1.2 集合的基本关系
【课前预习】
知识点一
1.A B B A 包含于 包含 2.(1)A A (2) A
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ [解析] (1)如图,利用Venn图可知正确.
(2)集合A也可以是空集,所以错误.
(3)因为0∈Z,空集是任何集合的子集,所以{0} Z, {1,2},正确.
知识点二
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)如A={1,2},B={2,3},满足2∈A,2∈B,但A≠B,错误.
(2)集合{2,7}是数集,含有两个元素2,7,集合{(2,7)}是点集,含有一个元素(2,7),错误.
知识点三
1.A B A≠B 真包含于 真包含
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)A可以是空集,但集合B一定是非空集合.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)B (3)AD [解析] (1)集合M={1,-1,2,-2},集合N={2,-2},所以N是M的真子集.故选B.
(2)因为P={x|y=},所以x-1≥0,即x≥1,故P=[1,+∞).因为Q={y|y=},且y=≥0,所以Q=[0,+∞).则P Q,因此A,C,D错误,B正确.
(3)当x=时,满足x∈A,x B,所以A正确,B不正确;由A={x|x>2},B={x|x>3},可得B A,且B是A的真子集,所以C不正确,D正确.故选AD.
变式 解:(1)集合A中的元素表示实数,集合B中的元素表示有序实数对,故A与B之间无包含关系.
(2)由题意知,集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A B.
(3)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A B.
(4)集合M是正奇数组成的集合,包含元素“1”,集合N是大于或等于3的正奇数组成的集合,不包含元素“1”,故N M.
(5)因为对于任意的k1∈Z,有k1=2×(-k1)+3k1∈A,所以A={x|x=2a+3b,a∈Z,b∈Z}=Z.
因为对于任意的k2∈Z,有k2=4k2-3k2∈B,所以B={x|x=4m-3n,m∈Z,n∈Z}=Z,所以A=B=Z.
探究点二
提问 解:列举法.
例2 解:由题知A={1,3},B={0,1,2,3,4},因为A C B,所以C一定含有元素1,3,故满足A C B的集合C为{1,3},{1,3,0},{1,3,2},{1,3,4},{1,3,0,2},{1,3,0,4},{1,3,2,4},{1,3,0,2,4},共8个.
变式1 A [解析] 因为集合A有15个真子集,所以集合A中有4个元素,所以-1≤m<0,即实数m的取值范围为[-1,0).故选A.
变式2 解:因为6的正约数为1,2,3,6,所以集合Y={1,2,3,6},所以集合Y的子集为 ,{1},{2},{3},{6},{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6},{1,2,3},{1,2,6},{1,3,6},{2,3,6},{1,2,3,6},共16个.
拓展 C [解析] 集合A={x|x≤2,x∈N}={0,1,2},因为B A且B≠A,所以集合B为 ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},所以满足条件的集合B的个数为7.故选C.
探究点三
例3 (1)B (2) [解析] (1)由题意知N={x|x≤k},∵M N,M={x|-1≤x<2},∴k≥2.故选B.
(2)由x2-9x+14=0,解得x=2或x=7,所以集合A={x|x2-9x+14=0}={2,7}.当a=0时,方程ax-1=0无解,则B={x|ax-1=0}= ,满足题意;当a≠0时,由ax-1=0,解得x=,所以=2或=7,解得a=或a=.综上所述,实数a的值组成的集合C=.
(3)由A=B,可得或解得或或
当x=0,y=0时,集合A,B中的元素不满足互异性,舍去.
所以或
变式 (0,2] [解析] 因为A={x|1-a≤x≤1+a},B={x|x≤3,或x≥4},A B,且a>0,所以1+a≤3或1-a≥4,可得0
拓展 解:不存在满足题意的实数a.因为集合B={1,-4},而集合A中无论a取什么值,集合A要么是空集,要么是只含有一个元素的集合,所以仅从元素的个数就可判断B A不可能成立.1.2 集合的基本关系
1.D [解析] 对于A, P,A错误;对于B,{0} P,B错误;对于C,P N,C错误;对于D,{1} P,D正确.故选D.
