第2课时 函数的单调性和最值的应用
1.A [解析] 因为y=(k-1)x+b在(-∞,+∞)上是增函数,所以k-1>0,即k>1.故选A.
2.B [解析] 因为函数y=x-在[1,2]上单调递增,所以当x=2时,ymax=2-=.
3.D [解析] 因为函数f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,且f(2x-1)
4.A [解析] 因为对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,所以函数f(x)在R上是增函数,所以f(-2)5.A [解析] 因为对任意x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)恒成立,所以令x=y=0,可得f(0)=0.因为f(x)是定义在R上的减函数,且f>0,所以-1<0,解得x>1,故选A.
6.D [解析] 因为f(x)=x|x|=所以由函数f(x)的图象可知,f(x)在R上是增函数.因为f(2m+1)>f(m-1),所以2m+1>m-1,解得m>-2,所以m的取值范围为(-2,+∞).故选D.
7.D [解析] 因为函数f(x)=在R上单调递增,所以解得08.C [解析] 当x<1时,f(x)=2x-1,f(x)单调递增;当x≥1时,f(x)=x2,f(x)单调递增.因为2×1-1=12,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.由f(x2+x+3)>f(3x2-3),得x2+x+3>3x2-3,即2x2-x-6<0,解得-9.BCD [解析] 由题意得,函数f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=a,则f(x)在(-∞,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,因为f(x)在(-∞,1]上单调递减,所以a≥1,结合选项可知,a的值可以是1或2或3.故选BCD.
10.(-∞,1] [解析] 由x2-3x+2≥0,解得x≤1或x≥2,即f(x)的定义域为(-∞,1]∪[2,+∞).因为y=x2-3x+2在(-∞,1]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1].
11.[3,+∞) [解析] 因为函数y=x2-4x+8=(x-2)2+4图象的对称轴为直线x=2,图象开口向上,所以y=x2-4x+8在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.要使f(x)=x2-4x+8,x∈[1,a]在x=a处取得最大值,只需解得a≥3,即实数a的取值范围是[3,+∞).
12.-f(x)等价于3-x2>x,即x2+x-3<0,解得-13.解:(1)任取x1,x2∈[3,5],且x1则f(x1)-f(x2)=-=
=
=.
∵x1,x2∈[3,5],且x10,x2+2>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)=,x∈[3,5]是增函数.
(2)由(1)知,当x=3时,函数f(x)取得最小值,最小值为f(3)=,当x=5时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(5)=.
14.解:(1)函数f(x)为增函数.
证明如下:任取2由20,=+<1,即x1x2>x1+x2,
所以f(x1)-f(x2)=<0,即f(x1)(2)由(1)知函数f(x)是定义在(2,+∞)上的增函数,
又f(2a+1)>f(4-a),所以解得115.5 [解析] 因为函数f(x)在R上单调递增,所以存在唯一的实数t,使得f(t)=2,又因为f[f(x)-3x]=2,所以f(x)-3x=t,即f(x)=3x+t,所以f(t)=4t=2,解得t=,所以f(x)=3x+,故f=3×+=5.
16.解:(1)当a=时,f(x)在[1,+∞)上是增函数.证明如下:设x1,x2∈[1,+∞),且x1因为x1,x2∈[1,+∞),x10,当a=时,x1x2-a>0,所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)(2)由(1)知,当a≤1时,x1x2>a,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)1时,当1≤x10,即f(x1)>f(x2),则f(x)在[1,]上单调递减;当a,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)1时,f(x)在(,+∞)上单调递增,在[1,]上单调递减.故当a≤1时,f(1)=3+a>0,即a>-3,所以-31时,f(x)min=f()==2+2>0恒成立,所以a>1满足题意.综上,a的取值范围是(-3,+∞).第2课时 函数的单调性和最值的应用
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.若函数y=(k-1)x+b在(-∞,+∞)上是增函数,则 ( )
A.k>1 B.k<1
C.k<-1 D.k>-1
2.函数y=x-在[1,2]上的最大值为 ( )
A.0 B.
C.2 D.3
3.已知函数f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,则满足f(2x-1)A. B.
C. D.
4.定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则 ( )
A.f(-2)B.f(1)C.f(3)D.f(3)5.已知f(x)是定义在R上的减函数,且对任意x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)恒成立,若f>0,则x的取值范围为 ( )
A.(1,+∞) B.(0,1)
C.(0,+∞) D.(-1,0)
6.已知函数f(x)=x|x|,若f(2m+1)>f(m-1),则m的取值范围为 ( )
A.(-∞,-1)
B.(-∞,-2)
C.(-1,+∞)
D.(-2,+∞)
7.若函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围是 ( )
A.(0,2) B.(0,+∞)
C.[2,+∞) D.(0,2]
8.已知函数f(x)=则满足不等式f(x2+x+3)>f(3x2-3)的x的取值范围是 ( )
A.(-2,1) B.
