第一章 1.1 集合的概念与表示(课件 学案 练习)高中数学北师大版(2019)必修 第一册

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名称 第一章 1.1 集合的概念与表示(课件 学案 练习)高中数学北师大版(2019)必修 第一册
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资源类型 教案
版本资源 北师大版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-09-12 07:35:52

文档简介

第一章 预备知识
§1 集合
1.1 集合的概念与表示
【课前预习】
知识点一
1.全体 元素 2.a∈A a A
3.N N+ N* Z Q R R+ 4.确定性 互异性
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)√ [解析] (1)不满足集合元素的确定性,错误.
(2)|-3|=3∈N,错误.
(3)集合中的元素满足互异性,正确.
(4)集合中的元素满足无序性,正确.
知识点二
1.花括号“{}”
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ [解析] (1)方程的根是实数,所以此集合为数集,正确.
(2)函数图象与坐标轴的交点为点,所以此集合为点集,故组成的集合为{(0,4),(4,0)}.
(3)集合{x∈R|-1知识点三
1.[a,b] (a,b) [a,b) (a,b]
2.[a,+∞) (a,+∞) (-∞,b] (-∞,b) (-∞,+∞)
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)“∞”是一个符号,不是一个数,以“-∞”或“+∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号.
(2)用区间[a,b]表示集合时,必须满足a(3){x|x≥1}应表示为[1,+∞).
【课中探究】
探究点一
例1 (1)BCD (2)C [解析] (1)选项A中的对象没有一个明确的判定标准,而选项B,C,D中的对象都有一个明确的判定标准,所以选项B,C,D中的对象可以组成集合.故选BCD.
(2)①某省所有的好学校不具有确定性,不能组成集合;②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点,可以组成集合;③π的近似值不具有确定性,不能组成集合;④小于5的自然数有0,1,2,3,4,能组成集合.②④符合条件,故选C.
探究点二
例2 (1)D (2)AD [解析] (1)对于A,0既不是正数也不是负数,N*表示正整数集,故A错误;对于B,Z表示整数集,不是整数,故B错误;对于C,Q表示有理数集,π是无理数,故C错误;对于D,R表示实数集,是实数,故D正确.故选D.
(2)2=>,故A正确;空集是不含任何元素的集合,则1 ,故B错误;假设4∈{x|x=n2+1,n∈N+},则4=n2+1,可得n=±,与n∈N+矛盾,故假设不成立,4 {x|x=n2+1,n∈N+},故C错误;{(x,y)|y=2x+1}中含有(1,3),故D正确.故选AD.
变式 (1)ABD [解析] 因为-1不属于正整数,所以选项C错误,易知其他选项都正确,故选ABD.
(2)解:因为=2+,且2,1∈Z,所以∈A,故为集合A中的元素.
探究点三
例3 (1)CD (2)D [解析] (1)因为集合A={-1,1+a,a2-2a+5},4∈A,所以1+a=4或a2-2a+5=4.若1+a=4,则a=3,此时A={-1,4,8},符合题意;若a2-2a+5=4,则a=1,此时A={-1,2,4},符合题意.所以a=3或a=1,故选CD.
(2)根据集合中元素的互异性可知,构成的四边形的四条边的长度互不相等,其中平行四边形、矩形和菱形对边的长度均相等,不符合要求,梯形的四条边的长度可能互不相等,故构成的四边形可能为梯形.故选D.
变式 B [解析] 当x=0时,x=-x=|x|==-=0,组成的集合中只有1个元素0;当x>0时,|x|=x,=x,-=-x,组成的集合中只有2个元素,即x和-x;当x<0时,|x|=-x,=-x,-=-x,组成的集合中只有2个元素,即x和-x.所以由实数x,-x,|x|,,-组成的集合最多有2个元素.故选B.
探究点四
例4 解:(1)由2x-1>3x,得x<-1,则该不等式的解有无数个,所以用描述法可以表示为{x|x<-1},是无限集.
(2)因为Δ=1-4=-3<0,所以方程x2+x+1=0不存在实数解,即该集合为空集.
(3)由解得所以由一次函数y=-x+3与y=2x+6的图象的交点组成的集合为{(-1,4)},是有限集.
(4)不大于10的正偶数有有限个,可用列举法表示为{2,4,6,8,10},是有限集.
变式 解:(1)大于2且小于6的自然数有3,4,5,所以集合P可以表示为{3,4,5}.
(2)方程(x-1)2(x-2)=0的解为x=1,x=2,所以方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成的集合可以表示为{1,2}.
