数列
C．若a1＝1，则数列{an}的前n项和为2n﹣1
D．若a1＝﹣1，则数列{an}单调递减
（多选）14．如图所示，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则（　　）
A．第n个圆的面积为
B．这n个圆的半径成公比为的等比数列
C．第一个圆的面积为
D．前n个圆的面积和为（1）π
（多选）15．已知数列{an}，{bn}，{cn}满足bn＝1+a1+a2+…+an，cn＝2+b1+b2+…+bn若数列{an}，{cn}均为等比数列，则（　　）
A．an＝2n B．数列{an}的公比为2
C．cn＝2n+1 D．数列{bn}也是等比数列
四、解答题
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝5，．数列{bn}满足．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的通项公式及Sn．
17．公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
（1）求q；
（2）若a3﹣a1，求Sn．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1．
（1）若数列{an}为等差数列，S10＝100，求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}为等比数列，，求满足Sn＞100an时，正整数n的最小值．
19．在等比数列{an}中，an＞0，a1+a2，a3﹣a2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log4an，求数列{bn} 的前n项和Sn，
（3）在（2）的条件下，当最小时，求n的值．
20．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn为数列的前n项和，求Tn．
4.3 等比数列
参考答案与试题解析
一、选择题
1．数列1，1，1， ，1， 必为（　　）
A．等差数列，但不是等比数列
B．等比数列，但不是等差数列
C．既是等差数列，又是等比数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
【答案】C
【分析】由题意，利用等差数列、等比数列的定义，得出结论．
【解答】解：由于数列1，1，1，…，1， 是公差为0的等差数列，又是公比为1的等比数列，
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义，属于基础题．
2．在等比数列{an}中，a3a7＝3，则a5＝（　　）
A．3 B．±3 C． D．±
【答案】D
【分析】根据a3a7＝3可得出，从而得出a5的值．
【解答】解：，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．
3．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S3＝3，S9＝21，则S6＝（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【分析】运用等比数列前n项和的性质，即：等比数列依次m项的和仍为等比数列求解即可．
【解答】解：Sn为正项等比数列{an}的前n项和，S3＝3，S9＝21，
设正项等比数列{an}的公比为q，
由题意知，q≠1，
∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，
∴，即，
解得S6＝9（舍负）．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．有限数列2﹣2，1，22，24，…，22n的项数是（　　）
A．n+1 B．2n﹣4 C．n D．n+2
【答案】D
【分析】根据各项指数的特点即可求解结论．
【解答】解：∵有限数列2﹣2，1，22，24，…，22n，
其指数依次为：﹣2，0，2，4，.....2n，
即：﹣2×1，﹣2×0，2×1，2×2，.....2n，
∴有限数列2﹣2，1，22，24，…，22n的项数是：n+1+1＝n+2，
故选：D．
【点评】本题主要考查数列的有关知识，考查计算能力，属于基础题．
5．已知数列{an}为等比数列，若a2 a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项，则数列{an}的公比q＝（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】直接利用等比数列的通项公式建立方程组，进一步求出公比q的值．
【解答】解：数列{an}为等比数列，设公比为q，由于a2 a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项，
所以，整理得，
解得．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：等比数列的通项公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
6．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝1，S4＝3，则S6＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．7
【答案】D
【分析】根据等比数列前n项和的性质列方程求解即可．
【解答】解：因为Sn为等比数列{an}的前n项和，
所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
所以，
因为S2＝1，S4＝3，
所以（3﹣1）2＝1×（S6﹣3），解得S6＝7，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
7．中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第六天走的里程数约为（　　）
A．5.51 B．11.02 C．22.05 D．44.09
【答案】B
【分析】设该马第n（n∈N*）天行走的里程数为an，分析可知，数列{an}是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出a1的值，即可求得a6的值．
