第一章 集合与常用逻辑用语（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第一章 集合与常用逻辑用语
一、单选题
1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　）
A．{2，3，4} B．{3，4} C．{2，3} D．{2}
2．设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|x≤5}，则M∩N＝（　　）
A．{x|0＜x} B．{x|x＜4} C．{x|4≤x＜5} D．{x|0＜x≤5}
3．命题“ x0≤0，x2＜0”的否定是（　　）
A． x≤0，x2＜0 B． x≤0，x2≥0
C． D．
4．设A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜0，或x＞2}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣∞，0） B．（2，3）
C．（﹣∞，0）∪（2，3） D．（﹣∞，3）
5．设U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＜1，x∈U}，则 UA＝（　　）
A．{0，1，2} B．{﹣1，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{﹣1，0，1}
6．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则 U（M∪N）＝（　　）
A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4}
7．设M、P、S为三个集合，“M P”是“（P∩S） （M∩S）”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．充要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
8．设集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，则“x∈A”是“x∈B”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
9．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x＜3或x≥9}，集合B＝{x|x≥a}，若（ UA）∩B≠ ，则a的取值范围为（　　）
A．a＞3 B．a≤3 C．a＜9 D．a≤9
二、多选题
（多选）10．下列存在量词命题中真命题是（　　）
A． x∈R，x≤0
B．至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数
C． x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D． x0∈Z，1＜5x0＜3
（多选）11．若“ x∈M，|x|＞x”为真命题，“ x∈M，x＞3”为假命题，则集合M可以是（　　）
A．（﹣∞，﹣5） B．（﹣3，﹣1] C．（3，+∞） D．[0，3]
（多选）12．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（　　）
A．p是q的既不充分也不必要条件
B．p是s的充分条件
C．r是q的必要不充分条件
D．s是q的充要条件
（多选）13．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（　　）
A．A∩B＝{0，1}
B． UB＝{4}
C．A∪B＝{0，1，3，4}
D．集合A的真子集个数为8
三、填空题
14．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5＝0”的否定是　 　 ．
15．若“ x∈R，有k≤﹣x2+1成立”是真命题，则实数k的取值范围是 　 　 ．
16．设全集U＝{2，3，2a﹣3}，A＝{2，b}， UA＝{5}，则a＝　 　 ，b＝　 　 ．
17．已知α：x＞3或x＜1，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，若β是￢α的必要不充分条件，则m的取值范围是 　 　 ．
四、解答题
18．集合A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|1＜3x﹣5＜16}．
（1）求A∪B；
（2）求（ RA）∩B．
19．已知全集U＝{小于10的正整数}，A U，B U，且（ UA）∩B＝{1，8}，A∩B＝{2，3}，（ UA）∩（ UB）＝{4，6，9}．
（1）求集合A和B．
（2）求（ RU）∪[ Z（A∩B）]．（其中R为实数集，Z为整数集）
20．已知集合A＝{x|2a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B＝ ，求a的取值范围．
21．已知p：实数x满足集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，q：实数x满足集合B＝{x|x≤﹣2或x≥3}．
（1）若a＝﹣1，求A∪B；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
22．已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜m2+1}，B＝{x|x2＜4}．
（1）当m＝2时，求A∪B，A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
23．在①{x|a﹣1≤x≤a}；②{x|a≤x≤a+2}；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的a存在，求a的值，若a不存在，请说明理由．已知集合A＝____，B＝{x|1≤x≤3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
第一章 集合与常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一、单选题
1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　）
A．{2，3，4} B．{3，4} C．{2，3} D．{2}
【答案】C
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，
∴A∩B＝{2，3}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|x≤5}，则M∩N＝（　　）
A．{x|0＜x} B．{x|x＜4} C．{x|4≤x＜5} D．{x|0＜x≤5}
【答案】B
【分析】直接利用交集运算求解．
【解答】解：集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|x≤5}，则M∩N＝{x|x＜4}，
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
3．命题“ x0≤0，x2＜0”的否定是（　　）
A． x≤0，x2＜0 B． x≤0，x2≥0
C． D．
【答案】B
【分析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可
【解答】解：命题“ x0≤0，x2＜0”是一个特称命题，则它的否定为“ x≤0，x2≥0”
故选：B．
【点评】本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词
4．设A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜0，或x＞2}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣∞，0） B．（2，3）
C．（﹣∞，0）∪（2，3） D．（﹣∞，3）
【答案】C
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜0，或x＞2}，
∴A∩B＝（﹣∞，0）∪（2，3）．
故选：C．
【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