(3)大于4且不大于5的实数组成的集合可以表示为{x|4§1 集合
1.1 集合的概念与表示
1.C [解析] 组成集合的元素具有确定性,而选项A,B,D中没有明确标准来判断一个元素是否符合要求,不符合集合的定义,不能组成集合.故选C.
2.B [解析] 对于A选项,0∈N,故A错误;对于B选项,1是集合{0,1,2}中的元素,故B正确;对于C选项,0 ,故C错误;对于D选项,∈Q,故D错误.故选B.
3.D [解析] 由元素0组成的集合是{0},该集合含有一个元素,不是空集,A错误;因为“个子比较高”不是一个明确的标准,所以不能组成集合,B错误;因为x∈N,所以集合A={(x,y)|3x+y=2,x∈N}是无限集,C错误;由大于的实数组成的集合为,是无限集,D正确.故选D.
4.D [解析] 不等式组的解集是{x|-25.A [解析] “interesting”的所有字母组成的集合为{i,n,t,e,r,s,g},共有7个元素.故选A.
6.D [解析] 由集合A={12,a2+4a,a-2},得a2+4a≠a-2,解得a≠-2且a≠-1,则a-2≠-3.由-3∈A,得a2+4a=-3,又a≠-1,所以a=-3.当a=-3时,A={12,-3,-5},符合题意,所以a=-3.故选D.
7.C [解析] 因为x∈N,y∈N,xy=16,所以x,y是自然数,且x,y是16的因数,所以x的取值为1,2,4,8,16,则集合A中共有5个元素,故选C.
8.ABD [解析] A选项中,因为方程x2+1=0无实数根,所以P=Q= ,P与Q表示同一个集合;B选项中,集合P中有两个元素2,5,集合Q中也有两个元素2,5,P与Q表示同一个集合;C选项中,集合P中有一个元素,是点(2,5),集合Q中有一个元素,是点(5,2),元素不同,P与Q不表示同一个集合;D选项中,集合P={x|x=2m+1,m∈Z}表示所有奇数构成的集合,集合Q={x|x=2m-1,m∈Z}也表示所有奇数构成的集合,P与Q表示同一个集合.故选ABD.
9.BCD [解析] 对于A,集合{x∈N|x3=x}中只含有两个元素0和1,所以用列举法表示为{0,1},故A中说法正确;对于B,R就表示实数集,{R}为错误表示,故B中说法错误;对于C,方程组的解集应为,故C中说法错误;对于D,集合{y|y=x2}为y的取值集合,集合{(x,y)|y=x2}表示曲线y=x2上点的集合,所以两个集合不是同一个集合,故D中说法错误.选BCD.
10.{0,1} [解析] 满足-111.[2,+∞) [解析] 因为2 {x|x-a>0},所以x=2不满足x-a>0,可得2-a≤0,解得a≥2,所以实数a的取值范围是[2,+∞).
12.7(答案不唯一) [解析] 依题意可得7<-≤9,解得613.解:(1)20的所有质因数为2,5,用列举法表示为A={2,5}.
(2)满足小于3且大于-1的实数组成的集合为{x|-1(3)当n∈N+时,4n表示4的倍数,可用描述法表示为C={x|x=4n,n∈N+}.
14.解:(1)因为A= ,所以关于x的方程ax2-3x+2=0无实数解,则a≠0且Δ=9-8a<0,解得a>,则a的取值范围为.
(2)集合A中仅有一个元素,可分为两种情况:
①当a=0时,方程为-3x+2=0,解得x=,此时A=;
②当a≠0时,需满足Δ=9-8a=0,解得a=,此时A=.
15.6 [解析] 依题意可知,无“孤立元”是指集合中的任何一个元素,在该集合中都有与之相邻的元素.因此,符合题意的集合是{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6个.
16.解:(1)因为(+)2=8+4,所以m=8,n=4,不满足m2-3n2=1,所以(+)2不是集合A中的元素.
(2)证明:因为c∈A,所以==(m+n)(2-)=(2m-3n)+(2n-m),其中(2m-3n)2-3(2n-m)2=m2-3n2=1,2m-3n,2n-m都是整数,所以∈A.
(3)证明:因为x∈A,所以x+=m+n+=m+n+=2m,因为m∈Z,所以2m为偶数,即x+为偶数.第一章 预备知识
§1 集合
1.1 集合的概念与表示
【学习目标】
1.通过实例了解与集合有关的概念(元素、集合、有限集、无限集、空集),初步掌握常用数集及集合的表示方法,发展数学抽象素养.
