4．1.1 圆的标准方程
题号
1
2
3
4
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11
得分
答案
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．方程|x－1|＝表示的曲线是( )
A. 一个圆 B．两个半圆
C．两个圆 D．半圆
2．已知圆心为(6，5)，且过点(3，6)的圆的方程为( )
A．(x－6)2＋(y－5)2＝10
B．(x＋6)2＋(y＋5)2＝10
C．(x－5)2＋(y－6)2＝10
D．(x＋5)2＋(y＋6)2＝10
3．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程是( )
A．x2＋(y＋1)2＝1
B．x2＋y2＝1
C．(x＋1)2＋y2＝1
D．x2＋(y－1)2＝1
4．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是( )
A．－1
C．－15．过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
D．(x－1)2＋(y－1)2＝4
6．过点C(－1，1)和点D(1，3)，且圆心在x轴上的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10
C．(x＋2)2＋y2＝10 D．(x－2)2＋y2＝10
7．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝2，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－3)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2
D．(x－3)2＋(y＋3)2＝2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是________________．
9．若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为______________________．
10．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以点C为圆心，为半径的圆的方程是________________．
11．以A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程是__________________________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)已知点A(－1，2)和B(3，4)．求：
(1)线段AB的垂直平分线l的方程；
(2)以线段AB为直径的圆的方程．
13．(13分)已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以点P(2，－1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程．
得分
14．(5分)设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．6 B．25
C．26 D．36
15．(15分)已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6，9)在圆上，求半径a；
(2)若点P(3，3)与Q(5，3)一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．
4．1 圆的方程
4．1.1 圆的标准方程
1．A
2．A [解析] 易知r＝＝，所以圆的方程为(x－6)2＋(y－5)2＝10.
3．A [解析] 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为(1，0)，设点(1，0)关于直线y＝－x对称点的坐标为(a，b)，则有解得所以所求圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1.
4．D [解析] ∵点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，
∴(2a)2＋(a－1－1)2<5，整理得5a2－4a－1<0，解得－5．D [解析] 由题意得线段AB的中点C的坐标为(0，0)，直线AB的斜率kAB＝－1，则过点C且垂直于AB的直线方程为y＝x.
圆心坐标(x，y)满足解得y＝x＝1，从而圆的半径为
＝2.因此，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
6．D [解析] 设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.由题意得＝，解得a＝2，所以r＝＝，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
7．D [解析] 设点(－2，2)关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标为(m，n)，则解得所以圆C2的圆心坐标为，所以圆C2的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝2.
8．x2＋(y－2)2＝1 [解析] 设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，将(1，2)代入x2＋(y－b)2＝1得b＝2.
9．x2＋(y－1)2＝1 [解析] 由圆C的圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，得圆C的圆心为(0，1)．又因为圆C的半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
10．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 [解析] 将直线方程整理为(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，可知直线恒过点(－1，2)，从而所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
11．(x－4)2＋(y－1)2＝5 [解析] 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有解得
即△ABC的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.
12．解：由题意得线段AB的中点C的坐标为(1，3)．
(1)∵A(－1，2)，B(3，4)，∴直线AB的斜率kAB＝＝.
∵直线l垂直于直线AB，∴直线l的斜率kl＝－＝－2，
∴直线l的方程为y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.
(2)∵A(－1，2)，B(3，4)，∴|AB|＝＝＝2 ，
∴以线段AB为直径的圆的半径R＝|AB|＝.
又圆心为C(1，3)，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
13．解： 要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|，|PB|，|PC|的中间值．
因为|PA|＝，|PB|＝，|PC|＝5，所以|PA|＜|PB|＜|PC|，
所以圆的半径r＝|PB|＝.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13.
14．D [解析] (x－5)2＋(y＋4)2的几何意义是点P(x，y)到点Q(5，－4)的距离的平方．因为点P在圆(x－2)2＋y2＝1上，所以其最大值为(|QC|＋1)2＝36.
15．解：(1)∵点M(6，9)在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
∴a2＝10，∴a＝.
(2)∵该圆的圆心为N(5，6)，∴|PN|＝＝，
|QN|＝＝3，且3<，
∴a的取值范围是(3，)．
课件32张PPT。4.1.1 圆的标准方程4.1.1 │ 三维目标三维目标 【知识与技能】
(1)掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程．
(2)会用待定系数法求圆的标准方程．
【过程与方法】
进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．
【情感、态度与价值观】
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣．4.1.1 │ 重点难点【重点】
圆的标准方程的理解、掌握．
【难点】
会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题．重点难点4.1.1 │ 教学建议(1)充分利用学生已经在初中学过的有关圆的知识，进行知识的正迁移．
(2)利用信息技术让学生探究圆与方程的关系．
(3)借助具体实例，通过让学生“看一看、想一想、练一练”等方式熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，理解圆的标准方程中三个参数的重要性．教学建议4.1.1 │ 新课导入【导入一】
(创设情境导入法)
已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？
新课导入4.1.1 │ 新课导入[解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为
x2＋y2＝16(y≥0)将x＝2.7代入，得
即在离隧道中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道．4.1.1 │ 新课导入【导入二】
(直接导入)
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？
[解析] 确定直线的基本要素是点与斜率；确定圆的基本要素是圆心与半径；圆可以用一个二元二次方程来表示．4.1.1 │ 预习探究 预习探究4.1.1 │ 预习探究 4.1.1 │ 预习探究 4.1.1 │ 预习探究 4.1.1 │ 备课素材备课素材考点类析 ? 考点一 求圆的标准方程 ?4.1.1 │ 考点类析 4.1.1 │ 考点类析 4.1.1 │ 考点类析 ? 考点二 点与圆的位置关系的判定?
