第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
【课前预习】
知识点一
x∈M,x不具有性质p(x) 存在量词命题
诊断分析
(1)√ (2)× [解析] (1)正确;(2)错误,其否定为“ x≤0,使x+1>1”.
知识点二
x∈M,x不具有性质p(x) 全称量词命题
诊断分析
(1)√ (2)× [解析] (1)正确;(2)错误,其否定为“ x>0,有x2-2x-3≠0”.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2)存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.
(3)存在x∈Z,使得x2的个位数字等于3.
变式 (1)D (2)D [解析] (1)命题“ x∈R,有x2≠x”的否定是“ x∈R,使x2=x”.故选D.
(2)命题“ x∈R,有x≥2x+1”的否定为“ x∈R,使x<2x+1”.故选D.
探究点二
例2 解:(1)p的否定是“ x∈R,有2x+1<0”,p的否定是假命题.
(2)q的否定是“ x∈R,有x2-x+≥0”,
∵x2-x+=≥0,∴q的否定是真命题.
(3)r的否定是“所有的分数都是有理数”,r的否定是真命题.
变式 (1)C (2)B [解析] (1)命题“ x∈(-1,1),使x2+2x≤1”的否定是“ x∈(-1,1),有x2+2x>1”.故选C.
(2)因为原命题即为“ x∈(0,+∞),使ax2-x-2=0”,所以其否定为“ x∈(0,+∞),有ax2-x-2≠0”,故选B.
探究点三
例3 解:由命题“ x∈R,有x2-4x+a≠0”为假命题,得命题“ x∈R,使x2-4x+a=0”为真命题,
所以Δ=16-4a≥0,解得a≤4,
所以实数a的取值范围为(-∞,4].
变式 (1)[0,+∞) (2)[2,+∞) [解析] (1)由题易知“ x∈R,有|x|+m≥0”是真命题.因为|x|≥0,所以只需m≥0,即实数m的取值范围是[0,+∞).
(2)“ x∈[-1,2],使x-a>0”是假命题,则“ x∈[-1,2],有x-a≤0”是真命题,所以当x∈[-1,2]时,a≥x恒成立,所以a≥2,即实数a的取值范围是[2,+∞).第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.“ x∈N,有8x+1是奇数”的否定是 ( )
A. x∈N,使8x+1不是奇数
B. x∈N,有8x+1不是奇数
C. x N,有8x+1不是奇数
D. x∈N,使8x+1是奇数
2.“至多四个”的否定为 ( )
A.至少四个 B.至少五个
C.有四个 D.有五个
3.已知命题p:所有正方形都是平行四边形,则p的否定为 ( )
A.所有正方形都不是平行四边形
B.有的平行四边形不是正方形
C.有的正方形不是平行四边形
D.不是正方形的四边形不是平行四边形
4.命题“ x∈R,使1
A. x∈R,有1B. x∈R,使1C. x∈R,使x2≤1或x2>2
D. x∈R,有x2≤1或x2>2
5.已知命题p: x∈[0,2],有x2-3x+2>0,则命题p的否定是 ( )
A. x∈[0,2],使x2-3x+2<0
B. x∈[0,2],使x2-3x+2≤0
C. x∈(-∞,0)∪(2,+∞),使x2-3x+2≤0
D. x∈[0,2],有x2-3x+2≤0
6.若命题“ x∈R且x≠0,有|x|>ax”的否定是假命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.{a|0B.{a|-1C.{a|-1D.{a|07.已知p: x∈[1,2],有2x+m>0,若p是假命题,则实数m的取值范围是 ( )
A.[1,2] B.(-∞,-2]
C.(-∞,-4] D.[-2,+∞)
8.(多选题)[2024·河南安阳高一期中] 下列说法正确的是 ( )
A.命题“ x>0,使x2-6x-12=0”的否定为“ x>0,有x2-6x-12≠0”
B.命题“ x>0,有x(x-4)>0”的否定为“ x≤0,使x(x-4)≤0”
C.命题“任意一个平行四边形的四个顶点都在同一个圆上”的否定是假命题
D.命题“存在两个不全等三角形的面积相等”的否定是假命题
9.(多选题)[2024·江西部分学校高一联考] 命题p: x∈R,使=,命题q: x∈(0,+∞),有x2A.p的否定是假命题
B.q的否定是真命题
C.p是存在量词命题
D.q是全称量词命题
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.已知命题p: x<-1,有x2>1,则命题p的否定是 .
