本章总结提升
【知识辨析】
1.√ [解析] 当x为有理数时,D(x)=1;当x为无理数时,D(x)=0.所以函数的值域为{0,1}.
2.× [解析] 函数f(x)=是分段函数,它是一个函数,只不过在定义域的不同段上自变量和函数值之间有着不同的对应关系.
3.× [解析] 令t=,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).
4.× [解析] 根据函数单调性的定义,函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质.
5.√ [解析] 根据函数奇偶性的定义,f(x),f(-x)必须同时有意义,故具有奇偶性的函数首先要求其定义域关于原点对称,但定义域关于原点对称的函数未必具有奇偶性.
6.× [解析] 当奇函数f(x)在x=0处有定义时,一定有f(0)=0,但奇函数未必一定在x=0处有定义.
7.× [解析] 既是奇函数又是偶函数的函数是存在的,比如f(x)=0.
8.× [解析] 当m=0时,函数在[-2,+∞)上单调递增;当m≠0时,函数是二次函数,函数图象的对称轴为直线x=-,所以-≤-2且m>0,因此0
【素养提升】
题型一
例1 (1)(-∞,1)∪(1,3) (2)[0,2] (3)
[解析] (1)由题意得解得x<3且x≠1,所以f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,3).
(2)令t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,当x=1时,tmax=4,又t≥0,所以t∈[0,4],即t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4∈[0,4],所以f(x)=∈[0,2].
(3)由函数y=f(x+1)的定义域为[-2,1],即x∈[-2,1],可知x+1∈[-1,2],即f(x)的定义域为[-1,2],所以g(x)=的自变量x需满足解得-变式 (1)A (2)B (3)(2,3)∪(3,+∞) [解析] (1)由题意知0(2)对于A,因为x≥0,所以g(x)≥0,故A错误;对于B,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,因为x>0,所以f(x)>0,故B正确;对于C,h(x)==+≥2(x>-1),当且仅当=,即x=0时等号成立,故C错误;对于D,因为x>1,所以0<<1,所以-1<-<0,则0<1-<1,即0(3)若函数f(x)=++(x-3)0有意义,则有解得x>2且x≠3,所以函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).
题型二
例2 (1)D (2)B [解析] (1)由=1得x=4,∴f(1)=42-3×4=4.故选D.
(2)∵<2,∴f=3×+1=3,∵3>2,∴f=f(3)=32+3a=12,解得a=1.故选B.
变式 (1)D (2)C [解析] (1)因为f(-1)=1,f(a)+f(-1)=2,所以f(a)=1.当a≥0时,由f(a)==1,得a=1,满足题意;当a<0时,由f(a)==1,得a=-1,满足题意.综上,a=1或a=-1.
(2)由题意得f(1)=a+b+1=1,所以a+b=0,则f(-1)=-(a+b)+1=1.故选C.
题型三
例3 解:函数f(x)=在区间上单调递减.证明如下:
设x1,x2是区间上的任意两个实数,且x2>x1,
则f(x1)-f(x2)=-=.
因为x2>x1>,所以x2-x1>0,
且(2x1-1)(2x2-1)>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)=在区间上单调递减.
变式 解:(1)证明:任取x1,x2∈(-1,1),且x1则f(x1)-f(x2)=-=,
因为x1,x2∈(-1,1),x1所以(1+x1)(1+x2)>0,x2-x1>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(-1,1)上单调递减.
(2)易知y=x2-3x+2=(x-1)(x-2)在(-1,1)上单调递减,则当-10,
由不等式f(x)≥a(x2-3x+2)对于任意x∈(-1,1)恒成立,得a≤对于任意x∈(-1,1)恒成立.
令g(x)===
-=,h(x)=-+,
因为h(x)在上单调递增,在上单调递减,且当x∈(-1,1)时,h(x)>0,
所以g(x)在上单调递减,在上单调递增,
则g(x)在(-1,1)上的最小值为g=.
所以a≤,即a的取值范围是.
例4 (1)B (2)f(π)>f(-3)>f(-2)
[解析] (1)作出y=|x2-3x+2|=的图象如图中实线所示,由图知,函数的单调递增区间是和[2,+∞).故选B.
