第2课时 函数性质的应用
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)当x>0时,-x<0,所以f(-x)=(-x)2+x+1=x2+x+1.
因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=0,且f(-x)=-f(x),
所以当x>0时,-f(x)=x2+x+1,
即f(x)=-x2-x-1.
故函数f(x)的解析式为f(x)=
(2)∵y=f(x)-x2-3为奇函数,
∴f(-x)-(-x)2-3=-f(x)+x2+3,
∴f(x)+f(-x)=2x2+6①.
∵y=f(x)+2x为偶函数,∴f(-x)-2x=f(x)+2x,
∴f(x)-f(-x)=-4x②.
由①+②,得2f(x)=2x2-4x+6,∴f(x)=x2-2x+3.
变式 (1)A [解析] 根据题意,由f(x)+g(x)=x2-x+1①,得f(-x)+g(-x)=x2+x+1,因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以-f(x)+g(x)=x2+x+1②.由①-②得2f(x)=-2x,所以f(x)=-x,则f(2)=-2.故选A.
(2)解:当x>0时,-x<0,所以f(-x)=(-x)2+x+1=x2+x+1.
因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),
所以当x>0时,f(x)=x2+x+1.
探究点二
例2 解:因为对于任意不相等的实数x1,x2∈[0,+∞),不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在R上为减函数.由f(2x)>f(x-1),得2x
变式 C [解析] 因为f(x)是定义在[-4,2b]上的偶函数,所以-4+2b=0,解得b=2,所以f(x)的定义域为[-4,4],又因为f(x)在[-4,0]上单调递增,所以f(x)在[0,4]上单调递减.因为f(x+1)≤f(-1),所以f(|x+1|)≤f(|-1|),所以解得-5≤x≤-2或0≤x≤3,所以f(x+1)≤f(-1)的解集为[-5,-2]∪[0,3].故选C.
探究点三
例3 C [解析] 由题意得,对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有<0,所以f(1)>f(2)>f(3).又f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2),所以f(1)>f(-2)>f(3),故选C.
变式 BCD [解析] 因为函数f(x)是定义在[-5,5]上的奇函数,所以f(-4)=-f(4),f(-2)=-f(2),因为f(-4)f(2),故A错误;因为f(x)在[0,5]上单调,f(4)>f(2),所以f(x)在[0,5]上单调递增,所以f(x)在[-5,5]上单调递增,所以f(2)探究点四
例4 证明:∵g(x)=,x∈(-∞,2)∪(2,+∞),
∴g(4-x)==,
∴g(x)+g(4-x)=+==-8.
即对任意的x∈(-∞,2)∪(2,+∞),
都有g(x)+g(4-x)=-8成立,
∴函数g(x)的图象关于点(2,-4) 对称.
变式 BC [解析] 由题意知,若函数y=f(x+a)-b为奇函数,则f(x+a)-b=-f(-x+a)+b,则f(x+a)+f(-x+a)=2b.对于A,f(x)=x3-3x2=x2(x-3),a=1,b=2,则f(x+1)+f(-x+1)=(x+1)2(x+1-3)+(-x+1)2(-x+1-3)=-4≠2b=4,故A错误;对于B,由f(x+1)+f(1-x)=2,得f(x+1)-1+f(-x+1)-1=0,设F(x)=f(x+1)-1,则F(x)+F(-x)=0,所以F(x)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,1)对称,故B正确;对于C,若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(x)=f(2a-x),令x=t+a,则f(t+a)=f(a-t),用x替换t,则f(x+a)=f(a-x),故y=f(x+a)是偶函数,若y=f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),令h=x+a,则f(h)=f(2a-h),故函数y=f(h)的图象关于直线h=a对称,用x替换h,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,故C正确;对于D,因为f(x-1)=x2-4x+8,f(-x-1)=x2+4x+8,所以f(x-1)≠f(-x-1),所以y=f(x-1)不是偶函数,故D错误.故选BC.
拓展 D [解析] ∵f(x)是偶函数,且其图象关于点对称,∴f(x)=f(-x),f(1-x)=-f(x),∴f(1-x)=-f(-x),∴f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x).又当x∈[0,1]时,f(x)=-x+,∴f(π)=f(π-2+2)=f(π-2)=f(π-4+2)=f(π-4)=f(4-π)=-(4-π)+=π-.故选D.第2课时 函数性质的应用
【学习目标】
掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),能应用函数的基本性质解决一些问题.
◆ 知识点 函数的奇偶性、单调性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.
