§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1 函数的奇偶性
第1课时 函数的奇偶性
【学习目标】
1.理解、掌握函数奇偶性的概念与图象特征.
2.能够根据定义和图象判断简单函数的奇偶性.
3.能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题.
4.通过函数奇偶性概念的学习和简单的应用,体会数形结合、化归与转化等基本的数学思想方法,提高数学运算和直观想象能力.
◆ 知识点 函数的奇偶性
1.奇偶性的定义
(1)奇函数定义:一般地,设函数f(x)的定义域是D,如果对任意的x∈D,有-x∈D,且 ,那么称函数f(x)为奇函数.
(2)偶函数定义:一般地,设函数f(x)的定义域是D,如果对任意的x∈D,有-x∈D,且 ,那么称函数f(x)为偶函数.
2.奇、偶函数的图象特征
(1)f(x)为奇函数 f(x)的图象关于原点对称.
(2)f(x)为偶函数 f(x)的图象关于y轴对称.
(3)在x=0处有定义的奇函数f(x)的图象必过原点,即f(0)=0.
【诊断分析】 若对定义域内的任意x都有f(-x)+f(x)=0或=-1(f(x)≠0),则函数f(x)是不是奇函数
◆ 探究点一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)m(x)=x2+;
(2)f(x)=;
(3)g(x)=
变式 (1)若f(x)是定义在R上的函数,则下列函数中一定是偶函数的是 ( )
A.y=|f(x)| B.y=f(|x|)
C.y= D.y=f(-x)-f(x)
(2)判断下列函数的奇偶性:
①m(x)=x|x|;②h(x)=(x>0);
③g(x)=;④f(x)=+.
[素养小结]
函数奇偶性的判断方法有多种,但不管采用哪种方法,都应先求出函数的定义域,观察其定义域是否关于原点对称,若定义域关于原点对称,再判断f(x)与f(-x)的关系,否则既不是奇函数也不是偶函数.
拓展 (多选题)已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x,y∈R,都有f(xy)=x2f(y)+y2f(x)成立,则 ( )
A.f(0)=0 B.f(-1)=0
C.f(x)是奇函数 D.f(x)是偶函数
◆ 探究点二 奇、偶函数图象的应用
例2 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)请补出函数f(x)在y轴右侧的图象;
(2)根据图象写出函数f(x)的单调递增区间;
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值范围.
变式 若将例2中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,如何解答本题
[素养小结]
利用奇偶性作函数图象,可先确定函数的奇偶性,作出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上的图象,再根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称作出函数在(-∞,0](或[0,+∞))上的图象.
拓展 已知f(x)是定义在[-2,0)∪(0,2]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,那么f(x)的值域是 .
◆ 探究点三 利用函数奇偶性求值
[提问] 若函数f(x)为奇函数,且f(2)=1,则f(-2)= .
例3 (1)设函数f(x)=为奇函数,则实数a= ( )
A.-1 B.1
C.0 D.-2
(2)已知函数f(x)=x5+ax3+bx+8,且f(-2)=10,那么f(2)= .
变式 (1)已知f(x)是定义在[m-5,3-2m]上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+2x,则f(m)的值为 ( )
A.8 B.0 C.-8 D.4
(2)已知函数f(x)=为奇函数,则a+b= .
(3)已知函数f(x)=ax3+bx-+2,若f(2023)=6,则f(-2023)= .
[素养小结]
(1)已知函数的奇偶性求函数值:利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.
(2)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值时常常利用待定系数法,利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性求得参数的值.
拓展 已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)= ( )
A.2 B.3
C.4 D.5(共33张PPT)
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
第1课时 函数的奇偶性
4.1 函数的奇偶性
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.理解、掌握函数奇偶性的概念与图象特征.
2.能够根据定义和图象判断简单函数的奇偶性.
3.能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题.
4.通过函数奇偶性概念的学习和简单的应用，体会数形结合、化归与转化
等基本的数学思想方法，提高数学运算和直观想象能力.
知识点 函数的奇偶性
1.奇偶性的定义
（1）奇函数定义：一般地，设函数的定义域是，如果对任意的 ，
有，且_______________，那么称函数 为奇函数.
（2）偶函数定义：一般地，设函数的定义域是，如果对任意的 ，
有，且_____________，那么称函数 为偶函数.
2.奇、偶函数的图象特征
（1）为奇函数 的图象关于原点对称.
（2）为偶函数的图象关于 轴对称.
