第三章 函数的概念与性质（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第三章 函数的概念与性质
一、单选题
1．设，则f（3）的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知函数y＝f（﹣2x+1）定义域是[﹣1，3]，则y＝f（x﹣1）的定义域是（　　）
A．[﹣2，0] B．[0，2] C．[﹣5，3] D．[﹣4，4]
3．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2+2x，若f（3﹣a）＞f（a+1），则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0）∪（1，+∞） B．[0，1）
C．（0，1） D．（﹣∞，1）
5．已知，则f（x）的解析式为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数f（x），则（　　）
A． B． C． D．
7．已知定义在R上的奇函数f（x）在满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且区间[0，2]上单调递增，则（　　）
A．f（﹣1）＜f（3）＜f（4） B．f（4）＜f（3）＜f（﹣1）
C．f（3）＜f（4）＜f（﹣1） D．f（﹣1）＜f（4）＜f（3）
8．已知函数的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，2]
C．[﹣2，﹣1]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
二、多选题
（多选）9．下列各组函数不能表示同一个函数的是（　　）
A．f（x）与g（x）＝x
B．f（x）＝x与g（x）
C．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1
D．f（x） 与g（x）
（多选）10．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x+3，则下列结论正确的是（　　）
A．|f（x）|≥2
B．当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x﹣3
C．x＝1是f（x）图象的一条对称轴
D．f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增
（多选）11．下列关于函数的说法中正确的是（　　）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）在（0，+∞）上单调递减
C．不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D．不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）
（多选）12．对于定义域为D的函数y＝f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b] D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f（x）（x∈D）称为闭函数．下列结论正确的是（　　）
A．函数y＝x是闭函数
B．函数y＝x2+1是闭函数
C．函数y＝﹣x2（x≤0）是闭函数
D．函数f（x），（x＞﹣1）是闭函数
三、填空题
13．函数y的定义域为　 　 ．
14．若f（x）为偶函数，且当x≤0时，f（x）＝2x﹣1，则不等式f（x）＞f（2x﹣1）的解集　 　 ．
15．设函数f（x），则函数f（x﹣1）﹣f2（x）的最大值为 　 　 ．
16．已知函数f（x）若实数a满足f（a）＝f（a﹣1），则f（）＝　 　 ．
四、解答题
17．已知幂函数f（x）（m∈N*），经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（2t）＜0．
19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[t，t+1]（t≥0）上的最小值g（t）．
20．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆）需另投入成本y（万元），且y．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
（1）求出2020年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）
（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
21．已知函数f（x）＝x2﹣a|x﹣1|﹣1，a∈R．
（1）当a＝5时，求函数f（x）的值域；
（2） x0∈[0，3]，f（x0）≥a|x0+1|，求实数a的取值范围．
22．定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，满足f（3）＝6，且f（x+y）＝f（x）+f（y）（x，y∈R）．
（1）求f（0），f（1）；
（2）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＜0成立，求实数k的取值范围．
第三章 函数的概念与性质
参考答案与试题解析
一、单选题
1．设，则f（3）的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据分段函数的解析式，一步步进行转化即可．
【解答】解：∵，
