第2课时 集合的基本运算(二)—— 全集与补集
【学习目标】
1.在具体情境中,了解全集的含义.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
3.能使用Venn图表达集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
◆ 知识点 全集与补集
1.全集的概念:在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号 表示.
2.补集的概念:
定义 设U是全集,A是U的一个子集(即A U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集
符号表示 记作 UA,即 UA=
图形表示
3.补集的性质:
(1)A∪( UA)= ,A∩( UA)= .
(2) U( UA)= , UU= , U = .
(3) U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA) ∩( UB).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若全集U={1,2,3,4},集合A={2,3,4},则 UA=1. ( )
(2)若集合A={1,2,3,4,5},B={1,3,5},C={3},则 AB={2,4}, BC={1,2,4,5}. ( )
(3)若集合A={1,3,5}, UA={2,4},则U={1,2,3,4,5}. ( )
◆ 探究点一 补集的运算
例1 (1)已知集合U={0,1,2,3,4,5},M={3,4,5},则 UM= ( )
A.{0,1,2,3,4,5} B.{0,1,2}
C.{3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
(2)已知集合A=(1,+∞),则 RA= ( )
A.(-∞,1] B.(-∞,1)
C.(-1,+∞) D.[-1,+∞)
(3)已知全集U={x|x是实数},A={x|x是有理数},则 UA= .
[素养小结]
求集合补集的方法:(1)定义法:当集合是由列举法表示时,可利用定义直接求解.(2)Venn图法:借助Venn图可直观地求出补集.(3)数轴法:当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴求解,但需注意端点能否取到.
◆ 探究点二 交集、并集、补集的混合运算
例2 已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2A∪( RB).
变式 (1)设全集U={x∈N|x≤4},集合A={1,2},B={2,3},则( UA)∩( UB)= ( )
A.{0,4} B.{4}
C.{1,2,3} D.
(2)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,4,8},B={2,4,5,6},则图中阴影部分所表示的集合是 ( )
A.{2,5} B.{4,6}
C.{2,5,6} D.{1,3,8}
[素养小结]
交集、并集、补集的综合运算问题的解法:(1)对于有限集,先把集合中的元素一一列举出来,再结合交集、并集、补集的定义求解,在解答过程中也常常借助于Venn图.(2)对于连续的无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交集、并集、补集的定义求解,解答过程中注意端点值的取舍.
◆ 探究点三 由补集运算求参数
例3 设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2变式 (1)设全集U={1,2,3,4},集合M={x∈U|x2-5x+p=0},若 UM={1,4},则p的值为 ( )
A.-4 B.4
C.-6 D.6
(2)(多选题)[2024·河南济源高级中学高一月考] 已知全集U=R,集合A={x|x≤a},集合B={x|x<1},则下列说法中正确的是 ( )
A.若B∪( UA)=R,则实数a的取值范围是(-∞,1)
B.若B∪( UA)=R,则实数a的取值范围是(-∞,1]
C.若B∩( UA)= ,则实数a的取值范围是(1,+∞)
D.若B∩( UA)= ,则实数a的取值范围是[1,+∞)
[素养小结]
根据补集的运算结果求参数的值或取值范围时,关键是利用补集的定义,即补集 UA中的元素在全集中不在集合A中,列方程(组)求解.但要注意分类讨论并检验所得结果是否保证U是全集、是否满足集合中元素的互异性.第2课时 集合的基本运算(二)—— 全集与补集
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.设全集U={2,4,6,8,10},A={4,8},则 UA= ( )
A.{4,8}
B.{2,6}
C.{2,6,10}
D.{2,4,6,8,10}
2.已知全集U为R,集合A={x|-1≤x<2},则 UA= ( )
A.{x|x<-1,或x≥2}
B.{x|-1C.{x|x≤-1,或x>2}
D.{x|-1≤x<2}
3.设全集U={3,1,a2-2a+1},集合A={1,3}, UA={0},则实数a的值为 ( )
A.0 B.1
C.-2 D.-1
4.若全集U={-2,-1,0,1,2},A={x∈Z|-2A.1 B.2
C.3 D.4
5.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={1,3,5,7},C={7},则下列Venn图中阴影部分表示集合C的是 ( )
A B C D
6.设全集U=R,集合M=[1,+∞),N=[0,5),则( UM)∪( UN)= ( )
A.[0,+∞)
B.(-∞,1)∪[5,+∞)
C.(-∞,1]∪[5,+∞)
D.(-∞,0)∪[5,+∞)
7.[2024·江西丰城东煌中学高一月考] 下列集合表示图中阴影部分的是 ( )
A.(A∪C)∩(B∪C)
B.(A∪B)∩(A∪C)
C.(A∪B)∪(B∪C)
D.(A∪B)∩C
8.(多选题)已知集合A={x|x<-3,或x>1},B={x|x≤-4,或x>a},若A∩( RB)中恰好含有2个整数,则实数a的取值可以是 ( )
A.3 B.