C. D.
9.(多选题)若函数f(x)=x2-2ax+2在区间(-∞,1]上单调递减,则实数a的值可以是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.函数f(x)=的单调递减区间为 .
11.函数f(x)=x2-4x+8,x∈[1,a](a>1),且f(x)的最大值是f(a),则实数a的取值范围是 .
12.已知函数f(x)=则满足不等式f(3-x2)>f(x)的x的取值范围是 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知函数f(x)=,x∈[3,5].
(1)判断函数f(x)的单调性;
(2)求函数f(x)的最大值和最小值.
14.(10分)已知函数f(x)=,x∈(2,+∞).
(1)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;
(2)若f(2a+1)>f(4-a),求a的取值范围.
15.(5分)函数f(x)在R上单调递增,f[f(x)-3x]=2,则f= .
16.(15分)已知函数f(x)=,x∈[1,+∞).
(1)当a=时,判断并证明函数f(x)在[1,+∞)上的单调性;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.(共27张PPT)
§3 函数的单调性和最值
第2课时 函数的单调性和最值的应用
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.理解函数单调性的实质,会用函数单调性解决相关问题.
2.理解复合函数的单调性,并会证明和判断.
3.熟悉单调性在研究函数问题中的应用.
知识点一 判断函数单调性的方法
1.用定义法判断并证明
（1）取值，即设，是所给区间内的______两个值，且 .
任意
（2）作差变形，即作差或 ，并通过因式分解、配
方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子.
（3）判号，即确定或 的符号，当符号不确
定时，要进行__________.
分类讨论
（4）定论，即根据定义得出结论.
2.用函数单调性的运算性质判断
设 为常数.
（1）函数与函数 的单调性相同.
（2）当时，函数与函数的单调性相同；当 时，
函数与函数 的单调性相反.
（3）当恒为正值或恒为负值时，函数与函数 的单调性相
反.
（4）在, 的公共单调区间上，有如下结论：
单调递增 单调递增 单调递增 不能确定单调性
单调递增 单调递减 不能确定单调性 单调递增
单调递减 单调递减 单调递减 不能确定单调性
单调递减 单调递增 不能确定单调性 单调递减
知识点二 函数最值与单调性的联系
（1）若函数在区间上单调递增，则在区间 上的最
大值为_____，最小值为_____.
（2）若函数在区间上单调递减，则在区间 上的最
大值为_____，最小值为_____.
探究点一 用定义证明或判定函数的单调性
例1 判断函数在区间 上的单调性并用定义证明.
解：在区间上单调递增.
证明如下：任取 , ，且 ，
则 ，
因为，所以 ，又,，所以 ，
则 ，
即，故在区间 上单调递增.
变式 判断函数在 上的单调性并用定义证明.
解：函数在 上是减函数.
证明如下：任取,,且 ,则=
.
因为,所以,又 ,
所以,即 ,
所以函数在 上是减函数.
［素养小结］
（1）利用定义证明函数单调性时,要严格按照定义的步骤进行,同时要注意取值
的任意性.（2）利用定义证明函数单调性的关键是将
或 进行恒等变形,转化成易于判断其正负的形式.当原函数是多项式函数时，通常作差后进行因式分解.当原函数是分式函数时，作差后往往先进行通分，然后对分子进行因式分解.当原函数是二次函数时，作差后若不能分解因式，则需考虑配方.当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化.
拓展 讨论函数在区间 上的单调性.
解：任取,,且 ,
则 .
,
,, .
当时,,即 ,
函数在 上单调递减;
当时,,即 ,
函数在 上单调递增.
探究点二 利用单调性求函数的最值
例2 已知函数 .
（1）判断函数在区间 上的单调性并用定义证明；
解：函数在区间上单调递增.
证明如下：任取,,且 ，
则 .
因为，所以，， ，
所以，所以函数在区间 上单调递增.
（2）求在区间 上的最大值与最小值.
解：由（1）知在区间 上单调递增,
所以当时，, .
变式 已知 .
（1）判断在 上的单调性并用定义证明；
解:当时，（当且仅当时取等号），则函数
在上单调递增，在上单调递减.
