4.2 简单幂函数的图象和性质
【课前预习】
知识点
1.y=xα 2.(1)(1,1) (2)单调递增 单调递减
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× [解析] (1)根据幂函数的定义可知,y=-x2不是幂函数.
(2)根据幂函数的定义可知,y=x-1是幂函数.
(3)只有当α>0时,幂函数y=xα的图象才同时过点(0,0)和点(1,1).
(4)由幂函数的定义及图象知,对于幂函数y=xα(α为常数),当α>0时,该函数的图象与坐标轴相交于原点,当α≤0时,该函数的图象与坐标轴不相交.
(5)如函数y=x-1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)A [解析] (1)幂函数的一般表达式为y=xα(α为常数),逐一对比可知题中的幂函数有①y=x3,⑤y=x,共2个.故选C.
(2)由幂函数的定义知m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.故选A.
探究点二
例2 B [解析] 根据幂函数的图象可知,a<0,b>c>1,0
变式 B [解析] 因为函数f(x)为幂函数,所以设f(x)=xa,由f(2)=2a=,可得a=-2,所以f(x)=x-2=,则x≠0,所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0},排除A,C,D,故选B.
探究点三
例3 (1)D [解析] 因为函数y=(p∈Z)的图象关于y轴对称,所以函数y=为偶函数,即p为偶数.由题图知函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,则有<0,所以p<0.故选D.
(2)解:①因为y=为[0,+∞)上的增函数,且2.3<2.4,
所以2.<2..
②因为y=为(0,+∞)上的减函数,且<,
所以(>(.
变式 (1)A (2)C (3) [解析] (1)因为a=,b=,c=,且y=在[0,+∞)上单调递增,>>>0,所以>>,即b>a>c.故选A.
(2)设幂函数f(x)=xα,将代入,得(-2)α=-,解得α=-1,则f(x)=x-1,它在[1,3]上单调递减,故f(x)在[1,3]上的最大值为f(1)=1.故选C.
(3)因为f(x)=m为幂函数,所以m=1,则f(x)=,故f(x)的定义域为[0,+∞),且在定义域上为增函数.由f(3-a)>f(a),可得解得0≤a<,故a的取值范围为.4.2 简单幂函数的图象和性质
1.D [解析] 幂函数的一般表达式为y=xa,其中x是自变量,a是常数.对于A,y=x2-1是二次函数;对于B,y=0.3x是一次函数;对于C,y==,的系数不为1,故y=不是幂函数;对于D,y=x0.3满足幂函数的一般表达式,故y=x0.3是幂函数.故选D.
2.A [解析] 函数y=xa的定义域为R,则a=1,,3,又函数y=xa为奇函数,所以a=1,3.故选A.
3.A [解析] 设该幂函数为f(x)=xα,因为该幂函数的图象经过点P,所以4α=,即22α=2-1,解得α=-,则函数f(x)=,易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),所以排除C,D;因为α=-<0,所以f(x)=在(0,+∞)上为减函数,所以排除B.故选A.
4.A [解析] 由幂函数的定义,得3m2-m-1=1,解得m=-或m=1,又f(x)在定义域内不单调,所以m=-,故选A.
5.D [解析] 由三个幂函数在第一象限内的图象知,a1<0,01,所以a1,a2,a3的值分别可以是-1,0.5,3.故选D.
6.B [解析] 因为幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),所以解得所以幂函数f(x)的解析式为f(x)=x3.函数f(x)为R上的增函数,0.8<1<3,所以f(0.8)7.B [解析] 由已知条件可得f==,解得α=3,则f(x)=x3,所以函数f(x)在R上为增函数,由f(a+2)2.故选B.
8.AB [解析] 设幂函数的解析式为y=xα(α为常数).因为1α=1,所以幂函数的图象都经过点(1,1),故A正确;当x>0时,xα>0,幂函数的图象都不经过第四象限,故B正确;y=的定义域为[0,+∞),为非奇非偶函数,故C错误;y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,但在定义域上不是减函数,故D错误.故选AB.
9.BCD [解析] 因为f(x)=(m2-3)xn(m,n∈R)是幂函数,所以m2-3=1,解得m=±2,则f(x)=xn(n∈R).对于选项A,m=±2,故选项A错误;对于选项B,当f(x)的图象经过点(-1,-1)时,有-1=(-1)n(n∈R),则f(-x)=(-x)n=(-1)n·xn=-xn=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,故选项B正确;对于选项C,若幂函数f(x)的图象经过点,则=2n(n∈R),解得n=-2,则f(x)=x-2,此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,故选项C正确;对于选项D,因为f(x)=xn(n∈R),当x>0时,由不等式性质可得xn>0(n∈R),所以函数f(x)的图象不经过第四象限,故选项D正确.故选BCD.