C. D.4
9.(多选题)若集合M,N满足M N U(其中U为全集),则下列结论正确的是 ( )
A.M∩N=M
B.( UM) ( UN)
C.M (M∩N)
D. U(M∪N)= UN
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.已知全集U={x|x≥-1},集合A={x|011.已知全集U={1,2,3,4,5},且集合A={2,3,4},B={1,2},则A∩( UB)= .
12.已知集合A={x|x>a},B={x|x>1},若A∩( RB)≠ ,则实数a的取值范围是 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},C={3,5,7,9}.求:
(1)A∩B,A∪B, UA;
(2)A∩( UB),A∪(B∩C).
14.(10分)已知全集为R,集合A={x|x<1},集合B={x|x>3,或x<-2}.
(1)求A∪B,A∩( RB);
(2)设D=A∩( RB),若C={x|1-m15.(5分)(多选题)[2024·江西赣州一中高一月考] 下列集合表示图中阴影部分的是 ( )
A.B∩(A∪C)
B.( UB)∩(A∪C)
C.B∩[ U(A∪C)]
D.(A∩B)∪(B∩C)
16.(15分)已知全集U={x∈Z|-3≤x<3},A={x|x2+x-6=0},B={x|ax2-x=0},C={-1,2}.
(1)若B∩C≠ ,且(B∩C) A,求a的值及集合B;
(2)若 U(A∪B∪C)={1},求a的值及( UA)∩( UB).第2课时 集合的基本运算(二)—— 全集与补集
1.C [解析] ∵全集U={2,4,6,8,10},集合A={4,8},∴ UA={2,6,10}.故选C.
2.A [解析] 由补集的定义可得, UA={x|x<-1,或x≥2}.故选A.
3.B [解析] 由已知可得0 A,0∈U,∴a2-2a+1=0,解得a=1.故选B.
4.D [解析] 因为集合A={x∈Z|-25.B [解析] ∵7 A,7∈B,∴7∈ UA,∴C=( UA)∩B,故选B.
6.B [解析] 由题意知 UM=(-∞,1), UN=(-∞,0)∪[5,+∞),∴( UM)∪( UN)=(-∞,1)∪[5,+∞).
7.A [解析] 题图中各区域的标号如图所示.则A∪C表示的区域为①②③④⑥⑦,B∪C表示的区域为②③④⑤⑥⑦,所以(A∪C)∩(B∪C)表示的区域为②③④⑥⑦,故A正确;A∪B表示的区域为①②③④⑤⑥,所以(A∪B)∩(A∪C)表示的区域为①②③④⑥,故B错误;(A∪B)∪(B∪C)表示的区域为①②③④⑤⑥⑦,故C错误;(A∪B)∩C表示的区域为③④⑥,故D错误.故选A.
8.ABC [解析] 根据题意得a>-4, RB={x|-41},A∩( RB)中恰好含有2个整数,∴a>1,在数轴上表示出集合与 RB,如图所示,则A∩( RB)={x|-49.ACD [解析] 对于选项A,因为M N U,所以M∩N=M,正确;对于选项B,因为M N U,所以( UM) ( UN),错误;对于选项C,由M N U,得M∩N=M,则M (M∩N),正确;对于选项D,由M N U,得M∪N=N,则 U(M∪N)= UN,正确.故选ACD.
10.{x|-1≤x≤0,或x>2} [解析] ∵全集U={x|x≥-1},A={x|02}.
11.{3,4} [解析] 因为全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,3,4},B={1,2},所以 UB={3,4,5},则易知A∩( UB)={3,4}.
12.a<1 [解析] 由集合B={x|x>1},可得 RB={x|x≤1},由A∩( RB)≠ ,可得集合A与集合 RB有公共元素.在数轴上表示出集合A, RB,如图所示,由图可知a<1.
13.解:(1)∵A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},∴A∩B={4,5},A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8}.又∵全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},∴ UA={6,7,8,9,10}.
