2.2 全称量词与存在量词
第1课时 全称量词命题与存在量词命题
【学习目标】
1.掌握常用的全称量词和存在量词及其含义.
2.掌握全称量词命题和存在量词命题的概念,并能准确判断真假.
◆ 知识点一 全称量词命题
1.全称量词命题:在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.
2.全称量词:在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“ ”表示,读作“对任意的”.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“平行四边形的对角线互相平分”是全称量词命题. ( )
(2)“能被6整除的数也能被3整除”是全称量词命题. ( )
(3)“至少有一个实数x,使得|x|=4”是全称量词命题. ( )
(4)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题. ( )
2.全称量词命题中一定含有全称量词吗
◆ 知识点二 存在量词命题
1.存在量词命题:在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.
2.存在量词:在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词.用符号“ ”表示,读作“存在”.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“有些自然数是偶数”是存在量词命题. ( )
(2)“存在一个菱形,它的四条边不相等”是存在量词命题. ( )
(3)“对每一个无理数x,x2也是无理数”是存在量词命题. ( )
(4)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题. ( )
2.怎样判定一个存在量词命题的真假
◆ 探究点一 全称量词命题与存在量词命题的判断与表示
例1 (1)判断下列给出的命题是全称量词命题,还是存在量词命题 并指出其中的量词.
①存在一个实数,它的绝对值不是正数;
②对任何实数a,方程ax2+x+1=0都有解;
③在平面直角坐标系中,每一个有序实数对(x,y)都对应一个点;
④有一个质数是偶数.
(2)将下列命题用“ ”或“ ”表示.
①实数的平方是非负数;
②方程ax2+2x+1=0(a<1)至少存在一个负实根;
③有一个有理数x满足x2=3.
变式 (多选题)[2024·陕西西安庆安高级中学高一月考] 下列命题是存在量词命题的是 ( )
A.能被5整除的整数都是偶数
B.有的偶数是质数
C.梯形的对角线相等
D.某些平行四边形不是菱形
[素养小结]
全称量词命题的判断:常用的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”等,只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题.
存在量词命题的判断:常用的存在量词有“有些”“有一个”“存在”“某个”“有的”等,只要含有这些量词,或者命题具有存在量词所表达的含义,就是存在量词命题.
◆ 探究点二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2 (多选题)下列命题中,为真命题的是 ( )
A. x∈R,有x2>0
B.空集是任何一个非空集合的真子集
C. x∈{-2,-1,0,1,2},使|x-2|<2
D. a∈R,方程ax+1=0恰有一解
变式 (多选题)下列命题中为真命题的是 ( )
A. x∈R,有x3≥0
B. x∈Z,有|x|∈N
C. x∈Z,使x2+x为奇数
D. x∈N,使x3<1
[素养小结]
(1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x证明其具有性质p(x),但要判定全称量词命题为假命题,只要能举出集合M中的一个x不具有性质p(x)即可,这就是通常所说的“举一个反例”;
(2)要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中能找到一个x具有性质p(x)即可,否则这个存在量词命题就是假命题.
◆ 探究点三 由含量词的命题的真假求参数的范围
例3 (1)若“ x∈[1,2],有x2+2x-a<0”是真命题,求实数a的取值范围.
(2)若“ x∈[1,2],使x2+2x-a<0”是真命题,求实数a的取值范围.
变式 (1)[2024·辽宁部分学校高一期中] 若“ x∈(-∞,a],使x2=2”是假命题,则实数a的取值范围是 .
(2)已知“ x∈[1,2],使2x-1≥m”是真命题,则实数m的最大值是 .