(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值;奇函数在关于原点对称的区间上的最大(小)值与最小(大)值互为相反数.
(3)奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,研究的是函数值随自变量的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,研究的是函数图象在整个定义域上的对称性.
◆ 探究点一 利用函数的奇偶性求函数的解析式
例1 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-x+1,求函数f(x)的解析式.
(2)已知函数f(x)(x∈R)满足y=f(x)-x2-3为奇函数,函数y=f(x)+2x为偶函数,求f(x)的解析式.
变式 (1)已知函数f(x)为奇函数,函数g(x)为偶函数,f(x)+g(x)=x2-x+1,则f(2)=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
(2)将例1(1)中的“奇函数”改为“偶函数”,其他条件不变,求当x>0时,函数f(x)的解析式.
[素养小结]
利用奇偶性求函数解析式的思路:(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间上.(2)利用f(x)在已知区间上的解析式,写出f(-x).(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(x),从而得到f(x)的解析式.
◆ 探究点二 利用函数的单调性、奇偶性解不等式
例2 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若对于任意不相等的实数x1,x2∈[0,+∞),不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,求不等式f(2x)>f(x-1)的解集.
变式 f(x)是定义在[-4,2b]上的偶函数,且在[-2b,0]上单调递增,则f(x+1)≤f(-1)的解集为 ( )
A.[-2,0]
B.[-5,3]
C.[-5,-2]∪[0,3]
D.(-∞,-2]∪[0,+∞)
[素养小结]
利用函数的单调性、奇偶性解不等式,首先应利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式,然后再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.
◆ 探究点三 利用函数的单调性、奇偶性比较大小
例3 f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递减,则 ( )
A.f(-2)B.f(1)C.f(3)D.f(3)变式 (多选题)[2024·河南省实验中学高一期中] 已知函数f(x)是定义在[-5,5]上的奇函数,f(x)在[0,5]上单调,且f(-4)A.f(4)[素养小结]
利用函数的单调性、奇偶性比较大小时,当自变量在同一单调区间上时,直接利用函数的单调性比较大小;当自变量不在同一单调区间上时,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
◆ 探究点四 函数图象的对称性的判断
例4 已知函数g(x)=,证明:函数g(x)的图象关于点(2,-4)对称.
变式 (多选题)已知函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)=x3-3x2的图象关于点(1,2)对称
B.若f(x+1)+f(1-x)=2,则f(x)的图象关于点(1,1)对称
C.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是y=f(x+a)为偶函数
D.若f(x)=x2-2x+5,则y=f(x-1)为偶函数
[素养小结]
(1)要证明函数f(x)的图象关于直线x=h对称,只需证明对定义域内的任意x,都有f(h-x)=f(h+x).
(2)要证明函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,只需证明对定义域内的任意x,都有f(a+x)+f(a-x)=2b.
拓展 若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点对称,且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+,则f(π)= ( )
A.-π B.-π
C.π- D.π-(共27张PPT)
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
第2课时 函数性质的应用
4.1 函数的奇偶性
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数
的基本性质解决一些问题.
知识点 函数的奇偶性、单调性
（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称
的区间上有相反的单调性.
（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值；奇函数在关于原
点对称的区间上的最大（小）值与最小（大）值互为相反数.
（3）奇偶性与单调性都是函数的重要性质，单调性是函数的“局部”性质，研究
的是函数值随自变量的变化趋势；而奇偶性是函数的“整体”性质，研究的是函
数图象在整个定义域上的对称性.
探究点一 利用函数的奇偶性求函数的解析式
例1（1） 已知是定义在上的奇函数，且当时， ，
求函数 的解析式.
解：当时，，所以 .
因为是定义在 上的奇函数，所以，且 ，
所以当时， ，即 .
故函数的解析式为
（2）已知函数满足为奇函数，函数
为偶函数，求 的解析式.
解： 为奇函数，
，
.
为偶函数， ，
.
由，得， .
变式（1） 已知函数为奇函数，函数 为偶函数，
，则 ( )
A
A. B. C.1 D.2
[解析] 根据题意，由 ①，
得，
因为为奇函数， 为偶函数，所以，，
所以.
由 得，所以，则 .故选A.
（2）将例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当 时，函数
的解析式.
解：当时，，所以 .
因为是定义在上的偶函数，所以 ，
所以当时， .
［素养小结］
利用奇偶性求函数解析式的思路：（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析
式，就设在哪个区间上.（2）利用在已知区间上的解析式，写出 .