4.1.1 │ 考点类析 4.1.1 │ 考点类析 4.1.1 │ 考点类析 ? 考点三 利用平面几何知识求圆的方程
4.1.1 │ 考点类析 4.1.1 │ 考点类析 4.1.1 │ 考点类析 4.1.1 │ 考点类析 4.1.1 │ 备课素材备课素材4.1.1 │ 备课素材4.1.1 │ 备课素材4.1.1 │ 备课素材当堂自测4.1.1 │ 当堂自测 4.1.1 │ 当堂自测 4.1.1 │ 当堂自测 4.1.1 │ 当堂自测 4.1.1 │ 当堂自测 4.1.1 │ 备课素材备课素材4.1.2 圆的一般方程
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．k>1 B．k<1
C．k≥1 D．k≤1
3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(－2，3)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为( )
A．4，－6，3 B．－4，6，3
C．－4，－6，3 D．4，－6，－3
4．经过A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)三点的圆的方程为( )
A．x2＋y2＋x－3y－2＝0
B．x2＋y2＋3x＋y－2＝0
C．x2＋y2＋x＋3y＝0
D．x2＋y2－x－3y＝0
5．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴切于原点，则( )
A．D＝0，E＝0，F≠0
B．F＝0，D≠0，E≠0
C．D＝0，F＝0，E≠0
D．E＝0，F＝0，D≠0
6．圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
7．与圆C：x2＋y2－2x＋4y－1＝0有相同的圆心，且半径是圆C的半径的一半的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＋2＝0
B．x2＋y2－2x＋4y＋1＝0
C．x2＋y2－2x＋4y－＝0
D．x2＋y2－2x＋4y＋＝0
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，则圆C的一般方程为___________________．
9．圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P，Q关于直线kx－y＋4＝0对称，则k＝________．
10．直线与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，且弦AB的中点Q的坐标为(0，1)，则直线AB的方程为____________．
11．已知点A(1，－2)，B(4，0)，P(a，1)，N(a＋1，1)，当四边形PABN的周长最小时，过A，P，N三点的圆的圆心坐标为____________________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)下列方程分别表示什么图形？若表示圆，则写出圆心和半径．
(1)x2＋y2＋5x－3y＋1＝0；
(2)x2＋y2＋4x＋4＝0；
(3)x2＋y2＋x＋2＝0;
(4)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)；
(5)2x2＋2y2＋4x－8y＋2＝0.
13．(13分)已知圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋m＝0，直线l：x＋y＋2＝0.
(1)求m的取值范围；
(2)若圆D过点P(1，1)，且与圆C关于直线l对称，求圆D的方程．
得分
14．(5分)若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )
A．(－∞，－2)
B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)
D．(2，＋∞)
15．(15分)已知圆C的方程为x2＋y2＋(m－2)x＋(m＋1)y＋m－2＝0，根据下列条件确定实数m的取值，并写出相应的圆心坐标和半径．
(1)圆的面积最小；
(2)圆心距离坐标原点最近．
4．1.2 圆的一般方程
1．D [解析] 易知圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(2，－3)．
2．B [解析] 由题意得16＋4－20k>0，∴k<1.
3．D [解析] 由题意得解得D＝4，E＝－6，F＝－3.
4．D [解析] 把三点代入验证，只有D选项满足题意．
5．C [解析] 由于点(0，0)在圆上，代入圆的方程可得F＝0.因为圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴切于原点，所以圆心的横坐标为0，即－＝0，∴D＝0.
由D2＋E2－4F＞0，可得E2＞0，即E≠0.故选C.
6．B [解析] 根据圆的一般方程中D2＋E2－4F>0，得(－2)2＋62－4×5a>0，解得a<2.由圆关于直线y＝x＋2b对称，可知圆心(1，－3)在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，故a－b<4.
7．D [解析] 易知圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝6，所以圆C的圆心坐标为(1，－2)，半径为，故所求圆的圆心坐标为(1，－2)，半径为，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝＝，即x2＋y2－2x＋4y＋＝0.
8．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 [解析] 由题意知圆心既在线段AB的垂直平分线y＝－3上，又在 2x－y－7＝0上，所以圆心为(2，－3)，所以r＝.故圆C的一般方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
9．2 [解析] 由题意得圆心在直线kx－y＋4＝0上，所以k＝2.
10．x－y＋1＝0 [解析] 易知圆心P的坐标为(－1，2)．∵AB的中点Q的坐标为(0，1)，∴直线PQ的斜率kPQ＝＝－1，
∴直线AB的斜率k＝1，故直线AB的方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.
11．3，－ [解析] ∵AB，PN的长为定值，∴只需求|PA|＋|BN|的最小值．
∵|PA|＋|BN|＝＋，其几何意义为动点(a，0)到两定点(1，3)和(3，－1)的距离之和，∴当这三点共线，即a＝时，其和取得最小值．此时，线段PN的中垂线x＝3，与线段PA的中垂线y＋＝－x－的交点为3，－，即所求圆的圆心坐标为.
12．解：(1)原方程配方得＋＝，故该方程表示以为圆心，为半径的圆．
(2)原方程配方得＋y2＝0，表示一个点(－2，0)．
(3)∵D2＋E2－4F＝1－8<0，∴该方程不表示任何图形．
(4)原方程配方得x2＋＝b2，故该方程表示圆心为(0，－b)，半径长为|b|的圆(注意半径不为0)．
(5)方程2x2＋2y2＋4x－8y＋2＝0可化为
x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，配方得＋＝4，故原方程表示以(－1，2)为圆心，2为半径的圆．
13．解：(1)∵方程x2＋y2＋4x＋4y＋m＝0表示的是圆，
∴42＋42－4m>0，即m<8，故m的取值范围是m<8.
(2)设圆D的圆心坐标为(x0，y0)．依题意得圆C的圆心的坐标为(－2，－2)，
点(x0，y0)和点(－2，－2)关于直线l对称，
则有解得
∴圆D的方程为x2＋y2＝r2.又因为圆D过点P(1，1)，
∴12＋12＝r2，即r＝，∴圆D的方程为x2＋y2＝2.
