第三章 圆锥曲线的方程（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 269.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-19 14:12:15 | ||
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文档简介
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第三章 圆锥曲线的方程
一、选择题
1．（5分）若焦点在x轴上的椭圆（m＞0）的离心率为，则实数m等于（ ）
A．3 B．1 C．2 D．16
2．（5分）双曲线1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）设F为抛物线C：x2＝4y的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C．9 D．4
4．（5分）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线r的离心率等于（ ）
A． B．或2 C．2 D．
5．（5分）已知方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞2 C．m＜﹣1或m＞2 D．﹣1＜m＜2
6．（5分）已知双曲线，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为P，Q，若△POQ为直角三角形，则|PQ|＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（5分）如图所示，已知点M（﹣3，0），N（3，0），B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
（多选）8．（5分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上，直线l平行于OM且在y轴上的截距为m，直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点．下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为
B．
C．﹣2＜m＜2
D．m≤﹣2或m≥2
（多选）9．（5分）已知双曲线C过点（3，）且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线y＝ex﹣2﹣1经过C的一个焦点
D．直线x1＝0与C有两个公共点
（多选）10．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝6，则以下结论正确的有（ ）
A．p＝2 B．F为AD中点 C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
（多选）11．（5分）已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．﹣1
三、填空题
12．（5分）设P为曲线2x上一点，A（，0），B（，0）若|PB|＝2，则|PA|＝ ．
13．（5分）已知点，直线y＝3x上存在一点P，使||PB|﹣|PA||＝2，则m的取值范围是
14．（5分）椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是 ．
15．（5分）已知椭圆的左、右焦点为F和F'，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是 ．
四、解答题
16．（10分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过定点P（﹣2，2）且斜率为k的直线与抛物线C交于不同的两点M、N．
（1）求k的取值范围；
（2）若直线l与直线y＝x垂直，求△FMN的面积．
17．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
18．（12分）已知双曲线2x2﹣y2＝2，过点B（1，1）能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中点．若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l为抛物线C的切线且l∥MN，求直线l的方程．
20．（12分）已知椭圆的离心率为e，若椭圆的长轴长等于圆M：x2+y2﹣2x﹣15＝0的半径，且a是2e和b2的等差中项，A、B为椭圆C上任意两个关于x轴对称的点，椭圆的右准线与x轴的交点为P，直线PB交椭圆C于另一点E．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试探求直线AE是否能过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．
21．（12分）已知椭圆1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个三等分点与焦点F构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA、PB分别交椭圆于另外两点A、B，求证：直线AB的斜率为定值．
第三章 圆锥曲线的方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）若焦点在x轴上的椭圆（m＞0）的离心率为，则实数m等于（ ）
A．3 B．1 C．2 D．16
【答案】A
【分析】利用已知条件列出方程，求解即可．
【解答】解：由题意焦点在x轴上的椭圆（m＞0）的离心率为，
得，解得m＝3．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．
2．（5分）双曲线1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n＝1求得n，则答案可得．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，
则有解得m，n
∴mn
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，关键是对圆锥曲线的基本性质能熟练掌握．
3．（5分）设F为抛物线C：x2＝4y的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C．9 D．4
【答案】D
【分析】根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1+x2，由抛物线的性质可知|AB|＝p+y1+y2，利用点到直线的距离公式求得O到直线yx+1的距离d，根据三角形的面积公式S |AB| d，即可求得则△OAB的面积．
【解答】解：抛物线C：x2＝4y的焦点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴F且倾斜角为60°的直线yx+1，
∴，整理得：x2﹣4x﹣4＝0，
由韦达定理可知：x1+x2＝4，y1+y2＝14
由抛物线的性质可知：|AB|＝p+y1+y2＝2+14＝16，
点O到直线yx+1的距离d，d，