(2)∵f(x)是定义域为R的偶函数,∴f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).∵函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(π)>f(3)>f(2),即f(π)>f(-3)>f(-2).
变式 (1)C (2)A [解析] (1)由题意得解得≤a<.
(2)由|f(x+1)|<1,得-1题型四
例5 (1)D [解析] 因为函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数,所以-b+2b-2=0,且在定义域上有f(-x)=x2-ax+1=f(x)=x2+ax+1恒成立,则a=0,b=2,所以f(x)=x2+1,则f=f(1)=12+1=2.故选D.
(2)解:①f(x)是奇函数.证明如下:
因为f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
且f(-x)==-=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
②证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=-=-=-=,
因为00,x2-x1>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
③当x∈(0,+∞)时,f(x)==1+∈(1,+∞),
又因为f(x)为奇函数,
所以当x∈(-∞,0)时,f(x)∈(-∞,-1),
故f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
变式 (1)D (2)D (3)-2x-x2 [解析] (1)对于A选项,设f(x)=|x|,该函数的定义域为R,f(-x)=|-x|=f(x),所以函数y=|x|为偶函数,且当x>0时,y=x,即函
数y=|x|在(0,+∞)上单调递增,A不满足要求;对于B选项,函数y=x3为奇函数,且该函数在(0,+∞)上单调递增,B不满足要求;对于C选项,函数y=x2为偶函数,且该函数在(0,+∞)上单调递增,C不满足要求;对于D选项,函数y=-3x为奇函数,且该函数在(0,+∞)上单调递减,D满足要求.故选D.
(2)定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(-2)=0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0.当x≥0时,x+2≥2,则f(x+2)≥f(2)=0,此时满足xf(x+2)≥0;当-2≤x<0时,0≤x+2<2,则f(x+2)f(-2)=0,此时不满足xf(x+2)≥0.综上,xf(x+2)≥0的解集为[-4,+∞).故选D.
(3)依题意,f(x)=-f(-x).当x<0时,-x>0,故f(x)在区间(-∞,0)上的解析式为f(x)=-f(-x)=-[-2(-x)+(-x)2]=-2x-x2.
题型五
例6 (1)D (2)A (3)(-∞,-1)∪
[解析] (1)因为f(x)=(m2-2m-2)是幂函数,所以m2-2m-2=1,则m=-1或m=3.当m=-1时,f(x)=x0=1,不符合题意;当m=3时,f(x)=x12,满足f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.综上,m=3.故选D.
(2)因为a==,b=,c=,且幂函数y=在(0,+∞) 上单调递增,所以b(3)由f(x)=(m∈N+)在(0,+∞)上单调递减,得m2-2m-3<0,则-1变式 (1)D [解析] 由题意得,1.5-3.1=,2-3.1=,又因为幂函数y=x3.1在(0,+∞)上单调递增,且<<2,所以<<23.1,即2-3.1<1.5-3.1<23.1.故选D.
(2)解:由于函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1是幂函数,则m2+3m-9=1,解得m=2或m=-5.
当m=2时,f(x)=x在(0,+∞)上单调递增,不合题意;
当m=-5时,f(x)=x-6在(0,+∞)上单调递减,符合题意.
故m=-5.由(2-a>(2a-1,
结合幂函数y=在[0,+∞)上为增函数,
得解得≤a<1,
即a的取值范围为.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
1.设函数D(x)=则函数的值域为{0,1}. ( )
2.函数f(x)=是两个函数. ( )
3.已知f()=x-1,则f(x)=x2-1. ( )
4.函数的单调性是函数在其定义域上的整体性质. ( )
5.函数具有奇偶性的首要条件是函数的定义域是关于原点对称的. ( )
6.若函数f(x)是奇函数,则一定有f(0)=0. ( )
7.不存在既是奇函数又是偶函数的函数. ( )
8.若函数y=mx2+x+5在[-2,+∞)上单调递增,则m的取值范围是. ( )
◆ 题型一 函数的定义域与值域
[类型总述] (1)求给定解析式的函数的定义域与值域;(2)求给定解析式的函数在给定区间上函数值的取值范围;(3)求抽象函数的定义域.