(2)∵全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合B={4,5,6,7,8},∴ UB={1,2,3,9,10},∵A={1,2,3,4,5},∴A∩( UB)={1,2,3}.
∵集合C={3,5,7,9},∴B∩C={5,7},
∴A∪(B∩C)={1,2,3,4,5,7}.
14.解:(1)由A={x|x<1},B={x|x>3,或x<-2},
得A∪B={x|x<1,或x>3}, RB={x|-2≤x≤3},
∴A∩( RB)={x|-2≤x<1}.
(2)由(1)知D={x|-2≤x<1},
(i)当C= 时,满足题意,此时 1-m≥m,得 m≤.
(ii)当C≠ 时,由C D,得解得15.AD [解析] 在阴影部分内任取一个元素x,则x∈A∩B或x∈B∩C,所以阴影部分所表示的集合为 (A∩B)∪(B∩C).再根据集合的运算可知,阴影部分所表示的集合也可表示为B∩(A∪C),所以选项A,D正确,选项C,B不正确.故选AD.
16.解:(1)依题意得,A={-3,2},由C={-1,2},且B∩C≠ ,(B∩C) A,得B∩C={2},
则2∈B,因此4a-2=0,解得a=,经验证符合题意.
由x2-x=0,得x=0或x=2,故B={0,2}.
所以a=,B={0,2}.
(2)依题意得,全集U={-3,-2,-1,0,1,2},由 U(A∪B∪C)={1},得A∪B∪C={-3,-2,-1,0,2}.
由(1)知A∪C={-3,-1,2},
因此B={-2,0},则4a+2=0,解得a=-,经验证符合题意.
故 UA={-2,-1,0,1}, UB={-3,-1,1,2},
则( UA)∩( UB)={-1,1}.
所以a=-,( UA)∩( UB)={-1,1}.(共22张PPT)
§1 集合
第2课时 集合的基本运算（二）——全集与补集
1.3 集合的基本运算
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.在具体情境中，了解全集的含义.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.
3.能使用 图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
知识点 全集与补集
1.全集的概念：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这
个给定的集合叫作全集，常用符号___表示.
2.补集的概念:
定义
符号表示
图形表示 _____________________________________________
，且
3.补集的性质：
（1）___, ___.
（2）___,___, ___.
（3）, .
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若全集，集合，则 .( )
×
[解析] 补集也是集合之间的一种运算，其结果也是集合形式，所以（1）错误.
（2）若集合，,3，，，则 ,
.( )
×
[解析] 所对应的全集是集合，而不是集合，所以 ，所以（2）
错误.
（3）若集合，，则 .( )
√
[解析] 根据补集与全集的定义可知（3）正确.
探究点一 补集的运算
例1（1） 已知集合，1，2，3，4，，，4，，则 ( )
B
A.，1，2，3，4， B.，1，
C.，4， D.，2，3，4，
[解析] 因为集合，，所以 ，故选B.
（2）已知集合，则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由集合，得 .故选A.
（3）已知全集是实数，是有理数，则 ______________.
是无理数
[解析] 因为实数包含有理数和无理数，所以是无理数 .
［素养小结］
求集合补集的方法：（1）定义法:当集合是由列举法表示时,可利用定义直接求
解.（2）图法:借助 图可直观地求出补集.（3）数轴法:当集合是用描述
法表示的连续数集时,可借助数轴求解,但需注意端点能否取到.
探究点二 交集、并集、补集的混合运算
例2 已知集合，，求 ，
，， .
解：因为集合， ，
所以,所以，或 .
易知 ,所以，或 .
因为，所以，或 ，
所以，或 .
因为，所以，或 ，
所以，或，或 .
变式（1） 设全集,集合, ,则
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 全集，, ,
.
（2）已知全集，集合, ，则图中阴
影部分所表示的集合是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合为 ，
因为全集，集合,，
故 ，则 ，故选C.
［素养小结］
交集、并集、补集的综合运算问题的解法：（1）对于有限集,先把集合中的元
素一一列举出来,再结合交集、并集、补集的定义求解,在解答过程中也常常借助
于 图.（2）对于连续的无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示
在数轴上,再根据交集、并集、补集的定义求解,解答过程中注意端点值的取舍.
探究点三 由补集运算求参数
例3 设集合,,全集 ，且
,求实数 的取值范围.
解：方法一：由 ,得 .