∴则△OAB的面积S，S |AB| d4，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．
4．（5分）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线r的离心率等于（ ）
A． B．或2 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据题意可设出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利用定义表示出a和c，则离心率可得．
【解答】解：依题意设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，
若曲线为椭圆则2a＝|PF1|+|PF2|＝6t，ct
则e，
若曲线为双曲线则，2a＝4t﹣2t＝2t，a＝t，ct
∴e
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．
5．（5分）已知方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞2 C．m＜﹣1或m＞2 D．﹣1＜m＜2
【答案】D
【分析】由方程表示双曲线，知（m﹣2）（m+1）＜0，由此能求出m的取值范围．
【解答】解：∵方程，
∴（m﹣2）（m+1）＜0，
解得﹣1＜m＜2，
∴m的取值范围是（﹣1，2）．
故选：D．
【点评】本题考查实数m的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用，是基本知识的考查．
6．（5分）已知双曲线，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为P，Q，若△POQ为直角三角形，则|PQ|＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据双曲线方程求出右焦点F以及两条渐近线方程，画出过点F的直线交两渐近线的点P、Q，
利用直角三角形的边角关系，即可求出|OP|的长．
【解答】解：双曲线中，右焦点F（4，0），
则双曲线C的两条渐近线方程为y＝±x，
即y＝±x；
由过点F的直线交两渐近线于点P，Q，
不妨设点P在第一象限，点Q在第四象限，∠OPQ＝90°，如图所示；
则Rt△POQ中，∠POQ＝60°，
又∠POF＝30°，|OF|＝4，
∴|OP|＝2，
∴|PQ||OP|＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题．
7．（5分）如图所示，已知点M（﹣3，0），N（3，0），B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由题意画出图形，则由切线长定理得|ME|＝|MB|、|NF|＝|NB|、|PE|＝|PF|；此时求|PM|﹣|PN|可得定值，即满足双曲线的定义，然后求出a、b，写出方程即可（要注意x的取值范围）．
【解答】解：由题意得|ME|＝|MB|、|NF|＝|NB|、|PE|＝|PF|，
那么|PM|﹣|PN|＝（|PE|+|ME|）﹣（|PF|+|NF|）＝|ME|﹣|NF|＝4﹣2＝2＜|MN|，
所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外），
又2a＝2，c＝3，则a＝1，b2＝9﹣1＝8，
所以点P的轨迹方程为x21（x＞1）．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的定义与标准方程．
二、多选题
（多选）8．（5分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上，直线l平行于OM且在y轴上的截距为m，直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点．下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为
B．
C．﹣2＜m＜2
D．m≤﹣2或m≥2
【答案】ABC
【分析】椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上，列出方程组，求解a，b即可得到椭圆方程，可判断A．求得OM的斜率可判断B；设出l的方程yx+m，联立直线与椭圆方程，利用判别式Δ＞0，可求得m的范围，可判断CD．
【解答】解：（1）C：1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．
可得：，解得a2＝8，b2＝2，
所求的椭圆方程为：1．故A正确；
直线OM斜率kOM，故B正确；
由直线l平行于OM，得l的斜率k．l在y轴上的截距为m，l的方程为yx+m，
联立，得x2+2mx+2m2﹣4＝0，
l与椭圆C交于A，B两个不同的点，Δ＝4m2﹣4（2m2﹣4）＞0，得﹣2＜m＜2．故C正确；D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
（多选）9．（5分）已知双曲线C过点（3，）且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线y＝ex﹣2﹣1经过C的一个焦点
D．直线x1＝0与C有两个公共点
【答案】AC
【分析】根据条件可求出双曲线C的方程，再逐一排除即可．
【解答】解：设双曲线C的方程为1（mn＜0），
根据条件可得1，且，
解得m＝3，n＝﹣1，
所以双曲线C的方程为，故A对；
离心率e，故B错；
双曲线C的焦点为（2，0），（﹣2，0），将x＝2代入得y＝e0﹣1＝0，所以C对；
联立，整理得y2﹣2y+2＝0，则Δ＝8﹣8＝0，故只有一个公共点，故D错，
故选：AC．
【点评】本题考查双曲线的性质，根据条件求出双曲线C的方程是关键，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝6，则以下结论正确的有（ ）
A．p＝2 B．F为AD中点 C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
【答案】BCD
【分析】由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得A的坐标，再由焦半径公式求p，进一步求出|BF|，|BD|的值，逐一判断四个选项得答案．
【解答】解：如图，F（，0），直线l的斜率为，则直线方程为y（x），
联立，得12x2﹣20px+3p2＝0．
解得：xA，xBp，
由|AF|2p＝6，得p＝3．
∴抛物线方程为y2＝6x．
xB，则|BF|2；
|BD|，∴|BD|＝2|BF|，
|BD|+|BF|＝4+2＝6，则F为AD中点．
∴运算结论正确的是B，C，D．
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
（多选）11．（5分）已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．﹣1
【答案】ACD
【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，再由y1得x1，分别写出直线PF1与直线PF2的方程，由M到两直线的距离相等列式，整理可得m关于x1的关系式，求得m的取值范围，结合选项得答案．
【解答】解：由椭圆方程可得F1（，0），F2（），