证明如下：任取, ，且，则
.
当时，， ，
又， ，
所以，即 ，
所以在 上单调递增；
当时，， ，
又， ，
所以，即 ，
所以在 上单调递减.
（2）若在上的取值范围为，求 的取值范围.
解:因为在上的取值范围为 ，
所以由（1）知 ，
令，即，解得或 .
当时，，则有 ，
当时，，则有 ，
综上所述，的取值范围为 .
［素养小结］
利用单调性求函数的最大（小）值只需先判断函数的单调性，再利用单调性求
出最大（小）值即可，但求最值时勿忘先看定义域.对于函数在闭区间上的最值，
不能不判断单调性而直接将区间两端点值代入求解.
探究点三 利用函数单调性比较大小、解不等式
例3（1） 已知函数的图象关于直线对称，且当 时，
恒成立.设，， ，则
，， 的大小关系为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为当时，恒成立，所以
在上单调递增.又的图象关于直线 对称，所以
，又,所以，即 .
故选A.
（2）若函数在上是减函数，且，则实数 的取值范围
是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由函数在上是减函数，，得 ，
解得，所以实数的取值范围是 .故选D.
变式（1） 若函数在上为减函数， ，则下列不等式一定成立的是
( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，，当时，，所以 ，
当时，，所以 ，即A不一定成立；
对于B，当时，，所以，
当时，，所以 ，即B不一定成立；
对于C，因为，所以，则 ，即C一定不成立；
对于D，，则 ，
所以 ，即D一定成立.故选D.
（2）已知函数，则满足的 的取值范围
为( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 函数根据二次函数的性质，可得 在
，上均单调递减，
又的定义域为，当时， , 所以函数在上为减函数.
由 ，可得，即，
解得，即实数 的取值范围为 .故选A.
［素养小结］
1.已知函数的单调性比较函数值的大小，只需先比较相应的自变量的大小，再
利用单调性得出函数值的大小关系，这当中有时需结合函数的图象先转化再进
行比较.
2.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“ ”脱掉，使
其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
函数单调性应用的两个注意点
（1）单调性的定义具有“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过
来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
（2）若一个函数在区间上是单调的,则此函数在区间 的任意子区间上
也是单调的.
1.定义法
可利用函数单调性的定义,建立关于参数的不等式（组）或方程,同时注意利用数
形结合的思想,运用逆向思维思考问题.
例1 已知函数在上单调递增,求实数 的取值范围.
解：任取,且,则 ，
.
因为在 上单调递增,
所以,所以 .
又因为,,所以,所以 .
2.脱“ ”法
利用函数单调性的定义解决某些不等式问题.
例2 若函数为上的增函数,且,则实数 的取
值范围是________.
[解析] 函数为上的增函数,且 ,
解得,故实数的取值范围是 .第2课时 函数的单调性和最值的应用
【课前预习】
知识点一
1.(1)任意 (3)分类讨论
知识点二
(1)f(b) f(a) (2)f(a) f(b)
【课中探究】
探究点一
例1 解:f(x)=x-在区间(-1,+∞)上单调递增.证明如下:任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1--x2+=x1-x2+-=x1-x2+=(x1-x2),
因为x1又x1,x2∈(-1,+∞),所以1+>0,
则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)<0,
即f(x1)变式 解:函数f(x)在R上是减函数.证明如下:
任取x1,x2∈R,且x1因为x10,
所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在R上是减函数.
拓展 解:任取x1,x2,且-1则f(x1)-f(x2)=-=
=.
∵-1∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(-1)(-1)>0.
当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)在(-1,1)上单调递增.
探究点二
例2 解:(1)函数f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增.证明如下:任取x1,x2,且-1则f(x1)-f(x2)=-=.
因为-10,x2+1>0,x1-x2<0,
所以f(x1)(2)由(1)知f(x)在区间[2,4]上单调递增,
所以当x∈[2,4]时,f(x)max=f(4)==,f(x)min=f(2)==.
变式 解:(1)当x>0时,f(x)==≤(当且仅当x=2时取等号),则函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.证明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1=.
当00,
又+4>0,+4>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在(0,2)上单调递增;
当2又+4>0,+4>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(2,+∞)上单调递减.
(2)因为f(x)在[m,n]上的取值范围为,
所以由(1)知0令=,即x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.
当m=1时,2≤n≤4,则有n-m∈[1,3],
当n=4时,1≤m≤2,则有n-m∈[2,3],
综上所述,n-m的取值范围为[1,3].