10.-3 [解析] 设幂函数的解析式为f(x)=xα,将(8,2)代入函数解析式得8α=2,即23α=2,解得α=,所以幂函数的解析式为f(x)=,所以f(-27)=(-27=-3.
11.8 [解析] 因为函数f(x)=(n2-n-1)为幂函数,所以n2-n-1=1,即n2-n-2=0,解得n=-1或2,所以f(x)=x3,因此f(2)=23=8.
12.-1 [解析] 因为y=(m2-m-1)xm是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.当m=-1时,y=x-1=,显然其图象不经过第二象限,满足题意;当m=2时,y=x2,显然其图象经过第二象限,不满足题意.综上,m=-1.
13.解:(1)若f(x)是幂函数,则m2+2m=1,解得m=-1±.
(2)若f(x)是正比例函数,则解得m=1±.
(3)若f(x)是反比例函数,
则解得m=2.
14.解:(1)∵-<0,∴函数y=在(0,+∞)上单调递减,又3<3.1,∴>3..
(2)∵>0,∴函数y=在(0,+∞)上单调递增,又4.1>1,∴4.>=1.
∵-<0,∴函数y=在(0,+∞)上单调递减,
又3.8>1,∴3.<=1,且3.>0.
∵<0,∴<3.<4..
15.(-∞,-4)∪ [解析] 函数f(x)==的定义域为{x|x≠0},f(-x)==-=-f(x),则函数f(x)=为奇函数.由幂函数的基本性质可知,函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上也单调递减,且当x>0时,f(x)>0,当x<0时,f(x)<0.由(a-3<(1+2a可得或或解得a<-4或-16.解:(1)根据题意,设幂函数的解析式为f(x)=xα,
将(2,)代入解析式中得=2α,解得α=,所以幂函数的解析式为f(x)=.
(2)幂函数f(x)=,即f(x)=在[0,+∞)上是增函数.
证明如下:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=
=,
因为x10,
所以f(x1)即幂函数f(x)=在[0,+∞)上是增函数.
(3)当x≥0时,g(x)=f(x),而幂函数f(x)=在[0,+∞)上是增函数,所以g(x)在[0,+∞)上单调递增.
又因为函数g(x)是R上的偶函数,所以g(x)在(-∞,0]上单调递减.易知g(5)=,由g(1-m)≤,得g(1-m)≤g(5),可得|1-m|≤5,即-4≤m≤6,
所以满足g(1-m)≤的实数m的取值范围为[-4,6].4.2 简单幂函数的图象和性质
【学习目标】
1.掌握幂函数的概念和定义.
2.学会使用函数的知识自主分析、研究指数不同时幂函数的图象和性质的不同情况,学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手分析幂函数的性质,掌握探究函数性质的一般方法和步骤.
3.通过自主探究幂函数的图象和性质,培养知识的应用能力,提高数学运算和逻辑推理的核心素养.
◆ 知识点 幂函数
1.幂函数的定义:一般地,形如 (α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.
2.简单幂函数的图象和性质
(1)在(0,+∞)上都有意义,图象都过点 .
(2)当α>0时,图象都过原点,并且在(0,+∞)上 ;当α=0时,图象是除去点(0,1)的直线y=1;当α<0时,图象都不过原点,并且在(0,+∞)上 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=-x2是幂函数. ( )
(2)函数y=x-1是幂函数. ( )
(3)幂函数的图象都过点(0,0)和点(1,1). ( )
(4)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. ( )
(5)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数. ( )
◆ 探究点一 幂函数的定义
例1 (1)[2024·辽宁阜新高级中学高一月考] 现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x.其中幂函数的个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
(2)已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,则实数m= ( )
A.2或-1 B.-1
C.4 D.2
[素养小结]
在利用幂函数的定义解题时要特别注意,幂函数y=xα的系数必须是1,且没有其他项.
◆ 探究点二 幂函数的图象的认识
例2 已知函数①y=xa,②y=xb,③y=xc,④y=xd的大致图象如图所示,
则有理数a,b,c,d的大小关系为 ( )
A.dB.aC.bD.a变式 已知幂函数f(x)的图象过点,则f(x)的大致图象为 ( )
A B C D
[素养小结]
(1)依据图象高低判断幂函数的指数大小,相关结论为:①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂函数的指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3的图象)来判断.
◆ 探究点三 幂函数性质的应用
例3 (1)已知幂函数y=(p∈Z)的图象关于y轴对称,如图所示,则 ( )
A.p为奇数,且p>0
B.p为奇数,且p<0
C.p为偶数,且p>0
D.p为偶数,且p<0
(2)比较下列各题中两个值的大小.