2.D [解析] ∵集合A={x∈N|-23.C [解析] 易知P={x|x<4},Q={-1,-2},∴Q P,故选C.
4.D [解析] 只有元素与集合之间的关系才用“∈”,故①⑤错误.由题图可知,S U,S T,F U,T U,S与F之间不存在包含关系,F与T之间不存在包含关系.故选D.
5.B [解析] 依题意得A={x|x<1},当n=0时,B=R,符合题意.当n≠0时,因为B={x|nx<11},A B,所以解得06.B [解析] 当x,y,z都是正数时,m=4;当x,y,z都是负数时,m=-4;当x,y,z中有一个是正数另外两个是负数,或者有两个是正数另外一个是负数时,m=0.故该集合中有3个元素,则其子集个数为23=8.故选B.
7.A [解析] 集合M==,N==,∵k∈Z,∴2k-1为奇数,k-2为整数,∴M N.
8.AC [解析] 对于A,集合P表示偶数集,对于Q,因为n∈Z,所以n-1∈Z,所以Q表示偶数集,所以P=Q;对于B,P是由所有正奇数组成的集合,Q是由所有大于1的正奇数组成的集合,所以P与Q不相等;对于C,P={0,1},Q={0,1},所以P=Q;对于D,P是点集,表示一次函数y=x-1图象上所有的点,而Q是数集,表示满足方程y=x-1的y的值,所以P与Q不相等.故选AC.
9.AC [解析] 因为A={0,1},所以B={x|x∈A,x∈N}={0,1},C={x|x A}={ ,{0},{1},{0,1}},所以A=B成立,A∈C成立,A C不成立,故选AC.
10.③ [解析] 由集合元素的无序性可得{1,2}={2,1},故①正确;因为1为集合{1,2}中的元素,且只有元素与集合之间的关系才用“∈”,所以1∈{1,2},故②正确,③错误;因为空集是任何非空集合的真子集,所以 {0},故④正确.故填③.
11.1 [解析] 由题意知A=B={1,0,-1},则可得故a-b-c=1.
12.[-2,2) [解析] ①当B= 时,ax+2≤0无解,此时a=0,满足题意.②当B≠ 时,ax+2≤0有解,当a>0时,由ax+2≤0可得x≤-,要使B A,则需要
解得013.解:(1)∵集合P={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0},Q={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},S={x|y=x2+1,x∈R}=R,∴Q P,P S.
(2)由已知得A={0,1,2},其子集有 ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},真子集有 ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}.
14.解:(1)由x2-8x+15=0,解得x=3或x=5,故A={3,5}.当a=时,由ax-1=0,得x=5,则B={5},故B A.
(2)当B= 时,满足B A,此时a=0;当B≠ 时,a≠0,B=,
由B A,得=3或=5,所以a=或a=.
综上所述,实数a的取值集合为.
15.7 [解析] 因为集合A={1,2,3,4,5}的算数平均数E(A)==3,所以由“保均值子集”的定义知,所求集合B只需满足B A且E(B)=3即可,故{1,2,3,4,5},{1,2,4,5},{1,3,5},{2,3,4},{1,5},{2,4},{3}符合要求,故集合{1,2,3,4,5}的“保均值子集”有7个.
16.解:(1)集合{1,2,3}的非空子集为{1},{2},{3},{2,1},{3,1},{3,2},{3,2,1},集合{1},{2},{3}的交替和分别为1,2,3,集合{2,1}的交替和为2-1=1,集合{3,1}的交替和为3-1=2,集合{3,2}的交替和为3-2=1,集合{3,2,1}的交替和为3-2+1=2,所以集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.