探究点三
例3 (1)A (2)D [解析] (1)因为当10恒成立,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=f=f,又1<2<<3,所以f(2)(2)由函数f(x)在R上是减函数,f(m-2)>f(-m),得m-2<-m,解得m<1,所以实数m的取值范围是(-∞,1).故选D.
变式 (1)D (2)A [解析] (1)对于A,a2-a=a(a-1),当a>1时,a2>a,所以f(a2)1时,a>,所以f(a)0,所以2a>a,则f(a)>f(2a),即C一定不成立;对于D,a2-(a-1)=a2-a+1=+>0,则a2>a-1,所以f(a2)(2)函数f(x)=-x|x|=根据二次函数的性质,可得f(x)在(-∞,0),[0,+∞)上均单调递减,又f(x)的定义域为R,当x=0时,-x2=x2,所以函数f(x)在R上为减函数.由f(2+5m)2m2-1,即(2m+1)(m-3)<0,解得-【学习目标】
1.理解函数单调性的实质,会用函数单调性解决相关问题.
2.理解复合函数的单调性,并会证明和判断.
3.熟悉单调性在研究函数问题中的应用.
◆ 知识点一 判断函数单调性的方法
1.用定义法判断并证明
(1)取值,即设x1,x2是所给区间内的 两个值,且x1(2)作差变形,即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子.
(3)判号,即确定f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,要进行 .
(4)定论,即根据定义得出结论.
2.用函数单调性的运算性质判断
设C为常数.
(1)函数y=f(x)与函数y=f(x)+C的单调性相同.
(2)当C>0时,函数y=f(x)与函数y=Cf(x)的单调性相同;当C<0时,函数y=f(x)与函数y=Cf(x)的单调性相反.
(3)当f(x)恒为正值或恒为负值时,函数y=f(x)与函数y=的单调性相反.
(4)在f(x),g(x)的公共单调区间上,有如下结论:
y=f(x) y=g(x) y=f(x)+g(x) y=f(x)-g(x)
单调递增 单调递增 单调递增 不能确定单调性
单调递增 单调递减 不能确定单调性 单调递增
单调递减 单调递减 单调递减 不能确定单调性
单调递减 单调递增 不能确定单调性 单调递减
◆ 知识点二 函数最值与单调性的联系
(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)在区间[a,b]上的最大值为 ,最小值为 .
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)在区间[a,b]上的最大值为 ,最小值为 .
◆ 探究点一 用定义证明或判定函数的单调性
例1 判断函数f(x)=x-在区间(-1,+∞)上的单调性并用定义证明.
变式 判断函数f(x)=-x3+1在R上的单调性并用定义证明.
[素养小结]
(1)利用定义证明函数单调性时,要严格按照定义的步骤进行,同时要注意取值的任意性.(2)利用定义证明函数单调性的关键是将f(x2)-f(x1)(或f(x1)-f(x2))进行恒等变形,转化成易于判断其正负的形式.当原函数是多项式函数时,通常作差后进行因式分解.当原函数是分式函数时,作差后往往先进行通分,然后对分子进行因式分解.当原函数是二次函数时,作差后若不能分解因式,则需考虑配方.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.
拓展 讨论函数f(x)=(a≠0)在区间(-1,1)上的单调性.
◆ 探究点二 利用单调性求函数的最值
例2 已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间(-1,+∞)上的单调性并用定义证明;
(2)求f(x)在区间[2,4]上的最大值与最小值.
变式 已知f(x)=.
(1)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;
(2)若f(x)在[m,n]上的取值范围为,求n-m的取值范围.
[素养小结]
利用单调性求函数的最大(小)值只需先判断函数的单调性,再利用单调性求出最大(小)值即可,但求最值时勿忘先看定义域.对于函数在闭区间上的最值,不能不判断单调性而直接将区间两端点值代入求解.
◆ 探究点三 利用函数单调性比较大小、解不等式
例3 (1)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且当10恒成立.设a=f,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为 ( )
A.bC.b(2)若函数f(x)在R上是减函数,且f(m-2)>f(-m),则实数m的取值范围是 ( )
A.(1,+∞) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,1)
变式 (1)若函数f(x)在R上为减函数,a>0,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.f(a2)C.f(a)(2)已知函数f(x)=-x|x|,则满足f(2+5m)A.
B.
C.∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪
[素养小结]
1.已知函数的单调性比较函数值的大小,只需先比较相应的自变量的大小,再利用单调性得出函数值的大小关系,这当中有时需结合函数的图象先转化再进行比较.
2.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.