①2.,2.;
②(,(.
变式 (1)已知a=,b=1.,c=,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.cC.a(2)若幂函数f(x)的图象过点,则f(x)在[1,3]上的最大值为 ( )
A. B.-1
C.1 D.-3
(3)已知幂函数f(x)=m满足f(3-a)>f(a),则实数a的取值范围是 .
[素养小结]
1.比较幂函数的函数值大小的方法:
(1)若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小.
(2)若指数不同,则可采用中介值法,如先与0比较大小,若都大于0,再与1比较,直到比较出所有数的大小.若中介值法不行则要采用估值法,判断各数的范围,进而比较出各数的大小.
2.利用幂函数的性质解不等式,应借助相应的幂函数的单调性和奇偶性,将不等式转化为自变量的大小关系来求解.4.2 简单幂函数的图象和性质
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.[2024·河北沧州献县实验中学高一期中] 下列函数中是幂函数的是 ( )
A.y=x2-1 B.y=0.3x
C.y= D.y=x0.3
2.设a∈,则使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的a的所有取值为 ( )
A.1,3 B.1,3,-
C.1,3, D.1,,3,-
3.已知幂函数的图象经过点P,则该幂函数的大致图象是 ( )
A B C D
4.已知幂函数f(x)=(3m2-m-1)xm在其定义域内不单调,则实数m= ( )
A.- B.1
C. D.-1
5.图中C1,C2,C3分别为三个幂函数y=,y=,y=在第一象限内的大致图象,则a1,a2,a3的值分别可以是 ( )
A.0.5,3,-1 B.-1,3,0.5
C.0.5,-1,3 D.-1,0.5,3
6.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),设a=f(m),b=f(n),c=f(0.8),则 ( )
A.cB.cC.bD.a7.[2024·昆明一中西山学校高一月考] 若幂函数f(x)=xα的图象过点,且f(a+2)A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(-2,2) D.(-2,+∞)
8.(多选题)下列关于幂函数图象和性质的描述中,正确的是 ( )
A.幂函数的图象都过点(1,1)
B.幂函数的图象都不经过第四象限
C.幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种
D.幂函数必定是增函数或减函数中的一种
9.(多选题)已知幂函数f(x)=(m2-3)xn(m,n∈R),则下列说法正确的是 ( )
A.m=2
B.当f(x)的图象经过点(-1,-1)时,f(x)为奇函数
C.若幂函数f(x)的图象经过点,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减
D.函数f(x)的图象不经过第四象限
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.[2024·沈阳高一期末] 已知幂函数f(x)的图象经过点(8,2),则f(-27)= .
11.已知函数f(x)=(n2-n-1)为幂函数,则f(2)= .
12.已知幂函数y=(m2-m-1)xm(m∈R)的图象不经过第二象限,则m= .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知f(x)=(m2+2m).
(1)当m为何值时,f(x)是幂函数
(2)当m为何值时,f(x)是正比例函数
(3)当m为何值时,f(x)是反比例函数
14.(10分)比较下列各组数的大小.
(1)和3.;
(2)4.,3.和.
15.(5分)若(a-3<(1+2a,则实数a的取值范围为 .
16.(15分)[2024·云南曲靖二中高一期中] 已知幂函数f(x)的图象过点(2,).
(1)求出函数f(x)的解析式;
(2)判断并证明f(x)在[0,+∞)上的单调性;
(3)函数g(x)是R上的偶函数,当x≥0时,g(x)=f(x),求满足g(1-m)≤的实数m的取值范围.(共25张PPT)
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2 简单幂函数的图象和性质
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.掌握幂函数的概念和定义.
2.学会使用函数的知识自主分析、研究指数不同时幂函数的图象和性质的
不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手分析幂函数的性
质，掌握探究函数性质的一般方法和步骤.
3.通过自主探究幂函数的图象和性质，培养知识的应用能力，提高数学运
算和逻辑推理的核心素养.
知识点 幂函数
1.幂函数的定义：一般地，形如________ 为常数 的函数，即底数是自变量、
指数是常数的函数称为幂函数.
2.简单幂函数的图象和性质
（1）在 上都有意义，图象都过点______.
（2）当时，图象都过原点，并且在上__________；当 时，
图象是除去点的直线；当时，图象都不过原点，并且在
上__________.
单调递增
单调递减
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数 是幂函数.( )
×
[解析] 根据幂函数的定义可知， 不是幂函数.
（2）函数 是幂函数.( )
√
[解析] 根据幂函数的定义可知， 是幂函数.
（3）幂函数的图象都过点和点 .( )
×
[解析] 只有当时，幂函数 的图象才同时过点和点 .