例1 (1)函数f(x)=(x-1)0+的定义域为 .
(2)函数f(x)=的值域为 .
(3)[2024·河南南阳一中高一月考] 函数y=f(x+1)的定义域为[-2,1],函数g(x)=,则g(x)的定义域为 .
变式 (1)若函数y=f(x)的定义域为(0,1),则y=f(x+1)的定义域为 ( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(-1,1)
(2)下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是 ( )
A.g(x)=
B.f(x)=x2+2x(x>0)
C.h(x)=
D.s(x)=1-(x>1)
(3)[2024·江苏徐州高级中学高一期中] 函数f(x)=++(x-3)0的定义域为 .
◆ 题型二 函数求值
[类型总述] (1)已知自变量的值求函数值;(2)已知函数值求参数的值.
例2 (1)已知函数f(x)满足f=x2-3x,则f(1)等于 ( )
A.0 B.-2 C.-1 D.4
(2)已知函数f(x)=若f=12,则实数a= ( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
变式 (1)设函数f(x)=若f(a)+f(-1)=2,则a= ( )
A.-3 B.3或-3
C.-1 D.1或-1
(2)设函数f(x)=ax3+bx+1,f(1)=1,则f(-1)= ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
◆ 题型三 函数的单调性
[类型总述] (1)求函数的单调区间;(2)利用函数的单调性比较大小;(3)判断或证明函数的单调性;(4)利用函数的单调性求参数;(5)利用函数的单调性解不等式.
例3 已知函数f(x)=,判断并证明函数f(x)在上的单调性.
变式 [2024·山东滨州高一期末] 已知函数f(x)=,x∈(-1,1).
(1)用单调性的定义证明f(x)在(-1,1)上单调递减;
(2)若关于x的不等式f(x)≥a(x2-3x+2)对于任意x∈(-1,1)恒成立,求实数a的取值范围.
例4 (1)函数y=|x2-3x+2|的单调递增区间是 ( )
A.
B.和[2,+∞)
C.(-∞,1]和
D.和[2,+∞)
(2)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 .
变式 (1)已知函数f(x)=
在R上是减函数,那么实数a的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.
C. D.
(2)已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)|<1的解集是 ( )
A.(-1,2)
B.(1,4)
C.(-∞,1]∪[4,+∞)
D.(-∞,-1]∪[2,+∞)
◆ 题型四 函数的奇偶性
[类型总述] (1)判断函数的奇偶性;(2)利用函数的奇偶性求值或参数.
例5 (1)若函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数,则f= ( )
A. B. C. D.2
(2)[2024·北京西城区高一期末] 已知函数f(x)=.
①判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
②用函数单调性的定义证明:函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
③求函数f(x)的值域.
变式 (1)下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是 ( )
A.y=|x| B.y=x3
C.y=x2 D.y=-3x
(2)定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(-2)=0,则不等式xf(x+2)≥0的解集是 ( )
A.[-2,0]∪[2,+∞)
B.(-∞,-2]∪[2,+∞)
C.[-2,2]
D.[-4,+∞)
(3)[2024·上海杨浦少云中学高一期末] 已知奇函数f(x)在区间[0,+∞)上的解析式为f(x)=-2x+x2,则f(x)在区间(-∞,0)上的解析式为f(x)= .
◆ 题型五 幂函数及其性质
[类型总述] (1)利用幂函数的定义求参数;(2)利用幂函数的性质比较大小、解不等式.
例6 (1)[2024·兰州一中高一期末] 若f(x)=(m2-2m-2)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,则m的值为 ( )
A.-1或3 B.1或-3
C.-1 D.3
(2)已知a=,b=,c=2,则 ( )
A.bC.b(3)已知幂函数f(x)=(m∈N+)的图象关于直线x=0对称,且在(0,+∞)上单调递减,则关于a的不等式(a+1)-m<(3-2a)-m的解集为 .
