第2课时 充要条件
1.C [解析] 由根与系数的关系知,x1x2=2 n=2,所以“x1x2=2”是“n=2”的充要条件.故选C.
2.D [解析] 由题意知,“有志”不一定“能至”,但“能至”一定“有志”,所以“有志”是“能至”的必要不充分条件.故选D.
3.B [解析] 当abc=0时,取a=1,b=c=0,则不能推出a4+b4+c4=0,不满足充分性;当a4+b4+c4=0时,则a=b=c=0,有abc=0,满足必要性.所以“abc=0”是“a4+b4+c4=0”的必要不充分条件.故选B.
4.D [解析] |a+b|=||a|-|b|| a2+2ab+b2=a2-2|ab|+b2 ab=-|ab| ab≤0,∴“等式|a+b|=||a|-|b||成立”的充要条件是“ab≤0”.故选D.
5.C [解析] 因为A∩B= ,所以结合数轴知,-2
6.C [解析] 对于选项A,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件;对于选项B,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件;对于选项C,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件;对于选项D,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C.
7.B [解析] 因为当1≤x≤2时,a≥x2恒成立,所以a≥4.由选项可知“a≥5”是“当1≤x≤2时,x2-a≤0恒成立”的一个充分不必要条件.
8.BCD [解析] 如图所示,由Venn图可知,B,C,D都是“B A”的充要条件,故选BCD.
9.AB [解析] 对于A,利用集合间的包含关系可知A∩B A,所以x∈A推不出x∈A∩B,但x∈A∩B可推出x∈A,即可知“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件,故A正确;对于B,由p是q的必要不充分条件,得q p,p / q,由p是r的充要条件,得p r,所以可得q p r,而r / q,所以q是r的充分不必要条件,故B正确;对于C,当a=0时,方程ax2+x+a=0为x=0,此时方程有唯一解,满足题意,故C错误;对于D,依题意可得a≥[a], b ≥b,若[a]= b ,则可得a≥[a]= b ≥b,所以充分性成立,不妨取a=3.5,b=1.6,此时满足a≥b,且[a]=3, b =2,不能得到[a]= b ,所以必要性不成立,故D错误.故选AB.
10.充要 [解析] 由题意得r q,s r,q s,所以s r q,所以s q,又因为q s,所以s是q的充要条件.
11.(-∞,-2) [解析] 因为“x<-2”是“x≤a”的必要不充分条件,所以a<-2,即a的取值范围是(-∞,-2).
12.a>2或a<-2 [解析] 因为关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根,所以a2-4>0,解得a>2或a<-2,即关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根的充要条件是a>2或a<-2.
13.解:(1)若点在角的平分线上,则点到角的两边所在直线的距离相等;若点到角的两边所在直线的距离相等,则点在角的平分线上或在该角的补角的平分线上或在该角的对顶角的平分线上.故p是q的充分不必要条件.
(2)当两个直角三角形的斜边相等时,这两个直角三角形不一定全等,如三条边长分别为,,2的直角三角形和三条边长分别为1,,2的直角三角形;若两个直角三角形全等,则这两个直角三角形的斜边相等.因此,p是q的必要不充分条件.
(3)因为x2-1=0 x=±1 |x|-1=0,|x|-1=0 x=±1 x2-1=0,所以p是q的充要条件.
14.证明:当m=2时,一元二次方程x2+(m+1)x+2=0即为x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2,
所以该方程有两个实数根,且有一根为-1.
若一元二次方程x2+(m+1)x+2=0有两个实数根,且有一根为-1,则解得m=2.综上,“一元二次方程x2+(m+1)x+2=0有两个实数根,且有一根为-1”的充要条件是“m=2”.
15.充要 [解析] 因为a,b至少有一个不为0,所以a≠0或b≠0或a,b均不为0,则a2+b2≠0,即“a,b至少有一个不为0”可推出“a2+b2≠0”;因为a2+b2≠0,所以a≠0或b≠0或a,b均不为0,即a,b至少有一个不为0,故“a2+b2≠0”可推出“a,b至少有一个不为0”.则“a,b至少有一个不为0”是“a2+b2≠0”的充要条件.
16.证明:当a=2时,由b2+c2-2(b+c)=bc-4可得b2+c2-a(b+c)=bc-a2,即a2+b2+c2=ab+ac+bc,所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,
则(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,所以a-b=b-c=a-c=0,则a=b=c,所以△ABC为等边三角形.
反之,因为△ABC为等边三角形,且a=2,所以a=b=c=2,则b2+c2-2(b+c)=0,bc-4=0,
所以b2+c2-2(b+c)=bc-4.