2.通过选用不同的方法表示一个集合,体会元素与集合之间的关系,感受集合中元素的确定性、互异性、无序性.
3.在学习集合语言的过程中,增强学生通过性质辨别不同事物的能力,并进行分类表达.
                 
◆ 知识点一 集合的概念及元素的特征
1.集合与元素的概念:一般地,我们把指定的某些对象的    称为集合,集合中的每个对象叫作这个集合的    .
2.符号表示:集合通常用大写英文字母A,B,C,…表示,元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示.如果元素a在集合A中,就说元素a属于集合A,记作    ;如果元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A,记作     .
3.常用的数集及其记法:
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集
记法     或          
4.集合中元素的三个特性为    、    、无序性.
5.空集:我们把不含任何元素的集合叫作空集,记作 .
6.含有有限个元素的集合叫作有限集;含有无限个元素的集合叫作无限集.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)中国著名的旅游景区构成一个集合. (  )
(2)|-3| N. (  )
(3)若a∈A,b∈A,则a≠b. (  )
(4){a,b,c}和{c,b,a}表示同一个集合. (  )
◆ 知识点二 集合的表示法
1.列举法:把集合中的元素一一列举出来写在      内表示集合的方法,一般可将集合表示为{a,b,c,…}.(注意元素间要用“,”隔开,如{-1,0,1,2})
2.描述法:通过描述元素满足的条件表示集合的方法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程(x-1)(x+2)=0的实数根组成的集合为{1,-2}. (  )
(2)函数y=-x+4的图象与坐标轴的交点组成的集合为{0,4}. (  )
(3)集合{x∈R|-1◆ 知识点三 区间及其表示
1.区间的概念(a,b是两个实数,且a定义 符号 名称 数轴表示
{x|a≤x≤b}    闭区间
{x|a{x|a≤x{x|a2.其他区间的表示
定义 符号 数轴表示
{x|x≥a}    
{x|x>a}    
{x|x≤b}    
{x|x特别地,实数集R可以表示为    .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“∞”表示的是一个数. (  )
(2){x|5≥x≥1}用区间可表示为[5,1]. (  )
(3){x|x≥1}可表示为(1,+∞]. (  )
◆ 探究点一 集合的概念
例1 (1)(多选题)下列对象中能组成集合的是(  )                 
A.著名的科学家
B.中国的直辖市
C.所有的偶数
D.所有的直角三角形
(2)下列对象中能组成集合的是:①某省所有的好学校;②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点;③π的近似值;④小于5的自然数.(  )
A.①② B.②③
C.②④ D.③④
[素养小结]
判断给定的对象能不能构成集合,关键在于能否找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.
◆ 探究点二 元素与集合的关系
例2 (1)下列表示正确的是 (  )
A.0∈N* B.∈Z
C.π∈Q D.∈R
(2)(多选题)下列关系中正确的是 (  )
A.2 {x|x<}
B.1∈
C.4∈{x|x=n2+1,n∈N+}
D.(1,3)∈{(x,y)|y=2x+1}
变式 (1)(多选题)下列结论正确的是 (  )
A.∈Q B. Q
C.-1∈N+ D.-5∈Z
(2)已知集合A是由形如m+n(其中m,n∈Z)的数组成的,请判断是否为集合A中的元素.
[素养小结]
判断一个对象是不是某集合中的元素,首先要明确已知集合中的元素具有怎样的特征,即集合中的元素要符合哪些表达式或满足哪些条件,然后再判断此对象是否也具有这种特征,从而确定该对象与已知集合的关系.
◆ 探究点三 集合中元素特性的简单应用
例3 (1)(多选题)设集合A={-1,1+a,a2-2a+5},若4∈A,则a的值可能为 (  )
A.-1 B.0
C.1 D.3
(2)已知集合A={a1,a2,a3,a4},且a1,a2,a3,a4均为正数,则以a1,a2,a3,a4为边长构成的四边形可能是 (  )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
变式 由实数x,-x,|x|,,-组成的集合最多有 (  )
A.3个元素 B.2个元素
C.4个元素 D.5个元素
[素养小结]
集合中的元素应具有确定性、互异性和无序性,在解决与参数相关的问题时,一定要确保参数的值满足集合中元素的互异性,否则应舍去.
◆ 探究点四 集合的表示法
例4 用适当的方法表示下列集合,并指明是无限集、有限集还是空集.