[素养小结]
由含量词的命题的真假求参数取值范围的策略:
(1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式,确定参数的取值范围;
(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,可借助根的判别式等知识解决.2.2 全称量词与存在量词
第1课时 全称量词命题与存在量词命题
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.下列命题中不是全称量词命题的是 ( )
A.任意一个自然数都是正整数
B.有的质数是偶数
C.三角形的内角和是180°
D.等边三角形是等腰三角形
2.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题,则下列结论正确的是 ( )
A.存在a,b∈R,使得a2+b2+2ab=(a+b)2
B.存在a<0,b>0,使得a2+b2+2ab=(a+b)2
C.对任意的a>0,b>0,都有a2+b2+2ab=(a+b)2
D.对任意的a,b∈R,都有a2+b2+2ab=(a+b)2
3.下列命题中是存在量词命题且为假命题的是( )
A. x∈R,使1-x2≥0
B.所有的正方形都是矩形
C. x∈R,使x2+2x+2≤0
D. x∈R,使x3+1=0
4.下列命题中是全称量词命题且为真命题的是( )
A. x∈R,有x2>0
B. x,y∈Q,有x+y∈Q
C. x∈Z,使-x2+1≥1
D. x,y∈R,有|x|+|y|>0
5.已知“存在x∈{x|-2A.(-4,6)
B.[-4,6]
C.(-∞,-4)∪[6,+∞)
D.(-∞,-4]∪[6,+∞)
6.[2024·福建莆田四中高一月考] 已知“ x∈{x|0≤x≤2},有p>x”为真命题,“ x∈{x|0≤x≤2},使q>x”为真命题,则 ( )
A.p>0,q>0 B.p>0,q>2
C.p>2,q>0 D.p>2,q>2
7.已知p: x∈[1,2],有x2-a<0,q: x∈R,使x2+2x+2-a=0.若p和q都是真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.a>4 B.a<4
C.a≥1 D.a≤1
8.(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.“菱形的两条对角线相等”是存在量词命题且为真命题
B.“三角形的外角和为360度”是全称量词命题且为真命题
C.“至少存在一个实数x,使得|x|≥0”是含有存在量词的真命题
D.“能被3整除的整数,其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题
9.(多选题)[2024·云南昆明呈贡一中高一月考] 若“ x∈M,使x<0”为真命题,“ x∈M,使x≥4”为假命题,则集合M可以是 ( )
A.{x|x<1} B.{x|-1≤x≤4}
C.{x|0≤x<3} D.{x|-4二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.现有下列4个命题:①菱形的四条边相等;② a∈R,使|a|=1;③存在一个质数为偶数;④正数的平方是正数.其中,存在量词命题的个数为 .
11.给出下列命题:
① x∈Z,使x2=3;
② x∈R,使x2=2;
③ x∈R,有x2+2x+3>0.
其中真命题的序号是 .
12.[2024·湖北襄阳宜城一中高一月考] 已知P: x∈R,使x2-4x+a=0,Q: x∈[1,3],有a>x-1.若命题P为假命题且Q为真命题,则实数a的取值范围是 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)用量词符号“ ”“ ”表述下列命题.
(1)实数都能写成小数形式;
(2)有一个有理数x满足x2=4;
(3)方程x2+2x+8=0有实数解.
14.(10分)[2024·江西宜春百树学校高一开学考] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.
(1)至少有一个整数,既能被11整除,又能被9整除;
(2) x∈R,有x2-4x+6>0;
(3) x∈N*,使x为29的约数;
(4) x∈N,有x2>0.
15.(5分)设非空集合P,Q满足P∩Q=Q,且P≠Q,则下列命题中为假命题的是 ( )
A. x∈Q,有x∈P
B. x∈P,使x Q
C. x Q,使x∈P
D. x Q,有x P
16.(15分)已知集合A={x|-2≤x≤5},非空集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)设p: x∈B,有x∈A,若p是真命题,求实数m的取值范围;
(2)设q: x∈A,使x∈B,若q是真命题,求实数m的取值范围.2.2 全称量词与存在量词
第1课时 全称量词命题与存在量词命题
【课前预习】
知识点一
2.
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ [解析] (1)是指“所有平行四边形的对角线都互相平分”,是全称量词命题.
(2)是指“所有能被6整除的数也都能被3整除”,是全称量词命题.
(3)中没有“所有”的意思.
(4)根据全称量词命题的定义可知其正确.
2.解:不一定,如“三角形的内角和等于180°”.
知识点二
2.
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ [解析] (1)(2)均含有存在量词,是存在量词命题.(3)中“每一个”为全称量词,它是全称量词命题.(4)根据存在量词命题的定义可知其正确.
2.解:要判定一个存在量词命题是真命题,只需在给定的集合中找到一个元素,使命题为真即可.如果在给定的集合中,使命题为真的元素不存在,那么这个存在量词命题是假命题.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)①为存在量词命题,“存在”是存在量词;
②为全称量词命题,“任何”是全称量词;
③为全称量词命题,“每一个”是全称量词;
④为存在量词命题,“有一个”是存在量词.