故“△ABC为等边三角形”的充要条件是“b2+c2-2(b+c)=bc-4”.§2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件与充分条件
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.无法判断
D.充分条件也是必要条件
2.“-2A.-2B.0C.-3D.-33.“-A.1C.-34.设A,B是非空集合,A={a|a具有性质α},B={b|b具有性质β},若“c具有性质β”是“c具有性质α”的充分条件,则 ( )
A.A B
B.B A
C.A∩B=
D.以上都不对
5.有以下说法:
(1)“m是自然数”是“m是整数”的充分条件;
(2)“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件;
(3)“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.
其中正确的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.若“x>3”是“x>t”的充分条件,则实数t的取值范围是 ( )
A.t≥3 B.t>3
C.t≤3 D.t<3
7.已知p:m-1A.(3,5)
B.[3,5]
C.(-∞,3)∪(5,+∞)
D.(-∞,3]∪[5,+∞)
8.(多选题)已知集合M,N为R的非空子集,且M≠N,则下列选项中p是q的充分条件的是 ( )
A.p:a∈M∩N,q:a∈M
B.p:a∈M∪N,q:a∈M
C.p: RM N,q:M∪( RN)=M
D.p:M∩( RN)=M,q: RM N
9.(多选题)已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},则“B是A的真子集”的充分条件可以是 ( )
A. m∈
B.m∈
C.m∈
D. m∈
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,那么丙是甲的 .(从“充分条件”“必要条件”中选填)
11.已知集合A={x|x>2},B={x|bx>1},其中b为实数.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则b的取值可以是 .(答案不唯一,写出一个即可)
12.设α,β是方程x2-ax+b=0的两个实根,则“a>2且b>1”是“α,β均大于1”的 .(从“充分条件”“必要条件”中选填)
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)在下列各题中,试判断p是q的充分条件还是必要条件.
(1)p:a2+b2=0,q:a+b=0;
(2)p:(x+1)(x-2)=0,q:x+1=0;
(3)p:a≤-2或a≥2,q:a≤-2或a≥6.
14.(10分)已知全集U=R,集合A={x|0(1)当a=-1时,求( UA)∩B;
(2)已知“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数a的取值范围.
15.(5分)集合A={x|-1A.(-∞,-1) B.(-1,+∞)
C.[-1,+∞) D.(-1,2)
16.(5分)[2024·广东佛山南海区石门中学月考] 已知集合A={x∈Z|点(x-1,x-a)不在第一、三象限},集合B={t|1≤t<3},若“y∈B”是“y∈A”的必要条件,则实数a的取值范围是 . (共25张PPT)
§2 常用逻辑用语
第1课时 必要条件与充分条件
2.1 必要条件与充分条件
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.理解必要条件、充分条件的概念.
2.能够判断命题之间的充分、必要关系.
3.通过对必要条件、充分条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断
和归纳的逻辑思维能力．
知识点一 必要条件与性质定理
一般地，当命题“若，则”是真命题时，称是 的______条件.也就是说，一旦
不成立，一定也不成立，即对于 的成立是必要的.
必要
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若中学生，学生，则“”是“ ”的必要条件.( )
×
[解析] “”是“ ”的必要条件，故（1）错误.
（2）“”是“ ”的必要条件.( )
×
[解析] “”是“ ”的必要条件，故（2）错误.
知识点二 充分条件与判定定理
一般地，当命题“若，则”是真命题时，称是 的______条件.
对于真命题“若，则”，即时，称是的______条件，也称是 的_____
条件.
充分
必要
充分
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的充分条件.( )
×
[解析] “两个三角形的面积相等”不能推出“两个三角形全等”，故（1）错误.
（2）若是的必要条件，则是 的充分条件.( )
√
[解析] 符合充分条件、必要条件的定义，故（2）正确.
2.如果是的充分条件，是的充分条件，那么是 的充分条件吗？
解：是.因为，,所以，所以是 的充分条件.
探究点一 必要条件的判定
例1 下列所给的各组，中，判断是否为的必要条件，是否为 的必要
条件.
（1）， ；
解：因为当时，，所以，即是的必要条件；
当 时，或，所以，即不是 的必要条件.
（2）四边形的对角线相等， 四边形是矩形；
解：因为当四边形的对角线相等时，四边形不一定是矩形，即，所以 不
是的必要条件；
当四边形是矩形时，四边形的对角线相等，即，所以 是 的必要条件.
（3）两个三角形相似， 两个三角形的对应角相等.
解：因为当两个三角形相似时，两个三角形的对应角相等，即，所以是
的必要条件；
当两个三角形的对应角相等时，两个三角形相似，即 ，所以是 的必要条件.