(1)满足不等式2x-1>3x的解组成的集合;
(2)由方程x2+x+1=0的实数解组成的集合;
(3)由一次函数y=-x+3与y=2x+6的图象的交点组成的集合;
(4)不大于10的正偶数组成的集合.
变式 用适当的方法表示下列集合.
(1)大于2且小于6的自然数组成的集合P;
(2)方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成的集合;
(3)大于4且不大于5的实数组成的集合.
[素养小结]
(1)用列举法表示集合应注意:
①弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素.
②若集合中的元素是点,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
(2)利用描述法表示集合应注意:
①写清楚该集合的代表元素.
②在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.第一章 预备知识
§1 集合
1.1 集合的概念与表示
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.下列能组成集合的是 (  )                 
A.某电视台著名节目主持人
B.我市跑得快的汽车
C.某市所有的中学生
D.数学必修第一册课本中所有的简单题
2.下列表述正确的是 (  )
A.0 N
B. 1∈{0,1,2}
C.0∈
D. Q
3.下列说法正确的是 (  )
A.由元素0组成的集合是空集
B.某班个子比较高的同学可以组成一个有限集
C.集合A={(x,y)|3x+y=2,x∈N}是有限集
D.由大于的实数组成的集合是一个无限集
4.不等式组的解集可以表示为 (  )
A.
B.{-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}
C.[-2,8)
D.(-2,8]
5.英文单词“interesting”的所有字母组成的集合共有 (  )
A.7个元素
B.8个元素
C.9个元素
D.11个元素
6.已知集合A={12,a2+4a,a-2},且-3∈A,则a= (  )
A.-1 B.-2
C.3 D.-3
7.集合A={x∈N|xy=16,y∈N}的元素个数为 (  )
A.3 B.4
C.5 D.6
8.(多选题)下列选项中,P与Q表示同一个集合的是 (  )
A.P={x|x2+1=0,x∈R},Q=
B.P={2,5},Q={5,2}
C.P={(2,5)},Q={(5,2)}
D.P={x|x=2m+1,m∈Z},Q={x|x=2m-1,m∈Z}
9.(多选题)下列说法中错误的是 (  )
A.集合{x∈N|x3=x}用列举法表示为{0,1}
B.实数集可以表示为{x|x为实数}或{R}
C.方程组的解集为
D.集合{y|y=x2}与{(x,y)|y=x2}是同一个集合
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.用列举法表示由满足-111.若2 {x|x-a>0},则实数a的取值范围是    .
12.若集合中恰有8个整数元素,则a的值可以为    .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)用所要求的方法表示下列集合:
(1)20的所有质因数组成的集合A(列举法);
(2)满足小于3且大于-1的实数组成的集合B(区间);
(3)所有是4的倍数的正整数组成的集合C(描述法).
14.(10分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}.
(1)若A= ,求实数a的取值范围;
(2)若A中仅有一个元素,求实数a的值及集合A.
15.(5分)设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,若k-1 A,且k+1 A,则称k是A的一个“孤立元”.给定集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},在由S的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为    .
16.(15分)已知集合A={x|x=m+n,且m2-3n2=1,m,n∈Z}.
(1)判断(+)2是否为A中的元素;
(2)设c∈A,求证:∈A;
(3)证明:若x∈A,则x+是偶数.(共36张PPT)
§1 集合
1.1 集合的概念与表示
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.通过实例了解与集合有关的概念(元素、集合、有限集、无限集、空
集),初步掌握常用数集及集合的表示方法,发展数学抽象素养.
2.通过选用不同的方法表示一个集合,体会元素与集合之间的关系,感受
集合中元素的确定性、互异性、无序性.
3.在学习集合语言的过程中,增强学生通过性质辨别不同事物的能力,并
进行分类表达.
知识点一 集合的概念及元素的特征
1.集合与元素的概念:一般地,我们把指定的某些对象的______称为集合,集
合中的每个对象叫作这个集合的______.
全体
元素
2.符号表示:集合通常用大写英文字母,,, 表示,元素通常用小写
英文字母,,, 表示.如果元素在集合中,就说元素属于集合 ,记
作______;如果元素不在集合中,就说元素不属于集合 ,记作______.
3.常用的数集及其记法:
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集
记法 ___ ____或____ ___ ___ ___ ____
4.集合中元素的三个特性为________、________、无序性.
确定性
互异性
5.空集:我们把不含任何元素的集合叫作空集,记作 .
6.含有有限个元素的集合叫作有限集;含有无限个元素的集合叫作无限集.