由y1，可得x1，
则直线PF1的方程为，即，
直线PF2的方程为，即．
∵M（m，0）在∠F1PF2的平分线，
∴，①
∵，
，
x1，
∴①式转化为，即m，
又x1，∴m．
结合选项可得m的可能取值为1，0，﹣1，
故选：ACD．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．
三、填空题
12．（5分）设P为曲线2x上一点，A（，0），B（，0）若|PB|＝2，则|PA|＝ 4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】化简判断曲线方程，利用双曲线的定义，转化求解即可．
【解答】解：曲线2x上一点，可得曲线方程为：x21，x＞0，
曲线是双曲线的一支，A（，0），B（，0）是双曲线的焦点坐标，|PB|＝2，则|PA|＝|PB|+2a＝2+2×1＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
13．（5分）已知点，直线y＝3x上存在一点P，使||PB|﹣|PA||＝2，则m的取值范围是 （，+∞）
【答案】（，+∞）．
【分析】由双曲线的定义可得P的轨迹是A，B为焦点的双曲线，联立直线方程和双曲线的方程，由方程组有解的条件，解不等式可得所求范围．
【解答】解：设P（x，y），由|AB|＝22，又||PB|﹣|PA||＝2，
由双曲线的定义可得P的轨迹是A，B为焦点的双曲线，
且a＝1，c，b，（m＞0），
所以P的轨迹方程为y21，
联立，可得x20，
由于m＞0，
解得m，
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及联立方程组求解．考查方程思想和运算能力，属于中档题．
14．（5分）椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．
【解答】解：设椭圆的右焦点为E．如图：
由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF＝AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）＝4a+AB﹣AE﹣BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；
∴AB+AF+BF＝4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；
即直线x＝m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；
此时△FAB的高为：EF＝2．
此时直线x＝m＝c＝1；
把x＝1代入椭圆的方程得：y＝±．
∴AB＝3．
所以：△FAB的面积等于：S△FAB3×EF3×2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．
15．（5分）已知椭圆的左、右焦点为F和F'，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是 ．
【答案】．
【分析】设线段PF的中点为M，连接OM，连接PF'，如图所示，结合中位线定理和椭圆的性质，可得|OM|，|FM|，设∠MFO＝α，在△OMF中，运用余弦定理，即可得出cosα，进而可得tanα．
【解答】解：设线段PF的中点为M，连接OM，连接PF'，如图所示，
则OM∥PF'，
∵椭圆的方程为椭圆，
∴a2＝9，b2＝5，c2＝a2﹣b2＝4，即a＝3，c＝2，
∵|OM|＝|OF||FP'|＝c，
∴|FM|，
设∠MFO＝α，
在△OMF中，cosα，
∴sinα，
∴，
故直线PF的斜率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，以及中位线定理和三角函数求值，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
四、解答题
16．（10分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过定点P（﹣2，2）且斜率为k的直线与抛物线C交于不同的两点M、N．
（1）求k的取值范围；
（2）若直线l与直线y＝x垂直，求△FMN的面积．
【答案】（1）（）∪（0，）；
（2）2．
【分析】（1）设直线l的方程为：y﹣2＝k（x+2），与抛物线的方程联立化为ky2﹣4y+8+8k＝0，由于直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的两点．可得Δ＞0，k≠0．解出即可．
（2）设直线l的方程为y﹣2＝k（x+2），代入抛物线方程，利用弦长公式、三角形面积计算公式、即可得出答案．
【解答】解：（1）当k＝0时，直线l的方程为y＝2，不符合题意．
故设直线l的方程为：y﹣2＝k（x+2），
联立，
化为ky2﹣4y+8k+8＝0，
∵直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的两点．
∴Δ＞0，k≠0．
化为2k2+2k﹣1＜0，
解得，且k≠0．
∴斜率k的取值范围是（）∪（0，）．
（2），依题意F（1，0），直线l斜率为1
故直线l的方程为：y＝﹣x，代入抛物线方程得：y2+4y＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2）
y1+y2＝﹣4，y1y2＝0，
∴|NnM|
点F到直线l的距离d.
∴△FMN的面积为2．
【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、三角形面积计算公式 属中档题．
17．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【答案】l的方程为：yx﹣2或yx﹣2．
【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；
（Ⅱ）法一：设直线l：y＝kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y＝kx﹣2代入，利用Δ＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．
法二：利用伸缩变换，化简椭圆方程为圆的方程，判断三角形面积的最大值的位置，求解直线的斜率，然后转化求解直线方程即可．
【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知，得，又，
所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝1，故E的方程．…．（5分）
（Ⅱ）法一：依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y＝kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）
将y＝kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，
当Δ＝16（4k2﹣3）＞0，即时，
从而
又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积，
设，则t＞0，，
