第五章 三角函数（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第五章 三角函数
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（5分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第几象限（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）函数y＝2sin，x∈R的最小正周期为（　　）
A．12 B．6 C． D．
3．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（﹣1，1）上是增函数的是（　　）
A．y B．y＝tanx C．y＝﹣sinx D．y＝cosx
4．（5分）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（　　）
A．135平方米 B．270平方米
C．540平方米 D．1080平方米
5．（5分）已知cos，sin（α﹣β），α，β∈（0，），则cosβ的值（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x）（x∈R）下列结论错误的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）是偶函数
C．函数f（x）的图象关于直线x对称
D．函数f（x）在区间上是增函数
7．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）＝（　　）
A．1 B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）设函数f（x）＝sin（2x）+cos（2x），则f（x）（　　）
A．是偶函数
B．在区间上单调递增
C．最大值为2
D．其图象关于点对称
（多选）10．（5分）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ+φ，则称θ与φ“广义互余”．已知sin（π+α），下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（　　）
A．sinβ B．cos（π+β）
C．tanβ D．tanβ
（多选）11．（5分）关于函数f（x）＝|sinx|+sin|x|，下述四个结论中正确的有（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）在区间（，π）单调递增
C．f（x）在[﹣π，π]有4个零点
D．f（x）的最大值为2
（多选）12．（5分）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（　　）
A．sin（x） B．sin（2x）
C．cos（2x） D．cos（2x）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）若sinx，则cos2x＝　 　 ．
14．（5分）函数f（x）＝sinaxcosax的最小正周期是π，则实数a＝　 　 ．
15．（5分）函数y＝cosπx的单调减区间为　 　 ．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若sinα，则sinβ＝　 　 ，cos2β＝　 　
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知α，β为锐角，sinα，cos（α+β）．
（1）求cos2α的值；
（2）求sinβ的值．
18．（12分）已知函数f（x）x．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）求函数f（x）单调递增区间．
19．（12分）已知函数（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间上的单调性．
20．（12分）已知函数f（x）．
（Ⅰ）化简f（x）；
（Ⅱ）若f（α）＝﹣3，求tan（α）的值．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若α∈（，π），β，且点A的坐标为A（﹣1，m）．
（1）若tan2α，求实数m的值；
（2）若tan∠AOB，求sin2α的值．
22．（12分）某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．
（1）设∠OPA＝α，将展板所需总费用表示成α的函数；
（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？
第五章 三角函数
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（5分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第几象限（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由题意，推导出，确定α的象限，然后取得结果．
【解答】解：∵P（tanα，cosα）在第三象限，
∴，
由tanα＜0，得α在第二、四象限，
由cosα＜0，得α在第二、三象限
∴α在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．
2．（5分）函数y＝2sin，x∈R的最小正周期为（　　）
A．12 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．
【解答】解：函数y＝2sin，x∈R的最小正周期为12，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y＝Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．
3．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（﹣1，1）上是增函数的是（　　）
A．y B．y＝tanx C．y＝﹣sinx D．y＝cosx
【答案】B
【分析】根据奇函数的定义可得y＝tanx是奇函数，又y＝tanx在（，）为增函数可得在（﹣1，1）内也为增函数．
【解答】解：对于A，y是奇函数，但在（﹣1，1）不是增函数，故A错误；
对于B，因为f（﹣x）＝tan（﹣x）＝﹣tanx＝﹣f（x），
所以y＝f（x）＝tanx是（﹣1，1）上的奇函数，
又y＝tanx在（﹣1，1）上是递增函数，故B正确；
对于C，y＝﹣sinx是奇函数，但在（﹣1，1）上不是增函数，故C错误；
对于D，y＝cosx是偶函数，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属基础题．
4．（5分）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（　　）
A．135平方米 B．270平方米
C．540平方米 D．1080平方米
【答案】B
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为
Slr45270（平方米）．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积公式应用问题，是基础题．
5．（5分）已知cos，sin（α﹣β），α，β∈（0，），则cosβ的值（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及余弦函数的两角差公式，即可求解．
【解答】解：∵α，β∈（0，），，
∵cos，
∴，
∵α，β∈（0，），sin（α﹣β）0，
∴，
∴，