∴f（3）＝f[f（6）]＝f（4）＝f[f（7）]＝f（5）＝5﹣2＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
2．已知函数y＝f（﹣2x+1）定义域是[﹣1，3]，则y＝f（x﹣1）的定义域是（　　）
A．[﹣2，0] B．[0，2] C．[﹣5，3] D．[﹣4，4]
【答案】D
【分析】根据函数y＝f（﹣2x+1）的定义域求出f（x）的定义域，再求y＝f（x﹣1）的定义域．
【解答】解：函数y＝f（﹣2x+1）定义域是[﹣1，3]，
所以x∈[﹣1，3]，
所以﹣2x+1∈[﹣5，3]，
即函数f（x）的定义域是[﹣5，3]．
令﹣5≤x﹣1≤3，解得﹣4≤x≤4，
所以y＝f（x﹣1）的定义域是[﹣4，4]．
故选：D．
【点评】本题考查了抽象函数的定义域计算问题，是基础题．
3．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过图象可看出：f（x）为奇函数，定义域为{x|x≠0}，并且在（0，+∞）上单调递增，从而判断每个选项的函数奇偶性，定义域和单调性即可．
【解答】解：由图象可知：f（x）为奇函数，定义域为{x|x≠0}，在（0，+∞）上单调递增，
和都是偶函数，排除A，B；在（0，+∞）单调递减，排除C；为奇函数，定义域为{x|x≠0}，并且在（0，+∞）上单调递增．
故选：D．
【点评】本题考查了奇函数图象的对称性，反比例函数和y＝x3的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
4．已知f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2+2x，若f（3﹣a）＞f（a+1），则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0）∪（1，+∞） B．[0，1）
C．（0，1） D．（﹣∞，1）
【答案】B
【分析】根据题意，由函数的奇偶性与解析式可得f（x）在区间[﹣3，3]上为增函数，则原不等式等价于，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
则f（x）在区间[0，3]上为增函数，
f（x）为奇函数，则f（x）在区间[﹣3，3]上为增函数，
若f（3﹣a）＞f（a+1），则有，
解可得：0≤a＜1，即a的取值为[0，1），
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，注意函数的定义域，属于基础题．
5．已知，则f（x）的解析式为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令t，则x，然后代入已知解析式即可求解．
【解答】解：令t，则x，
因为，
所以f（t），（t≠﹣1），
则f（x）（x≠﹣1）．
故选：C．
【点评】本题考查了函数解析式的求法，利用了换元法，属于基础题．
6．已知函数f（x），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（1）的值以及f（）的表达式，计算可得f（x）+f（）＝1，据此可得f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+……+[f（2020）+f（）]，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x），则f（），同时f（1）
则f（x）+f（）1，
则f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+……+[f（2020）+f（）]
2019＝2019，
故选：C．
【点评】本题考查函数值的计算，注意分析计算f（x）+f（）的值，属于基础题．
7．已知定义在R上的奇函数f（x）在满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且区间[0，2]上单调递增，则（　　）
A．f（﹣1）＜f（3）＜f（4） B．f（4）＜f（3）＜f（﹣1）
C．f（3）＜f（4）＜f（﹣1） D．f（﹣1）＜f（4）＜f（3）
【答案】D
【分析】由题意可得，函数的周期为8，f（x﹣4）＝f（﹣x），f（0）＝0，函数在区间[﹣2，2]上单调递增．
再根据f（4）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（3﹣4）＝f（1），可得（﹣1）＜f（0）＜f（1），从而得出结论．
【解答】解：由f（x﹣4）＝﹣f（x），可得f（x﹣8）＝f（x），故函数的周期为8．
再由函数为奇函数，可得f（x﹣4）＝f（﹣x）．
再根据f（x）区间[0，2]上单调递增，可得f（x）区间[﹣2，0]上单调递增，
又f（0）＝0，故函数在区间[﹣2，2]上单调递增．
∴f（4）＝﹣f（4﹣4）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（3﹣4）＝﹣f（﹣1）＝f（1），
利用函数在区间[﹣2，2]上单调递增可得f（﹣1）＜f（0）＜f（1），
即f（﹣1）＜f（4）＜f（3），
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题．
8．已知函数的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，2]
C．[﹣2，﹣1]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
【答案】C
【分析】m＝﹣2，则y＝（m+2）x2+2mx+1为一次函数，符合题意；
m≠﹣2，y＝（m+2）x2+2mx+1为二次函数，需要开口向上，且与x轴有交点，用判别式求解m的范围即可．
【解答】解：要使函数的值域是[0，+∞），则y＝（m+2）x2+2mx+1的最小值≥0，
