湖北省武汉市九师联盟2026届高三上学期开学考试数学试题（含解析）

湖北省武汉市九师联盟2026届高三上学期开学考试
数学试题及答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
. . . .
2.已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ）
. . . .
3.若椭圆的焦距为，则的离心率为（ ）
. . . .
4.已知为两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
.若，，，则 .若，，则
.若，，则 .若，，则
5.已知，，且，则的最小值是（ ）
. . . .
6.已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）
. . . .
7.已知直线，圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ）
.充分不必要条件 .必要不充分条件
.充要条件 .既不充分又不必要条件
8.已知函数是定义在上的偶函数，且，恒成立，则（ ）
. . . .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则（ ）
.估计1000名用户购买手机价格的众数为7.5
.估计1000名用户购买手机价格的平均数为8.45
.估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过6
.估计1000名用户购买手机价格的84%分位数不超过12
10.已知中，内角的对边分别为，为延长线上一点，的平分线交直线于，若，，，则（ ）
. .
.的面积为 .
11.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，点满足，且直线与轴平行，直线与轴交于点，则下列说法正确的是（ ）
.
.若，则直线的斜率为或
.若为的准线上任意一点，则直线的斜率成等差数列
.点到直线的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若函数在处有极值，则实数 .
13.已知向量满足，，且，则 .
14.已知数列的前项和为，且，，若对任意的，等式恒成立，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）求的单调递增区间.
16.（15分）如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，点在棱上.
（1）若为的中点，证明：；
（2）若两条异面直线，所成角的余弦值为，求的值.
17.（15分）为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共100人进行问卷调查.将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为5组：，经统计得下表：
若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”.
（1）根据以上数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运动与性别有关联？
喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计
男
女
合计
（2）从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人担任体育运动宣传员，记随机变量为抽取的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望.
参考答案：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.（17分）已知双曲线经过点，动直线与恰有1个公共点，且与的两条互相垂直的渐近线分别交于点.
（1）求的方程；
（2）已知为坐标原点，求证：的面积为定值；
（3）过的右焦点作两条互相垂直的直线，且与交于两点，与交于两点，若的中点为，的中点为，求证：直线与轴垂直.
19.（17分）已知函数.
（1）若的图象在点处的切线过原点，求实数的值；
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围；
（3）求证：.
答案解析
一、选择题
1.C 解析：∵，，∴.
2.B 解析：由，得.
3.A 解析：由得，又，∴，，
.
4.C 解析：若，，，则或异面，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，则，故C正确；
若，，则或，故D错误.
5.A 解析：∵，∴，∴，
又，，∴，∴，当且仅当，即 ，时等号成立，∴，即的最小值是.
6.D 解析：由等比数列前项和的性质可得：成等比数列，
则，即，解得或（舍去）.
7.C 解析：若点在圆外，则，∴圆心到直线的距离，
∴直线与圆相交，∴圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的充分条件；
若“直线与圆相交”，则圆心到直线的距离，∴，∴点在圆外，∴“点在圆外”是“直线与圆相交”的必要条件，
综上，“点在圆外”是“直线与圆相交”的充要条件.
8.D 解析：∵，恒成立，
令，则恒成立，即，
∴，
∴，，，
…，，
以上各式两边分别相加，得，
在中，令，得，
∵是定义在上的偶函数，∴，∴，
∴，解得.
二、选择题
9.AB 解析：1000名用户购买手机价格的众数为7.5，故A正确；
平均数为，故B正确；
中位数为，故C错误；
1000名用户购买手机价格的84%分位数为，故D错误.
10.AC 解析：根据题意，由正弦定理得：，故A正确；
由余弦定理得，，∵，∴，故B错误；
的面积为，故C正确；
由余弦定理，得，∵，∴，
∵，是的角平分线，∴， ∴.
在中，由正弦定理，得，解得，故D错误.
11.ACD 解析：由题意知，显然直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，，
联立，得，∴，，
∴，∴，故A正确；
∵，∴，∴，又，解得或，
∴或，即直线的斜率为或，故B错误；
设，则，，，
∴
.即，
则直线的斜率成等差数列，故C正确；
如图所示，过点作，垂足为，
又，∴，
又，∴，
∴，故D正确.
三、填空题
12. 解析：∵，∴，∵在处有极值，
∴，∴，解得.
经检验当时，，
当或时，；当h时，，
∴在，上单调递增，在上单调递减，
函数在处有极大值，满足题意.
13. 解析：由，得，即，
整理得，解得或（舍去）.
14. 解析：∵，∴当时，，
两式相减得，∴，
∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，∴，
，则，
∴，
又∵对任意的，等式恒成立，∴，解得，，
∴.
四、解答题
15.解：
.
（1）∵的最小正周期为，∴，解得.
（2）由（1）得，.令，
解得，故的单调递增区间为.
16.解：（1）证明：∵平面，平面，，∴，
∵，，∴，
又平面，，∴平面，
∵平面，∴，
∵，为的中点，∴，
又平面，，∴平面，
∵平面，∴.
（2）如图，以为坐标原点，以所在直线分别为为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，，，
设，
则.
设异面直线与所成角为，
则
，
整理得，解得或（舍去），
∴，∴.
17.（1）列联表如下：
喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计
男 24 36 60
女 8 32 40
合计 32 68 100
零假设为：是否喜欢体育运动与性别无关联.
根据列联表可得
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否喜欢体育运动与性别有关联.
（2）从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人，
则男生抽取人数为，女生抽取人数为.
的可能取值为0,1,2，
；；，
则的分布列为：
∴.
18.解：（1）双曲线的渐近线方程为，
由两条渐近线垂直可得，∴.
将点代入，得，解得，
∴的方程为.
（2）证明：当动直线的斜率不存在时，，，.
当动直线的斜率存在时，不妨设直线，
联立，得，
从而，化简得.
又∵双曲线的渐近线方程为，
由得，∴，同理得，
∴，
又原点到直线的距离，
∴，又，∴，
综上所述，的面积为定值1.
（3）证明：由题意可得，双曲线的右焦点为，
当直线与的斜率都存在时，设直线的方程为，，，
由，得，
且，
∴，，
∵点是的中点，∴，
∵，∴将换成，得，
∵点与点的纵坐标相同，∴直线与轴垂直，
当直线的斜率不存在，直线的斜率为0时，易得，；
当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，易得，.
∴直线的方程为，与轴垂直.
综上所述，直线与轴垂直.
19.解：（1）函数的定义域为，
导函数，
，，
∵的图象在点处的切线过原点，∴，∴.
（2）令，则对成立，
∴在上是增函数，∴时，，
∵在上是增函数，∴在上成立，
∴在上成立，∴，，
即的取值范围是.
（3）证明：要证，
只要证.
令，则，
易知在上是增函数，且，，
∴在上存在一个实数，使得，
且在上单调递减，在上单调递增，
于是其极小值点满足，即①，
函数的极小值，亦为最小值为.
令，则，
令，
∵在上是增函数，∴在上是减函数，
，
，
∴存在唯一一个数，使得，且当是，；
当时，，
于是其极大值点满足，即，②
函数的极大值，亦为最大值为
，
结合①②及函数在上是增函数，且知，
且.
即的最小值与的最大值相等，∴，
∴成立.