∴cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα cos（α﹣β）+sinα sin（α﹣β）．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的同角公式，以及余弦函数的两角差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
6．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x）（x∈R）下列结论错误的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）是偶函数
C．函数f（x）的图象关于直线x对称
D．函数f（x）在区间上是增函数
【答案】C
【分析】由条件利用诱导公式，余弦函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：函数f（x）＝sin（2x）＝﹣cos2x，故它的最小正周期为π，故A满足条件；
显然，它是偶函数，故B正确；
当x时，求得函数值y＝0，不是最值，故f（x）的图象不关于直线x对称，故C错误；
在区间上，f（x）＝﹣cos2x是增函数，故D正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查诱导公式，余弦函数的图象和性质，属于基础题．
7．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．
【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，
故排除A和B．
当x时，函数的值也为0，
故排除C．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质和赋值法的应用．
8．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）＝（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】由图象可得A＝1，由周期公式可得ω＝2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f（x）＝sin（2x），再由题意可得x1+x2，代入计算可得．
【解答】解：由图象可得A＝1，，解得ω＝2，
∴f（x）＝sin（2x+φ），
代入点（，0）可得sin（φ）＝0
∴φ＝kπ，∴φ＝kπ，k∈Z
又|φ|，∴φ，
∴f（x）＝sin（2x），
∴sin（2）＝1，即图中点的坐标为（，1），
又，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），
∴x1+x22，
∴f（x1+x2）＝sin（2），
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）设函数f（x）＝sin（2x）+cos（2x），则f（x）（　　）
A．是偶函数
B．在区间上单调递增
C．最大值为2
D．其图象关于点对称
【答案】AD
【分析】首先，根据辅助角公式得到f（x）cos2x，
由于f（﹣x）＝f（x），可得y＝f（x）为偶函数，可得A正确；
利用余弦函数的单调性可得B选项不符合题意；
利用余弦函数的性质可得f（x）的最大值是，可得选项C不符合题意；
利用余弦函数的对称性可得当k＝0时，其图象关于点对称，可得D正确，由此得解．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（2x）+cos（2x）
sin[（2x）]
sin（2x）
cos2x，
∴f（x）cos2x，
∵f（﹣x）cos（﹣2x）cos2x＝f（x），y＝f（x）为偶函数，故A正确；
ycos2x的单调递增区间为2kπ+π≤2x≤2π+2kπ（k∈Z），即kπx≤π+kπ（k∈Z），函数y＝f（x）在（，π）单调递增，所以B选项不符合题意．
f（x）的最大值是，故选项C不符合题意．
由2x＝kπ，k∈Z，解得x，k∈Z，可得当k＝0时，其图象关于点对称，故D正确；
故选：AD．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：奇偶性，对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．
（多选）10．（5分）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ+φ，则称θ与φ“广义互余”．已知sin（π+α），下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（　　）
A．sinβ B．cos（π+β）
C．tanβ D．tanβ
【答案】AC
【分析】由已知求得sinα，再由三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：∵sin（π+α）＝﹣sinα，
∴sinα，若α+β，则βα．
A中，sinβ＝sin（）＝cosα＝±，故A符合条件；
B中，cos（π+β）＝﹣cos（）＝﹣sinα，故B不符合条件；
C中，tanβ，即sinβcosβ，又sin2β+cos2β＝1，故sinβ＝±，故C符合条件；
D中，tanβ，即sinβcosβ，又sin2β+cos2β＝1，故sinβ＝±，故D不符合条件．
故选：AC．
【点评】本题考查利用三角函数的诱导公式化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
（多选）11．（5分）关于函数f（x）＝|sinx|+sin|x|，下述四个结论中正确的有（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）在区间（，π）单调递增
C．f（x）在[﹣π，π]有4个零点
D．f（x）的最大值为2
【答案】AD
【分析】根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故A正确；
当x∈（，π）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx，
则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx为减函数，故B错误；
当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx，
由f（x）＝0得2sinx＝0得x＝0或x＝π，
由f（x）是偶函数，得在[﹣π，0）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故C错误，
当sin|x|＝1，|sinx|＝1时，f（x）取得最大值2，故D正确，
故选：AD．
【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键．
（多选）12．（5分）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（　　）
A．sin（x） B．sin（2x）
C．cos（2x） D．cos（2x）
【答案】BC
【分析】根据图象先求出函数的周期，和ω，利用五点法求出函数的φ的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．
【解答】解：由图象知函数的周期T＝2×（）＝π，即π，即ω＝±2，
当ω＝2时，由五点作图法，得2φ＝π，所以φ，
则f（x）＝sin（2x）＝cos（2x）
＝cos（﹣2x）＝cos（2x）
＝sin（2x）＝sin（），
当ω＝﹣2时，由五点作图法，得﹣2φ＝0，所以φ，
所以f（x）．
故选：BC．