(2)集合{1,2,3}的所有非空子集中,数字1,2,3各出现了4=22(次).集合{1,2,3,4}的所有非空子集为{1},{2},{3},{4},{2,1},{3,1},{4,1},{3,2},{2,4},{3,4},{3,2,1},{4,2,1},{4,3,1},{4,3,2},{4,3,2,1},其中数字1,2,3,4各出现8=23(次).在集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中,含1的子集的个数为24=16,故数字1在16个子集中出现,即数字1在所有的非空子集中出现了16次.同理,数字2,3,4,5在所有的非空子集中各出现了24=16(次).
由以上规律可知,在集合{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中,数字1,2,3,4,5,6各出现了25=32(次),所以集合M的所有非空子集的元素和的总和为32×(1+2+3+4+5+6)=672.1.2 集合的基本关系
【学习目标】
1.了解集合之间的包含、相等关系的含义.
2.理解子集、真子集的概念.
3.能利用Venn图表达集合间的关系.
◆ 知识点一 子集
1.子集:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合A是集合B的子集,记作 (或 ),读作“A B”(或“B A”).
2.子集的性质:
(1)任何一个集合都是它本身的子集,即 .
(2)规定:空集是任何集合的子集.也就是说,对于任意一个集合A,都有 .
3.Venn图:为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.如A B,可用Venn图(如图)表示.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若A B,且B C,则A C. ( )
(2)若A B,则集合A是由集合B的部分元素组成的. ( )
(3){0} Z, {1,2}. ( )
◆ 知识点二 集合相等
1.定义:对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等,记作A=B.
2.表示:可用Venn图(如图)表示.即对于两个集合A与B,若A B,且B A,则A=B.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若x∈A且x∈B,则A=B. ( )
(2){2,7}={(2,7)}. ( )
◆ 知识点三 真子集
1.真子集:对于两个集合A与B,如果 ,且 ,那么称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A),读作“A B”(或“B A”).可用Venn图(如图)表示.
2.集合的基本关系(如图):
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若A B,则集合A,B都是非空集合. ( )
(2){x|x>3} {x|x≥3}. ( )
(3)当A B时,A B一定成立. ( )
◆ 探究点一 判断集合之间的关系
例1 (1)下列表示集合M={1,-1,2,-2}和集合N={x|x2-4=0}关系的Venn图中正确的是 ( )
A B C D
(2)已知集合P={x|y=},集合Q={y|y=},则P与Q的关系是 ( )
A.P=Q B.P Q
C.Q P D.Q P
(3)(多选题)已知集合A={x|x>2},B={x|x>3},则下列说法中正确的是 ( )
A.存在x∈A,使x B
B.对于任意的x∈A,都有x∈B
C.A B
D.B是A的真子集
变式 判断下列各组中两个集合之间的关系.
(1)集合A={-1,1}与B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)集合A={x|-1(3)集合A={x|x是等边三角形}与B={x|x是等腰三角形};
(4)集合M={x|x=2n-1,n∈N*}与N={x|x=2n+1,n∈N*};
(5)集合A={x|x=2a+3b,a∈Z,b∈Z}与B={x|x=4m-3n,m∈Z,n∈Z}.
[素养小结]
判断集合间关系的方法:
(1)用定义判断.(2)结合数轴判断.(3)用Venn图判断.
◆ 探究点二 确定有限集合的子集、真子集
[提问] 当所给集合中元素的个数较少时,求其子集(或真子集)的个数可采用什么方法
例2 已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={0,1,2,3,4},写出满足A C B的集合C.
变式1 若集合A={x∈Z|mA.[-1,0) B.(-1,0]
C.(-1,0) D.[-1,0]
变式2 设Y是由6的所有正约数组成的集合,写出集合Y的所有子集.
[素养小结]
1.对于含有有限个元素的集合,求该集合的子集或真子集时,有三个关键点:
(1)确定该集合;
(2)合理分类;
(3)注意两个特殊的集合,即空集和集合本身.
2.非空集合(元素个数为n)的子集的个数为2n.