14．D [解析] 曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则曲线C表示的是以(－a，2a)为圆心，2为半径的圆．要使圆C上所有的点均在第二象限内，则圆心(－a，2a)必须在第二象限，从而有a>0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径．易知圆心到的两坐标轴的最短距离为|－a|，则有|－a|>2，故a>2.
15．解：因为(m－2)2＋(m＋1)2－4(m－2)＝2m2－6m＋13＝2＋>0恒成立，所以无论m为何值，方程总表示圆，且圆心坐标为，圆的半径r＝.
(1)当圆的半径最小时，圆的面积最小．
r＝＝≥，
当且仅当m＝时，等号成立，此时面积最小．
所以当圆的面积最小时，圆心坐标为，半径r＝.
(2)圆心到坐标原点的距离d＝≥，当且仅当m＝时，圆心到坐标原点的距离最近．
此时，圆心坐标为，半径r＝.
课件35张PPT。4.1.2 圆的一般方程4.1.2 │ 三维目标三维目标【知识与技能】
(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心、半径，掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件．
(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程．
(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力．
【过程与方法】
通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力．
【情感、态度与价值观】
渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生勇于创新，勇于探索．4.1.2 │ 重点难点 【重点】
圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D，E，F.
【难点】
对圆的一般方程的认识、掌握和运用．重点难点4.1.2 │ 教学建议 教学建议4.1.2 │ 教学建议 (2)对于圆的一般方程，要引导学生分析圆的一般方程的特点：①x2和y2的系数相同且不等于0；②没有x·y这样的二次项；③D2＋E2－4F＞0.其中①和②是二元一次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的必要条件，但不是充分条件，只有三条同时满足才是充要条件．
(3)同圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2含有三个待定系数a，b，r一样，圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中也含有三个待定系数D，E，F，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径，因此，对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程．如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系，通常采用圆的一般方程；有时两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式．4.1.2 │ 新课导入 新课导入4.1.2 │ 新课导入【导入二】
情景导入、展示目标
求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程．利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其局限性，那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程．4.1.2 │ 预习探究 预习探究4.1.2 │ 预习探究 4.1.2 │ 预习探究 4.1.2 │ 备课素材备课素材考点类析 ? 考点一 求圆的一般方程4.1.2 │ 考点类析 4.1.2 │ 考点类析 4.1.2 │ 考点类析 4.1.2 │ 考点类析 ? 考点二 求圆的一般方程中待定系数的范围
4.1.2 │ 考点类析 4.1.2 │ 考点类析 ? 考点三 与圆有关的轨迹问题4.1.2 │ 考点类析 4.1.2 │ 考点类析 4.1.2 │ 考点类析 ? 考点四 与圆有关的最值问题4.1.2 │ 考点类析 4.1.2 │ 考点类析 4.1.2 │ 考点类析 4.1.2 │ 考点类析 4.1.2 │ 备课素材备课素材4.1.2 │ 备课素材4.1.2 │ 备课素材4.1.2 │ 备课素材4.1.2 │ 备课素材当堂自测4.1.2 │ 当堂自测 4.1.2 │ 当堂自测 4.1.2 │ 当堂自测 4.1.2 │ 当堂自测 4.1.2 │ 当堂自测 4.1.2 │ 备课素材备课素材4．2.1 直线与圆的位置关系
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．直线3x＋4y－25＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系为( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．相离或相切
2．过圆x2＋y2＝4上的一点(1，)的圆的切线方程是( )
A．x＋y－4＝0 B.x－y＝0
C．x＋y＝0 D．x－y－4＝0
3．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2 ，那么这个圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
4．圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
5．若直线ax＋by－3＝0和圆x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，则ab的值为( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
6．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切的直线的方程为( )
A．y＝－3x或y＝x
B．y＝3x或y＝－x
C．y＝－3x或y＝－x
D．y＝3x或y＝x
7．过点(1，2)的直线l将圆(x－3)2＋y2＝9分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x＋y－4＝0 D．x－2y＋3＝0
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
9．直线x＋y－2 ＝0被圆x2＋y2＝4所截得的弦长是________．
10．设直线ax＋2y＋6＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交于P，Q两点，O为坐标原点，且OP⊥OQ，则a的值为________．
11．一条光线从点P(2，3)射出，经x轴反射，与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的方程是____________________________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)已知圆C的方程为(x－m)2＋(y＋m－4)2＝2.
(1)求圆心C的轨迹方程；
(2)当|OC|最小时，求圆C的一般方程．(O为坐标原点)
13．(13分)已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，P点坐标为(2，3)，求过P点的圆的切线方程以及切线长．
得分
14．(5分)过点A(11，2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的有________条．
15．(15分)已知圆C过点M(0，－2)，N(3，1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程．
(2)问是否存在满足以下两个条件的直线l：①直线l斜率为1；②直线l被圆C所截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线l，请求出其方程；若不存在，请说明理由．
4．2 直线、圆的位置关系
4．2.1 直线与圆的位置关系
1．C [解析] ∵圆心到直线的距离d＝＝5>3，∴直线与圆相离．
2．A [解析] 过圆心与点(1，)的直线的斜率为，所以过点(1，)的圆的切线方程的斜率为－，所以切线方程为y－＝－，即x＋y－4＝0.
3．A [解析] 圆心到直线的距离d＝＝.
R2＝d2＋()2＝4，∴R＝2.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
4．B [解析] 由题意可知，圆的圆心坐标为(1，3)，半径为，且点E(0，1)位于该圆内，故过点E(0，1)的最短弦长|BD|＝2 ＝2 (注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝2 ，且AC⊥BD，
因此四边形ABCD的面积等于|AC|·|BD|＝×2 ×2 ＝10 .
5．C [解析] 圆x2＋y2＋4x－1＝0化为标准方程为(x＋2)2＋y2＝5，圆心坐标为(－2，0)．因为直线ax＋by－3＝0和圆x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，所以解得a＝1，b＝2，所以ab的值为2.