5．设U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＜1，x∈U}，则 UA＝（　　）
A．{0，1，2} B．{﹣1，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{﹣1，0，1}
【答案】B
【分析】化简集合A，求出A的补集即可．
【解答】解：设U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＜1，x∈U}＝{0}，
∴ UA＝{﹣1，1，2}，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
6．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则 U（M∪N）＝（　　）
A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4}
【答案】A
【分析】利用并集定义先求出M∪N，由此能求出 U（M∪N）．
【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，
∴M∪N＝{1，2，3，4}，
∴ U（M∪N）＝{5}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
7．设M、P、S为三个集合，“M P”是“（P∩S） （M∩S）”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．充要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据充要条件的定义，集合的运算性质，即可得到结论．
【解答】解：当“M P”时，可以推出“（P∩S） （M∩S）”，
由（P∩S） （M∩S）”推出M P，或S P，
故“M P”是“（P∩S） （M∩S）”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了交集的运算性质，充要条件的判断，属于基础题．
8．设集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，则“x∈A”是“x∈B”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先求出集合A，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断．
【解答】解：设集合A＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，则“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合与元素之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x＜3或x≥9}，集合B＝{x|x≥a}，若（ UA）∩B≠ ，则a的取值范围为（　　）
A．a＞3 B．a≤3 C．a＜9 D．a≤9
【答案】C
【分析】可以求出 UA＝{x|3≤x＜9}，然后根据（ UA）∩B≠ 即可得出a的取值范围．
【解答】解： UA＝{x|3≤x＜9}，且（ UA）∩B≠ ，
∴a＜9．
故选：C．
【点评】本题考查了交集和补集的定义及运算，描述法的定义，考查了计算能力，属于基础题．
二、多选题
（多选）10．下列存在量词命题中真命题是（　　）
A． x∈R，x≤0
B．至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数
C． x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D． x0∈Z，1＜5x0＜3
【答案】ABC
【分析】根据题意，分别判断选项中的命题是否为真命题即可．
【解答】解：对于A， x∈R，x≤0，如x＝﹣3，﹣3≤0，所以是真命题；
对于B，至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数，如1是整数，它既不是合数，也不是素数，所以是真命题；
对于C， x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，如x＝π，π2是无理数，所以是真命题；
对于D，因为1＜5x0＜3，所以x0，所以x0不是整数，是假命题．
故选：ABC．
【点评】本题考查了存在量词命题的真假性判定问题，是基础题．
（多选）11．若“ x∈M，|x|＞x”为真命题，“ x∈M，x＞3”为假命题，则集合M可以是（　　）
A．（﹣∞，﹣5） B．（﹣3，﹣1] C．（3，+∞） D．[0，3]
【答案】AB
【分析】由题意可得集合M中的元素均为负数，结合选项得答案．
【解答】解：“ x∈M，|x|＞x”为真命题，则x＜0；
“ x∈M，x＞3”为假命题，则“ x∈M，x≤3”为真命题．
由上可知，集合M中的元素均为负数，
∴集合M可以是A，B．
故选：AB．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力，是基础题．
（多选）12．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（　　）
A．p是q的既不充分也不必要条件
B．p是s的充分条件
C．r是q的必要不充分条件
D．s是q的充要条件
【答案】BD
【分析】由已知可得p r s q；q r s，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：由已知得：p r s q；q r s．
∴p是q的充分条件；p是s的充分条件；r是q的充要条件；s是q的充要条件．
∴正确的是B、D．
故选：BD．
【点评】本题考查充分必要条件的判定，是基础题．
（多选）13．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（　　）
A．A∩B＝{0，1}
B． UB＝{4}
C．A∪B＝{0，1，3，4}
D．集合A的真子集个数为8
【答案】AC
【分析】根据集合的交集，补集，并集的定义分别进行判断即可．
【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，
∴A∩B＝{0，1}，故A正确，
UB＝{2，4}，故B错误，
A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确，
集合A的真子集个数为23﹣1＝7，故D错误
故选：AC．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合集合的交集，补集，并集的定义是解决本题的关键．
三、填空题
14．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5＝0”的否定是　对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据命题“存在x∈R，使得x2+2x+5＝0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝“改为“≠”即可得答案．
【解答】解：∵命题“存在x∈R，使得x2+2x+5＝0”是特称命题
∴命题的否定为：对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0．
故答案为：对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0．
【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．
15．若“ x∈R，有k≤﹣x2+1成立”是真命题，则实数k的取值范围是 　（﹣∞，1]　 ．
【答案】（﹣∞，1]．
【分析】根据特称命题的性质得到k≤（﹣x2+1）max，再求出函数的最大值即可．
【解答】解：若 x∈R，有k≤﹣x2+1成立是真命题，
则k≤（﹣x2+1）max，
∵﹣x2+1≤1，∴k≤1，
∴实数k的取值范围是：（﹣∞，1]，
故答案为：（﹣∞，1]．
【点评】本题主要考查特称命题的性质，将条件转化为求函数的最值是解决本题的关键，属基础题．
16．设全集U＝{2，3，2a﹣3}，A＝{2，b}， UA＝{5}，则a＝　4　 ，b＝　3　 ．
【答案】4；3．