11.命题p“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为 ,命题p的否定是 ,命题p的否定是 (填“真”或“假”)命题.
12.[2024·福建莆田二中高一月考] 已知p: x∈[1,2],有x2-a≥0,q: x∈R,使x2+2ax+4=0.若命题p的否定和命题q都是真命题,则实数a的取值范围是 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)p:每一个素数都是奇数;
(2)q:有些实数的绝对值是正数;
(3)r:某些平行四边形是菱形.
14.(10分)已知p: x∈[1,3],有m≥x,q: x∈[1,3],使m≥x.
(1)写出q的否定;
(2)若p为真命题,q的否定为假命题,求实数m的取值范围.
15.(5分)设A,B为两个非空数集,且A与B之间不存在包含关系,给出下列三个命题:
①对任意的x∈A,有x B;
②对任意的x∈B,有x A;
③存在x∈A,使得x B.
上述三个命题的否定是真命题的序号是 .
16.(15分)(1)是否存在实数m,使不等式m>-(x2-2x+5)对于任意的x∈R恒成立 并说明理由.
(2)若存在一个实数x,使不等式m>x2-2x+5成立,求实数m的取值范围.(共23张PPT)
§2 常用逻辑用语
第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
2.2 全称量词与存在量词
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
3.会判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假.
知识点一 全称量词命题的否定
结论
____________________ _____________ 全称量词命题的否定是
_______________
，不具有性质
存在量词命题
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）命题“,有”的否定是“,使 ”.( )
√
[解析] 正确；
（2）命题“,有”的否定是“,使 ”.( )
×
[解析] 错误，其否定为“,使
知识点二 存在量词命题的否定
结论
____________________ _____________ 存在量词命题的否定是
______________________
，不具有性质
全称量词命题
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）命题“,使”的否定是“,有 ”.( )
√
[解析] 正确；
（2）命题“，使”的否定是“ ，有
” .( )
×
[解析] 错误，其否定为“，有 ”.
探究点一 全称量词命题的否定
例1 写出下列全称量词命题的否定：
（1）所有能被3整除的整数都是奇数；
解：存在一个能被3整除的整数不是奇数.
（2）每一个四边形的四个顶点都共圆；
解：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
（3）对任意的， 的个位数字都不等于3.
解：存在，使得 的个位数字等于3.
变式（1） 命题“，有 ”的否定是( )
D
A.，使 B.，有
C.，使 D.，使
[解析] 命题“，有”的否定是“，使 ”.故选D.
（2）[2024·西藏林芝二中高一期中]命题“,有 ”的否定是( )
D
A.,有 B.,使
C.,有 D.,使
[解析] 命题“,有”的否定为“,使 ”.故选D.
［素养小结］
写出全称量词命题的否定有两个关键点：（1）找出全称量词命题中的全称量词
和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到了命题的否定.
（2）有些全称量词命题省略了全称量词，在这种情况下，千万不要只将否定写
成“是”或“不是”.
探究点二 存在量词命题的否定
例2 写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假.
（1），使 ；
解：的否定是“，有”， 的否定是假命题.
（2），使 ；
解：的否定是“，有 ”，
， 的否定是真命题.
（3） 有些分数不是有理数.
解：的否定是“所有的分数都是有理数”， 的否定是真命题.
变式（1） [2024·安徽江淮十校高一检测]命题“，使 ”
的否定是( )
C
A.，使 B.，使
C.，有 D.，有
[解析] 命题“，使”的否定是“ ,有 ”.
故选C.
（2）命题“关于的方程在 上有解”的否定是( )
B
A.，使 B.，有
C.，使 D.，有
[解析] 因为原命题即为“，使 ”，
所以其否定为“，有 ”，故选B.
［素养小结］
写出存在量词命题的否定有两个关键点：（1）先确定它的存在量词和结论，然
后再把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到了存在量词命题的否
定.（2）注意对不同的存在量词的否定的写法，例如，“存在”的否定是“任意的”，
“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等.