拓展 已知集合A={x|x≤2,x∈N},若B A且B≠A,则满足条件的集合B的个数为 ( )
A.3 B.4 C.7 D.8
◆ 探究点三 由集合的基本关系求参数
例3 (1)设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x-k≤0},若M N,则k的取值范围是 ( )
A.k≤2 B.k≥2
C.k>-1 D.k≤-1
(2)设集合A={x|x2-9x+14=0},B={x|ax-1=0},若B A,则实数a的值组成的集合C= .
(3)已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.
变式 已知a>0,集合A={x|1-a≤x≤1+a},B={x|x≤3,或x≥4}.若A B,则实数a的取值范围是 .
[素养小结]
根据集合的关系求参数的值或取值范围时, 需要把集合语言转换为方程或不等式,然后灵活应用解方程的方法或利用数形结合求解.要特别注意考虑 是否满足题意.
拓展 已知集合A={x|ax=1},B={x|x2+3x-4=0},是否存在实数a,使B A成立 并说明理由.1.2 集合的基本关系
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.若集合P={0,1},则下列表示中正确的是 ( )
A. =P B.{0}∈P
C.N P D.{1} P
2.已知集合A={x∈N|-2A.8 B.7
C.4 D.3
3.已知集合P={x|2x-8<0},Q={x|x2+3x+2=0},则集合P,Q的关系为 ( )
A.P=Q
B.P Q
C.Q P
D.P,Q之间不存在包含关系
4.已知集合U,S,T,F的关系如图所示,给出下列关系:①S∈U;②F T;③S T;④S F;⑤S∈F;⑥F U.其中正确关系的序号是 ( )
A.①③ B.②③
C.③④ D.③⑥
5.[2024·江西赣州高一期末] 若集合A={x|x-1<0},B={x|nx<11},且A B,则n的取值范围是 ( )
A.(0,11]
B.[0,11]
C.(11,+∞)
D.(-∞,11]
6.[2024·山东淄博七中高一月考] 已知集合M=,则M的子集个数是 ( )
A.2 B.8 C.4 D.16
7.已知集合M=,N=,则集合M与集合N的关系是 ( )
A.M N
B.N M
C.M=N
D.不能确定
8.(多选题)下列选项中两集合相等的是 ( )
A.P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z}
B.P={x|x=2n-1,n∈N+},Q={x|x=2n+1,n∈N+}
C.P={x|x2-x=0},Q=
D.P={(x,y)|y=x-1},Q={y|y=x-1}
9.(多选题)[2024·湖南长沙德成学校高一月考] 已知集合A={0,1},B={x|x∈A,x∈N},C={x|x A},则关于集合A,B,C之间的关系,下列说法正确的有 ( )
A.A=B B.A B
C.A∈C D.A C
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.已知关系式:①{1,2}={2,1},②1∈{1,2},③{1}∈{1,2},④ {0}.其中不正确的序号是 .
11.[2024·昆明一中高一月考] 已知实数a,b,c,集合A={a,0,-1},B={c+b,,1},且A=B,则a-b-c= .
12.集合A={x|x<-1或x≥1},B={x|ax+2≤0},若B A,则实数a的取值范围是 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)(1)已知集合P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=x2+1,x∈R},S={x|y=x2+1,x∈R},试判断P与Q,P与S的关系.
(2)已知集合A={x∈N|-114.(10分)设集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.
(1)若a=,试判断集合A与B的关系;
(2)若B A,求实数a的取值集合.
15.(5分)[2024·吉林集安一中高一月考] 对于非空数集A={a1,a2,a3,…,an}(n∈N*),其所有元素的算术平均数记为E(A),即E(A)=.若非空数集B满足下列两个条件:①B A;②E(B)=E(A),则称B为A的一个“保均值子集”.据此,集合A={1,2,3,4,5}的“保均值子集”有 个.
16.(15分)对于含有有限个元素的数集,定义“元素和”如下:把集合中的各数相加;定义“交替和”如下:把集合中的数按从大到小的顺序排列,然后从最大的数开始交替减加各数.例如{4,6,9}的元素和是4+6+9=19;交替和是9-6+4=7.而{5}的元素和与交替和都是5.
