第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第二章 一元二次函数、方程和不等式
一、选择题
1．设集合A＝{﹣2，2，4，6}，B＝{x|x2+x﹣12＜0}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣2，2） B．{﹣2，0，2} C．{2，4} D．{﹣2，2}
2．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0，x∈Z}，B＝{﹣1，1，2，3}，则下列判断正确的是（　　）
A．﹣2∈A B．A B
C．A∩B＝{﹣1，1，2} D．A∪B＝{﹣1，1，2}
3．若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a2＞b2 B． C．a﹣1＞b﹣2 D．a+b＞2
4．当0＜x＜1时，的最小值为（　　）
A．0 B．9 C． D．10
5．设a，b∈R，则“a＞b＞1”是“a﹣b＜a2﹣b2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．若命题“2x2﹣3x+1＜0”是命题“x＞a”的充分不必要条件，则a的取值范围是（　　）
A．a≥1 B． C． D．a≤1
7．已知a＞0，b＞0，若a+4b＝4ab，则a+b的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．
8．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y≥m2+2m恒成立，则实数m的最小值是（　　）
A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣2
二、多选题
（多选）9．已知函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+a，若对于区间[﹣1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范围可以是（　　）
A．（﹣∞，0] B．[0，3] C．[﹣1，2] D．[3，+∞）
（多选）10．已知集合A＝{x∈R|x2﹣3x﹣18＜0}，B＝{x∈R|x2+ax+a2﹣27＜0}，则下列命题中正确的是（　　）
A．若A＝B，则a＝﹣3
B．若A B，则a＝﹣3
C．若B＝ ，则a≤﹣6或a≥6
D．若a＝3，则A∩B＝{x|﹣3＜x＜6}
（多选）11．下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b＞0，m＞0，则
B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＞b＞0，则
D．若a，b∈R，则
（多选）12．设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是（　　）
A．a2+1＞a B．a2+9＞6a
C．（a+b）（）≥4 D．（a）（b）≥4
三、填空题
13．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．问人数、豕价各几何？”．其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”．设x，y分别为人数、猪价，则x＝　 　 ，y＝　 　 ．
14．不等式4的解集是　 　 ．
15．当a∈[0，2]时，不等式恒成立，则x的取值范围为 　 　 ．
16．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则的最大值是 　 　 ．
四、解答题
17．某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽分别为多少？
18．已知方程ax2﹣3x+2＝0的解为1、b．
（1）求a、b的值．
（2）求的最小值．
19．（1）若x＞0，求函数的最小值，并求此时x的值；
（2）已知a，b∈（0，+∞），比较与a+b的大小．
20．已知关于x，y的方程组的解都为正数．
（1）当a＝2时，解此方程组；
（2）求a的取值范围；
（3）已知a+b＝4，且b＞0，z＝2a﹣3b，求z的取值范围．
21．解下列不等式：
（1）﹣x2+4x﹣4＜0；
（2）x2+（a﹣1）x﹣a＞0．
22．设集合A＝{x|x2﹣ax+5＞0}，B＝{x|2＜x＜5}．
（Ⅰ）若集合A＝R，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
参考答案与试题解析
一、选择题
1．设集合A＝{﹣2，2，4，6}，B＝{x|x2+x﹣12＜0}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣2，2） B．{﹣2，0，2} C．{2，4} D．{﹣2，2}
【答案】D
【分析】首先化简B＝{x|﹣4＜x＜3}，再求A∩B即可；
【解答】解：B＝{x|x2+x﹣12＜0}＝{x|﹣4＜x＜3}，
又∵A＝{﹣2，2，4，6}，
∴A∩B＝{﹣2，2}，
故选：D．
【点评】本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．
2．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0，x∈Z}，B＝{﹣1，1，2，3}，则下列判断正确的是（　　）