【解答】解：设该马第n（n∈N*）天行走的里程数为an，
由题意可知，数列{an}是公比为的等比数列，
所以，该马七天所走的里程为，
解得，
故该马第五天行走的里程数为a611.02．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
8．设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an，若存在两项am，ak，使得am ak，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知求得数列{an}是以为首项，以3为公比的等比数列，求其通项公式，结合已知可得m+k＝10，再由数列的函数特性求解．
【解答】解：由2Sn＝3an，得2Sn﹣1＝3an﹣1（n≥2），
两式作差可得，an＝3an﹣1（n≥2），
又，即，
∴数列{an}是以为首项，以3为公比的等比数列，
则．
若存在两项am，ak，使得am ak，即，
可得m+k＝10，
∴，
∵1≤m≤9，且m∈N*，∴当m＝7时，的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，考查数列的函数特性，是中档题．
二、填空题
9．在各项均为正数的等比数列{an}中，a12a19＝16，则log2a8+log2a23＝　4　 ．
【答案】4．
【分析】由条件，结合等比数列性质可得a8a23＝16，再结合对数运算性质，即可求解．
【解答】解：因为数列{an}为等比数列，
所以a12a19＝a8a23，
又a12a19＝16，
所以a8a23＝16，
所以log2a8+log2a23＝log2a8a23＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
10．若各项均为正数的等比数列{an}中，a1a3＝1，，则 　　 ．
【答案】．
【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质求出a1和q，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
由于其各项均为正数，则q＞0，若a1a3＝1，则（a2）2＝1，解可得a2＝1，
又由，则a3，故q，a13，
则（1）．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题．
11．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S3＝4，a4+a5+a6＝8，则　5　 ．
【答案】5．
【分析】利用等比数列的性质求解．
【解答】解：Sn是等比数列{an}的前n项和，S3＝4，a4+a5+a6＝8，
由题意得S6﹣S3＝8，S6＝S3+8＝4+8＝12，
因为S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9，成等比数列，
故，即82＝4（S9﹣12），解得S9＝28，
则S9﹣S6＝28﹣12＝16，所以162＝8（S12﹣28），S12＝60，
故．
故答案为：5．
【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三、多选题
（多选）12．若1，a，b，c，16成等比数列，则（　　）
A．a＝2 B．b＝4 C．c＝8 D．ac＝16
【答案】BD
【分析】由1，a，b，c，16成等比数列，求出公比q＝±2，由此能求出结果．
【解答】解：∵1，a，b，c，16成等比数列，
∴1×q4＝16，解得q＝±2，
当q＝2时，a＝2，b＝4，c＝8，ac＝16，
当q＝﹣2时，a＝﹣2，b＝4，c＝﹣8，ac＝16．
故选：BD．
【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）13．已知数列{an}满足an+1＝2an，则下列说法正确的有（　　）
A．若a1＝2，则an＝2n
B．数列{an}为等比数列
C．若a1＝1，则数列{an}的前n项和为2n﹣1
D．若a1＝﹣1，则数列{an}单调递减
【答案】ACD
【分析】根据数列的递推关系式，结合对应的首项，即可依次判断四个选项．
【解答】解：∵数列{an}满足an+1＝2an，
若a1＝2，则数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n，A对；
若a1＝0，则数列{an}是各项均为0的等差数列，B错；
若a1＝1，则数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，故an＝2n﹣1，则数列{an}的前n项和为：2n﹣1，C对；
若a1＝﹣1，则数列{an}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，故an＝﹣2n﹣1，故数列{an}单调递减，D对．
故选：ACD．
【点评】本题考查了数列的递推关系式的应用，考查等比数列的性质，考查了计算能力与推理能力，属于基础题．
（多选）14．如图所示，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则（　　）
A．第n个圆的面积为
B．这n个圆的半径成公比为的等比数列
C．第一个圆的面积为
D．前n个圆的面积和为（1）π
【答案】ABD
【分析】根据题中图形，可知内切圆的半径构成首项为，公比为的等比数列，面积构成首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的求和公式计算可得前n个圆的面积和．
【解答】解：根据题意，第一个内切圆的半径为3，面积为，
第二个内切圆的半径为，面积为，
第三个内切圆的半径为，面积为，
..．
这些内切圆的半径构成首项为，公比为的等比数列，
面积构成首项为，公比为的等比数列，
所以第n个圆的面积为，
前n个圆的面积和为（1）π．
故选：ABD．
【点评】本题考查等比数列的判断，等比数列的求和公式，从实际问题中抽象出等比数列是解决问题的关键，属中档题．
（多选）15．已知数列{an}，{bn}，{cn}满足bn＝1+a1+a2+…+an，cn＝2+b1+b2+…+bn若数列{an}，{cn}均为等比数列，则（　　）
A．an＝2n B．数列{an}的公比为2
C．cn＝2n+1 D．数列{bn}也是等比数列
【答案】BCD