6．A [解析] 易知直线的斜率存在，故不妨设直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.
∵圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝，
∴圆心为(2，－1)，半径为.依题意有＝，
解得k＝－3或k＝，∴所求直线的方程为y＝－3x或y＝x.
7．A [解析] 易知直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，所以圆心(3，0)到直线l的距离d＝＝2 ，则当k＝1时，dmax＝2 ，此时对应的劣弧所对的圆心角最小，即直线l的方程为x－y＋1＝0.
8. [解析] 依题意有<1，解得09．2 [解析] 圆心到直线的距离d＝＝，所以直线x＋y－2＝0被圆x2＋y2＝4所截得的弦长l＝2 ＝2.
10．－2 [解析] ∵圆x2＋y2－2x＋4y＝0经过原点O，且OP⊥OQ，∴PQ是圆的直径，∴圆心(1，－2)在直线ax＋2y＋6＝0上，∴a－4＋6＝0，解得a＝－2.
11．4x＋3y＋1＝0或3x＋4y＋6＝0 [解析] 依题意得，点P关于x轴的对称点P′(2，－3)在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切得＝1，解得k＝－或k＝－，∴反射光线所在直线的方程为y＋3＝－(x－2)或y＋3＝－(x－2)，即4x＋3y＋1＝0或3x＋4y＋6＝0.
12．解：(1)设C(x，y)，则消去m得y＝4－x，
∴圆心C的轨迹方程为x＋y－4＝0.
(2)当|OC|最小时，OC与直线x＋y－4＝0垂直，
∴直线OC的方程为x－y＝0.
联立解得x＝y＝2，
即|OC|最小时，圆心的坐标为(2，2)，∴m＝2，
故圆C的一般方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0.
13．解：如图所示，A，B为切点，连接AC，BC，PC，此圆的圆心C为(1，1)，|CA|＝|CB|＝1，切线长
|PA|＝|PB|＝＝
＝2.
①若切线的斜率存在，则可设切线的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y－2k＋3＝0，
所以圆心到切线的距离d＝＝1，解得k＝，
故切线的方程为3x－4y＋6＝0.
②若切线的斜率不存在，切线方程为x＝2，此时直线也与圆相切．
综上所述，过P点的圆的切线方程为3x－4y＋6＝0和x＝2.
14．32 [解析] 由题意可知过点A(11，2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26，所以弦长为整数的有2＋2×(26－10－1)＝32(条)．
15．解：(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得D＝－6，E＝4，F＝4，
所以圆C的方程为x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
(2)假设存在这样的直线l，其方程为y＝x＋b.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则联立消去y得2x2＋2(b－1)x＋b2＋4b＋4＝0，(*)
∴∴y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2.
∵AB为直径，∴∠AOB＝90°，∴|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，
∴x＋y＋x＋y＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，
得x1x2＋y1y2＝0，∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
即b2＋4b＋4＋b(1－b)＋b2＝0，解得b＝－1或b＝－4.
容易验证b＝－1或b＝－4时方程(*)有实根．
故存在这样的直线l，其方程是y＝x－1或y＝x－4.
课件34张PPT。 4.2.1 直线与圆的位置关系 4.2.1 │ 三维目标三维目标【知识与技能】
(1)理解直线与圆的位置的种类．
(2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离．
(3)会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
【过程与方法】
设直线l：ax＋by＋c＝0，圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆的
半径为r，圆心 到直线的距离为d，则判别直线与圆的
位置关系的依据有以下几点：4.2.1 │ 三维目标(1)当d＞r时，直线l与圆C相离；
(2)当d＝r时，直线l与圆C相切；
(3)当d＜r时，直线l与圆C相交．
【情感、态度与价值观】
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．4.2.1 │ 重点难点重点难点【重点】
直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．
【难点】
用坐标法判定直线与圆的位置关系．4.2.1 │ 教学建议(1)本节的主题是直线和圆，在解析几何中，直线与圆的位置关系是一个非常重要的知识点，可以对学生的思维有一个很好的锻炼，让学生由浅入深，从思维容量上层层递进，对学生的思考和分析都有很好的引导．
(2)让学生通过具体的练习，通过自主地思考、研究，来体会数学思想对我们解题和研究问题的作用．例题3的设计给学生留下了讨论的空间，不仅将与直线和圆有关的各知识点联系了起来，而且还通过各知识点之间的联系、综合应用，组织学生一起思考，对应用的加强更是体现了“分类活动，激发潜能”的基本要求．教学建议4.2.1 │ 新课导入【导入一】
情境导入
海上日出时，如果把太阳看作一个圆，那么在太阳升起的过程中，地平线与太阳有几种位置关系呢？
[解析] 太阳还没升起时，地平线与太阳相交；当太阳刚离开地平线时，地平线与太阳相切；当太阳升起时，地平线与太阳相离．新课导入4.2.1 │ 新课导入【导入二】
情景导入、展示目标
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域(假设台风中心不移动)．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
运用平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下．4.2.1 │ 预习探究 预习探究4.2.1 │ 预习探究 4.2.1 │ 预习探究 4.2.1 │ 预习探究 4.2.1 │ 备课素材备课素材考点类析 ? 考点一 直线与圆的位置关系的判定4.2.1 │ 考点类析 4.2.1 │ 考点类析 4.2.1 │ 考点类析 ? 考点二 求圆的切线方程
4.2.1 │ 考点类析 4.2.1 │ 考点类析 4.2.1 │ 考点类析 ? 考点三 求直线与圆相交时的弦长
4.2.1 │ 考点类析 4.2.1 │ 考点类析 4.2.1 │ 考点类析 4.2.1 │ 考点类析 4.2.1 │ 考点类析 4.2.1 │ 备课素材备课素材4.2.1 │ 备课素材4.2.1 │ 备课素材4.2.1 │ 备课素材4.2.1 │ 备课素材4.2.1 │ 备课素材当堂自测4.2.1 │ 当堂自测 4.2.1 │ 当堂自测 4.2.1 │ 当堂自测 4.2.1 │ 当堂自测 4.2.1 │ 备课素材备课素材4.2.2 圆与圆的位置关系
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．圆x2＋y2＝1和x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系为( )
A．外切 B．内切
C．外离 D．内含
2．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
3. 已知圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程为( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
4．已知圆C1：x2＋y2－m＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0.若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．m<1 B．m>121
C．1≤m≤121 D．15．设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )
A．相切 B．相交
C．内切和内含 D．外切和外离
6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
7．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，n＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，则实数b的取值范围是( )
A．[－3 ，3 ] B．[－3，3]
C．(－3，3 ] D．[－3 ，3)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．与圆x2＋y2＝5外切于点P(－1，2)，且半径为2 的圆的方程为________________．
9．两圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0上的点的最短距离是________．
10．经过两圆x2＋y2＝9和(x＋4)2＋(y＋3)2＝8的交点的直线方程为________________．
11．已知⊙O方程为x2＋y2＝4，定点A(4，0)，则过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹方程为________________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)已知圆C的圆心在直线x－y－4＝0上，且圆C过圆C1：x2＋y2－4x－3＝0和圆C2：x2＋y2－4y－3＝0的交点，求圆C的方程．
13．(13分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求当m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
得分
14．(5分)已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，则以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程为________________．
15．(15分)已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2，1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，且|PQ|＝|PA|.