变式 (1)1.5-3.1,23.1,2-3.1的大小关系是 ( )
A.23.1<2-3.1<1.5-3.1
B.1.5-3.1<23.1<2-3.1
C.1.5-3.1<2-3.1<23.1
D.2-3.1<1.5-3.1<23.1
(2)已知幂函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1在(0,+∞)上单调递减,m∈R.若(2-a>(2a-1,求实数a的取值范围.(共37张PPT)
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◆ 知识网络
◆ 知识辨析
◆ 素养提升
判断下列说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）
1.设函数则函数的值域为， .( )
√
[解析] 当为有理数时，；当为无理数时， .所以函数的值域
为， .
2.函数 是两个函数.( )
×
[解析] 函数 是分段函数，它是一个函数，只不过在定义域的
不同段上自变量和函数值之间有着不同的对应关系.
3.已知，则 .( )
×
[解析] 令，则，，所以 ，即
.
4.函数的单调性是函数在其定义域上的整体性质.( )
×
[解析] 根据函数单调性的定义，函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质.
5.函数具有奇偶性的首要条件是函数的定义域是关于原点对称的.( )
√
[解析] 根据函数奇偶性的定义，， 必须同时有意义，故具有奇偶性
的函数首先要求其定义域关于原点对称，但定义域关于原点对称的函数未必具
有奇偶性.
6.若函数是奇函数，则一定有 .( )
×
[解析] 当奇函数在处有定义时，一定有 ，但奇函数未必一定
在 处有定义.
7.不存在既是奇函数又是偶函数的函数.( )
×
[解析] 既是奇函数又是偶函数的函数是存在的，比如 .
8.若函数在上单调递增，则的取值范围是 .( )
×
[解析] 当时，函数在上单调递增；当 时，函数是二次函数，
函数图象的对称轴为直线，所以且，因此 .
综上， .
题型一 函数的定义域与值域
［类型总述］（1）求给定解析式的函数的定义域与值域；（2）求给定解析式
的函数在给定区间上函数值的取值范围；（3）求抽象函数的定义域.
例1（1） 函数 的定义域为_______________.
[解析] 由题意得解得且，所以 的定义域为
.
（2）函数 的值域为______.
[解析] 令，当时，，
又 ，所以，即 ,
所以 .
（3）[2024·河南南阳一中高一月考] 函数的定义域为 ，
函数，则 的定义域为________.
[解析] 由函数的定义域为，即 ，可知，
即的定义域为，所以的自变量 需满足
解得，即的定义域为 .
变式（1） 若函数的定义域为，则 的定义域为 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，解得，即 的定义域为
.
（2）下列函数中，值域为 的函数是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，因为，所以 ，故A错误；
对于B，，因为，所以 ，故B正确；
对于C，，当且仅当 ，
即时等号成立，故C错误；
对于D，因为，所以 ，所以，则，
即 ,故D错误.故选B.
（3）[2024·江苏徐州高级中学高一期中] 函数
的定义域为_______________.
[解析] 若函数有意义，则有
解得且，所以函数的定义域为 .
题型二 函数求值
［类型总述］（1）已知自变量的值求函数值；（2）已知函数值求参数的值.
例2（1） 已知函数满足，则 等于( )
D
A.0 B. C. D.4
[解析] 由得， .故选D.
（2）已知函数若，则实数 ( )
B
A. B.1 C. D.2
[解析] ,， ,
，解得 .故选B.
变式（1） 设函数若，则 ( )
D
A. B.3或 C. D.1或
[解析] 因为，，所以.
当 时，由,得,满足题意；
当时，由,得 ，满足题意.综上，或 .
（2）设函数，，则 ( )
C
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 由题意得,所以 ，则
.故选C.
题型三 函数的单调性
［类型总述］（1）求函数的单调区间;（2）利用函数的单调性比较大小；（3）
判断或证明函数的单调性;（4）利用函数的单调性求参数;（5）利用函数的单调
性解不等式.
例3 已知函数，判断并证明函数在 上的单调性.
解：函数在区间 上单调递减.
证明如下：设，是区间上的任意两个实数，且 ，
则 .
因为，所以 ，且 ，
所以，即 ，
所以函数在区间 上单调递减．
变式 [2024·山东滨州高一期末] 已知函数， .
（1）用单调性的定义证明在 上单调递减；
证明：任取,，且 ，
则 ，
因为,， ，
所以， ，
所以，即 ，
所以在 上单调递减.
（2）若关于的不等式对于任意 恒成立，求实
数 的取值范围.