当且仅当t＝2，k＝±等号成立，且满足Δ＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：yx﹣2或yx﹣2．…（12分）
法二：在伸缩变换下，椭圆化为x′2+y′2＝4，
此时P′Q′过定点A′（0，﹣4），且S△OP′Q′＝2S△OPQ，
如图：
由于∠P′OQ′∈（0，π），因此当∠P′OQ′为直角时，面积取得最大值，
此时O到直线P′Q′的距离为，
设此时直线P′Q′的方程为：y′＝k′x′﹣4，则有，解得k′，
从而直线PQ的斜率为：，
l的方程为：yx﹣2或yx﹣2．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
18．（12分）已知双曲线2x2﹣y2＝2，过点B（1，1）能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中点．若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】直线l不存在．
【分析】假设直线l存在，由已知条件利用点差法求出直线l的方程为2x﹣y﹣1＝0，联立方程组，得2x2﹣4x+3＝0，由△﹣8＜0，推导出直线l不存在．
【解答】解：假设直线l存在，
设B（1，1）是弦MN的中点，
且Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则x1+x2＝2，y1+y2＝2．
∵Q1，Q2在双曲线上，
∴，
∴2（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，
∴4（x1﹣x2）＝2（y1﹣y2），
∴k2，
∴直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0，
联立方程组，得2x2﹣4x+3＝0，
∵Δ＝16﹣4×3×2＝﹣8＜0，
∴直线l与双曲线无交点，
∴直线l不存在．
【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l为抛物线C的切线且l∥MN，求直线l的方程．
【答案】（Ⅰ）y2＝4x；
（Ⅱ）y＝x+1．
【分析】（1）由题可知直线MN的方程为：y＝x，代入y2＝2px 化简，利用韦达定理以及抛物线的定义、|MN|＝8求得p的值，可得抛物线的方程．
（2）设l方程为y＝x+b，代入y2＝4x 化简，再利用判别式Δ＝0，解得b的值，可得l的方程．
【解答】解：（1）由题可知F（，0），则该直线MN的方程为：y＝x，
代入y2＝2px，化简可得x2﹣3px0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1＝x2＝3p．
∵|MN|＝8，∴有x1+x2+p＝8，解得p＝2，
∴抛物线的方程为：y2＝4x．
（2）设l方程为y＝x+b，代入y2＝4x，可得x2+（2b﹣4）x+b2＝0，
因为l为抛物线C的切线，∴Δ＝0，解得b＝1，
∴l的方程为：y＝x+1．
【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．
20．（12分）已知椭圆的离心率为e，若椭圆的长轴长等于圆M：x2+y2﹣2x﹣15＝0的半径，且a是2e和b2的等差中项，A、B为椭圆C上任意两个关于x轴对称的点，椭圆的右准线与x轴的交点为P，直线PB交椭圆C于另一点E．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试探求直线AE是否能过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）椭圆C的方程为．
（2）AE直线过定点（1，0）．
【分析】（1）由2e，a，b2成等差数列，结合圆M的半径为4，求解a，b，得到椭圆C的方程．
（2）设B（x1，y1），E（x2，y2），A（x1，﹣y1），设BP直线的方程为y＝k（x﹣4），代入椭圆方程得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0，利用判别式以及韦达定理，推出AE直线的方程为，利用对称性说明AE直线过的定点必在x轴上，通过y＝0，求解x即可得到AE直线过的定点．
【解答】解：（1）由2e，a，b2成等差数列得2a＝2e+b2，
由题意得圆M的半径为4，所以a＝2，e，b2＝a2﹣c2＝4﹣c2，
所以4＝4+c﹣c2，得c＝1，b2＝3，所以椭圆C的方程为．
（2）设B（x1，y1），E（x2，y2），A（x1，﹣y1），
∵，
∴P（4，0），
由题意知BP直线的斜率必存在，设BP直线的方程为y＝k（x﹣4），
代入椭圆方程得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0，
由Δ＞0得．
由韦达定理得，
由题意得AE直线的斜率必存在，设AE直线的方程为，
由对称性易知AE直线过的定点必在x轴上，
则当y＝0时，，
即在的条件下，AE直线过定点（1，0）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线恒过定点问题，考查分析问题解决问题的哪里，是难题．
21．（12分）已知椭圆1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个三等分点与焦点F构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA、PB分别交椭圆于另外两点A、B，求证：直线AB的斜率为定值．
【答案】（I）；…（5分）
（II）证明：由题意可得P（1，）
∵PA、PB是倾斜角互补的两条不同直线
∴PA、PB的斜率均存在，设PA的斜率为k，则
PA的方程为y＝k（x﹣1）代入得，
（3+4k2）x2+4k（3﹣2k）x+4（k）2﹣12＝0
设A（xA，yA），
则xA+1，
即 xA，
yA＝k（xA﹣1）kxA﹣k
又直线PB与PA的倾斜角互补，在上式中以﹣k代k，
设B（xB，yB），可得xB
yB＝﹣kxB+k
∴直线AB的斜率为kAB，
∴直线AB的斜率为定值．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆和抛物线的焦点坐标关系即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用消元法转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系，结合直线斜率公式进行化简整理即可．
【解答】解：（I）抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0）
∴c＝1…（1分）
∵椭圆短轴的两个三等分点与焦点F构成正三角形
∴b，
∴椭圆的方程为（5分）
（II）由题意可得P（1，）…（6分）
∵PA、PB是倾斜角互补的两条不同直线
∴PA、PB的斜率均存在，设PA的斜率为k，则
PA的方程为y＝k（x﹣1）代入得，
（3+4k2）x2+4k（3﹣2k）x+4（k）2﹣12＝0…（8分）
设A（xA，yA），
则xA+1，
即 xA，
yA＝k（xA﹣1）kxA﹣k（10分）
又直线PB与PA的倾斜角互补，在上式中以﹣k代k，
设B（xB，yB），可得xB
yB＝﹣kxB+k（11分）
∴直线AB的斜率为kAB，
∴直线AB的斜率为定值．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解以及直线斜率的计算，利用直线和椭圆方程的位置关系，利用设而不求的思想是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强运算量较大．