（3）利用的奇偶性写出或，从而得到 的解析式.
探究点二 利用函数的单调性、奇偶性解不等式
例2 已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意不相等的实数 ,
，不等式 恒成立，求不等式
的解集.
解：因为对于任意不相等的实数, ，
不等式恒成立，所以在 上单调递减，
又函数是定义在上的奇函数，所以在上为减函数.
由 ，得，解得，即不等式的解集为 .
变式 是定义在上的偶函数，且在 上单调递增，则
的解集为( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 因为是定义在上的偶函数，所以，解得 ，
所以的定义域为，
又因为在上单调递增，所以在 上单调递减.
因为，所以 ，所以
解得或，
所以 的解集为 .故选C.
［素养小结］
利用函数的单调性、奇偶性解不等式，首先应利用已知条件，结合函数的奇偶
性，把已知不等式转化为或 的形式，然后再根据奇
函数在关于原点对称的区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上
的单调性相反，脱掉不等式中的“ ”转化为简单不等式（组）求解.
探究点三 利用函数的单调性、奇偶性比较大小
例3 是定义在上的偶函数，且在区间 上单调递减，则( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得，对任意,，都有 ，
所以.
又是偶函数，所以 ，所以 ，故选C.
变式 （多选题）[2024·河南省实验中学高一期中] 已知函数 是定义在
上的奇函数，在上单调，且 ，则下列结论正
确的是( )
BCD
A. B. C. D.
[解析] 因为函数是定义在上的奇函数，所以 ，
，因为，所以，故A错误；
因为 在上单调，，所以在上单调递增，
所以在 上单调递增，所以，， ,
故B,C,D正确.故选 .
［素养小结］
利用函数的单调性、奇偶性比较大小时，当自变量在同一单调区间上时，直接
利用函数的单调性比较大小；当自变量不在同一单调区间上时，需利用函数的
奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
探究点四 函数图象的对称性的判断
例4 已知函数，证明：函数的图象关于点 对称.
证明：, ,
,
.
即对任意的 ,都有 成立，
函数的图象关于点 对称.
变式 （多选题）已知函数的图象关于点 对称的充要条件是函
数 为奇函数，则下列说法正确的是( )
BC
A.的图象关于点 对称
B.若，则的图象关于点 对称
C.函数的图象关于直线对称的充要条件是 为偶函数
D.若，则 为偶函数
[解析] 由题意知，若函数 为奇函数，
则，则 .
对于A，，，，则 ，故A错误；
对于B，由 ，得，设 ，则，所以是奇函数，所以的图象关于点 对称，故B正确；
对于C，若函数的图象关于直线对称，则 ，
令，则，用替换，则 ，
故是偶函数，
若是偶函数，则 ，
令，则，故函数的图象关于直线 对称，
用替换，则函数的图象关于直线 对称，故C正确；
对于D，因为， ，
所以，所以不是偶函数，故D错误.故选 ．
［素养小结］
（1）要证明函数的图象关于直线对称，只需证明对定义域内的任意 ，
都有
（2）要证明函数的图象关于点对称，只需证明对定义域内的任意 ，
都有 .
拓展 若定义在上的偶函数的图象关于点对称，且当
时，，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 是偶函数，且其图象关于点对称， ，
，， ，
则.
又当时，，
.故选D．
利用函数的单调性与奇偶性比较大小，关键是将所要比较的数（或数的一部分，
如底数、指数）转化到同一个单调区间上，再利用函数的单调性比较即可.其中
通常需结合函数的奇偶性得出函数在整个定义域内的单调性.
1.利用奇偶性求值.
例1 已知函数，若，则 __．
[解析] ，令，则易知 ，
，即 ，
.
2.利用奇偶性求解析式.
例2 已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，则
函数 的解析式为_ _____________________.
[解析] 设,则,所以,
因为函数 是定义在上的奇函数，所以 ,
所以.
所以函数的解析式为
3.奇偶性与单调性的综合运用.
例3 函数为定义在上的奇函数，且 ，对于任意
,，，都有.则 的解集为______
_________________.
[解析] 设，，
因为对于任意 ,，，都有，
所以在 上单调递增.
因为函数为定义在 上的奇函数，所以，
所以，即函数 为偶函数，
在上单调递减.
由，得 ，则.