探究点三 由全称量词命题与存在量词命题真假求参数的范围
例3 若命题“，有”为假命题，求实数 的取值范围．
解：由命题“，有”为假命题，
得命题“ ，使 ”为真命题，
所以，解得 ，
所以实数的取值范围为 .
变式（1） 若“，使”是假命题，则实数 的取值范围是
_________.
[解析] 由题易知“，有”是真命题.
因为 ，所以只需，即实数的取值范围是 .
（2）[2024·山东平邑一中高一月考] 若命题“，使 ”为
假命题，则实数 的取值范围是________.
[解析] “，使”是假命题，
则“，有 ”是真命题，
所以当时，恒成立，所以，即实数 的取值范围是 .
［素养小结］
已知全称量词命题、存在量词命题为假求参数范围的问题，通常先写出该命题
的否定，再利用该命题的否定为真，将其转化为最值问题来求解.
写出含有一个量词的命题的否定包括两个步骤：一是量词的变化，即存在量词
改为全称量词，全称量词改为存在量词；二是命题结论的变化，即将命题的结
论改为其否定.
全称量词命题、存在量词命题的应用
例 [2024· 宁夏吴忠青铜峡一中高一月考] 已知集合 ，集合
，,使，，有 ．
（1）若命题为假命题，求实数 的取值范围；
解:若命题为真命题，则 ，所以，即 ，
所以当命题为假命题时，实数的取值范围为 .
（2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数 的取值范围．
解:当命题为假命题时，“,使 ”为真命题，
所以，得 .
当命题,均为假命题时，得 ，
所以当命题和命题至少有一个为真命题时，或 .第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.A [解析] “ x∈N,有8x+1是奇数”的否定是“ x∈N,使8x+1不是奇数”.故选A.
2.B [解析] 因为“至多n个”的否定为“至少(n+1)个”,所以“至多四个”的否定为“至少五个”.
3.C [解析] p的否定为“有的正方形不是平行四边形”.故选C.
4.D [解析] 命题“ x∈R,使12”,故选D.
5.B [解析] 命题p的否定是“ x∈[0,2],使x2-3x+2≤0”.故选B.
6.C [解析] 由题知,命题“ x∈R且x≠0,有|x|>ax”是真命题.当x>0时,由|x|>ax得a<=1;当x<0时,由|x|>ax得a>=-1.综上可知,实数a的取值范围是{a|-17.B [解析] 因为p为假命题,所以“ x∈[1,2],使2x+m≤0”为真命题,即“ x∈[1,2],使m≤-2x”为真命题,所以m≤(-2x)max.因为x∈[1,2],所以-2x∈[-4,-2],所以m≤-2,即m的取值范围为(-∞,-2].故选B.
8.AD [解析] 选项A,命题“ x>0,使x2-6x-12=0”的否定为“ x>0,有x2-6x-12≠0”,故A正确;选项B,命题“ x>0,有x(x-4)>0”的否定为“ x>0,使x(x-4)≤0”,故B错误;选项C,命题“任意一个平行四边形的四个顶点都在同一个圆上”的否定为“存在一个平行四边形的四个顶点不都在同一个圆上”,是真命题,故C错误;选项D,命题“存在两个不全等三角形的面积相等”的否定为“任意两个不全等三角形的面积不相等”,是假命题,故D正确.故选AD.
9.BCD [解析] 选项A,由=,得方程组无解,即不存在x∈R,使=,p是假命题,则p的否定为真命题,故A错误;选项B,当x=时,x2=,x3=,此时x2>x3,即 x∈(0,+∞),使x2≥x3,所以命题q是假命题,则q的否定为真命题,故B正确;命题p是存在量词命题,命题q是全称量词命题,故C,D正确.故选BCD.
10. x<-1,使x2≤1 [解析] 命题p的否定是“ x<-1,使x2≤1”.
11. x,y∈R,使x+y>1 x,y∈R,有x+y≤1 假
[解析] 命题p用符号表示为“ x,y∈R,使x+y>1”,命题p的否定是“ x,y∈R,有x+y≤1”,显然命题p为真命题,所以它的否定为假命题.