(1)求实数a，b间满足的等量关系；
(2)若以点P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．
4．2.2 圆与圆的位置关系
1．A [解析] 因为两圆心间的距离d＝r1＋r2＝3，所以圆x2＋y2＝1和x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系为外切．
2．C [解析] 设⊙O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，⊙O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8，
∴|O1O2|＝＝13，
∴r－R<|O1O2|∴两圆相交．
∴公切线有2条．
3．C [解析] x2＋y2－4x＋6y＝0可化为＋＝13，圆心为(2，－3)；x2＋y2－6x＝0可化为＋y2＝9，圆心为(3，0)．因为圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，所以AB的垂直平分线即为过两圆圆心的直线，即为3x－y－9＝0.
4．C [解析] 圆C1的方程可化为x2＋y2＝m，则圆心C1(0，0)，半径r1＝；圆C2的方程可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝36，则圆心C2(－3，4)，半径r2＝6.
∵圆C1与圆C2有公共点，∴|r1－r2|≤|C1C2|≤r1＋r2，
即|－6|≤≤＋6，
∴解得1≤m≤121.
5．D [解析] 两圆圆心之间的距离d＝，而r1＋r2＝4＋r>4，
∴d6．D [解析] 根据圆的半径为6，可排除A，B，再通过验证知圆心是(±4，6)，半径是6的圆与圆x2＋(y－3)2＝1内切．
7．C [解析] 由M∩N≠?，知直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)相交，所以画图(图略)可知－38．(x＋3)2＋(y－6)2＝20 [解析] 设所求圆的圆心为O1(a，b)，则所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝20.
∵两圆外切于点P，且两圆的半径分别为，2 ，∴－1＝，2＝，
∴a＝－3，b＝6，∴所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝20.
9. [解析] 圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化为＋(y－2)2＝2，圆心为(－1，2)，半径为. x2＋y2－4x＋2y＋3＝0可化为(x－2)2＋＝2，圆心为(2，－1), 半径为.所以两圆圆心距为3 ，所以两圆上的点的最短距离是.
10．4x＋3y＋13＝0 [解析] 由两圆的方程相减，得4x＋3y＋13＝0，所以过两圆交点的直线方程为4x＋3y＋13＝0.
11．(x－2)2－＝1 [解析] 设动圆圆心为P(x，y)．因为动圆过定点A，所以|PA|即为动圆半径．当动圆P与⊙O外切时，|PO|＝|PA|＋2.
当动圆P与⊙O内切时，|PO|＝|PA|－2.
综合这两种情况，得||PO|－|PA||＝2，
即|－|＝2，化简可得(x－2)2－＝1.
12．解：因为圆C过两圆的交点，所以设圆C的方程为x2＋y2－4x－3＋λ(x2＋y2－4y－3)＝0，即 (1＋λ)(x2＋y2)－4x－4λy－3λ－3＝0，即 x2＋y2－－－3＝0，所以圆C的圆心为.
因为圆C的圆心在直线x－y－4＝0上，所以－－4＝0,
解得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－3＝0.
13．解：两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为和.
(1)当两圆外切时，＝＋，
解得m＝25＋10 .
(2)当两圆内切时，因为定圆的半径小于两圆圆心之间的距离5，
所以－＝5，解得m＝25－10 .
(3)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
圆心4x＋3y－23＝0，
则公共弦长为2 ＝2 .
14．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 [解析] 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程即为x－y＝0.
∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
圆心C1(－2，0)，C2(－1，－1)，
∴两圆连心线所在直线的方程为＝，即x＋y＋2＝0.
由得所求圆的圆心为(－1，－1)．
又圆心C1(－2，0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离
d＝＝，∴所求圆的半径r＝＝1，
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.
15．解：(1)连接OP.∵Q为切点，∴PQ⊥OQ，∴|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.
又|PQ|＝|PA|，故|PA|2＝|PO|2－1，
即(a2＋b2)－1＝(a－2)2＋(b－1)2.整理得2a＋b－3＝0.
(2)设圆P的半径为R.
∵圆P与圆O有公共点，且半径最小，
∴|OP|＝＝＝，
故当a＝时，|OP|取得最小值 .
此时，b＝－2a＋3＝，R取得最小值 －1.
所以当半径取最小值时，圆P的方程为x－2＋y－2＝ －12.