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第三章 圆锥曲线的方程
一、选择题
1．（5分）若焦点在x轴上的椭圆（m＞0）的离心率为，则实数m等于（ ）
A．3 B．1 C．2 D．16
2．（5分）双曲线1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）设F为抛物线C：x2＝4y的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C．9 D．4
4．（5分）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线r的离心率等于（ ）
A． B．或2 C．2 D．
5．（5分）已知方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞2 C．m＜﹣1或m＞2 D．﹣1＜m＜2
6．（5分）已知双曲线，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为P，Q，若△POQ为直角三角形，则|PQ|＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（5分）如图所示，已知点M（﹣3，0），N（3，0），B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
（多选）8．（5分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上，直线l平行于OM且在y轴上的截距为m，直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点．下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为
B．
C．﹣2＜m＜2
D．m≤﹣2或m≥2
（多选）9．（5分）已知双曲线C过点（3，）且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线y＝ex﹣2﹣1经过C的一个焦点
D．直线x1＝0与C有两个公共点
（多选）10．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝6，则以下结论正确的有（ ）
A．p＝2 B．F为AD中点 C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
（多选）11．（5分）已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．﹣1
三、填空题
12．（5分）设P为曲线2x上一点，A（，0），B（，0）若|PB|＝2，则|PA|＝ ．
13．（5分）已知点，直线y＝3x上存在一点P，使||PB|﹣|PA||＝2，则m的取值范围是
14．（5分）椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是 ．
15．（5分）已知椭圆的左、右焦点为F和F'，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是 ．
四、解答题
16．（10分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过定点P（﹣2，2）且斜率为k的直线与抛物线C交于不同的两点M、N．
（1）求k的取值范围；
（2）若直线l与直线y＝x垂直，求△FMN的面积．
17．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
18．（12分）已知双曲线2x2﹣y2＝2，过点B（1，1）能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中点．若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l为抛物线C的切线且l∥MN，求直线l的方程．
20．（12分）已知椭圆的离心率为e，若椭圆的长轴长等于圆M：x2+y2﹣2x﹣15＝0的半径，且a是2e和b2的等差中项，A、B为椭圆C上任意两个关于x轴对称的点，椭圆的右准线与x轴的交点为P，直线PB交椭圆C于另一点E．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试探求直线AE是否能过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．
21．（12分）已知椭圆1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个三等分点与焦点F构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA、PB分别交椭圆于另外两点A、B，求证：直线AB的斜率为定值．
第三章 圆锥曲线的方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）若焦点在x轴上的椭圆（m＞0）的离心率为，则实数m等于（ ）
A．3 B．1 C．2 D．16
【答案】A
【分析】利用已知条件列出方程，求解即可．
【解答】解：由题意焦点在x轴上的椭圆（m＞0）的离心率为，
得，解得m＝3．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．
2．（5分）双曲线1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n＝1求得n，则答案可得．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，
则有解得m，n
∴mn
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，关键是对圆锥曲线的基本性质能熟练掌握．
3．（5分）设F为抛物线C：x2＝4y的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C．9 D．4
【答案】D
【分析】根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1+x2，由抛物线的性质可知|AB|＝p+y1+y2，利用点到直线的距离公式求得O到直线yx+1的距离d，根据三角形的面积公式S |AB| d，即可求得则△OAB的面积．
【解答】解：抛物线C：x2＝4y的焦点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴F且倾斜角为60°的直线yx+1，
∴，整理得：x2﹣4x﹣4＝0，
由韦达定理可知：x1+x2＝4，y1+y2＝14
由抛物线的性质可知：|AB|＝p+y1+y2＝2+14＝16，
点O到直线yx+1的距离d，d，
∴则△OAB的面积S，S |AB| d4，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．
4．（5分）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线r的离心率等于（ ）