（3）在处有定义的奇函数的图象必过原点，即
【诊断分析】
若对定义域内的任意都有或 ，则函数
是不是奇函数？
解：根据奇函数的定义知，满足这两种关系的函数都是奇函数.
探究点一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
解：函数的定义域为 ，不关于原点对称，故该函数不具有奇偶性.
（2） ；
解：易知函数的定义域为，则 ，
所以 ，因为，所以 为奇函数.
（3）
解：画出函数 的图象如图所示，
由于的图象关于原点对称，所以函数 为奇函数.
变式（1） 若是定义在 上的函数，则下列函数中一定是偶函数的是 ( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，的奇偶性不确定，因此与 的关系不确定，则
与的关系不确定，故A错误；
对于B，由题意知，函数 的定义域为，且，
则为偶函数，故B正确；
对于C， 的奇偶性不确定，因此与的关系不确定，故C错误；
对于D，因为 的定义域为，且，
所以 是奇函数，故D错误.故选B.
（2）判断下列函数的奇偶性：
① ；
解：的定义域为 ，关于原点对称，
，则 为奇函数.
② ；
解：的定义域不关于原点对称，
故 既不是奇函数，也不是偶函数.
③ ；
解：因为的定义域为 ,关于原点对称，
，所以 为偶函数.
④ .
解：因为 ，
所以解得，则的定义域为, ，关于原点对称，
又，所以 ，
所以 既为偶函数也为奇函数.
［素养小结］
函数奇偶性的判断方法有多种，但不管采用哪种方法，都应先求出函数的定义
域，观察其定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，再判断 与
的关系，否则既不是奇函数也不是偶函数.
拓展 （多选题）已知函数的定义域为，对任意的, ，都有
成立，则( )
ABD
A. B. C.是奇函数 D. 是偶函数
[解析] 令，则，A正确；
令，则 ，即，令，
则，即 ，B正确；
令，则，
故 是偶函数，C错误，D正确.故选 .
探究点二 奇、偶函数图象的应用
例2 已知函数是定义在上的偶函数，且当时， .现
已画出函数在 轴左侧的图象，如图所示.
（1）请补出函数在 轴右侧的图象；
解：由题意作出函数 的图象如图.
（2）根据图象写出函数 的单调递增区间；
解：由图可知，的单调递增区间为 .
（3）根据图象写出使的 的取值范围.
解：由图可知，使的的取值范围为 .
变式 若将例2中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
解：（1）由题意作出函数 的图象如图.
（2）由图可知，的单调递增区间为 .
（3）由图可知，使的 的取值范围为
.
［素养小结］
利用奇偶性作函数图象，可先确定函数的奇偶性，作出函数在 或
上的图象，再根据奇（偶）函数的图象关于原点轴 对称作出函数在
或 上的图象.
[解析] 利用奇函数图象的性质可以作出函数在
上的图象，如图所示，
利用图象得到函数的值域为 .
拓展 已知是定义在上的奇函数，
当时， 的图象如图所示，
那么 的值域是_______________.
探究点三 利用函数奇偶性求值
［提问］ 若函数为奇函数，且，则 _____.
例3（1） 设函数为奇函数，则实数 ( )
A
A. B.1 C.0 D.
[解析] 函数为奇函数， 在定义域内，
恒成立，
整理得 恒成立，，解得 .
（2）已知函数，且，那么 ___.
6
[解析] 设，则 ，
因为，
所以 为奇函数，则 .
变式（1） 已知是定义在上的奇函数，当 时，
，则 的值为( )
C
A.8 B.0 C. D.4
[解析] 因为是定义在上的奇函数，所以 ，
解得，所以 .故选C.
（2）已知函数为奇函数，则 ____.
[解析] 的定义域为且 ，
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
所以 ，则.
由 ，即，解得，
所以 .
（3）已知函数，若，则
______.
[解析] 设，则函数的定义域为 ，
，所以函数 为奇函数.
因为，所以 ，
所以 .
［素养小结］
（1）已知函数的奇偶性求函数值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函
数值求解.
（2）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值时常常利用待定系数法，利
用 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性求得参数的值.
拓展 已知函数是偶函数,且,则 ( )
D
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 设, 函数是偶函数,
,即.令,则 ,
.
1.判断函数奇偶性的步骤
（1）先求定义域，看是否关于原点对称.
（2）在定义域关于原点对称的条件下再判断与 的关系.若
，则函数为偶函数；若，则函数 为奇函数.