当m＝﹣2时，，符合题意；
当m≠﹣2时，要使函数的值域是[0，+∞），
则y＝（m+2）x2+2mx+1为二次函数，开口向上，且与x轴有交点，
∴m+2≥0，且Δ＝4m2﹣4（m+2）≥0，
∴﹣2＜m≤﹣1或m≥2；
综上可知﹣2≤m≤﹣1或m≥2，
故选：C．
【点评】本题需要对m＝﹣2和m≠﹣2进行分类讨论，当m≠﹣2时结合利用二次函数的根的存在性判断即可，属于基础题．
二、多选题
（多选）9．下列各组函数不能表示同一个函数的是（　　）
A．f（x）与g（x）＝x
B．f（x）＝x与g（x）
C．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1
D．f（x） 与g（x）
【答案】ABD
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，可判断这两个函数是同一个函数，否则不是同一个函数．
【解答】解：对于A，f（x）x（x≤0），g（x）＝x（x≤0）；两函数的对应关系不同，不是同一个函数；
对于B，f（x）＝x（x∈R），g（x）x（x≠0）；两函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于C，f（x）＝x2﹣2x﹣1（x∈R），g（t）＝t2﹣2t﹣1（t∈R）；两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于D，f（x） （x≥1），g（x）（x≤﹣1或x≥1）；两函数的定义域不同，不是同一个函数；
故选：ABD．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一个函数的应用问题，是基础题．
（多选）10．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x+3，则下列结论正确的是（　　）
A．|f（x）|≥2
B．当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x﹣3
C．x＝1是f（x）图象的一条对称轴
D．f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增
【答案】ABD
【分析】当x＜0时，﹣x＞0，代入f（x）的解析式中，并利用f（x）为奇函数，可求出x＜0时，f（x）的解析式，再画出函数f（x）的简图即可得解．
【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）+3＝x2+2x+3，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2+2x+3）＝﹣x2﹣2x﹣3，即B正确；
函数f（x）的简图如下，
由图可知，
|f（x）|≥2，即A正确；
x＝1不是f（x）图象的对称轴，即C错误；
f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，即D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查利用奇偶性求函数的解析式，还涉及分段函数、二次函数的图象与性质，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
（多选）11．下列关于函数的说法中正确的是（　　）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）在（0，+∞）上单调递减
C．不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D．不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）
【答案】BC
【分析】根据题意，先分析函数的定义域，判断出奇偶性，再分离常数，得到单调性，求出小于0对应的不等式的解集，根据奇偶性即可判断CD．
【解答】解：由题意函数的定义域为R，
且，f（x）为偶函数，选项A错误．
当x＞0时，为单调递减函数，选项B正确．
当x＞0时，的解集为（1，+∞），
由偶函数的对称性可知不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），选项C正确，选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查函数单调性以及奇偶性的判断，涉及到不等式的求解，注意分析函数定义域，属于基础题
（多选）12．对于定义域为D的函数y＝f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b] D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f（x）（x∈D）称为闭函数．下列结论正确的是（　　）
A．函数y＝x是闭函数
B．函数y＝x2+1是闭函数
C．函数y＝﹣x2（x≤0）是闭函数
D．函数f（x），（x＞﹣1）是闭函数
【答案】AC
【分析】对于A，函数是在R上单调递增的一次函数，对于B，函数在R上不单调，所以错误，对于C，函数是在（﹣∞，0]上单调递增的函数，再根据新定义求区间，对于D，函数是单调递减函数，再根据新定义求区间是否存在即可．
【解答】解：选项A：因为y＝x是R上的单调递增的一次函数，且在R上任意子区间都满足新定义，所以A正确；
选项B：若函数是闭函数，则可设x∈[a，b]，y∈[a，b]，假设函数递增，则，显然无解，
若递减，则，解得a＝b显然不成立，所以B错误；
选项C：函数是开口向下的二次函数，且在区间（﹣∞，0]上是单调递增的函数，令f（x）＝﹣x2，
若是闭函数，则一定有，即，解得满足新定义的闭区间是[﹣1，0]，此时a＝﹣1，b＝0，所以C正确；