A． B．或2 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据题意可设出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利用定义表示出a和c，则离心率可得．
【解答】解：依题意设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，
若曲线为椭圆则2a＝|PF1|+|PF2|＝6t，ct
则e，
若曲线为双曲线则，2a＝4t﹣2t＝2t，a＝t，ct
∴e
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．
5．（5分）已知方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞2 C．m＜﹣1或m＞2 D．﹣1＜m＜2
【答案】D
【分析】由方程表示双曲线，知（m﹣2）（m+1）＜0，由此能求出m的取值范围．
【解答】解：∵方程，
∴（m﹣2）（m+1）＜0，
解得﹣1＜m＜2，
∴m的取值范围是（﹣1，2）．
故选：D．
【点评】本题考查实数m的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用，是基本知识的考查．
6．（5分）已知双曲线，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为P，Q，若△POQ为直角三角形，则|PQ|＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据双曲线方程求出右焦点F以及两条渐近线方程，画出过点F的直线交两渐近线的点P、Q，
利用直角三角形的边角关系，即可求出|OP|的长．
【解答】解：双曲线中，右焦点F（4，0），
则双曲线C的两条渐近线方程为y＝±x，
即y＝±x；
由过点F的直线交两渐近线于点P，Q，
不妨设点P在第一象限，点Q在第四象限，∠OPQ＝90°，如图所示；
则Rt△POQ中，∠POQ＝60°，
又∠POF＝30°，|OF|＝4，
∴|OP|＝2，
∴|PQ||OP|＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题．
7．（5分）如图所示，已知点M（﹣3，0），N（3，0），B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由题意画出图形，则由切线长定理得|ME|＝|MB|、|NF|＝|NB|、|PE|＝|PF|；此时求|PM|﹣|PN|可得定值，即满足双曲线的定义，然后求出a、b，写出方程即可（要注意x的取值范围）．
【解答】解：由题意得|ME|＝|MB|、|NF|＝|NB|、|PE|＝|PF|，
那么|PM|﹣|PN|＝（|PE|+|ME|）﹣（|PF|+|NF|）＝|ME|﹣|NF|＝4﹣2＝2＜|MN|，
所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外），
又2a＝2，c＝3，则a＝1，b2＝9﹣1＝8，
所以点P的轨迹方程为x21（x＞1）．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的定义与标准方程．
二、多选题
（多选）8．（5分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上，直线l平行于OM且在y轴上的截距为m，直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点．下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为
B．
C．﹣2＜m＜2
D．m≤﹣2或m≥2
【答案】ABC
【分析】椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上，列出方程组，求解a，b即可得到椭圆方程，可判断A．求得OM的斜率可判断B；设出l的方程yx+m，联立直线与椭圆方程，利用判别式Δ＞0，可求得m的范围，可判断CD．
【解答】解：（1）C：1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．
可得：，解得a2＝8，b2＝2，
所求的椭圆方程为：1．故A正确；
直线OM斜率kOM，故B正确；
由直线l平行于OM，得l的斜率k．l在y轴上的截距为m，l的方程为yx+m，
联立，得x2+2mx+2m2﹣4＝0，
l与椭圆C交于A，B两个不同的点，Δ＝4m2﹣4（2m2﹣4）＞0，得﹣2＜m＜2．故C正确；D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
（多选）9．（5分）已知双曲线C过点（3，）且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线y＝ex﹣2﹣1经过C的一个焦点
D．直线x1＝0与C有两个公共点
【答案】AC
【分析】根据条件可求出双曲线C的方程，再逐一排除即可．
【解答】解：设双曲线C的方程为1（mn＜0），
根据条件可得1，且，
解得m＝3，n＝﹣1，
所以双曲线C的方程为，故A对；
离心率e，故B错；
双曲线C的焦点为（2，0），（﹣2，0），将x＝2代入得y＝e0﹣1＝0，所以C对；
联立，整理得y2﹣2y+2＝0，则Δ＝8﹣8＝0，故只有一个公共点，故D错，
故选：AC．
【点评】本题考查双曲线的性质，根据条件求出双曲线C的方程是关键，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝6，则以下结论正确的有（ ）
A．p＝2 B．F为AD中点 C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
【答案】BCD
【分析】由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得A的坐标，再由焦半径公式求p，进一步求出|BF|，|BD|的值，逐一判断四个选项得答案．
【解答】解：如图，F（，0），直线l的斜率为，则直线方程为y（x），
联立，得12x2﹣20px+3p2＝0．
解得：xA，xBp，
由|AF|2p＝6，得p＝3．
∴抛物线方程为y2＝6x．
xB，则|BF|2；
|BD|，∴|BD|＝2|BF|，
|BD|+|BF|＝4+2＝6，则F为AD中点．
∴运算结论正确的是B，C，D．
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
（多选）11．（5分）已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．﹣1
【答案】ACD
【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，再由y1得x1，分别写出直线PF1与直线PF2的方程，由M到两直线的距离相等列式，整理可得m关于x1的关系式，求得m的取值范围，结合选项得答案．
【解答】解：由椭圆方程可得F1（，0），F2（），
由y1，可得x1，
则直线PF1的方程为，即，
直线PF2的方程为，即．
∵M（m，0）在∠F1PF2的平分线，
∴，①
∵，
，
x1，
∴①式转化为，即m，
又x1，∴m．
结合选项可得m的可能取值为1，0，﹣1，