（4）若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( )
√
[解析] 由幂函数的定义及图象知，对于幂函数 为常数,当 时，
该函数的图象与坐标轴相交于原点，当 时，该函数的图象与坐标轴不相交.
（5）当时,幂函数 是定义域上的减函数.( )
×
[解析] 如函数在定义域 上不是减函数.
探究点一 幂函数的定义
例1（1） [2024·辽宁阜新高级中学高一月考]现有下列函数： ；
；；； .其中幂函数的个数为
( )
C
A.4 B.3 C.2 D.1
[解析] 幂函数的一般表达式为 为常数 ，逐一对比可知题中的幂函数
有， ，共2个.故选C.
（2）已知函数是幂函数，则实数 ( )
A
A.2或 B. C.4 D.2
[解析] 由幂函数的定义知，解得或 .故选A.
［素养小结］
在利用幂函数的定义解题时要特别注意，幂函数 的系数必须是1，且没
有其他项.
探究点二 幂函数的图象的认识
例2 已知函数，，，
的大致图象如图所示，则有理数,,, 的大小关系为( )
B
A.
B.
C.
D.
[解析] 根据幂函数的图象可知，，， ，所以
.故选B.
变式 已知幂函数的图象过点，则 的大致图象为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为函数为幂函数，所以设，由 ，可得
，所以，则，所以函数的定义域为 ，
排除A，C，D，故选B.
［素养小结］
（1）依据图象高低判断幂函数的指数大小，相关结论为：①在 上，指数越
大，幂函数图象越靠近轴（简记为指大图低）；②在 上，指数越大，
幂函数图象越远离 轴（简记为指大图高）.
（2）依据图象确定幂函数的指数 与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象
限内的图象（类似于或或 的图象）来判断.
探究点三 幂函数性质的应用
例3（1） 已知幂函数的图象关于 轴对称，
如图所示，则( )
D
A.为奇数，且 B.为奇数，且
C.为偶数，且 D.为偶数，且
[解析] 因为函数的图象关于 轴对称，所以
函数为偶函数，即为偶数.由题图知函数 的定义域为
，且在上单调递减，则有，所以 .故选D.
（2）比较下列各题中两个值的大小.
①， ；
解：因为为上的增函数，且 ，所以 .
②， .
解：因为为上的减函数，且 ，所以 .
变式（1） 已知，，，则,, 的大小关系为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为,,，且在 上单调递增，
，所以，即 .故选A.
（2）若幂函数的图象过点，则在 上的最大值为( )
C
A. B. C.1 D.
[解析] 设幂函数 ，将代入，得，解得 ，
则，它在上单调递减，故在上的最大值为 .
故选C.
（3）已知幂函数满足，则实数 的取值范围是
______.
[解析] 因为为幂函数，所以，则，故 的定义
域为，且在定义域上为增函数.由，可得 解得
，故的取值范围为 .
［素养小结］
1.比较幂函数的函数值大小的方法：
（1）若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小.
（2）若指数不同，则可采用中介值法，如先与0比较大小，若都大于0，再与1
比较，直到比较出所有数的大小.若中介值法不行则要采用估值法，判断各数的
范围，进而比较出各数的大小.
2.利用幂函数的性质解不等式，应借助相应的幂函数的单调性和奇偶性，将不
等式转化为自变量的大小关系来求解.
1.幂函数的判断方法
幂函数是指底数为自变量，指数为常数 ，即 的函数.在幂函数的定义
里，要注意两个“1”，即 ， 的系数都是1，而且项数只有一项.在高中教学中
只讨论指数为有理数的比较简单的幂函数，值得注意的是，并不是任意的一次
函数、二次函数都是幂函数，在这两类函数中，只有， 是幂函数.
2.几种常见幂函数的性质
定义域
值域
函数
特征
性质
奇偶性 奇 函 数 偶函数 奇函数 既不是奇函 数也不是偶 函数 奇函数
单调性 增 函 数 增函数 增函数
过定点 续表
函数
特征
性质
（1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点 ；
（2）当时，幂函数 的图象都过原点，且在区间 上单调递增;
（3）当时，幂函数 在区间 上单调递减;
（4）无论 为何值，幂函数 的图象一定要经过第一象限，一定不经过
第四象限；
（5）若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
利用幂函数的性质求参数,主要是利用幂函数 的单调性和奇偶性确定
的取值.
例 已知幂函数 是偶函数.
（1）求函数 的解析式；
解：因为 是幂函数，
所以，解得或 ，所以或 .
又因为 是偶函数，所以 .
（2）若，求 的取值范围.
解：的图象关于轴对称，且在 上单调递增，
则可化为 ，
两边平方得 ，即，
解得 ，所以的取值范围是 .