2.函数奇偶性的运算性质
设，的定义域分别是， ，在它们的公共区间上有下列结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
注意：中，的值域是 的定义域的子集.
判断函数的奇偶性除了定义法之外，还有图象法，分类讨论法等.
1.分类讨论法
对于分段函数奇偶性的判断，通常利用分类讨论法进行.
例1 已知则 ( )
A
A.为奇函数 B.为偶函数 C.为非奇非偶函数 D.不能确定奇偶性
[解析] 若，则 ，；
若，则 ，.
综上可知， 为奇函数.
2.图象法
函数具有奇偶性，则函数的图象关于原点或 轴对称，利用此性质可以解决相关
问题.
例2 已知定义域为的函数为偶函数，且在 上单调递增，在
上单调递减，又,则 ( )
B
A.在上单调递增，最大值为6 B.在 上单调递减，最大值为6
C.在上单调递增，最小值为6 D.在 上单调递减，最小值为6
[解析] 根据偶函数的图象可知，函数在上单调递增，在
上单调递减，因此当或时，函数取得最大值 .
3.赋值法
对于抽象函数的奇偶性，一般先赋值，再通过定义来判断.
例3 [2024·广东珠海高一期末] 已知定义在上的函数 满足
，，且 .
（1）求 的值；
解:令，得，即 ，
即或 ，
令，得，即 ，
即或 ，
因为，所以， .
令，得，即 ，
因为，所以，所以 .
（2）判断 的奇偶性，并证明.
解: 为偶函数.
证明如下：令，得 ，
由（1）得，则 ，
即，又的定义域为，所以 为偶函数.§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1 函数的奇偶性
第1课时 函数的奇偶性
【课前预习】
知识点
1.(1)f(-x)=-f(x) (2)f(-x)=f(x)
诊断分析
解:根据奇函数的定义知,满足这两种关系的函数都是奇函数.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)函数m(x)的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,故该函数不具有奇偶性.
(2)易知函数f(x)=的定义域为[-1,0)∪(0,1],则|x+2|-2=x,所以f(x)=,
因为f(-x)=-=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(3)画出函数g(x)的图象如图所示,
由于g(x)的图象关于原点对称,所以函数g(x)为奇函数.
变式 (1)B [解析] 对于A,f(x)的奇偶性不确定,因此f(-x)与f(x)的关系不确定,则|f(-x)|与|f(x)|的关系不确定,故A错误;对于B,由题意知,函数f(x)的定义域为R,且f(|-x|)=f(|x|),则y=f(|x|)为偶函数,故B正确;对于C,f(x)的奇偶性不确定,因此与的关系不确定,故C错误;对于D,因为f(x)的定义域为R,且f(x)-f(-x)=-[f(-x)-f(x)],所以y=f(-x)-f(x)是奇函数,故D错误.故选B.
(2)解:①m(x)=x|x|的定义域为R,关于原点对称,m(-x)=-x|-x|=-x|x|=-m(x),则m(x)为奇函数.
②h(x)=(x>0)的定义域不关于原点对称,故h(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
③因为g(x)=的定义域为R,关于原点对称,
g(-x)===g(x),所以g(x)为偶函数.
④因为f(x)=+,
所以解得x=±1,则f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,
又f(x)=0,所以f(-x)=±f(x),
所以f(x)既为偶函数也为奇函数.
拓展 ABD [解析] 令x=y=0,则f(0)=0,A正确;令x=y=1,则f(1)=2f(1),即f(1)=0,令x=y=-1,则f(1)=2f(-1),即f(-1)=0,B正确;令y=-1,则f(-x)=x2f(-1)+f(x)=f(x),故f(x)是偶函数,C错误,D正确.故选ABD.
探究点二
例2 解:(1)由题意作出函数f(x)的图象如图.
(2)由图可知,f(x)的单调递增区间为[-1,0],[1,+∞).
(3)由图可知,使f(x)<0的x的取值范围为(-2,0)∪(0,2).
变式 解:(1)由题意作出函数f(x)的图象如图.
(2)由图可知,f(x)的单调递增区间为[-1,1].
(3)由图可知,使f(x)<0的x的取值范围为(-2,0)∪(2,+∞).
拓展 [-3,-2)∪(2,3] [解析] 利用奇函数图象的性质可以作出函数f(x)在[-2,0)上的图象,如图所示,利用图象得到函数f(x)的值域为[-3,-2)∪(2,3].