【诊断分析】
判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)中国著名的旅游景区构成一个集合.( )
×
[解析] 不满足集合元素的确定性,错误.
(2) .( )
×
[解析] ,错误.
(3)若,,则 .( )

[解析] 集合中的元素满足互异性,正确.
(4),,和,, 表示同一个集合.( )

[解析] 集合中的元素满足无序性,正确.
知识点二 集合的表示法
1.列举法:把集合中的元素一一列举出来写在___________内表示集合的方法,
一般可将集合表示为,,,.注意元素间要用“,”隔开,如 ,0,1,
花括号“{}”
2.描述法:通过描述元素满足的条件表示集合的方法.一般可将集合表示为及
的范围 满足的条件}.
【诊断分析】
判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程的实数根组成的集合为, .( )

[解析] 方程的根是实数,所以此集合为数集,正确.
(2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合为 .( )
×
[解析] 函数图象与坐标轴的交点为点,所以此集合为点集,故组成的集合为
, .
(3)集合与集合 表示同一个集合. ( )

[解析] 集合与集合 表示的是同一个集合,
虽然它们的代表元素符号不一样,一个用了,一个用了 ,但都表示数,
且数的范围相同.
知识点三 区间及其表示
1.区间的概念,是两个实数,且
定义 符号 名称 数轴表示
______ 闭区间 ______________________________________________
______ 开区间 ______________________________________________
______ 半开半闭区间 _______________________________________________
______ 半开半闭区间 _______________________________________________
2.其他区间的表示
定义 符号 数轴表示
________ ________________________________________________
________ _____________________________________________
________ ________________________________________________
________ _______________________________________________
特别地,实数集 可以表示为__________.
【诊断分析】
判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“ ”表示的是一个数.( )
×
[解析] “ ”是一个符号,不是一个数,以“ ”或“ ”为区间的一端时,这
一端必须用小括号.
(2)用区间可表示为 .( )
×
[解析] 用区间表示集合时,必须满足 .
(3)可表示为 .( )
×
[解析] 应表示为 .
探究点一 集合的概念
例1(1) (多选题)下列对象中能组成集合的是( )
BCD
A.著名的科学家 B.中国的直辖市
C.所有的偶数 D.所有的直角三角形
[解析] 选项A中的对象没有一个明确的判定标准,
而选项B,C,D中的对象都有一个明确的判定标准,
所以选项B,C,D中的对象可以组成集合.故选 .
(2)下列对象中能组成集合的是:①某省所有的好学校;②直角坐标系中横坐
标与纵坐标互为相反数的点; 的近似值;④小于5的自然数.( )
C
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
[解析] ①某省所有的好学校不具有确定性,不能组成集合;
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点,可以组成集合;
的近似值不具有确定性,不能组成集合;
④小于5的自然数有0,1,2,3,4,能组成集合.
②④符合条件,故选C.
[素养小结]
判断给定的对象能不能构成集合,关键在于能否找到一个明确的标准,使得对于
任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.
探究点二 元素与集合的关系
例2(1) 下列表示正确的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 对于A,0既不是正数也不是负数, 表示正整数集,故A错误;
对于B,表示整数集,不是整数,故B错误;
对于C,表示有理数集, 是无理数,故C错误;
对于D,表示实数集, 是实数,故D正确.故选D.
(2)(多选题)下列关系中正确的是( )
AD
A.} B.
C., D.
[解析] ,故A正确;
空集是不含任何元素的集合,则 ,故B错误;
假设,,则,可得 ,与矛盾,
故假设不成立,, ,故C错误;
中含有,故D正确.故选 .
变式(1) (多选题)下列结论正确的是( )
ABD
A. B. C. D.
[解析] 因为 不属于正整数,所以选项C错误,易知其他选项都正确,故选
.
(2)已知集合是由形如(其中,)的数组成的,请判断
是否为集合 中的元素.
解:因为,且2,,所以,故为集合 中的元素.
[素养小结]
判断一个对象是不是某集合中的元素,首先要明确已知集合中的元素具有怎样
的特征,即集合中的元素要符合哪些表达式或满足哪些条件,然后再判断此对
象是否也具有这种特征,从而确定该对象与已知集合的关系.
探究点三 集合中元素特性的简单应用
例3(1) (多选题)设集合,,,若,则 的值
可能为( )
CD
A. B.0 C.1 D.3
[解析] 因为集合,,,,
所以 或.
若,则,此时,4, ,符合题意;
若,则,此时,2,,符合题意.