变式 （多选题）[2024·四川绵阳中学月考] 下列命题中，是 的必要条件的
有( )
BCD
A.,是偶数, 是偶数
B.，方程 有实根
C.四边形的对角线互相垂直, 四边形是菱形
D.，
[解析] 对于A，是偶数，不能保证，均是偶数，， 也有可能都是奇数，
故A不符合题意；
对于B，若方程 有实根，则需满足，即，
可推出 ，故B符合题意；
对于C，若四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直，故C符合题意；
对于D，若 ，则，故D符合题意.故选 .
［素养小结］
（1）判断是否为的必要条件时,主要判断“若成立,能否推出成立”,若 ,
则是的必要条件;判断是否为的必要条件时,主要判断“若成立,能否推出 成
立”，若,则是 的必要条件.
（2）也可利用集合的关系判断,已知甲：,乙:,若 ，则甲是乙的
必要条件.
探究点二 充分条件的判定
例2 下列所给的各组，中，判断是否为的充分条件，是否为 的充分
条件.
（1）， ；
解：若，则且，可以推出 ，反之不一定成立，
即，，所以是的充分条件，不是 的充分条件 .
（2）或； ；
解：或推不出，反之成立，即，，
所以 不是的充分条件，是 的充分条件.
（3）两个三角形的三边成比例， 两个三角形相似；
解：根据相似三角形的判定定理，可得，所以是 的充分条件.
由相似三角形的性质可得，所以是 的充分条件.
（4）, ；
解：由，得或，推不出，所以不是 的充分条件.
由可以推出，所以是 的充分条件.
（5）， .
解：由等式的性质知，，所以是的充分条件；
当时，与 不一定相等，，故不是 的充分条件.
变式 （多选题）[2024·四川绵阳高一期中] 下列选项中满足是 的充分条件
的是( )
ABC
A., B.,
C., D.,
[解析] 对于A，由可推出，所以“”是“ ”的充分条件，A正确.
对于B，由可推出，所以“”是“ ”的充分条件，B正确.
对于C，由可推出，所以“”是“ ”的充分条件，C正确.
对于D，当，时，满足，但是，所以“ ”不是“
”的充分条件，D错误.故选 .
［素养小结］
（1）判断是的充分条件时,主要判断“若成立,能否推出成立”，若,则
是 的充分条件.
（2）也可利用集合的关系判断,已知甲:,乙:,若 ,则甲是乙的充分
条件.
探究点三 由必要条件、充分条件求参数的范围
例3 [2024·江苏宿迁青华中学高一月考] 设全集 ，集合
，非空集合 .
（1）若“”是“”的充分条件，求实数 的取值范围；
解:全集，集合，非空集合 ，
因为“”是“”的充分条件，所以 ,
所以即解得 ，
所以实数的取值范围是 .
（2）若“”是“”的必要条件，求实数 的取值范围.
解:因为“”是“”的必要条件，所以 ,
所以即解得 ，
所以实数的取值范围是 .
变式 设,，若是的充分条件，则实数 的取值范围为 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为,，是的充分条件，所以 ，
故 .故选C.
［素养小结］
利用必要条件或充分条件求参数的值或取值范围，关键是将已知条件转化为集
合间的包含关系，再通过解不等式（组）来求解.但要注意集合为空集的情况，
还要注意等号的取舍.
1.概念的理解
命题真假 推出关系 条件关系
定理关系 判定定理给出了结论成立的充分条件;性 质定理给出了结论成立的必要条件
2.充分条件、必要条件具有传递性
若是的充分条件,是的充分条件,即,,则有,即是 的充分条件;
若是的必要条件,是的必要条件,即,,则有,即是 的必要条件.
3.从集合的角度判断充分条件、必要条件
已知集合，,设,.若,则,是的充分条件;若 ,
则,是 的必要条件.
1.充分性：充分就是充足的，是足够的，充分条件是足以保证结论成立的，但
不是唯一的．
例1 已知实数满足，其中，实数满足 .
若是的充分条件，求实数 的取值范围．
解：设集合， ，
因为是的充分条件，所以，所以 ，
所以即 ，
所以的取值范围是 .
2.必要性：必要就是必须的，是必不可少的，但必要条件不是唯一的．
例2 已知，.若 是 的必要条件，则实数
的取值范围为_______.
[解析] 是 的必要条件， ，，
解得，
即 的取值范围为 .§2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件与充分条件
【课前预习】
知识点一
必要
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)“x∈B”是“x∈A”的必要条件,故(1)错误.
(2)“x>3”是“x>5”的必要条件,故(2)错误.
知识点二
充分 必要 充分
诊断分析
1.(1)× (2)√ [解析] (1)“两个三角形的面积相等”不能推出“两个三角形全等”,故(1)错误.
(2)符合充分条件、必要条件的定义,故(2)正确.
2.解:是.因为p q,q r,所以p r,所以p是r的充分条件.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)因为当x>1时,x2>1,所以p q,即q是p的必要条件;当x2>1时,x>1或x<-1,所以q / p,即p不是q的必要条件.