解:易知在 上单调递减，
则当时 ，
由不等式对于任意恒成立，得 对于
任意 恒成立.
令
， ，
因为在上单调递增，在上单调递减，且当 时，
，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
则在上的最小值为 .
所以，即的取值范围是 .
例4（1） 函数 的单调递增区间是( )
B
A. B.和
C.和 D.和
[解析] 作出
的图
象如图中实线所示，由图知，函数的单调递增区间是
和 .故选B.
（2）设偶函数的定义域为，当时 单调递增，则
,, 的大小关系是______________________.
[解析] 是定义域为的偶函数，,
函数在上单调递增，，
即 .
变式（1） 已知函数 在上是减函数，
那么实数 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意得解得 .
（2）已知函数是上的增函数，, 是其图象上的两点，那么
的解集是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 由，得 ，
结合题意得，
因为函数是上的增函数，所以 ，解得 .故选A.
题型四 函数的奇偶性
［类型总述］（1）判断函数的奇偶性；（2）利用函数的奇偶性求值或参数.
例5（1） 若函数是定义在 上的偶函数，则
( )
D
A. B. C. D.2
[解析] 因为函数是定义在 上的偶函数，所以
，且在定义域上有
恒成立，
则，，所以，则 .故选D.
（2）[2024·北京西城区高一期末] 已知函数 .
①判断函数 的奇偶性，并证明你的结论；
解: 是奇函数.
证明如下：因为的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，
所以 是奇函数.
②用函数单调性的定义证明：函数在 上单调递减；
证明：任取,，且 ，
则
，
因为，所以， ，
所以，即 ，
所以函数在 上单调递减.
③求函数 的值域.
解:当时， ，
又因为 为奇函数，
所以当时， ，
故的值域为 .
变式（1） 下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递减的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 对于A选项，设，该函数的定义域为， ，
所以函数为偶函数，且当时， ，即函数在上
单调递增，A不满足要求；
对于B选项，函数 为奇函数，且该函数在上单调递增，B不满足要求；
对于C选项，函数 为偶函数，且该函数在 上单调递增，C不满足要求；
对于D选项，函数为奇函数，且该函数在 上单调递减，
D满足要求.故选D.
（2）定义在上的偶函数在上单调递增，且 ，则不等式
的解集是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 定义在上的偶函数在上单调递增，且，
则 在上单调递减，且.
当时， ，则，此时满足；
当 时，，则，
此时满足 ；
当时，，则 ，
此时满足；
当时，，则 ，
此时不满足.综上，的解集为 .故选D.
（3）[2024· 上海杨浦少云中学高一期末] 已知奇函数在区间 上
的解析式为，则在区间上的解析式为
___________.
[解析] 依题意，.当时，，故在区间 上
的解析式为 .
题型五 幂函数及其性质
［类型总述］（1）利用幂函数的定义求参数;（2）利用幂函数的性质比较大小、
解不等式.
例6（1） [2024·兰州一中高一期末]若 是幂函数，
且在上单调递增，则 的值为( )
D
A.或3 B.1或 C. D.3
[解析] 因为是幂函数，所以 ，
则或.当时，，不符合题意；
当 时，，满足在区间上单调递增.
综上， .故选D.
（2）已知,, ，则( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为,,，且幂函数在 上单调递增，
所以 .故选A.
（3）已知幂函数的图象关于直线 对称,且在
上单调递减,则关于的不等式 的解集为
_____________________.
[解析] 由在上单调递减,得 ,
则,
又,所以或.当时, ,满足题意;
当时,,其图象不关于直线对称,不满足题意.故 .
因为函数在, 上单调递减,
所以由不等式,得或
或 解得或.故原不等式的解集为 .
变式（1） ，， 的大小关系是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得，,,
又因为幂函数 在上单调递增，且,
所以 ,即 .故选D.
（2）已知幂函数在上单调递减， .若
，求实数 的取值范围.
解:由于函数是幂函数，则 ，
解得或 .
当时，在 上单调递增，不合题意；
当时，在 上单调递减，符合题意.故.
由 ，结合幂函数在 上为增函数，
得解得 ，即的取值范围为 .