因为，所以当时，不等式等价于 ，可得，
可得；当时，不等式等价于 ，可得，
可得.综上可得，不等式的解集为 .第2课时 函数性质的应用
1.A [解析] 对于A,y=x2+1为偶函数,且当x∈(-∞,0)时,函数单调递减;对于B,y=为奇函数;对于C,y=x3为奇函数;对于D,y=2x-1为非奇非偶函数.故选A.
2.D [解析] 当-5≤x≤-1时,1≤-x≤5,所以f(-x)≥3,即-f(x)≥3,从而f(x)≤-3,即f(x)在[-5,-1]上的最大值为-3.奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,故f(x)在[-5,-1]上单调递减.故选D.
3.C [解析] 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-2x=-f(x),所以f(x)=-x2+2x.故选C.
4.B [解析] 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数且在R上为减函数,所以-f(2)=f(-2),故f(3x+1)+f(2)>0等价于f(3x+1)>-f(2),即f(3x+1)>f(-2),所以3x+1<-2,即x<-1.故选B.
5.D [解析] 由题意,令g(x)=f(x)-2=,x∈,则g(-x)===-g(x),故g(x)=f(x)-2为奇函数,所以g(x)max+g(x)min=0,故f(x)max+f(x)min-4=M+m-4=0,即M+m=4.故选D.
6.A [解析] 因为f(x)为奇函数且在(-∞,0)上单调递减,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2)=0,所以f(-2)=-f(2)=0,故函数f(x)的大致图象如图所示.由<0,可得xf(x)<0,即x和f(x)异号,由图象可得x<-2或x>2.故<0的解集为{x|x<-2或x>2},故选A.
7.D [解析] 由题意得f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)=(-x)2-+5=x2-+5=f(x),所以f(x)为偶函数.当x>0时,f(x)=x2-+5,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减.又f(2x-2)8.BD [解析] 因为y=f(x-1)为偶函数,且函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,所以f(x)的图象关于直线x=-1对称,且f(x)在(-1,+∞)上单调递减,所以A不正确,B正确;因为f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,但没有明确函数图象是否连续,所以不能确定f(-1)的值,所以C不正确;因为f(0)=f(-2),f=f,且f(x)在(-∞,-1)上单调递增,所以f(-3)9.AC [解析] 对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.对于定义域上的任意x1,x2,且x1≠x2,恒有<0,即当x1f(x2),当x1>x2时,f(x1)-b2,所以y=是减函数,满足题意.y=-2x是减函数,满足题意.对于y=,当x<0时,函数单调递减,当x>0时,函数单调递减,当c<010.-2 [解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=a-1=0,解得a=1,则当x≥0时,f(x)=x2+x,所以f(1)=2,则f(-1)=-f(1)=-2.
11.(1,2] [解析] ∵奇函数f(x)的定义域是[-4,4]且在[0,4]上单调递减,∴函数f(x)在[-4,0]上单调递减,∴函数f(x)在[-4,4]上是减函数,又∵f(a+1)>f(2a),∴解得112.[-2,1] [解析] 函数f(x)=当x>0时,-x<0,f(-x)=-x3-1=-f(x),当x<0时,-x>0,f(-x)=-x3+1=-f(x),又f(0)=0,∴f(x)为奇函数.当x>0时,f(x)=x3+1单调递增,且f(x)>1,当x<0时,f(x)=x3-1单调递增,且f(x)<-1,又f(0)=0,∴f(x)在R上是增函数,∴原不等式即为f(2-x2)≥f(x),即2-x2≥x,解得-2≤x≤1,即原不等式的解集为[-2,1].
13.解:(1)根据题意,函数f(x)=x+(a≠0)是奇函数,则f(x)+f(-x)=+=-=-=0,∵a≠0,∴b=0.
由f(1)=5,即1+=5,得a=4.故a=4,b=0.
(2)由(1)知,f(x)=x+,f(x)在区间(0,2)上单调递减.证明如下:设00,即f(x1)>f(x2),故函数f(x)在区间(0,2)上单调递减.