(2)① x∈R,有x2≥0;
② x<0,使ax2+2x+1=0(a<1);
③ x∈Q,使x2=3.
变式 BD [解析] A,C中命题是全称量词命题,B,D中命题是存在量词命题.故选BD.
探究点二
例2 BC [解析] 对于A,当x=0时,x2=0,故A是假命题;对于B,空集是任何一个非空集合的真子集,B是真命题;对于C,存在x=1,使|x-2|<2,故C是真命题;对于D,当a=0时,方程ax+1=0无解,故D是假命题.故选BC.
变式 BD [解析] 对于A,当x=-1时,x3=-1<0,A是假命题;对于B, x∈Z,有|x|∈N,B是真命题;对于C,当x∈Z时,因为x2+x=x(x+1),x,x+1中必有一个是偶数,所以x2+x=x(x+1)为偶数,故不存在x∈Z,使x2+x为奇数,C是假命题;对于D,当x=0时,x3<1,故存在x∈N,使x3<1,D是真命题.故选BD.
探究点三
例3 解:(1)当1≤x≤2时,3≤x2+2x≤8.因为当x∈[1,2]时,x2+2x-a<0恒成立,所以a>(x2+2x)max=8,故实数a的取值范围为a>8.
(2)当1≤x≤2时,3≤x2+2x≤8,因为存在x∈[1,2],使x2+2x-a<0成立,所以a>(x2+2x)min=3,故实数a的取值范围为a>3.
变式 (1)a<- (2)3 [解析] (1)由x2=2,解得x=-或x=,又“ x∈(-∞,a],使x2=2”是假命题,所以a<-.
(2)当x∈[1,2]时,2x-1∈[1,3],由题意可得m≤3,即实数m的最大值是3.2.2 全称量词与存在量词
第1课时 全称量词命题与存在量词命题
1.B [解析] A中含有全称量词,为全称量词命题;B中含有存在量词,为存在量词命题;C中命题可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”,为全称量词命题;D中命题可以叙述为“所有的等边三角形都是等腰三角形”,为全称量词命题.故选B.
2.D [解析] 因为“存在”是存在量词,所以排除A,B.因为等式a2+b2+2ab=(a+b)2对于全体实数都成立,所以将原等式改写为全称量词命题为“对任意的a,b∈R,都有a2+b2+2ab=(a+b)2”.故选D.
3.C [解析] 对于A,该命题为存在量词命题,当x=0时,1-x2=1>0,故为真命题;对于B,该命题为全称量词命题,不是存在量词命题;对于C,该命题为存在量词命题,因为 x∈R,有x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0,所以该命题为假命题;对于D,该命题为存在量词命题,当x=-1时,x3+1=0,故为真命题.故选C.
4.B [解析] 对于A,本命题为全称量词命题,当x=0时,不等式x2>0不成立,因此本命题是假命题,不符合题意;对于B,因为“ x,y∈Q,有x+y∈Q”是真命题,且该命题是全称量词命题,所以符合题意;对于C,本命题是存在量词命题,不符合题意;对于D,因为当x=y=0时,|x|+|y|>0不成立,因此本命题是假命题,不符合题意.故选B.
5.A [解析] 由题意知当-26.C [解析] “ x∈{x|0≤x≤2},有p>x”为真命题,则p>2,“ x∈{x|0≤x≤2},使q>x”为真命题,则q>0,故选C.
7.A [解析] 若p是真命题,则a>x2对x∈[1,2]恒成立,所以a>4;若q是真命题,则4-4(2-a)≥0,解得a≥1.因为p和q都是真命题,所以a>4.
8.BCD [解析] 对于A,“菱形的两条对角线相等”为全称量词命题,且为假命题,所以A错误;对于B,“三角形的外角和为360度”为全称量词命题,且为真命题,所以B正确;对于C,“至少存在一个实数x,使得|x|≥0”含有存在量词,且为真命题,所以C正确;对于D,“能被3整除的整数,其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题,所以D正确.故选BCD.