A．﹣2∈A B．A B
C．A∩B＝{﹣1，1，2} D．A∪B＝{﹣1，1，2}
【答案】C
【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0，x∈Z}＝{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2}，
B＝{﹣1，1，2，3}，
∴A∩B＝{﹣1，1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a2＞b2 B． C．a﹣1＞b﹣2 D．a+b＞2
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合不等式的可加性和特殊值代入法，即可求解．
【解答】解：令a＝1，b＝﹣2，a＞b，但a2＜b2，故A选项错误，
令a＝2，b＝1，a＞b，但，故B选项错误，
∵a＞b，﹣1＞﹣2，由不等式的可加性，可得a﹣1＞b﹣2，故C选项正确，
令a＝﹣2，b＝﹣3，a＞b，但a+b＞2不成立．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握特殊值代入法是解本题的关键，属于基础题．
4．当0＜x＜1时，的最小值为（　　）
A．0 B．9 C． D．10
【答案】B
【分析】由0＜x＜1可得1﹣x＞0，所以（）（1﹣x+x）＝55+2，再进一步分析即可得出的最小值．
【解答】解：由0＜x＜1，得1﹣x＞0，所以（）（1﹣x+x）＝55+29，
当且仅当，即x时等号成立，所以的最小值为9．
故选：B．
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
5．设a，b∈R，则“a＞b＞1”是“a﹣b＜a2﹣b2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：设命题p：a＞b＞1；则a﹣b＞0，
命题q：a﹣b＜a2﹣b2化简得
（a﹣b）＜（a+b）（a﹣b），
又∵a，b∈R，
∴p q，q推不出p，
∴P是q的充分不必要条件，
即“a＞b＞1”是“a﹣b＜a2﹣b2”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题重点考查充分条件、必要条件和充要条件的概念及其应用，属于中档题
6．若命题“2x2﹣3x+1＜0”是命题“x＞a”的充分不必要条件，则a的取值范围是（　　）
A．a≥1 B． C． D．a≤1
【答案】C
【分析】求解一元二次不等式，结合命题“2x2﹣3x+1＜0”是命题“x＞a”的充分不必要条件，转化为两集合间的关系求解．
【解答】解：由2x2﹣3x+1＜0，得x＜1，
∵命题“2x2﹣3x+1＜0”是命题“x＞a”的充分不必要条件，
∴（，1） （a，+∞），则a，
故选：C．
【点评】本题考查充分必要条件的判定及应用，考查一元二次不等式的解法，考查化归与转化思想，是基础题．
7．已知a＞0，b＞0，若a+4b＝4ab，则a+b的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】由a+4b＝4ab可得1，所以a+b＝（）（a+b），从而结合a＞0，b＞0即可利用基本不等式进行求解．
【解答】解：由a+4b＝4ab，得1，又a＞0，b＞0，
所以a+b＝（）（a+b）2，当且仅当，即a，b时等号成立，
所以a+b的最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
8．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y≥m2+2m恒成立，则实数m的最小值是（　　）
A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣2
【答案】B
【分析】直接利用基本不等式和函数的恒成立问题的应用求出参数m的取值范围，进一步求出m的最小值．
【解答】解：已知x＞0，y＞0，且，若x+2y，当且仅当x＝2y时等号成立；
即x+2y≥m2+2m恒成立，
只需8≥m2+2m恒成立，
解得﹣4≤m≤2．
故m的最小值为﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：基本不等式的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
二、多选题
（多选）9．已知函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+a，若对于区间[﹣1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范围可以是（　　）
A．（﹣∞，0] B．[0，3] C．[﹣1，2] D．[3，+∞）
【答案】AD
【分析】求出二次函数的对称轴，利用已知条件，说明区间是单调区间，列出不等式求解即可．
【解答】解：二次函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+a图象的对称轴为直线x＝a﹣1，
∵任意x1，x2∈[﹣1，2]且x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2），
即f（x）在区间[﹣1，2]上是单调函数，∴a﹣1≤﹣1或a﹣1≥2，
∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪[3，+∞）．