(1)求集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和的总和;
(2)求集合M={1,2,3,4,5,6}的所有非空子集的元素和的总和.(共36张PPT)
§1 集合
1.2 集合的基本关系
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.了解集合之间的包含、相等关系的含义.
2.理解子集、真子集的概念.
3.能利用 图表达集合间的关系.
知识点一 子集
1.子集：一般地，对于两个集合与，如果集合 中的任何一个元素都属于集
合，即若,则，那么称集合是集合 的子集，记作_______（或
_______），读作“________”（或“______ ”）.
包含于
包含
2.子集的性质:
（1）任何一个集合都是它本身的子集,即_______.
（2）规定:空集是任何集合的子集.也就是说，对于任意一个集合 ,都有______.
3. 图：为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集
合，称为图.如，可用 图（如图）表示.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若，且，则 .( )
√
[解析] 如图，利用 图可知正确.
（2）若，则集合是由集合 的部分元素组成的.( )
×
[解析] 集合 也可以是空集，所以错误.
（3）, .( )
√
[解析] 因为，空集是任何集合的子集，所以, ，正确.
知识点二 集合相等
1.定义：对于两个集合与，如果集合是集合的子集，且集合也是集合
的子集，那么称集合与集合相等，记作 .
2.表示：可用图（如图）表示.即对于两个集合与，若，且 ，
则 .
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若且，则 .( )
×
[解析] 如,，满足,,但 ，错误.
（2） .( )
×
[解析] 集合是数集，含有两个元素2,7，集合 是点集，含有一个元素
，错误.
知识点三 真子集
1.真子集：对于两个集合与 ，如果_______，且_______，
那么称集合是集合的真子集，记作（或 ），
读作“__________”（或“________”）.可用 图
（如图）表示.
真包含于
真包含
2.集合的基本关系（如图）：
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若，则集合, 都是非空集合.( )
×
[解析] 可以是空集，但集合 一定是非空集合.
（2） .( )
√
（3）当时， 一定成立.( )
√
探究点一 判断集合之间的关系
例1（1） 下列表示集合，，2，和集合 关系
的 图中正确的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 集合,,2,，集合,，所以是 的真子集．故选B.
（2）已知集合，集合，则与 的关系
是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，即，故 .
因为，且，所以.则 ，
因此A，C，D错误，B正确.
（3）（多选题）已知集合, ，则下列说法中正确的
是( )
AD
A.存在,使 B.对于任意的，都有
C. D.是 的真子集
[解析] 当时，满足， ，所以A正确，B不正确；
由,，可得 ，且B是A的真子集，所以C不正确，
D正确.故选 .
变式 判断下列各组中两个集合之间的关系.
（1）集合，与，，， ；
解：集合中的元素表示实数，集合中的元素表示有序实数对，故与 之间无
包含关系.
（2）集合与 ；
解：由题意知，集合，用数轴表示集合， ，如图所示，由图可
知 .
（3）集合是等边三角形}与 是等腰三角形}；
解：等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故 .
（4）集合，与， ；
解：集合是正奇数组成的集合，包含元素“1”，集合 是大于或等于3的正奇数
组成的集合，不包含元素“1”，故 .
（5）集合，，}与， ，
}.
解：因为对于任意的，有 ，
所以，，}= .
因为对于任意的，有，
所以 ，，}=，所以 .
［素养小结］
判断集合间关系的方法：
（1）用定义判断.（2）结合数轴判断.（3）用 图判断.
探究点二 确定有限集合的子集、真子集
［提问］ 当所给集合中元素的个数较少时，求其子集（或真子集）的个数
可采用什么方法？
解：列举法.
例2 已知集合,，写出满足 的
集合 .
解：由题知，，1，2，3，，因为，所以 一定含有
元素1,3，故满足的集合为,,,, ,
,, ，共8个.
变式1 若集合有15个真子集，则实数 的取值范围为
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所以 ，
即实数的取值范围为 .故选A.
变式2 设是由6的所有正约数组成的集合，写出集合 的所有子集.