选项D：函数在（﹣1，+∞）上单调递增，若满足新定义则有，即，，解得a＝b＝0，又a＜b，所以不存在区间满足新定义，所以D错误，
故选：AC．
【点评】本题考查了函数的单调性以及闭区间求值域问题，考查了学生对新定义的理解能力，属于基础题．
三、填空题
13．函数y的定义域为　　 ．
【答案】（﹣1，）．
【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
1﹣x﹣2x2＞0，解得：﹣1＜x，
故函数的定义域是（﹣1，），
故答案为：（﹣1，）．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
14．若f（x）为偶函数，且当x≤0时，f（x）＝2x﹣1，则不等式f（x）＞f（2x﹣1）的解集　{x|x＞1或x}　 ．
【答案】{x|x＞1或x}
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：因为f（x）为偶函数，且当x≤0时，f（x）＝2x﹣1单调递增，
根据偶函数的对称性可知，当x＞0时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，
则由不等式f（x）＞f（2x﹣1）可得|x|＜|2x﹣1|，
两边平方可得，x2＜4x2﹣4x+1，
整理可得，（3x﹣1）（x﹣1）＞0，
解可得，x＞1或x．
故答案为：{x|x＞1或x}
【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
15．设函数f（x），则函数f（x﹣1）﹣f2（x）的最大值为 　　 ．
【答案】．
【分析】由已知可得函数f（x﹣1）﹣f2（x）的解析式，再由换元法与配方法求最值．
【解答】解：∵f（x），∴f（x﹣1）﹣f2（x）x，
令t（t≥0），则x＝1+t2，
故y＝﹣t2+t﹣1，
∴当t时，函数取得最大值，
故答案为：．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用换元法与配方法求最值，是基础题．
16．已知函数f（x）若实数a满足f（a）＝f（a﹣1），则f（）＝　8　 ．
【答案】8．
【分析】分析可得函数f（x）在（﹣1，0）和区间[0，+∞）上都是增函数，进而分析可得若实数a满足f（a）＝f（a﹣1），必有a＞0，且有2a，解可得a的值，结合解析式求出f（）的值即可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）其定义域为（﹣1，+∞），
则函数f（x）在（﹣1，0）和区间[0，+∞）上都是增函数，
当a≥1时，有2a＝2（a﹣1），无解；
当﹣1＜a＜0时，无解；
若实数a满足f（a）＝f（a﹣1），必有﹣1＜a﹣1＜0且1＞a＞0，且有2a，
解可得a，则f（）＝f（4）＝8，
故f（）＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查分段函数的应用，注意分段函数解析式的形式，要分段进行分析，属于基础题．
四、解答题
17．已知幂函数f（x）（m∈N*），经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据幂函数的定义求出m的值，再根据幂函数的单调性得到不等式组，解得即可．
【解答】解：∵幂函数f（x）经过点（2，），
∴，
即
∴m2+m＝2．解得m＝1或m＝﹣2．
又∵m∈N*，∴m＝1．
∴f（x），则函数的定义域为[0，+∞），并且在定义域上为增函数．
由f（2﹣a）＞f（a﹣1）得解得1≤a．
∴a的取值范围为[1，）．
【点评】本题主要考查了幂函数的性质，以及不等式组的解法，属于基础题．
18．已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（2t）＜0．
【答案】（1）f（x）．
（2）详见解答过程；
（3）t∈[0，）．
【分析】（1）由已知结合奇函数的性质可得f（0）＝0，然后结合f（），代入可求a，b，进而可求函数解析式；
（2）先设﹣1≤x1＜x2≤1，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可比较，即可判断；
（3）结合单调性及奇偶性即可解不等式．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）是定义在[﹣1，1]的奇函数，
则f（0）＝b＝0，则b＝0，
若b＝0，则f（x），有f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，符合题意，故b＝0，
又由f（），解得a＝2，
故f（x）．
（2）函数在[﹣1，1]上为增函数，证明如下：
设﹣1≤x1＜x2≤1，则f（x1）﹣f（x2）＝2（）2，
因为﹣1≤x1＜x2≤1，
所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，0，10，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
故函数f（x）在[﹣1，1]上为增函数，
（3）因为函数f（x）在[﹣1，1]上为奇函数，所以f（t﹣1）＜﹣f（2t） f（t﹣1）＜f（﹣2t），
结合函数f（x）在[﹣1，1]上为增函数，故有，解得t∈[0，）．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，还考查了利用奇偶性及单调性解不等式，属于中档题．
19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[t，t+1]（t≥0）上的最小值g（t）．
【答案】g（t）．
【分析】（1）由已知偶函数定义结合已知区间上函数解析式即可求解；