(2)因为当四边形的对角线相等时,四边形不一定是矩形,即p / q,所以q不是p的必要条件;当四边形是矩形时,四边形的对角线相等,即q p,所以p是q的必要条件.
(3)因为当两个三角形相似时,两个三角形的对应角相等,即p q,所以q是p的必要条件;当两个三角形的对应角相等时,两个三角形相似,即q p,所以p是q的必要条件.
变式 BCD [解析] 对于A,x+y是偶数,不能保证x,y均是偶数,x,y也有可能都是奇数,故A不符合题意;对于B,若方程x2-2x+a=0有实根,则需满足Δ=4-4a≥0,即a≤1,可推出a<2,故B符合题意;对于C,若四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直,故C符合题意;对于D,若a=0,则ab=0,故D符合题意.故选BCD.
探究点二
例2 解:(1)若a∈A∩B,则a∈A且a∈B,可以推出a∈A∪B,反之不一定成立,即p q,q / p,所以p是q的充分条件,q不是p的充分条件 .
(2)x>5或x<-5推不出x<-5,反之成立,即p / q,q p,所以p不是q的充分条件,q是p的充分条件.
(3)根据相似三角形的判定定理,可得p q,所以p是q的充分条件.由相似三角形的性质可得q p,所以q是p的充分条件.
(4)由x2=1,得x=1或x=-1,推不出x=1,所以p不是q的充分条件.由x=1可以推出x2=1,所以q是p的充分条件.
(5)由等式的性质知, p q,所以p是q的充分条件;当c=0时,a与b不一定相等,q / p,故q不是p的充分条件.
变式 ABC [解析] 对于A,由x>可推出x>1,所以“x>”是“x>1”的充分条件,A正确.对于B,由m=0可推出mn=0,所以“m=0”是“mn=0”的充分条件,B正确.对于C,由x2≠0可推出x≠0,所以“x2≠0”是“x≠0”的充分条件,C正确.对于D,当x=2,y=-2时,满足x>y,但是x2=y2,所以“x>y”不是“x2>y2”的充分条件,D错误.故选ABC.
探究点三
例3 解:(1)全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},非空集合B={x|2-a≤x≤1+2a},
因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A B,
所以即解得a≥2,
所以实数a的取值范围是[2,+∞).
(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B A,
所以即解得≤a≤1,
所以实数a的取值范围是.
变式 C [解析] 因为p:x<1,q:x【课前预习】
知识点
1.充要条件
诊断分析
(1)√ (2)√ [解析] (1)若x=y=0成立,则x2+y2=0成立;若x2+y2=0成立,则x=y=0成立.故(1)正确.
(2)当p q且q p时,p才是q的充要条件,故(2)正确.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)AB [解析] (1)由A∪B=B可得A B,由A B可得A∪B=B,所以“A B”是“A∪B=B”的充要条件.故选C.
(2)若三角形是等腰三角形,则该三角形的两底角相等;反之,当三角形中有两角相等时,这两角所对的边相等,即该三角形为等腰三角形,所以“三角形是等腰三角形”是“三角形存在两角相等”的充要条件,故A正确.若两个三角形全等,则两个三角形的三边分别相等;反之,若两个三角形的三边分别相等,则这两个三角形全等.所以“两个三角形全等”是“两个三角形的三边分别相等”的充要条件,故B正确.当xy>0时,可能x<0,y<0或者x>0,y>0,故“xy>0”不是“x>0,y>0”的充要条件,故C错误.正方形的对角线互相垂直且平分,但是对角线互相垂直且平分的四边形可以是任意的菱形,不一定是正方形,故“四边形是正方形”不是“四边形的对角线互相垂直且平分”的充要条件,故D错误.故选AB.
探究点二
例2 解:设x1,x2是方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0的两个根,由已知可得解得110,即所求充要条件为“110”.
变式 m=±2 [解析] 因为A∩B={4},所以4∈A,又-2≠4,所以m2=4,解得m=±2.经验证m=±2符合题意,则所求充要条件是“m=±2”.
探究点三
例3 证明:若关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
则x=1满足方程ax2+bx+c=0,
∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
若a+b+c=0,则c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0,因此,方程有一个根为1.故“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1”的充要条件是“a+b+c=0”.
变式 证明:必要性:若∠A=∠B,则a=b,得a2-b2-ac+bc=0.
充分性:a2-b2-ac+bc=(a+b)·(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a+b-c),若a2-b2-ac+bc=0成立,
则(a-b)(a+b-c)=0成立.∵在△ABC中,a+b-c>0,
∴a-b=0,∴a=b,∴∠A=∠B.
综上可知,“a2-b2-ac+bc=0”的充要条件是“∠A=∠B”.