课件31张PPT。 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.2 │ 三维目标三维目标【知识与技能】
(1)理解圆与圆的位置的种类．
(2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的圆心距．
(3)会用圆心距判断两圆的位置关系．
【过程与方法】
设两圆的圆心距为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
(1)当l＞r1＋r2时，圆C1与圆C2相离；
(2)当l＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；
(3)当|r1－r2|＜l＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；4.2.2 │ 三维目标(4)当l＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；
(5)当l＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．
【情感、态度与价值观】
让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．4.2.2 │ 重点难点重点难点【重点】
圆与圆的位置关系．
【难点】
用坐标法判断圆与圆的位置关系．4.2.2 │ 教学建议(1)把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识．
(2)要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力．
(3)在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程．教学建议4.2.2 │ 新课导入【导入一】
自学导航
1．问题情境：
(1)初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几种？
(2)在初中，我们怎样判断圆与圆的位置关系呢？
2．学生活动
(1)你能说出判断圆与圆的位置关系的两种方法吗？
方法一：利用圆与圆的交点个数；方法二：利用圆心距d与半径之间的关系．
如何用圆与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？
若将两个圆的方程相减，你发现了什么？新课导入4.2.2 │ 新课导入【导入二】
平面几何中，圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？
判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下：
第一步：计算两圆的半径R，r；
第二步：计算两圆的圆心距O1O2，即d；
第三步：根据d与R，r之间的关系，判断两圆的位置关系．
两圆的位置关系表
在解析几何中，我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课题，教师板书课题圆与圆的位置关系．
4.2.2 │ 预习探究 预习探究4.2.2 │ 预习探究 4.2.2 │ 预习探究 4.2.2 │ 预习探究 4.2.2 │ 预习探究 4.2.2 │ 备课素材备课素材考点类析 ? 考点一 两圆位置关系的判断及应用4.2.2 │ 考点类析 4.2.2 │ 考点类析 4.2.2 │ 考点类析 4.2.2 │ 考点类析 4.2.2 │ 考点类析 ? 考点二 求两圆的公共弦的长4.2.2 │ 考点类析 4.2.2 │ 考点类析 ? 考点三 圆系方程的应用4.2.2 │ 考点类析 4.2.2 │ 考点类析 4.2.2 │ 考点类析 4.2.2 │ 考点类析 4.2.2 │ 备课素材备课素材4.2.2 │ 备课素材当堂自测4.2.2 │ 当堂自测 4.2.2 │ 当堂自测 4.2.2 │ 当堂自测 4.2.2 │ 当堂自测 4.2.2 │ 备课素材备课素材4.2.3 直线与圆的方程的应用
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半径为3.6 m的半圆形隧道，则这辆卡车的车篷篷顶距地面的高度不得超过( )
A．1.4 m B．3.5 m
C．3.6 m D．2.0 m
2．若方程＝kx＋2有唯一解，则实数k的取值范围是( )
A．k＝±
B．k∈(－2，2)
C．k<－2或k>2
D．k<－2或k>2或k＝±
3．过点P(1，1)的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．y－1＝0
C．x－y＝0
D．x＋3y－4＝0
4．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )
A．36 B. 18
C. 6 D. 5
5．已知圆C：x2＋y2＝1，点A(－2，0)及点B(2，a)，从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－ )∪( ，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
6．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点．若|MN|≥2 ，则k的取值范围是( )
A.
B.∪[0，＋∞)
C.
D.
7．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2 ，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A．[15°，45°] B．[15°，75°]
C．[30°，60°] D．[0°，90°]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以40 km/h的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响，从现在起经过约________ h，台风将影响A城，持续时间约为________ h．(结果精确到0.1 h)
9．已知直线l：y＝x＋m与曲线C：y＝有两个公共点，则m的取值范围是________．
10. 一束光线从点A(－1，1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的最短路程是________．
11．过点P(3，4)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则线段AB的长为________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动．
(1)求的最大值与最小值；
(2)求2x＋y的最大值与最小值．
13．(13分)为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图L4-2-1所示)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
图L4-2-1
得分
14．(5分)如图L4-2-2，某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身．当船身至少降低________ m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m)
图L4-2-2
15．(15分)如图L4-2-3，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：外籍轮船能否将海监船监测到？若能监测到，求出监测时间；若不能，说明理由．
图L4-2-3
4．2.3 直线与圆的方程的应用
1．B
2．D [解析] y＝表示圆x2＋y2＝1的上半部分(包括与x轴的两个交点A，B), y＝kx＋2表示过定点(0，2)的直线. 由图可以看出，在两条切线处和过线段AB上的点(不包括A，B两点)的直线满足方程只有一个解，观察选项，易知应选D.
3．A [解析] 要使直线将圆形区域分成的两部分的面积之差最大，通过观察图形(图略)，显然只需该直线与直线OP垂直即可．又P(1，1)，所以所求直线的斜率为－1.又该直线过点P(1，1)，所以该直线的方程为x＋y－2＝0.
4．C [解析] 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，圆心为(2，2)，半径为3 .
圆心(2，2)到直线x＋y－14＝0的距离为＝5 >3 ，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r＝6 .
5．C [解析] 过A，B两点的直线方程为y＝x＋，即ax－4y＋2a＝0，若直线AB与圆心相切，
则圆心到直线AB的距离d＝＝1，解得a＝±.结合题意，易知选项C正确．
6．A [解析] 由题意知圆心到直线的距离d＝≤1，解得－≤k≤0.
7．B [解析] 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，∴圆心为M(2，2)，半径r＝＝3 .∵圆上至少有三个不同的点到直线l的距离为2 ，∴圆心M到直线l的距离d应小于等于，
即d＝≤，整理得＋4×＋1≤0，
解得－2－≤≤－2＋，∴2－≤－≤2＋，
即直线l的斜率k∈[2－，2＋]，即k＝tan α∈[2－，2＋]，
利用排除法知直线l的倾斜角α的取值范围是[15°，75°]．
8．2.0 6.6 [解析] 以B为原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系，则台风中心的移动的轨迹方程是y＝－x，受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502.