故选：AD．
【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
（多选）10．已知集合A＝{x∈R|x2﹣3x﹣18＜0}，B＝{x∈R|x2+ax+a2﹣27＜0}，则下列命题中正确的是（　　）
A．若A＝B，则a＝﹣3
B．若A B，则a＝﹣3
C．若B＝ ，则a≤﹣6或a≥6
D．若a＝3，则A∩B＝{x|﹣3＜x＜6}
【答案】ABC
【分析】由已知求出集合A，再根据各选项的条件求解即可．
【解答】解：由已知可得A＝{x|﹣3＜x＜6}，
若A＝B，则a＝﹣3，且a2﹣27＝﹣18，解得a＝﹣3，故A正确；
若A B，则（﹣3）2+a （﹣3）+a2﹣27≤0且62+6a+a2﹣27≤0，解得a＝﹣3，故B正确；
当B＝ 时，a2﹣4（a2﹣27）≤0，解得a≤﹣6或a≥6，故C正确；
当a＝3时，B＝{x|﹣6＜x＜3}，则A∩B＝{x|﹣3＜x＜3}，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了集合间的包含关系，一元二次不等式的解法，属于基础题．
（多选）11．下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b＞0，m＞0，则
B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＞b＞0，则
D．若a，b∈R，则
【答案】AC
【分析】通过作差法判断A，通过举实例判断BD，由不等式的性质判断C．
【解答】解：A：∵，
∵a＞b＞0，m＞0，∴0，∴，∴A正确，
B：当a＞b，c＝0时，ac2＝bc2，∴B错误，
C：若a＞b＞0，则0，∴ab，∴C正确，
D：当a＝﹣2，b＝﹣8时，a+b＝﹣10，ab＝16，∴错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
（多选）12．设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是（　　）
A．a2+1＞a B．a2+9＞6a
C．（a+b）（）≥4 D．（a）（b）≥4
【答案】ACD
【分析】设a＞0，b＞0，a2+1﹣a＝（a）20，A成立，a2+9﹣6a＝（a﹣3）2≥0，B不成立，（a+b）（1+1）2＝4，故C成立，a2，，故D成立．
【解答】解：设a＞0，b＞0，
a2+1﹣a＝（a）20，A成立，
a2+9﹣6a＝（a﹣3）2≥0（当a＝3时，取得等号），B不成立
（a+b）（1+1）2＝4（当且仅当a＝b时，取得等号），故C成立，
a2（当且仅当a＝1时，取得等号），（当且仅当b＝1时，取得等号），故D成立，
故选：ACD．
【点评】考查不等式比较大小，用了作差法、柯西不等式，基本不等式，基础题．
三、填空题
13．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．问人数、豕价各几何？”．其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”．设x，y分别为人数、猪价，则x＝　10　 ，y＝　900　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先阅读题意，再列方程组，解得：，得解．
【解答】解：由题意可列方程组，
解得：，
故答案为：10 900．
【点评】本题考查了阅读能力及解方程组的知识点，属简单题．
14．不等式4的解集是　（2，12]　 ．
【答案】（2，12]．
【分析】不等式即 0，即 ，由此求得它的解集．
【解答】解：不等式4，即 0，即 0，∴，
求得2＜x≤12，
故答案为：（2，12]．
【点评】本题主要考查分式不等式的解法，属于中档题．
15．当a∈[0，2]时，不等式恒成立，则x的取值范围为 　（﹣2，﹣1）　 ．
【答案】（﹣2，﹣1）．
【分析】将不等式进行变形，构造函数f（a），则转化为f（a）＜0对于a∈[0，2]恒成立，列出不等式组，求解即可．
【解答】解：因为a∈[0，2]时，不等式恒成立，
令f（a），
则不等式可转化为f（a）＜0对于a∈[0，2]恒成立，
则，解得﹣2＜x＜﹣1，
所以x的取值范围为（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查了不等式恒成立问题，一次函数性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
16．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则的最大值是 　　 ．
【答案】．
【分析】由a＞0，b＞0，且a+b＝1，可知0＜a＜1，把转化为关于a的函数可求得其最大值．
【解答】解：由a＞0，b＞0，且a+b＝1，可知0＜a＜1且b＝1﹣a，
则，
∵a∈（0，1），∴3a2﹣4a+2＝3（a）2∈[，2），
∴的最大值．
故答案为：．
【点评】本题考查不等式、二次函数的性质，考查运算能力，属于基础题．
四、解答题
17．某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽分别为多少？
【答案】宽为16 m，长为32 m．
【分析】先求出L＝2x（x＞0），再利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：设场地一边长为x m，则另一边长m．