解：因为6的正约数为1，2，3，6，所以集合,
所以集合 的子集为 ，，，，，，，，，，
，， ，，，, ，共16个.
［素养小结］
1.对于含有有限个元素的集合,求该集合的子集或真子集时，有三个关键点：
（1）确定该集合；
（2）合理分类；
（3）注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
2.非空集合（元素个数为）的子集的个数为 .
拓展 已知集合,，若且，则满足条件的集合
的个数为( )
C
A.3 B.4 C.7 D.8
[解析] 集合,，因为且 ，所以集合B为
，，，，，，，，， ，所以满足条件的集合B的个数为
7.故选C.
探究点三 由集合的基本关系求参数
例3（1） 设集合，，若，则
的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，，， .故选B.
（2）设集合，，若 ，则实
数的值组成的集合 ________.
[解析] 由，解得或 ，
所以集合.
当时，方程 无解，则 ，满足题意；
当时，由，解得 ，所以或，
解得或.
综上所述，实数 的值组成的集合 .
（3）已知集合,,,,2,,且,求实数, 的值.
[解析] 由,可得或解得或或
当,时,集合, 中的元素不满足互异性,舍去.
所以或
变式 已知，集合， ，或
．若，则实数 的取值范围是______．
[解析] 因为，，或， ，
且，所以或，可得，即的取值范围为 .
［素养小结］
根据集合的关系求参数的值或取值范围时, 需要把集合语言转换为方程或不等式,
然后灵活应用解方程的方法或利用数形结合求解.要特别注意考虑 是否满足题意.
拓展 已知集合，，是否存在实数 ，
使 成立 并说明理由.
解:不存在满足题意的实数.因为集合,，而集合中无论 取什么值，
集合 要么是空集，要么是只含有一个元素的集合，所以仅从元素的个数就可判
断 不可能成立.
1.确定有限集的子集、真子集个数的方法
根据子集的定义，若集合是集合的子集，即 ,则有以下几种情况：（1）
;（2）;（3） .当集合中元素的个数有限时，其子集、真子集
的个数是确定的.
当集合中元素的个数为0，即集合为空集时，其子集的个数为1,真子集的个数为
0；
当集合中元素的个数为1时，其子集的个数为2,真子集的个数为1，非空真子集
的个数为0；
当集合中元素的个数为2时，其子集的个数为4,真子集的个数为3，非空真子集
的个数为2；
……
当集合中元素的个数为时，其子集的个数为,真子集的个数为 ，
非空真子集的个数为 .
这里要特别注意，空集是任意一个集合的子集，空集是任意一个非空集合的真
子集，当两个集合相等时，它们之间只是子集关系，而不是真子集关系.
2.集合间的基本关系与实数间的关系的比较
研究对象 关系（符号） 集合
实数
1.列举法
对于元素是有限个的两个或三个集合的包含关系，常常用列举法来确定包含关
系或举反例来否定包含关系.
例1 （多选题）[2024·石家庄师大附中高一月考] 已知集合 ,0,
,0,1,2,，则集合 可以是( )
BC
A.,0, B.,0,1, C.,0,1, D.,0,1,2,
[解析] 由集合,0,,0,1,2,，得,0,，且 ,0,1,2,，
则A，D不符合要求；
因为,0,,0,1,,0,1,2,， ,0,,0,1,,0,1,2,，
所以集合可以是,0,1,或,0,1, ，则B，C符合要求.故选 .
2.数轴法
对于元素为连续型的无限集,两个集合之间是否有包含关系常常利用数轴法来判
断,即在数轴上表示出各集合,通过数轴的直观性作出判断.
例2 已知非空集合，或，若 ，
则实数 的取值范围是________.
[解析] 由题意得，或 ，用数轴表示出集合
, ，如图所示，
因为，所以由图易知，可得，所以实数 的取值范围是
.
3.定义法
例3 已知集合,,,, },证明
.
证明：设,则存在,,满足 ,
,易知 ,
, .
设,则存在,满足 ,
,且, ,
,.综上所述, .