（2）由已知函数，结合对称轴与已知区间的位置关系，分类讨论可求．
【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，
因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x+1，
所以f（x）＝f（﹣x）＝（﹣x）2+4x+1＝x2+4x+1，
所以f（x），
（2）在[t，t+1]（t≥0）上，f（x）＝x2﹣4x+1，开口向上，对称轴x＝2，
当t+1≤2即t≤1时，函数的最小值g（t）＝f（t+1）＝t2﹣2t﹣2，
当t≥2时，函数的最小值g（t）＝f（t）＝t2﹣4t+1，
当1＜t＜2时，函数的最小值g（t）＝f（2）＝﹣3，
故g（t）．
【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数解析式，及二次函数闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于基础试题．
20．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆）需另投入成本y（万元），且y．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
（1）求出2020年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）
（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分0＜x＜40和x≥40两种情况得到利润S（万元）关于年产量x（百辆）的分段函数关系式；
（2）当0＜x＜40时利用二次函数的性质求出S的最大值，当x≥40时，利用基本不等式求S的最大值，最后再比较即可．
【解答】解：（1）当0＜x＜40时，S（x）＝500x﹣10x2﹣100x﹣3000＝﹣10x2+400x﹣3000，
当x≥40时，S（x）＝500x﹣501x4500﹣3000，
∴S（x）；
（2）当0＜x＜40时，S（x）＝﹣10x2+400x﹣3000，
这个二次函数的对称轴为x＝20，所有当x＝20时，S（x）＝1000为最大值，
当x≥40时，S（x）1500﹣（x），
∵，当且仅当x即x＝100时，等号成立，
∴S（x）≤1500﹣200＝1300，
即当x＝100时，S（x）取到最大值1300，
∵1300＞1000，
∴当x＝100时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．
21．已知函数f（x）＝x2﹣a|x﹣1|﹣1，a∈R．
（1）当a＝5时，求函数f（x）的值域；
（2） x0∈[0，3]，f（x0）≥a|x0+1|，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）当a＝5时，f（x），然后分x≥1和x＜1两类，并结合二次函数的图象与性质即可得即；
（2）原问题可转化为在x∈[0，3]内有解，再分x∈[0，1]和x∈（1，3]两类，去绝对值，并求出函数y的最大值即可．
【解答】解：（1）当a＝5时，f（x）＝x2﹣5|x﹣1|﹣1，
当x≥1时，f（x）＝x2﹣5x+4＝（x）2；
当x＜1时，f（x）＝x2+5x﹣6＝（x）2，
∴函数y＝f（x）的值域为．
（2）不等式f（x）≥a|x+1|等价于x2﹣a|x﹣1|﹣1≥a|x+1|，
原问题转化为在x∈[0，3]内有解，
当x∈[0，1]时，，此时，，∴a≤0；
当x∈（1，3]时，，
∵函数在区间（1，3]上单调递增，
∴当x∈（1，3]时，，
∴，
综上所述，实数a的取值范围是．
【点评】本题考查函数的值域问题和存在性问题，利用参变分离法，将原问题转化为新函数的最值问题是解题的关键，考查学生的分类讨论与转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22．定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，满足f（3）＝6，且f（x+y）＝f（x）+f（y）（x，y∈R）．
（1）求f（0），f（1）；
（2）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＜0成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）f（0）＝0，f（1）＝2，
（2）（﹣∞，﹣1）．
【分析】（1）利用赋值法结合已知即可分别求解；
（2）结合已知奇函数且单调把原不等式进行转化为求解最值问题，即可求解
【解答】解：（1）因为R上的奇函数f（x）是单调函数，满足f（3）＝6，且f（x+y）＝f（x）+f（y）．
令x＝y＝0可得f（0）＝2f（0），
所以f（0）＝0，
令x＝1，y＝1，可得f（2）＝2f（1），
令x＝2，y＝1可得f（3）＝f（1）+f（2）＝3f（1）＝6，
所以f（1）＝2；
（2）∵f（x）是奇函数，且f（kx2）+f（2x﹣1）＜0在上恒成立，
∴f（kx2）＜f（1﹣2x）在上恒成立，且f（0）＝0＜f（1）＝2；
∴f（x）在R上是增函数，
∴kx2＜1﹣2x在上恒成立，
∴在上恒成立，
令．
由于，
∴．
∴g（x）min＝g（1）＝﹣1，
∴k＜﹣1，即实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．
【点评】本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值及利用单调性及奇偶性求解不等式的恒成立问题，体现了转化思想的应用．
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