故选：ACD．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．
三、填空题
12．（5分）设P为曲线2x上一点，A（，0），B（，0）若|PB|＝2，则|PA|＝ 4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】化简判断曲线方程，利用双曲线的定义，转化求解即可．
【解答】解：曲线2x上一点，可得曲线方程为：x21，x＞0，
曲线是双曲线的一支，A（，0），B（，0）是双曲线的焦点坐标，|PB|＝2，则|PA|＝|PB|+2a＝2+2×1＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
13．（5分）已知点，直线y＝3x上存在一点P，使||PB|﹣|PA||＝2，则m的取值范围是 （，+∞）
【答案】（，+∞）．
【分析】由双曲线的定义可得P的轨迹是A，B为焦点的双曲线，联立直线方程和双曲线的方程，由方程组有解的条件，解不等式可得所求范围．
【解答】解：设P（x，y），由|AB|＝22，又||PB|﹣|PA||＝2，
由双曲线的定义可得P的轨迹是A，B为焦点的双曲线，
且a＝1，c，b，（m＞0），
所以P的轨迹方程为y21，
联立，可得x20，
由于m＞0，
解得m，
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及联立方程组求解．考查方程思想和运算能力，属于中档题．
14．（5分）椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．
【解答】解：设椭圆的右焦点为E．如图：
由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF＝AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）＝4a+AB﹣AE﹣BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；
∴AB+AF+BF＝4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；
即直线x＝m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；
此时△FAB的高为：EF＝2．
此时直线x＝m＝c＝1；
把x＝1代入椭圆的方程得：y＝±．
∴AB＝3．
所以：△FAB的面积等于：S△FAB3×EF3×2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．
15．（5分）已知椭圆的左、右焦点为F和F'，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是 ．
【答案】．
【分析】设线段PF的中点为M，连接OM，连接PF'，如图所示，结合中位线定理和椭圆的性质，可得|OM|，|FM|，设∠MFO＝α，在△OMF中，运用余弦定理，即可得出cosα，进而可得tanα．
【解答】解：设线段PF的中点为M，连接OM，连接PF'，如图所示，
则OM∥PF'，
∵椭圆的方程为椭圆，
∴a2＝9，b2＝5，c2＝a2﹣b2＝4，即a＝3，c＝2，
∵|OM|＝|OF||FP'|＝c，
∴|FM|，
设∠MFO＝α，
在△OMF中，cosα，
∴sinα，
∴，
故直线PF的斜率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，以及中位线定理和三角函数求值，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
四、解答题
16．（10分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过定点P（﹣2，2）且斜率为k的直线与抛物线C交于不同的两点M、N．
（1）求k的取值范围；
（2）若直线l与直线y＝x垂直，求△FMN的面积．
【答案】（1）（）∪（0，）；
（2）2．
【分析】（1）设直线l的方程为：y﹣2＝k（x+2），与抛物线的方程联立化为ky2﹣4y+8+8k＝0，由于直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的两点．可得Δ＞0，k≠0．解出即可．
（2）设直线l的方程为y﹣2＝k（x+2），代入抛物线方程，利用弦长公式、三角形面积计算公式、即可得出答案．
【解答】解：（1）当k＝0时，直线l的方程为y＝2，不符合题意．
故设直线l的方程为：y﹣2＝k（x+2），
联立，
化为ky2﹣4y+8k+8＝0，
∵直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的两点．
∴Δ＞0，k≠0．
化为2k2+2k﹣1＜0，
解得，且k≠0．
∴斜率k的取值范围是（）∪（0，）．
（2），依题意F（1，0），直线l斜率为1
故直线l的方程为：y＝﹣x，代入抛物线方程得：y2+4y＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2）
y1+y2＝﹣4，y1y2＝0，
∴|NnM|
点F到直线l的距离d.
∴△FMN的面积为2．
【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、三角形面积计算公式 属中档题．
17．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【答案】l的方程为：yx﹣2或yx﹣2．
【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；
（Ⅱ）法一：设直线l：y＝kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y＝kx﹣2代入，利用Δ＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．
法二：利用伸缩变换，化简椭圆方程为圆的方程，判断三角形面积的最大值的位置，求解直线的斜率，然后转化求解直线方程即可．
【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知，得，又，
所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝1，故E的方程．…．（5分）
（Ⅱ）法一：依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y＝kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）
将y＝kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，
当Δ＝16（4k2﹣3）＞0，即时，
从而
又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积，
设，则t＞0，，
当且仅当t＝2，k＝±等号成立，且满足Δ＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：yx﹣2或yx﹣2．…（12分）
法二：在伸缩变换下，椭圆化为x′2+y′2＝4，
此时P′Q′过定点A′（0，﹣4），且S△OP′Q′＝2S△OPQ，
如图：