14.解:(1)因为f(1)=1,所以1-a+4=1,得a=4.当x>0时,f(x)=x2-4x+4;当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2-4(-x)+4=x2+4x+4,因为函数f(x)是R上的奇函数,所以当x<0时,-f(x)=x2+4x+4,即f(x)=-x2-4x-4.又由f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0,所以f(x)=
(2)①当x>0时,x2-4x+40,得x<-3或-15.(-∞,0)∪(3,+∞) [解析] 设g(x)=f(x)-2=x3+(x∈R),则g(-x)=-x3+=-g(x),故g(x)为奇函数.由f(x2-ax-6)+f(3a-x)>4,得f(x2-ax-6)-2>2-f(3a-x),即g(x2-ax-6)>-g(3a-x)=g(x-3a).当x>0时,g(x)=x3+=x3-+2,根据y=x3在(0,+∞)上单调递增,y=-+2在(0,+∞)上单调递增,得g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(x)为奇函数,g(x)的图象连接不断,故g(x)在R上单调递增.由g(x2-ax-6)>g(x-3a),得x2-ax-6>x-3a,即a(3-x)+x2-x-6>0,由题意,存在a∈[1,2],使得a(3-x)+x2-x-6>0有解.当3-x=0,即x=3时,a(3-x)+x2-x-6=0,不符合题意;当3-x>0,即x<3时,2(3-x)+x2-x-6>0,解得x<0或x>3,故x<0;当3-x<0,即x>3时,1×(3-x)+x2-x-6>0,解得x<-1或x>3,故x>3.综上可得,实数x的取值范围为(-∞,0)∪(3,+∞).
16.解:(1)令x=y=0,则f(0+0)=2f(0),所以f(0)=0.
令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,
所以函数f(x)为奇函数.
(2)任取x1,x2∈R且x10,
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)当x∈[-3,3]时,f(x)单调递减,
所以当x=-3时,f(x)取得最大值f(-3).
因为f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,所以f(-3)=-f(3)=6,
故f(x)在区间[-3,3]上的最大值为6.
(3)由(2)知f(x)在区间[-1,1]上单调递减,
所以当x∈[-1,1]时,f(x)≤f(-1)=-f(1)=2.
f(x)0对任意a∈[-1,1]恒成立,
令g(a)=-2am+m2,则即
解得m>2或m<-2.
故m的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).第2课时 函数性质的应用
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.下列函数中,既是偶函数又在(-∞,0)上单调递减的是 ( )
A.y=x2+1 B.y=
C.y=x3 D.y=2x-1
2.如果奇函数f(x)在区间[1,5]上单调递减,且最小值为3,那么f(x)在区间[-5,-1]上 ( )
A.单调递增且最小值为3
B.单调递增且最大值为3
C.单调递减且最小值为-3
D.单调递减且最大值为-3
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x2+2x,则当x>0时,f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=-x2-2x
B.f(x)=x2-2x
C.f(x)=-x2+2x
D.f(x)=x2+2x
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在R上为减函数,若f(3x+1)+f(2)>0,则x的取值范围是 ( )
A. B.(-∞,-1)
C. D.[1,+∞)
5.已知函数f(x)=+2在区间上的最大值为M,最小值为m,则M+m= ( )
A.0 B.1
C.2 D.4
6.设f(x)为奇函数且在(-∞,0)上单调递减,f(2)=0,则<0的解集为 ( )
A.{x|x<-2或x>2}
B.{x|x<-2或0C.{x|-22}
D.{x|-27.已知函数f(x)=x2-+5,则f(2x-2)A.(0,1)
B.(1,4)
C.(-∞,-1)∪(4,+∞)
D.(0,1)∪(1,4)
8.(多选题)已知定义域为R的函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,且y=f(x-1)为偶函数,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(x)在(-1,+∞)上单调递减
C.f(-1)为f(x)的最大值
D.f(-3)9.(多选题)若函数y=f(x)满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;②对于定义域上的任意x1,x2,且x1≠x2,恒有<0.则称函数y=f(x)为“理想函数”,下列函数中是“理想函数”的有 ( )
A.y=-2x
B.y=x2
C.y=
D.y=
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2+ax+a-1,则f(-1)= .
11.设a∈R,已知奇函数f(x)的定义域是[-4,4],f(x)在[0,4]上单调递减,且f(a+1)>f(2a),则a的取值范围是 .
12.已知函数f(x)=则不等式f(2-x2)+f(-x)≥0的解集为 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知函数f(x)=x+(a≠0)是奇函数,且f(1)=5.
(1)求实数a,b的值;
(2)判断函数f(x)在(0,2)上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.
14.(10分)已知函数f(x)是R上的奇函数,f(1)=1,当x>0时,f(x)=x2-ax+4.
(1)求f(x)在R上的解析式;
(2)求不等式f(x)15.(5分)已知函数f(x)=x3++2,若存在a∈[1,2],使f(x2-ax-6)+f(3a-x)>4有解,则实数x的取值范围为 .
16.(15分)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)的单调性,并求f(x)在区间[-3,3]上的最大值;
(3)若f(x)