依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，
解得－150－25 ≤a≤－150＋25 ，
∴t1＝＝≈2.0，
Δt＝＝≈6.6.
故从现在起经过约2.0 h，台风将影响A城，持续时间约为6.6 h.
9．[1，) [解析] 由曲线C：y＝，得x2＋y2＝1(y≥0)，∴曲线C为在x轴上方的半圆，如图所示．直线l是斜率为1的平行直线系，当m＝1时直线记为l1；当l与半圆相切时，直线记为l2，这时圆心到直线的距离d＝r＝1，所以截距m＝.当l在l1与l2之间时(或与l1重合时)，直线l与曲线C有两个不同的交点．故m∈[1，)．
10．4 [解析] 作圆关于x轴的对称圆M：(x－2)2＋(y＋3)2＝1，圆心为M(2，－3)，则＝＝5，故所求的最短路程是5－1＝4.
11. [解析] 如图所示，|OP|＝＝5，
|OB|＝1，则|PB|＝＝2 ，从而|BC|＝＝，|AB|＝2|BC|＝.
12．解：(1)设＝k，即kx－y－2k＋1＝0，则k表示点P(x，y)与点(2，1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值．
由＝1，解得k＝±，∴的最大值为，最小值为－.
(2)设2x＋y＝m，则m表示直线2x＋y＝m在y轴上的截距．当该直线与圆相切时，m取得最大值与最小值．
由＝1，解得m＝1±，
∴2x＋y的最大值为1＋，最小值为1－.
13．解：以O为坐标原点，过OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8.当点D为与直线|BC|平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点时，|DE|为最短距离，此时DE长为－1＝(4 －1) km.
14．1.22 [解析] 以水位未涨前的水面AB中点为原点，建立直角坐标系，如图所示：设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2.
∵圆经过点B(10，0)，C(0，4)，
∴解得
∴圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．
令x＝4.5，得y≈3.28.
故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22 (m)，船才能安全通过桥洞．
15.
解： 如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，
则A(40，0)，B(0，30)，圆O的方程为x2＋y2＝252，
直线AB的方程为＋＝1，即3x＋4y－120＝0.
设O到AB距离为d，则d＝＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．
设监测时间为t，则t＝2×＝0.5(h)．
答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5h.
课件25张PPT。4．2.3 直线与圆的方程的应用4.2.3 │ 三维目标三维目标【知识与技能】
(1)理解掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用．
(2)会用“数形结合”的数学思想解决问题．
【过程与方法】
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
【情感、态度与价值观】
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．4.2.3 │ 重点难点【重点】
求解与圆有关的应用性问题．
【难点】
直线与圆的方程的灵活应用．重点难点4.2.3 │ 教学建议(1)本节课是在教师的引导下，对已学知识进行归纳、总结，以形成更系统、更完整的体系；对已学知识进一步加深理解，强化记忆，是一个再认识，再学习的过程，对已掌握的技能、规律、方法进行深化和进一步熟悉，有助于提高学生分析、理解问题的能力．
(2)例题设置目的在于“以点带面，举一反三”．能抓住问题的本质举一反三；思路1，通过新旧知识的联系，加强横向沟通，考查学生是否具有多角度思考问题、利用不同的方法解决问题的能力，重在应用．思路2，注重在课堂上进行解题方法的讨论，有助于活跃学生思维，促进发散思维的培养，提高思维灵活性，抓住数形结合的数学思想，总结解题规律，充分体现解析几何的研究方法．教学建议4.2.3 │ 新课导入【导入】
情境导入
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域(假设台风中心不移动)．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解决这个问题的本质是什么？你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？新课导入4.2.3 │ 新课导入[解析] 解决这个问题的本质是求台风中心到航线的距离与台风半径的关系，建立如图4-2-4坐标系，由题意得航线所在的直线方程为 ，整理得4x＋7y－280＝0，台风中心到
航线的距离d＝ >30，∴轮船航线不经过台风圆域．
4.2.3 │ 预习探究 预习探究4.2.3 │ 预习探究 4.2.3 │ 预习探究 4.2.3 │ 预习探究 考点类析 ? 考点一 直线与圆的方程在实际问题中的应用 4.2.3 │ 考点类析 4.2.3 │ 考点类析 4.2.3 │ 考点类析 4.2.3 │ 考点类析 4.2.3 │ 考点类析 ? 考点二 直线与圆的方程在平面几何中的应用 4.2.3 │ 考点类析 4.2.3 │ 考点类析 4.2.3 │ 考点类析 4.2.3 │ 考点类析 当堂自测4.2.3 │ 当堂自测 4.2.3 │ 当堂自测 4.2.3 │ 当堂自测 4.2.3 │ 当堂自测 4.2.3 │ 备课素材备课素材4.2.3 │ 备课素材4．3.1 空间直角坐标系
4．3.2 空间两点间的距离公式
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．若已知A(1，1，1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )
A．4 B．2
C．4 D．3
2．在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)关于x轴对称的点的坐标是( )
A．(－1，2，3) B．(1，－2，－3)
C．(－1，－2，3) D．(－1，2，－3)
3．若点P(x，2，1)到M(1，1，2)，N(2，1，1)的距离相等，则x＝( )
A. B．1
C. D．2
4．以正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱CC1的中点的坐标为( )
A. B.
C. D.
5．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为( )
A．(0，，0) B．(0，，)
C．(1，0，) D．(1，，0)
6．已知点B与点A(1，2，3)关于点M(0，－1，2)对称，则点B的坐标是( )
A．(－1，4，1) B．(－1，4，－1)
C．(－1，－4，1) D．(1，4，－1)
7．在空间直角坐标系中，若以点A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值是( )
A．－2 B．2
C．6 D．2或6
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．已知点B是A(2，－3，5)关于xOy面的对称点，则|AB|等于 ______________．
9．已知A(1，2，1)，B(2，2，2)．若点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．
10．点B是点A(3，－1，－4)关于y轴的对称点，则线段AB的长为____________．
11．以原点为球心，5为半径的球面上的动点P的坐标为P(x，y，z)，则x，y，z满足关系式__________________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)在yOz平面上求与点A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)等距离的点P的坐标．
13．(13分)如图L4-3-1所示，直三棱柱ABC -A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点，求DE，EF的长度．
图L4-3-1
得分
14．(5分)图L4-3-2是一个正方体截下的一角P-ABC，其中|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c.建立如图L4-3-2所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是____________．
图L4-3-2
15．(15分)在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)和B(1，0，－3)．试问：
(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
4．3 空间直角坐标系
4．3.1 空间直角坐标系
4．3.2 空间两点间的距离公式
1．A [解析] 由公式得
|AB|＝＝ 4 .