因为, ,
所以,即,故实数的取值范围是 .
方法二：由 可知,
因为 , ,
所以,即，故实数的取值范围是 .
变式（1） 设全集，集合 ，若
，则 的值为( )
D
A. B.4 C. D.6
[解析] 全集，，
集合，
方程 的两个根为2和3，则 .故选D.
（2）（多选题）[2024·河南济源高级中学高一月考] 已知全集 ，集合
，集合 ，则下列说法中正确的是( )
AD
A.若，则实数的取值范围是
B.若，则实数的取值范围是
C.若 ，则实数的取值范围是
D.若 ，则实数的取值范围是
[解析] 因为全集，集合，所以 .
又集合，所以若，则实数的取值范围是 ；
若 ，则实数的取值范围是，故选 .
［素养小结］
根据补集的运算结果求参数的值或取值范围时，关键是利用补集的定义，即补
集中的元素在全集中不在集合 中，列方程（组）求解.但要注意分类讨论并
检验所得结果是否保证 是全集、是否满足集合中元素的互异性.
1.求一个集合的补集的方法
求集合在集合中的补集,就是从集合中去掉属于集合 的元素,余
下的元素组成的集合即为 .
2.集合的补集运算与实数的减法运算类比
实数 集合
有关补集运算的求解方法
1. 图法
当所给集合为有限集时，可借助 图进行分析，这样可使问题直观化、形象
化，进而能简捷、准确地求解.
例1 已知全集，, ,
，求集合和 .
解:由全集，画出 图,在图中标出
,, ,
如图所示，
则有，所以集合 , .
2.定义法
根据补集的定义，用图或数轴表示集合在全集中的补集时，集合 的补
集表示的区域由全集中除去集合 表示的区域组成.
例2 设全集,集合, ,若
,求实数 的取值范围.
解：由题可得，或 .
当 时,,解得 ,满足题意;
当 时,,解得,要使,则需要满足 ,或
,
解得或， .
综上，实数的取值范围是或 .第2课时 集合的基本运算(二)—— 全集与补集
【课前预习】
知识点
1.U 2.{x|x∈U,且x A}
3.(1)U (2)A U
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)补集也是集合之间的一种运算,其结果也是集合形式,所以(1)错误.
(2) BC所对应的全集是集合B,而不是集合A,所以 BC={1,5},所以(2)错误.
(3)根据补集与全集的定义可知(3)正确.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)A (3){x|x是无理数} [解析] (1)因为集合U={0,1,2,3,4,5},M={3,4,5},
所以 UM={0,1,2},故选B.
(2)由集合A=(1,+∞),得 RA=(-∞,1].故选A.
(3)因为实数包含有理数和无理数,所以 UA={x|x是无理数}.
探究点二
例2 解:因为集合A={x|3≤x<7},B={x|2所以 R(A∩B)={x|x<3,或x≥7}.
因为A={x|3≤x<7},所以 RA={x|x<3,或x≥7},
所以( RA)∩B={x|2因为B={x|2所以A∪( RB)={x|x≤2,或3≤x<7,或x≥10}.
变式 (1)A (2)C [解析] (1)∵全集U={x∈N|x≤4}={0,1,2,3,4},∴ UA={0,3,4},
UB={0,1,4},∴( UA)∩( UB)={0,4}.
(2)由题图可知,图中阴影部分所表示的集合为( UA)∩B,因为全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,4,8},B={2,4,5,6},故 UA={2,5,6,7},则( UA)∩B={2,5,6},故选C.
探究点三
例3 解:方法一:由A={x|x+m≥0}={x|x≥-m},
得 UA={x|x<-m}.
因为B={x|-2所以-m≤-2,即m≥2,故实数m的取值范围是[2,+∞).
方法二:由( UA)∩B= 可知B A,因为B={x|-2所以-m≤-2,即m≥2,故实数m的取值范围是[2,+∞).
变式 (1)D (2)AD [解析] (1)∵全集U={1,2,3,4}, UM={1,4},∴集合M={x∈U|x2-5x+p=0}={2,3},∴方程x2-5x+p=0的两个根为2和3,则p=2×3=6.故选D.
(2)因为全集U=R,集合A={x|x≤a},所以 UA={x|x>a}.又集合B={x|x<1},所以若B∪( UA) =R,则实数a的取值范围是(-∞,1);若B∩( UA)= ,则实数a的取值范围是[1,+∞),故选AD.