所以或 ,故选 .
(2)已知集合,,,,且,,,均为正数,则以, ,
, 为边长构成的四边形可能是( )
D
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形
[解析] 根据集合中元素的互异性可知,构成的四边形的四条边的长度互不相等,
其中平行四边形、矩形和菱形对边的长度均相等,不符合要求,
梯形的四条边的长度可能互不相等,故构成的四边形可能为梯形.故选D.
变式 由实数,,,, 组成的集合最多有( )
B
A.3个元素 B.2个元素 C.4个元素 D.5个元素
[解析] 当时, ,组成的集合中只有1个元
素0;
当时,,, ,组成的集合中只有2个元素,
即和;
当时,,, ,组成的集合中只有2个元素,
即和.
所以由实数,,,, 组成的集合最多有2个元素.故选B.
[素养小结]
集合中的元素应具有确定性、互异性和无序性,在解决与参数相关的问题时,
一定要确保参数的值满足集合中元素的互异性,否则应舍去.
探究点四 集合的表示法
例4 用适当的方法表示下列集合,并指明是无限集、有限集还是空集.
(1)满足不等式 的解组成的集合;
解:由,得 ,则该不等式的解有无数个,
所以用描述法可以表示为 ,是无限集.
(2)由方程 的实数解组成的集合;
解:因为,所以方程 不存在实数解,即该集合为
空集.
(3)由一次函数与 的图象的交点组成的集合;
解:由解得所以由一次函数与 的图
象的交点组成的集合为 ,是有限集.
(4)不大于10的正偶数组成的集合.
解:不大于10的正偶数有有限个,可用列举法表示为,4,6,8, ,是有限集.
变式 用适当的方法表示下列集合.
(1)大于2且小于6的自然数组成的集合 ;
解:大于2且小于6的自然数有3,4,5,所以集合可以表示为,4, .
(2)方程 的所有解组成的集合;
解:方程的解为,,所以方程 的
所有解组成的集合可以表示为, .
(3)大于4且不大于5的实数组成的集合.
解:大于4且不大于5的实数组成的集合可以表示为 .
[素养小结]
(1)用列举法表示集合应注意:
①弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素.
②若集合中的元素是点,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
(2)利用描述法表示集合应注意:
①写清楚该集合的代表元素.
②在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.
1.集合概念的疑难点
(1)我们一定要从整体的角度去看待集合;
(2)构成集合的对象必须是确定的且是不同的;
(3)元素与集合的关系是“属于”或“不属于”;
(4)不含任何元素的集合叫作空集,它也是一个集合.
2.用描述法表示集合应注意的问题
(1)一定要写清楚集合的代表元素,集合中元素的意义就取决于它的代表元素,
如和 表示不同的集合;
(2)所有描述的内容都要写在花括号内,如“, ”不符合要求,
正确的写法应是“ ”.
(3)对于连续型数集一般可以用区间来表示.
1.利用分类讨论的思想解决参数问题
对于求解集合中元素含参数的问题,一定要全面思考,通常需要利用分类讨论
的思想来解决.
例1(1) 已知集合,,,若,则实数 的值
为___.
1
[解析] 若,则,此时 ,不符合题意.
若,则或,当时, ,不符合题意;
当时,,符合题意.综上所述,实数 的值为1.
(2)已知关于的不等式的解集为,若且 ,则
的取值范围是____________.
[解析] 依题意得解得 .
2.集合的新定义问题
新定义型集合的问题是近几年的热点类型,解决此类问题的方法是化归转化法,
就是在理解新定义的基础上,将陌生的问题熟悉化,然后用已掌握的知识和方
法求解.
例2 已知元有限集,,, , ,若
,则称集合为“ 元和谐集”.
(1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程).
解:不妨令,此时 ,满足要求.
(2)若正数集,是“二元和谐集”,试证明元素, 中至少有一个大于2.
证明:方法一:假设元素, 均小于或等于2.
因为,,所以可设 ,
由,两边同时除以得 ,
因为,所以,与 矛盾,
假设不成立,故元素, 中至少有一个大于2.
方法二:集合,是“二元和谐集”,设 ,
则,可以看成一元二次方程 的两个正根,
则,解得(舍)或,即 ,
所以, 中至少有一个大于2.
(3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”?如果有,有几个?请说
明理由.
解:设正整数集,, 为“三元和谐集”,则 .
不妨设,则,解得 ,
因为,,所以只有当, 时,满足要求.
综上所述, 满足要求,其他均不合要求,
故存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”,该集合 .