探究点三
提问 -1
例3 (1)A (2)6 [解析] (1)∵函数f(x)=为奇函数,∴在定义域内,f(-x)+f(x)=+=0恒成立,整理得(a+1)x=0恒成立,∴a+1=0,解得a=-1.
(2)设h(x)=f(x)-8,则h(x)=x5+ax3+bx(x∈R),因为h(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-x5-ax3-bx=-h(x),所以h(x)为奇函数,则f(2)=h(2)+8=-h(-2)+8=-f(-2)+8+8=6.
变式 (1)C (2)-1 (3)-2 [解析] (1)因为f(x)是定义在[m-5,3-2m]上的奇函数,所以m-5+3-2m=0,解得m=-2,所以f(m)=f(-2)=-f(2)=-8.故选C.
(2)f(x)=的定义域为{x|x≠1且x≠a},因为函数f(x)=为奇函数,所以其定义域关于原点对称,所以a=-1,则f(x)==.由f(-x)=-f(x),即==-,解得b=0,所以a+b=-1.
(3)设g(x)=ax3+bx-,则函数g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),g(-x)=-ax3-bx+=-g(x),所以函数g(x)为奇函数.因为f(2023)=g(2023)+2=6,所以g(2023)=4,所以f(-2023)=g(-2023)+2=-g(2023)+2=-4+2=-2.
拓展 D [解析] 设g(x)=f(x)+x,∵函数g(x)=f(x)+x是偶函数,∴g(-x)=g(x),即f(-x)-x=f(x)+x.令x=2,则f(-2)-2=f(2)+2=1+2=3,∴f(-2)=3+2=5.§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1 函数的奇偶性
第1课时 函数的奇偶性
1.B [解析] ∵f(-2)=f(2)推不出函数f(x)为偶函数,而函数f(x)为偶函数可以推出f(-2)=f(2),∴“f(-2)=f(2)”是“函数f(x)为偶函数”的必要不充分条件.故选B.
2.C [解析] ∵f(x)的定义域为{x|x≠0},f(-x)=-(-x)=-f(x),∴函数f(x)=-x是奇函数,其图象关于原点对称.故选C.
3.B [解析] 设h(x)=f(x)-9,则h(x)=x3+9x,因为h(-x)=-x3-9x=-h(x),所以h(x)为奇函数,则f(-t)=h(-t)+9=-h(t)+9=-f(t)+9+9=17.故选B.
4.A [解析] 函数f(x)的定义域为{x|x≠±1},f(-x)==f(x),则f(x)为偶函数,排除C,D;f(2)==-<0,排除B.故选A.
5.A [解析] 由函数f(x)=可得f(1)=1+1=2,因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2,又f(-1)=h(-1),所以h(-1)=-2,所以h(-1)=-4.故选A.
6.D [解析] 由题意,奇函数f(x)的定义域为[-5,5],f(-x)=-f(x),由奇函数图象的特征可得f(x)在[-5,5]上的图象(如图).由图可得f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5].故选D.
7.D [解析] ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)==0,x2+c≠0恒成立,∴b=0,c>0.∵f(1)==1,∴a=1+c>c.∴a>c>b,故选D.
8.AC [解析] 由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(-x)=-f(x),且f(0)=0,因此f(-x)+f(x)=0,A正确;f(-x)-f(x)=-2f(x),B错误;f(-x)·f(x)=-[f(x)]2≤0,C正确;当x=0时,f(-x)=f(0)=0,此时式子无意义,D错误.故选AC.
9.ABD [解析] 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以 x∈R,有f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0.所以|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,则A为真命题;[f(x)]3+[f(-x)]3=[f(x)]3+[-f(x)]3=[f(x)]3-[f(x)]3=0,则B为真命题;易知C为假命题;令x1=-x2,则f()+f()=f(-)+f()=-f()+f()=0,则D为真命题.故选ABD.
10.2 [解析] 因为f(x)是偶函数,所以f(-3)=(-3)2-3a=9-3a=f(3)=3,解得a=2.
11.-1 [解析] 因为f(x)=ax2+bx-4a是偶函数,其定义域为[a-1,-2a],所以a-1+(-2a)=0,可得a=-1,则f(x)的定义域为[-2,2],f(x)=-x2+bx+4.由f(-x)=f(x)可得-x2-bx+4=-x2+bx+4,所以2bx=0,可得b=0,所以a+b=-1.