2．B [解析] 点关于x轴对称，横坐标不变，其他符号相反．
3．B [解析] 由空间两点间距离公式可得
＝，解得x＝1.
4．C [解析] 画出图形(图略)即知CC1的中点的坐标为.
5．D [解析] 由于垂足在平面xOy上，故横、纵坐标不变，竖坐标为0.
6．C [解析] 设B(x，y，z)．由已知得
解得即B(－1，－4，1)．
7．D [解析] 依题意有|AB|＝|AC|，即
＝，
即x2－8x＋12＝0，解得x＝2或x＝6.
8．10 [解析] B点坐标的(2，－3，－5)，
∴|AB|＝＝10.
9．(0，0，3) [解析] 设点P(0，0，z)．由已知得＝，解得z＝3，故点P的坐标为(0，0，3)．
10．10 [解析] 易知点B的坐标为(－3，－1，4)．根据空间两点间距离公式，可得|AB|＝10.
11．x2＋y2＋z2＝25 [解析] 由空间两点间距离公式可得x2＋y2＋z2＝25.
12．解：设P(0，y，z)．由题意
所以
即解得所以点P的坐标为(0，1，－2)．
13．解：以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．因为|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)．
由中点坐标公式，可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，
所以|DE|＝＝，
|EF|＝＝.
14. [解析] 由题知A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)．由重心坐标公式得G的坐标为.
15．解：(1)假设在在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.
因为M在y轴上，所以可设M(0，y，0)．由|MA|＝|MB|，得
＝，
显然，此式对任意y∈R恒成立，即y轴上所有点都满足|MA|＝|MB|.
(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．
由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．
因为|MA|＝＝，
|AB|＝＝，
所以＝，解得y＝±，
故y轴上存在点M使△MAB等边，点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0)．
课件33张PPT。4.3.1 空间直角坐标系
4.3.2 空间两点间的距离公式4.3.2 │ 三维目标三维目标【知识与技能】
(1)深刻感受空间直角坐标系的建立背景．
(2)理解掌握空间中点的坐标表示．
(3)掌握空间两点间的距离公式．
【过程与方法】
(1)建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示．
4.3.2 │ 三维目标【情感、态度与价值观】
(1)通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数形结合的思想．
(2)通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程．4.3.2 │ 重点难点【重点】
在空间直角坐标系中确定点的坐标；空间两点间的距离公式．
【难点】
通过建立适当的空间直角坐标系确定空间点的坐标，以及空间两点间的距离公式的推导．重点难点4.3.2 │ 教学建议(1)点在三维空间内位置的确定是一个比较抽象的过程，学生在这个方面还没有形成清晰的认识，教学时应充分类比以往点在直线、点在平面内位置的确定方式．
(2)通过实例，激发学生的学习兴趣与探索欲望，充分发挥学生的主体作用，引导学生通过建立空间直角坐标系利用点的坐标来确定点在空间内的位置．要特别强调点与坐标的一一对应关系，来强化对点的坐标的理解．
(3)围绕在空间直角坐标系中点的坐标的确定这一教学重点，通过巩固与练习反复强化如何在坐标系中利用点的坐标的概念来确定点的坐标这一过程，以巩固学生对新知识的理解，实现从感性认识到理性认识的飞跃．教学建议4.3.2 │ 新课导入【导入一】
情境导入
飞机的速度是非常快的，即使民航飞机速度也非常快，有很多飞机时速都在1000 km以上，而全世界又有这么多的飞机，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车，汽车要低得多，你知道其中的原因吗？
[解析] 飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度．新课导入4.3.2 │ 新课导入【导入二】
情景导入
1．思考确定一个点在一条直线上的位置的方法；
2．思考确定一个点在一个平面内的位置的方法；
3．如何确定一个点在三维空间内的位置？
例：如图4-3-1，在房间(立体空间)内如何确定电灯的位置？
4.3.2 │ 新课导入 在学生思考讨论的基础上，教师明确：确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数．那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？通过类比联想，容易知道需要三个数．要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．4.3.2 │ 预习探究 预习探究4.3.2 │ 预习探究 [思考] 画空间直角坐标系时，任意两坐标轴的夹角是否都画成90°呢？4.3.2 │ 预习探究 4.3.2 │ 预习探究 4.3.2 │ 预习探究 4.3.2│ 备课素材备课素材4.3.2│ 备课素材考点类析 ? 考点一 求空间点的坐标 4.3.2 │ 考点类析 4.3.2 │ 考点类析 4.3.2 │ 考点类析 ? 考点二 空间两点间距离公式的应用 4.3.2 │ 考点类析 4.3.2 │ 考点类析 ? 考点三 求对称点的坐标 4.3.2 │ 考点类析 4.3.2 │ 考点类析 4.3.2 │ 考点类析 4.3.2 │ 考点类析 4.3.2│ 备课素材备课素材4.3.2│ 备课素材4.3.2│ 备课素材4.3.2│ 备课素材4.3.2│ 备课素材当堂自测4.3.2 │ 当堂自测 4.3.2 │ 当堂自测 4.3.2 │ 当堂自测 4.3.2 │ 当堂自测