9.AD [解析] 依题意可知M中存在小于0的元素且不存在大于或等于4的元素,则集合{x|x<1}和{x|-410.2 [解析] ①和④是全称量词命题,②和③是存在量词命题.故存在量词命题的个数为2.
11.②③ [解析] 由x2=3,得x=± Z,∴①为假命题;由x2=2,得x=±∈R,∴②为真命题;∵x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0,∴③为真命题.
12.a>4 [解析] 若命题P: x∈R,使x2-4x+a=0为真命题,则Δ=16-4a≥0,解得a≤4,因为命题P为假命题,所以a>4.若命题Q: x∈[1,3],有a>x-1为真命题,则a>2.因为命题P为假命题且Q为真命题,所以a>4.
13.解:(1) x∈R,x能写成小数形式.
(2) x∈Q,使x2=4.
(3) x∈R,使x2+2x+8=0.
14.解:(1)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是存在量词命题,由于99既能被11整除,又能被9整除,故该命题为真命题.
(2)命题中含有全称量词“ ”,故是全称量词命题,因为x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,所以x2-4x+6>0恒成立,故该命题为真命题.
(3)命题中含有存在量词“ ”,故是存在量词命题,当x=1时,x为29的约数,所以该命题为真命题.
(4)命题中含有全称量词“ ”,故是全称量词命题,当x=0时,x2=0,所以该命题为假命题.
15.D [解析] ∵P∩Q=Q,且P≠Q,∴Q P,故A,B,C中的命题都是真命题.故选D.
16.解:(1)因为p是真命题,所以B A,则解得2≤m≤3,故实数m的取值范围为[2,3].
(2)因为q是真命题,所以A∩B≠ .
又B≠ ,所以m≥2,所以m+1≥3.
所以要使A∩B≠ ,需满足3≤m+1≤5,即2≤m≤4.
故实数m的取值范围为[2,4].(共26张PPT)
§2 常用逻辑用语
第1课时 全称量词命题与存在量词命题
2.2 全称量词与存在量词
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备用习题
【学习目标】
1.掌握常用的全称量词和存在量词及其含义.
2.掌握全称量词命题和存在量词命题的概念，并能准确判断真假.
知识点一 全称量词命题
1.全称量词命题：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作
全称量词命题.
2.全称量词：在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作
全称量词，用符号“___”表示，读作“对任意的”.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“平行四边形的对角线互相平分”是全称量词命题.( )
√
[解析] 是指“所有平行四边形的对角线都互相平分”，是全称量词命题.
（2）“能被6整除的数也能被3整除”是全称量词命题.( )
√
[解析] 是指“所有能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题.
（3）“至少有一个实数,使得 ”是全称量词命题.( )
×
[解析] 中没有“所有”的意思.
（4）全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题.( )
√
[解析] 根据全称量词命题的定义可知其正确.
2.全称量词命题中一定含有全称量词吗？
解：不一定，如“三角形的内角和等于 ”.
知识点二 存在量词命题
1.存在量词命题：在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在
量词命题.
2.存在量词：在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词.用
符号“___”表示，读作“存在”.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“有些自然数是偶数”是存在量词命题.( )
√
（2）“存在一个菱形,它的四条边不相等”是存在量词命题.( )
√
（3）“对每一个无理数, 也是无理数”是存在量词命题.( )
×
（4）存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题. ( )
√
[解析] （1）（2）均含有存在量词，是存在量词命题.
（3）中“每一个”为全称量词，它是全称量词命题.
（4）根据存在量词命题的定义可知其正确.
2.怎样判定一个存在量词命题的真假？
解：要判定一个存在量词命题是真命题，只需在给定的集合中找到一个元素，
使命题为真即可.如果在给定的集合中，使命题为真的元素不存在，那么这个存
在量词命题是假命题.
探究点一 全称量词命题与存在量词命题的判断与表示
例1（1） 判断下列给出的命题是全称量词命题，还是存在量词命题？并指出
其中的量词.
①存在一个实数，它的绝对值不是正数；
解：为存在量词命题,“存在”是存在量词；
②对任何实数，方程 都有解；
解：为全称量词命题，“任何”是全称量词；
③在平面直角坐标系中，每一个有序实数对 都对应一个点；
解：为全称量词命题，“每一个”是全称量词；
④有一个质数是偶数.
解：为存在量词命题，“有一个”是存在量词.