12.-4 [解析] 由f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,得f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).由f(x)-g(x)=x3+x2+1,得f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=-x3+x2+1,则-2g(x)=2(x2+1),所以g(x)=-(x2+1),f(x)=x3,故f(1)+g(2)=1-5=-4.
13.解:(1)f(x)=+ 的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),∵f(-x)=+=+=f(x),∴f(x)是偶函数.
(2)由得x=±1,∴g(x)=0,且它的定义域为{1,-1}.∵g(x)的定义域关于原点对称,且g(x)=g(-x)=-g(x)=0,∴g(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)由得x>0,∴函数h(x)的定义域不关于原点对称,∴h(x)既不是奇函数也不是偶函数.
14.解:(1)该同学的观点正确,理由如下.f(a)=a2+3,f(-a)=a2-4|a|+3.
若f(x)为奇函数,则f(a)+f(-a)=0,
∴a2-2|a|+3=0,显然a2-2|a|+3=0无实数解,
∴f(x)不可能是奇函数.
(2)若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)恒成立,
即x2-2|x-a|+3=x2-2|-x-a|+3恒成立,可得|x-a|=|x+a|恒成立,两边同时平方,化简得ax=0恒成立,
又x不恒为0,∴a=0.
(3)由(2)知f(x)=x2-2|x|+3=作出其大致图象如图所示,
由图象知f(x)的单调递增区间为[-1,0]和[1,+∞).
15.B [解析] 对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),令y=0,得2f(x)=2f(x)f(0),∵f(0)≠0,∴f(0)=1.令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),即f(-y)=f(y),令y=x,得f(-x)=f(x),即函数f(x)为偶函数.故选B.
16.解:(1)令x=2,y=1,可得f(1)-f(2)==f(2),解得f(2)=;令x=1,y=-1,可得f(-1)-f(1)=,解得f(-1)=-1.
(2)f(x)为奇函数,理由如下:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,f(-x)=f[(1-x)-1]==,而f(1-x)==,得f(-x)===-f(x),故f(x)为奇函数.§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1 函数的奇偶性
第1课时 函数的奇偶性
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.若函数f(x)的定义域为R,则“f(-2)=f(2)”是“函数f(x)为偶函数”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.函数f(x)=-x的图象关于 ( )
A.y轴对称
B.直线y=-x对称
C.原点对称
D.直线y=x对称
3.已知函数f(x)=x3+9x+9,若f(t)=1,则f(-t)= ( )
A.19 B.17
C.8 D.-1
4.函数f(x)=的大致图象为 ( )
A B C D
5.[2024·贵州三新改革联盟校高一月考] 设函数f(x)=若f(x)是奇函数,则h(-1)= ( )
A.-4 B.-2
C.2 D.4
6.已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且f(2)=0,若当x∈[0,5]时,函数f(x)的图象如图所示,
则不等式f(x)<0的解集是 ( )
A.(2,5]
B.(-2,0)
C.(-5,-2]∪(2,5]
D.(-2,0)∪(2,5]
7.已知定义在R上的奇函数f(x)=的图象如图所示,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.c>a>b
C.b>a>c D.a>c>b
8.(多选题)f(x)是定义在R上的奇函数,下列结论中正确的是 ( )
A.f(-x)+f(x)=0
B.f(-x)-f(x)=2f(x)
C.f(-x)·f(x)≤0
D.=-1
9.(多选题)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,下列命题一定为真命题的有 ( )
A. x∈R,有|f(x)|=|f(-x)|
B. x∈R,有[f(x)]3+[f(-x)]3=0
C. x∈R,使f(x)+f(-x)≠0
D. x1,x2∈R,使f()+f()=0
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.[2024·甘肃白银高一期末] 已知f(x)是偶函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=3,则a= .
11.已知f(x)=ax2+bx-4a是偶函数,其定义域为[a-1,-2a],则a+b等于 .
12.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(2)= .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+;
(2)g(x)=·;
(3)h(x)=+.
14.(10分)设函数f(x)=x2-2|x-a|+3,x∈R.
(1)某同学认为,无论实数a取何值,f(x)都不可能是奇函数,该同学的观点正确吗 请说明你的理由.
(2)若f(x)是偶函数,求实数a的值.
(3)在(2)的情况下,求函数f(x)的单调递增区间.
15.(5分)设函数f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)≠0,则函数f(x) ( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.是非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
16.(15分)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足f(y)-f(x)=,当x>0时,f(x)>0,且f(1)=1.
(1)求f(2),f(-1);
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.