【分析】由已知结合补集运算得答案．
【解答】解：∵U＝{2，3，2a﹣3}，A＝{2，b}，且 UA＝{5}，
∴2a﹣3＝5，即a＝4，则U＝{2，3，5}， UA＝{5}，
∴A＝{2，3}，则b＝3．
故答案为：4；3．
【点评】本题考查补集及其运算，是基础题．
17．已知α：x＞3或x＜1，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，若β是￢α的必要不充分条件，则m的取值范围是 　[，0]　 ．
【答案】[，0]．
【分析】根据充分必要条件的定义可得，且等号不能同时成立，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵α：x＞3或x＜1，
∴￢α：1≤x≤3，
β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，
若β是￢α的必要不充分条件，
令A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|m+1≤x≤2m+4，m∈R，}
∴集合A B，
∴，且等号不能同时成立，即m≤0，
故答案为：[，0]．
【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，运用了转化的思想方法，属于基础题．
四、解答题
18．集合A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|1＜3x﹣5＜16}．
（1）求A∪B；
（2）求（ RA）∩B．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）可以求出集合B，然后进行并集的运算即可；
（2）进行补集和交集的运算即可．
【解答】解：（1）∵A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|2＜x＜7}，
∴A∪B＝{x|2＜x＜10}；
（2） RA＝{x|x＜3或x≥10}，
∴（ RA）∩B＝{x|2＜x＜3}．
【点评】本题考查了集合交集、并集和补集的概念及运算，考查了计算能力，属于基础题．
19．已知全集U＝{小于10的正整数}，A U，B U，且（ UA）∩B＝{1，8}，A∩B＝{2，3}，（ UA）∩（ UB）＝{4，6，9}．
（1）求集合A和B．
（2）求（ RU）∪[ Z（A∩B）]．（其中R为实数集，Z为整数集）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用韦恩图，将各个集合进行表示，据图可以写出A，B
（2）直接计算较麻烦，可以显得出[ Z（A∩B）] （ RU），所以（ RU）∪[ Z（A∩B）]＝ Z（A∩B）
【解答】解：（1）利用韦恩图，将各个集合表示如下：
据图可以写出A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，8}
（2）A∩B＝{2，3}， Z（A∩B）＝{x∈Z|x≠2，且x≠3}．
[ Z（A∩B）] （ RU），所以（ RU）∪[ Z（A∩B）]＝ R（A∩B）＝{x∈R|x≠2，且x≠3}．
【点评】本题考查集合的基本运算．考查逻辑思维，运算求解能力．容易出错．属于基础题．
20．已知集合A＝{x|2a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B＝ ，求a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用集合间的基本关系求解即可．
【解答】解：集合A＝{x|2a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，A∩B＝ ，
若A＝ ，即2a＞a+3，解得a＞3，满足题意，
若A≠ ，则，
解得a≤2，
综上所述a的取值范围为{x|a≤2，或a＞3}
【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，考查学生的计算能力，比较基础．
21．已知p：实数x满足集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，q：实数x满足集合B＝{x|x≤﹣2或x≥3}．
（1）若a＝﹣1，求A∪B；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）{x|x≤0或x≥3}；
（2）（﹣∞，﹣3]∪[4，+∞）．
【分析】（1）由a＝﹣1时得到A＝{x|﹣2≤x≤0}，进而根据并集的定义即可求解；
（2）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝﹣1时A＝{x|﹣2≤x≤0}，B＝{x|x≤﹣2或x≥3}，
∴A∪B＝{x|x≤0或x≥3}；
（2）∵p是q的充分条件，∴A B，且A≠ ，
则a+1≤﹣2或a﹣1≥3，解得a≤﹣3，或a≥4，
∴p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[4，+∞）．
【点评】本题考查了充分条件，考查了集合关系的参数取值问题，集合关系的参数取值问题要转化为两集合端点值的大小比较，是易错题．
22．已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜m2+1}，B＝{x|x2＜4}．
（1）当m＝2时，求A∪B，A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）A∪B＝{x|﹣2＜x＜5}，A∩B＝{x|1＜x＜2}；（2）{m|﹣1＜m≤1}．
【分析】（1）根据交集和并集的定义即可求出；
（2）由x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，可得A B，进而得出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝2时，A＝{x|1＜x＜5}，B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，
∴A∪B＝{x|﹣2＜x＜5}，A∩B＝{x|1＜x＜2}；
（2）“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，
∴A B，
当A＝ 时，即m﹣1≥m2+1时，此时m无解，
∴A≠ ，
∴，解得﹣1≤m≤1，
当m＝﹣1时，A＝B＝（﹣2，2），不成立．
故实数m的取值范围为{m|﹣1＜m≤1}．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合与元素之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
23．在①{x|a﹣1≤x≤a}；②{x|a≤x≤a+2}；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的a存在，求a的值，若a不存在，请说明理由．已知集合A＝____，B＝{x|1≤x≤3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】选条件①时，实数a的取值范围是[2，3]；选条件②或③时，不存在a的值．
【分析】根据x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，可得A B，进而得出a的取值范围．
【解答】解：由题意知，A不为空集，B＝{x|1≤x≤3}．
当选条件①时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A B，
解得2≤a≤3．
所以实数a的取值范围是[2，3]．
当选条件②时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A B，
解得a＝1．此时A＝B，不符合条件．
故不存在a的值满足题意．
当选条件③时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A B，
该不等式组无解，
故不存在a的值满足题意．
【点评】本题考查集合的概念、充分必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
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