（2）将下列命题用“ ”或“ ”表示.
①实数的平方是非负数；
解： ,有 ；
②方程 至少存在一个负实根；
解： ，使 ；
③有一个有理数满足 .
解： ,使 .
变式 （多选题）[2024·陕西西安庆安高级中学高一月考] 下列命题是存在量
词命题的是( )
BD
A.能被5整除的整数都是偶数 B.有的偶数是质数
C.梯形的对角线相等 D.某些平行四边形不是菱形
[解析] A，C中命题是全称量词命题，B，D中命题是存在量词命题．故选 .
［素养小结］
全称量词命题的判断：常用的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”
“任给”“全部”等，只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是
全称量词命题.
存在量词命题的判断：常用的存在量词有“有些”“有一个”“存在”“某个”“有的”等，
只要含有这些量词,或者命题具有存在量词所表达的含义,就是存在量词命题.
探究点二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2 （多选题）下列命题中，为真命题的是( )
BC
A.，有 B.空集是任何一个非空集合的真子集
C.,,0,1,，使 D.，方程 恰有一解
[解析] 对于A，当时， ，故A是假命题；
对于B，空集是任何一个非空集合的真子集，B是真命题；
对于C，存在，使 ，故C是真命题；
对于D，当时，方程无解，故D是假命题.故选 .
变式 （多选题）下列命题中为真命题的是( )
BD
A.，有 B.，有
C.，使为奇数 D.，使
[解析] 对于A，当时，，A是假命题；
对于B， ，有，B是真命题；
对于C，当时，因为，, 中必有一个是偶数，
所以为偶数，故不存在，使 为奇数，C是假命题；
对于D，当时，，故存在，使 ，D是真命题.故选 .
［素养小结］
（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素
证明其具有性质，但要判定全称量词命题为假命题，只要能举出集合 中
的一个不具有性质 即可，这就是通常所说的“举一个反例”；
（2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合中能找到一个 具
有性质 即可，否则这个存在量词命题就是假命题.
探究点三 由含量词的命题的真假求参数的范围
例3（1） 若“，有”是真命题，求实数 的取值范围.
解：当时，.因为当时， 恒成立,
所以，故实数的取值范围为 .
（2）若“，使”是真命题，求实数 的取值范围.
解：当时，，
因为存在，使 成立，所以，
故实数的取值范围为 .
变式（1） [2024·辽宁部分学校高一期中] 若“，使 ”
是假命题，则实数 的取值范围是_________.
[解析] 由，解得或，
又“，使 ”是假命题，所以 .
（2）已知“，使”是真命题,则实数 的最大值是___.
3
解： 当时，，由题意可得，即实数 的最大值是3.
［素养小结］
由含量词的命题的真假求参数取值范围的策略：
（1）含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数
恒等式，确定参数的取值范围；
（2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，
可借助根的判别式等知识解决.
例1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：
（1）矩形有一个外接圆；
解：可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题．
（2）非负实数有两个平方根；
解：可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题．
（3）有一个实数对，使 成立．
解：可以改写为“存在，，使 成立”，是存在量词命题.
例2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：
（1）每一个三角形的内角和都是 ；
解：全称量词命题．由三角形的内角和定理可知，该命题是真命题．
（2）钝角三角形有的高在三角形外部；
解：存在量词命题．钝角三角形的高有可能在三角形外部，所以该命题是真命题．
（3）对任意的，，都有 .
解：全称量词命题．因为 ，
所以该命题是假命题.
例3（1） 已知集合，若命题“，一次函数
的图象在轴上方”是真命题，求实数 的取值范围．
解:当时，，
因为一次函数 的图象在轴上方，所以，即，
所以实数的取值范围是 ．
（2）若命题“，使”是真命题，求实数 的取值范围．
解:由题意得，关于的方程有实数根，
当 时，方程为，显然有实数根，满足题意；
当时， ，可得且 .
综上知，实数的取值范围是 .
（3）[2024·江苏盐城响水中学高一月考] 已知， ，有
；，使．若命题， 中有且只有一个
是真命题，求实数 的取值范围．
解:若是真命题，则；若是真命题，则 ，
解得或 .
由已知可得， 一真一假.
若真假，则所以 ；
若假真，则所以 .
综上，或 .