因此新墙总长度L＝2x（x＞0），
∵2x264，
当且仅当2x，即x＝16时取等号，
∴当x＝16时，函数取得最小值．∵x＝16，32，
故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省．
【点评】本题考查了利用基本不等式的性质，解决实际问题，属于基础题．
18．已知方程ax2﹣3x+2＝0的解为1、b．
（1）求a、b的值．
（2）求的最小值．
【答案】（1）a＝1，b＝2；
（2）12．
【分析】（1）由x＝1代入可得a，b的值；
（2）利用基本不等式即可求解的最小值．
【解答】解：（1）方程ax2﹣3x+2＝0的解为1、b．
即x＝1时，可得a﹣3+2＝0，可得a＝1，
那么方程x2﹣3x+2＝0的解为1和2，
可得b＝2，
（2）由4x，当且仅当x时，取等号．
∴的最小值为12．
【点评】本题考查一元二次方程的计算和基本不等式的应用，属于基础题．
19．（1）若x＞0，求函数的最小值，并求此时x的值；
（2）已知a，b∈（0，+∞），比较与a+b的大小．
【答案】（1）y＝x的最小值为4，且此时x＝2．
（2）当a＝b时，（a+b）；当a≠b时，（a+b）．
【分析】（1）直接利用基本不等式即可求解；
（2）按照a＝b，a≠b分类，结合作差法即可求解．
【解答】解：（1）由x＞0，得y＝x24，当且仅当x，即x＝2时等号成立，
所以函数y＝x的最小值为4，且此时x＝2．
（2）根据题意，（a+b），
由a，b∈（0，+∞），得a+b＞0，ab＞0，
所以当a＝b时，（a+b）＝0，（a+b）；当a≠b时，（a+b）＞0，（a+b）．
【点评】本题考查基本不等式的运用及作差法，考查学生的逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题．
20．已知关于x，y的方程组的解都为正数．
（1）当a＝2时，解此方程组；
（2）求a的取值范围；
（3）已知a+b＝4，且b＞0，z＝2a﹣3b，求z的取值范围．
【答案】（1）方程组的解为；
（2）a的取值范围是（1，+∞）；
（3）z∈（﹣7，8）．
【分析】（1）直接利用加减消元法求解；
（2）求解方程组，再由x，y均为正数列关于a的不等式组求解；
（3）由已知得b＝4﹣a＞0，得到1＜a＜4，代入z＝2a﹣3b，结合a的范围得答案．
【解答】解：（1）当a＝2时，方程组化为，
①×2+2得，7x＝7，即x＝1，代入①，得y＝4．
∴方程组的解为；
（2）求解用方程组，可得，
由题意得，解得a＞1，即a的取值范围是（1，+∞）；
（3）∵a+b＝4，且b＞0，∴b＝4﹣a＞0，即1＜a＜4．
∴z＝2a﹣3b＝2a﹣3（4﹣a）＝5a﹣12，
∵1＜a＜4，∴z∈（﹣7，8）．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查二元一次方程组的解法，是基础题．
21．解下列不等式：
（1）﹣x2+4x﹣4＜0；
（2）x2+（a﹣1）x﹣a＞0．
【答案】（1）{x|x≠2}；
（2）当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞1}；
当a＝﹣1时，不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞﹣a}．
【分析】（1）先将不等式进行变形，然后由一元二次不等式的解法求解即可；
（2）先将不等式进行变形，然后分a＞﹣1，a＝﹣1，a＜﹣1三种情况，由一元二次不等式的解法求解即可．
【解答】解：（1）不等式﹣x2+4x﹣4＜0可变形为x2﹣4x+4＞0，即（x﹣2）2＞0，解得x≠2，
所以不等式的解集为{x|x≠2}；
（2）不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0可变形为（x﹣1）（x+a）＞0，
当a＞﹣1时，解得x＜﹣a或x＞1，
当a＝﹣1时，解得x≠1，
当a＜﹣1时，解得x＜1或x＞﹣a．
综上所述，当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞1}；
当a＝﹣1时，不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞﹣a}．
【点评】本题考查了一元二次不等式解法的应用，解题的关键是将一元二次不等式进行变形，确定对应方程的根，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
22．设集合A＝{x|x2﹣ax+5＞0}，B＝{x|2＜x＜5}．
（Ⅰ）若集合A＝R，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）﹣2a．
（Ⅱ）a．
【分析】（Ⅰ）利用一元二次不等式的性质即可求解．
（Ⅱ）利用子集，再分离参数，利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵A＝{x|x2﹣ax+5＞0}＝R，∴Δ＝a2﹣20＜0，∴﹣2a，
（Ⅱ）∵x∈A是x∈B的必要条件，∴B A，
∵x2﹣ax+5＞0，∴a＜（x）min，x∈（2，5），
∵x2，当且仅当x，即x时取等号，
∴（x）min＝2，∴a．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，充分必要条件的应用，属于中档题．
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