由于∠P′OQ′∈（0，π），因此当∠P′OQ′为直角时，面积取得最大值，
此时O到直线P′Q′的距离为，
设此时直线P′Q′的方程为：y′＝k′x′﹣4，则有，解得k′，
从而直线PQ的斜率为：，
l的方程为：yx﹣2或yx﹣2．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
18．（12分）已知双曲线2x2﹣y2＝2，过点B（1，1）能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中点．若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】直线l不存在．
【分析】假设直线l存在，由已知条件利用点差法求出直线l的方程为2x﹣y﹣1＝0，联立方程组，得2x2﹣4x+3＝0，由△﹣8＜0，推导出直线l不存在．
【解答】解：假设直线l存在，
设B（1，1）是弦MN的中点，
且Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则x1+x2＝2，y1+y2＝2．
∵Q1，Q2在双曲线上，
∴，
∴2（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，
∴4（x1﹣x2）＝2（y1﹣y2），
∴k2，
∴直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0，
联立方程组，得2x2﹣4x+3＝0，
∵Δ＝16﹣4×3×2＝﹣8＜0，
∴直线l与双曲线无交点，
∴直线l不存在．
【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l为抛物线C的切线且l∥MN，求直线l的方程．
【答案】（Ⅰ）y2＝4x；
（Ⅱ）y＝x+1．
【分析】（1）由题可知直线MN的方程为：y＝x，代入y2＝2px 化简，利用韦达定理以及抛物线的定义、|MN|＝8求得p的值，可得抛物线的方程．
（2）设l方程为y＝x+b，代入y2＝4x 化简，再利用判别式Δ＝0，解得b的值，可得l的方程．
【解答】解：（1）由题可知F（，0），则该直线MN的方程为：y＝x，
代入y2＝2px，化简可得x2﹣3px0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1＝x2＝3p．
∵|MN|＝8，∴有x1+x2+p＝8，解得p＝2，
∴抛物线的方程为：y2＝4x．
（2）设l方程为y＝x+b，代入y2＝4x，可得x2+（2b﹣4）x+b2＝0，
因为l为抛物线C的切线，∴Δ＝0，解得b＝1，
∴l的方程为：y＝x+1．
【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．
20．（12分）已知椭圆的离心率为e，若椭圆的长轴长等于圆M：x2+y2﹣2x﹣15＝0的半径，且a是2e和b2的等差中项，A、B为椭圆C上任意两个关于x轴对称的点，椭圆的右准线与x轴的交点为P，直线PB交椭圆C于另一点E．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试探求直线AE是否能过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）椭圆C的方程为．
（2）AE直线过定点（1，0）．
【分析】（1）由2e，a，b2成等差数列，结合圆M的半径为4，求解a，b，得到椭圆C的方程．
（2）设B（x1，y1），E（x2，y2），A（x1，﹣y1），设BP直线的方程为y＝k（x﹣4），代入椭圆方程得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0，利用判别式以及韦达定理，推出AE直线的方程为，利用对称性说明AE直线过的定点必在x轴上，通过y＝0，求解x即可得到AE直线过的定点．
【解答】解：（1）由2e，a，b2成等差数列得2a＝2e+b2，
由题意得圆M的半径为4，所以a＝2，e，b2＝a2﹣c2＝4﹣c2，
所以4＝4+c﹣c2，得c＝1，b2＝3，所以椭圆C的方程为．
（2）设B（x1，y1），E（x2，y2），A（x1，﹣y1），
∵，
∴P（4，0），
由题意知BP直线的斜率必存在，设BP直线的方程为y＝k（x﹣4），
代入椭圆方程得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0，
由Δ＞0得．
由韦达定理得，
由题意得AE直线的斜率必存在，设AE直线的方程为，
由对称性易知AE直线过的定点必在x轴上，
则当y＝0时，，
即在的条件下，AE直线过定点（1，0）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线恒过定点问题，考查分析问题解决问题的哪里，是难题．
21．（12分）已知椭圆1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个三等分点与焦点F构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA、PB分别交椭圆于另外两点A、B，求证：直线AB的斜率为定值．
【答案】（I）；…（5分）
（II）证明：由题意可得P（1，）
∵PA、PB是倾斜角互补的两条不同直线
∴PA、PB的斜率均存在，设PA的斜率为k，则
PA的方程为y＝k（x﹣1）代入得，
（3+4k2）x2+4k（3﹣2k）x+4（k）2﹣12＝0
设A（xA，yA），
则xA+1，
即 xA，
yA＝k（xA﹣1）kxA﹣k
又直线PB与PA的倾斜角互补，在上式中以﹣k代k，
设B（xB，yB），可得xB
yB＝﹣kxB+k
∴直线AB的斜率为kAB，
∴直线AB的斜率为定值．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆和抛物线的焦点坐标关系即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用消元法转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系，结合直线斜率公式进行化简整理即可．
【解答】解：（I）抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0）
∴c＝1…（1分）
∵椭圆短轴的两个三等分点与焦点F构成正三角形
∴b，
∴椭圆的方程为（5分）
（II）由题意可得P（1，）…（6分）
∵PA、PB是倾斜角互补的两条不同直线
∴PA、PB的斜率均存在，设PA的斜率为k，则
PA的方程为y＝k（x﹣1）代入得，
（3+4k2）x2+4k（3﹣2k）x+4（k）2﹣12＝0…（8分）
设A（xA，yA），
则xA+1，
即 xA，
yA＝k（xA﹣1）kxA﹣k（10分）
又直线PB与PA的倾斜角互补，在上式中以﹣k代k，
设B（xB，yB），可得xB
yB＝﹣kxB+k（11分）
∴直线AB的斜率为kAB，
∴直线AB的斜率为定值．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解以及直线斜率的计算，利用直线和椭圆方程的位置关系，利用设而不求的思想是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强运算量较大．
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