【分析】设数列{an}的公比为q，易知q≠1，根据数列{an}，{cn}均为等比数列，结合等比数列的前n项和公式，可得bn与cn，再根据等比数列的通项公式，可得，求得a1与q的值，进一步得到an，bn和cn，再对选项作出判断．
【解答】解：设数列{an}的公比为q，易知q≠1，
所以，
所以，
又因为数列{cn}为等比数列，
所以，解得，
所以．
故选：BCD．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式以及前n项和公式，属于基础题．
四、解答题
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝5，．数列{bn}满足．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的通项公式及Sn．
【答案】（1）bn；（2）an＝3n﹣1，n∈N*，Snn（3n+1）．
【分析】（1）由数列的递推式求得a1＝2，再由数列的通项与求和的关系，以及数列恒等式可得所求an，进而得到所求bn；
（2）由等差数列的通项公式和求和公式，可得所求．
【解答】解：（1）由a2＝5，，可得a1﹣1a1，解得a1＝2，
由2Sn＝2n+nan，可得2an＝2Sn﹣2Sn﹣1＝2n+nan﹣2（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1，
化为（n﹣2）an﹣（n﹣1）an﹣1＝﹣2，当n≥3时，可得2（），
则a2+（a2）+（）+...+（）＝5﹣2（1...）＝5﹣2（1），
则an＝3n﹣1，对n＝1，n＝2也成立，
则；
（2）由（1）可得an＝3n﹣1，n∈N*，Snn（2+3n﹣1）n（3n+1）．
【点评】本题考查数列的递推式和数列的恒等式，以及等差数列的通项公式与求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17．公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
（1）求q；
（2）若a3﹣a1，求Sn．
【答案】（1）q；（2）Sn．
【分析】（1）由等比数列的前n项和及等差数列的性质列式求得q；
（2）由已知求得首项，再由等比数列的前n项和公式求Sn．
【解答】解：（1）由S1，S3，S2成等差数列，
得2S3＝S1+S2，即，
∵a1≠0，∴q；
（2）由q，a3﹣a1，得，得a1＝1．
∴．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查等比数列的前n项和，考查运算求解能力，是中档题．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1．
（1）若数列{an}为等差数列，S10＝100，求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}为等比数列，，求满足Sn＞100an时，正整数n的最小值．
【答案】（1）an＝2n﹣1；
（2）n的最小值为7．
【分析】（1）根据a1＝1、S10＝100，利用等差数列的前n项和公式算出公差d，进而可得{an}的通项公式；
（2）求出等比数列{an}的公比q，求出Sn和an的关表达式，将Sn＞100an化简为关于n的不等式，进而求得n的最小值．
【解答】解：（1）根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
又由a1＝1，S10＝100，
则，
又a1＝1，则，解得d＝2，
所以an＝2n﹣1；
（2）根据题意，设{an}的公比为q，
a1＝1，，
则，解可得，
则，而，
若Sn＞100an，则有，
化简得2n＞101，
又由n≥1且n∈Z，
则有n≥7，
n的最小值为7．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式、利用公式法求数列的前n项和、数列与不等式的综合等知识，属于中档题．
19．在等比数列{an}中，an＞0，a1+a2，a3﹣a2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log4an，求数列{bn} 的前n项和Sn，
（3）在（2）的条件下，当最小时，求n的值．
【答案】（1）an＝22n﹣12；（2）Sn（n2﹣11n）；（3）n＝10或n＝11．
【分析】（1）由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求；
（2）由对数的运算性质和等差数列的求和公式，计算可得所求和；
（3）求得（n﹣11），由等差数列的求和公式和二次函数的最值求法，结合数列的特点，可得所求值．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，q＞0，
由a1+a2，a3﹣a2，可得a1+a1q，a1q（q﹣1），
解得q＝4，a1，
则an4n﹣1＝22n﹣12；
（2）bn＝log4an＝log422n﹣12＝n﹣6，
数列{bn} 的前n项和Sn＝﹣5nn（n﹣1）×1（n2﹣11n）；
（3）由（2）可得（n﹣11），
则（﹣10﹣9+...+n﹣11）n（n﹣21）[（n）2]，
当n＝10或n＝11时，取得最小值﹣55．
【点评】本题考查等比数列和等差数列的通项公式、求和公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn为数列的前n项和，求Tn．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设公差为d，利用S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列，建立方程，即可求得首项与公差，从而可得数列{an}的通项公式；
（2）利用裂项法，可求数列的前n项和．
【解答】解：（1）设公差为d，则
∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列
∴4a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d）
∵d≠0，∴d＝1，a1＝2，
∴an＝n+1
（2）
∴Tn．
【点评】本题考查等差数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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