【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合函数图象求出函数的周期和ω，利用三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．比较基础．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）若sinx，则cos2x＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知利用二倍角公式化简所求即可计算得解．
【解答】解：∵sinx，
∴cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×（）2．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
14．（5分）函数f（x）＝sinaxcosax的最小正周期是π，则实数a＝　±1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝sinaxcosaxsin2ax 的最小正周期是||＝π，∴a＝±1，
故答案为：±1．
【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．
15．（5分）函数y＝cosπx的单调减区间为　[2k，2k+1]（k∈Z）　 ．
【答案】[2k，2k+1]（k∈Z）．
【分析】由题意利用余弦函数的减区间，求得结果．
【解答】解：对于函数函数y＝cosπx，令2kπ≤πx≤2kπ+π，求得2k≤x≤2k+1，
可得它的单调减区间为[2k，2k+1]（k∈Z），
故答案为：[2k，2k+1]（k∈Z）．
【点评】本题主要考查余弦函数的减区间，属于基础题．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若sinα，则sinβ＝　　 ，cos2β＝　　
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦，求得要求式子的值．
【解答】解：∵角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称，则β＝﹣α+2kπ，k∈Z，
则sinβ＝﹣sinα，∴cos2β＝1﹣2sin2β，
故答案为：；．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知α，β为锐角，sinα，cos（α+β）．
（1）求cos2α的值；
（2）求sinβ的值．
【答案】．
【分析】（1）利用余弦的倍角公式即可求解；（2）由已知求出cosα，sin（α+β）的值，然后利用sinβ＝sin[（α+β）﹣α]化简即可求解．
【解答】解：（1）因为sinα，所以cos2α＝1﹣2sin2α；
（2）因为α，β为锐角，所以0，
所以0＜α+β＜π，cos，
sin（α+β），
所以sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα
．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数的公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
18．（12分）已知函数f（x）x．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）求函数f（x）单调递增区间．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的有界性进行求解即可．
（2）根据三角函数的单调性的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）f（x）xsin2x+1+cos2x＝2sin（2x）+1，
∵﹣1≤sin（2x）≤1，∴﹣2≤2sin（2x）≤2，﹣1≤2sin（2x）+1≤3，
即﹣1≤f（x）≤3，即f（x）的值域为[﹣1，3]．
（2）由2kπ2x2kπ，k∈Z，
得kπx≤kπ，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合函数的值域单调性是解决本题的关键．难度不大．
19．（12分）已知函数（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间上的单调性．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）化简可得，进而求得最小正周期；
（2）先求得f（x）的单调递增区间为，进而求得f（x）在区间上的单调性．
【解答】解：（1），
∴T＝π；
（2）依题意，令，
解得，
∴f（x）的单调递增区间为；
设，易知，
∴当时，f（x）在区间上单调递增，区间上单调递减．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象及性质，考查运算化简能力，属于基础题．
20．（12分）已知函数f（x）．
（Ⅰ）化简f（x）；
（Ⅱ）若f（α）＝﹣3，求tan（α）的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）由已知结合诱导公式进行化简即可；
（II）由已知结合两角和的正切公式即可求解．
【解答】解：（I）f（x）．
，
，
，
，
（II）因为f（α）3，
∴tanα＝2，
tan（）3
【点评】本题主要考查了诱导公式，和差角公式在三角求值中的应用，属于基础试题．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若α∈（，π），β，且点A的坐标为A（﹣1，m）．
（1）若tan2α，求实数m的值；
（2）若tan∠AOB，求sin2α的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tanα的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α）和cos（α）的值，再利用两角和的正弦公式求得sin2α＝sin[（2α）]的值．
【解答】解：（1）由题意可得tan2α，∴tanα，或tanα＝2．
∵α∈（，π），∴tanα，即，∴m．
（2）∵tan∠AOB＝tan（α﹣β）＝tan（α），
1，α∈（，），
∴sin（α），cos（α），
∴sin（2α）＝2sin（α） cos（α），cos（2α）＝2 cos2（α）﹣1，
∴sin2α＝sin[（2α）]＝sin（2α）coscos（2α）sin．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
22．（12分）某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．
（1）设∠OPA＝α，将展板所需总费用表示成α的函数；
（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，用α表示出OH和PH，从而可得铜条长度和正方形的面积，进而得出函数式；
（2）利用同角三角函数的关系和二次函数的性质求出预算的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，则PH＝cosα，OH＝sinα，
∵正方形ABCD的中心在展板圆心，
∴铜条长为相等，每根铜条长2cosα，
∴AD＝2OH＝2sinα，
∴展板所需总费用为y＝80cosα+80sin2α（0＜α）．
（2）y＝80cosα+80sin2α＝﹣80cos2α+80cosα+80＝﹣80（cosα）2+100≤100．
∴上述设计方案是不会超出班级预算．
【点评】本题考查了函数应用，三角函数恒等变换与求值，属于中档题．
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