滚动习题(四)
[范围§3~§4]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.[2024·黑龙江哈尔滨高一期末] 已知幂函数f(x)的图象过点(2,),则f(8)= ( )
A.2 B.2
C.2 D.4
2.函数f(x)=-|x-2|的单调递减区间为 ( )
A.(-∞,2]
B.[2,+∞)
C.[0,2]
D.[0,+∞)
3.下列函数中,大致图象如图所示的为 ( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x2+2x.若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,则实数a的取值范围是 ( )
A.(2,4)
B.(-∞,3]
C.(1,3]
D.[2,4)
5.已知函数f(x)=若f(2-a2)
A.(-1,2)
B.(-2,1)
C.(-∞,1)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
6.(多选题)[2024·辽宁朝阳高一期末] 对于函数f(x)=(x∈R),下列结论正确的是 ( )
A.f(-x)+f(x)=0
B.函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)
C.函数f(x)的值域为
D.当m∈(0,1)时,方程f(x)=m总有实数解
7.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)+f(y)=2ff,f(1)=-1,f(2)=1,则 ( )
A.f(3)=-1
B.f=1
C.f(x)是偶函数
D.f(x)是奇函数
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
8.[2024·江西抚州高一期末] 幂函数f(x)=(2m2-m-2)x2m-1在区间(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为 .
9.已知f(x)=ax2+bx+2是定义在[1+a,3]上的偶函数,则a+2b= .
10.若定义在R上的奇函数f(x)在区间[0,+∞)上的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间是 .
11.已知a∈R,若函数y=
的值域为R,则a的取值范围是 .
三、解答题(本大题共3小题,共45分)
12.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2+ax+b的图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在图中网格上将f(x)的图象补充完整,并根据f(x)的图象写出不等式f(x)≥1的解集.
13.(15分)设函数f(x)=x2-2x+2,其中x∈R.
(1)求函数f(x)在区间[0,4]上的取值范围;
(2)若对任意的x∈[a,a+2],都有f(x)≤5,求实数a的取值范围.
14.(15分)已知函数f(x)=是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明;
(3)求使f(2m-1)+f(m2-1)<0成立的实数m的取值范围.滚动习题(四)
1.B [解析] 设幂函数f(x)=xa,由于函数f(x)的图象过点(2,),所以=2a,则a=,所以f(x)=,则f(8)==2.故选B.
2.B [解析] ∵y=|x-2|=∴函数y=|x-2|的单调递减区间是(-∞,2],单调递增区间为[2,+∞),∴f(x)=-|x-2|的单调递减区间是[2,+∞),故选B.
3.A [解析] 由图象可知函数为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.对于选项B,y==的定义域为[0,+∞),是非奇非偶函数,故排除B;对于选项D,y==的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),为偶函数,故排除D;对于选项C,y==的定义域为R,故排除C;对于选项A,y==的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),为奇函数,故A符合题意.故选A.
4.C [解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(0)=0.因为当x<0时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,所以当x>0时,-x<0,f(x)=-f(-x)=-(x2-2x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,所以f(x)=由二次函数的单调性可知f(x)的单调递增区间为[-1,1],又函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,所以-15.D [解析] 根据f(x)的图象可得函数f(x)在R上是增函数,故由f(2-a2)0,解得a<-2或a>1,故实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞).
6.AC [解析] 对于A,因为f(x)=(x∈R),所以f(-x)+f(x)=+=0(x∈R),所以A正确;对于B,因为f(-1)=f=-,所以f(x)在(-∞,0)上不单调递增,所以B错误;对于C,当x>0时,f(x)==>0,由基本不等式得2x+≥2=2,当且仅当2x=,即x=时,等号成立,所以f(x)≤,故当x>0时,f(x)∈,由对A的分析可知,函数f(x)为奇函数,所以当x<0时,f(x)∈,且f(0)=0,故f(x)的值域为,所以C正确;对于D,当m=时,=,变形得到2x2-2x+1=0,Δ=(-2)2-4×2×1=-4<0,方程无解,所以D错误.故选AC.
7.AC [解析] 令x=y=2,则2f(2)=2f(2)f(0),可得f(0)=1.令x=3,y=1,则f(3)+f(1)=2f(2)f(1),可得f(3)=-1,故A正确;令x=1,y=0,则f(1)+f(0)=2,可得f=0,故B错误;令y=-x,则f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),即f(x)+f(-x)=2f(x),则f(-x)=f(x),故f(x)是定义在R上的偶函数,故C正确,D错误.故选AC.
8. [解析] ∵f(x)为幂函数,∴2m2-m-2=1,∴m=-1或m=,又∵f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,∴2m-1>0,即m>,∴m=.
9.-4 [解析] ∵f(x)=ax2+bx+2是定义在[1+a,3]上的偶函数,∴f(-x)=f(x)且1+a+3=0,得a=-4,且ax2-bx+2=ax2+bx+2,则-bx=bx,得b=0,∴a+2b=-4.
10.[-1,1] [解析] 由题图知f(x)在[0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在(-∞,-1]上单调递减,在[-1,0]上单调递增,故f(x)的单调递增区间为[-1,1].
11.的值域为R,得函数y=(3a-1)x+2a在x>1时的函数值集合包含(1,+∞).当3a-1<0时,y=(3a-1)x+2a在(1,+∞)上单调递减,函数值集合为(-∞,5a-1),不符合题意;当3a-1=0时,y=2a,x>1,函数值集合为{2a},不符合题意;当3a-1>0时,y=(3a-1)x+2a在(1,+∞)上单调递增,函数值集合为(5a-1,+∞),由(1,+∞) (5a-1,+∞),得5a-1≤1,解得a≤,又由3a-1>0,得a>,因此12.解:(1)由题意得解得
则当x≥0时,f(x)=x2-2x-2.因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=(-x)2-2(-x)-2=x2+2x-2.
故f(x)=
(2)f(x)的图象如图所示.
由f(x)的图象可得,不等式f(x)≥1的解集为(-∞,-3]∪[3,+∞).
13.解:(1)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,其图象开口向上,对称轴为直线x=1,则f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,4]上单调递增,且f(0)=2当x=4时,f(x)取得最大值10,
所以f(x)在区间[0,4]上的取值范围为[1,10].
(2)“对任意的x∈[a,a+2],都有f(x)≤5”等价于“当x∈[a,a+2]时f(x)max≤5”.
因为f(x)=(x-1)2+1的图象开口向上,
所以f(x)在[a,a+2]上的最大值为f(a)和f(a+2)中的较大值,则即解得-1≤a≤1,
故实数a的取值范围为[-1,1].
14.解:(1)根据题意,f(x)=是奇函数,
则f(-x)=-f(x),即=-,可得b=0,∴f(x)=.
∵f(1)=,∴=,解得a=3,∴f(x)=.
(2)f(x)在[-1,1]上为增函数.
证明如下:任取x1,x2,且-1≤x1∵-1≤x10,1+>0,1-x1x2>0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)(3)∵f(2m-1)+f(m2-1)<0,∴f(2m-1)<-f(m2-1),∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,
∴f(2m-1)又f(x)在[-1,1]上为增函数,
∴解得0≤m<-1.
故使f(2m-1)+f(m2-1)<0成立的实数m的取值范围为[0,-1).