12.[2,+∞) [解析] 若命题p: x∈[1,2],有x2-a≥0为真命题,则当x∈[1,2]时,a≤(x2)min=1,因为命题p的否定为真命题,所以p为假命题,所以a>1.若命题q: x∈R,使x2+2ax+4=0为真命题,则Δ=4a2-16≥0,解得a≥2或a≤-2.由解得a≥2,所以实数a的取值范围为[2,+∞).
13.解:(1)p的否定为“存在一个素数不是奇数”,是真命题.
(2)q的否定为“所有实数的绝对值都不是正数”,是假命题.
(3)r的否定为“所有的平行四边形都不是菱形”,是假命题.
14.解:(1)q的否定为“ x∈[1,3],有m(2)因为q的否定为假命题,所以q为真命题,所以m≥xmin,即m≥1.因为p 为真命题,所以m≥xmax,即m≥3.因为p,q同时为真命题,所以解得m≥3, 故实数m的取值范围是[3,+∞).
15.①② [解析] 根据题意可设A={1,2,3},B={3,4,5},则A与B之间不存在包含关系.因为3∈A且3∈B,所以①②是假命题;因为1∈A且1 B,所以③是真命题.综上可知,命题①②的否定是真命题,命题③的否定是假命题.
16.解:(1)因为-(x2-2x+5)=-(x-1)2-4≤-4,所以要使m>-(x2-2x+5)对于任意的x∈R恒成立,只需m>-4即可.故存在实数m>-4,使不等式m>-(x2-2x+5)对于任意的x∈R恒成立.
(2)若存在一个实数x,使不等式m>x2-2x+5成立,则只需m>(x2-2x+5)min即可.
因为x2-2x+5=(x-1)2+4≥4,
所以m>4,故实数m的取值范围是(4,+∞).第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
【学习目标】
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
3.会判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假.
◆ 知识点一 全称量词命题的否定
全称量词命题p p的否定 结论
x∈M,x具有性质p(x) 全称量词命题的否定是
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“ x∈R,有x2+x+1>0”的否定是“ x∈R,使x2+x+1≤0”. ( )
(2)命题“ x≤0,有x+1≤1”的否定是“ x>0,使x+1>1”. ( )
◆ 知识点二 存在量词命题的否定
存在量词命题p p的否定 结论
x∈M,x具有性质p(x) 存在量词命题的否 定是
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“ x∈R,使x>1”的否定是“ x∈R,有x≤1”. ( )
(2)命题“ x>0,使x2-2x-3=0”的否定是“ x≤0,有x2-2x-3≠0”. ( )
◆ 探究点一 全称量词命题的否定
例1 写出下列全称量词命题的否定:
(1)所有能被3整除的整数都是奇数;
(2)每一个四边形的四个顶点都共圆;
(3)对任意的x∈Z,x2的个位数字都不等于3.
变式 (1)命题“ x∈R,有x2≠x”的否定是( )
A. x R,使x2≠x
B. x∈R,有x2=x
C. x∈R,使x2≠x
D. x∈R,使x2=x
(2)[2024·西藏林芝二中高一期中] 命题“ x∈R,有x≥2x+1”的否定是 ( )
A. x∈R,有x<2x+1
B. x∈R,使x≤2x+1
C. x∈R,有x≤2x+1
D. x∈R,使x<2x+1
[素养小结]
写出全称量词命题的否定有两个关键点:(1)找出全称量词命题中的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到了命题的否定.(2)有些全称量词命题省略了全称量词,在这种情况下,千万不要只将否定写成“是”或“不是”.
◆ 探究点二 存在量词命题的否定
例2 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)p: x∈R,使2x+1≥0;
(2)q: x∈R,使x2-x+<0;
(3)r:有些分数不是有理数.
变式 (1)[2024·安徽江淮十校高一检测] 命题“ x∈(-1,1),使x2+2x≤1”的否定是 ( )
A. x (-1,1),使x2+2x≤1
B. x (-1,1),使x2+2x≥1
C. x∈(-1,1),有x2+2x>1
D. x∈(-1,1),有x2+2x≥1
(2)命题“关于x的方程ax2-x-2=0在(0,+∞)上有解”的否定是 ( )
A. x∈(0,+∞),使ax2-x-2≠0
B. x∈(0,+∞),有ax2-x-2≠0
C. x∈(-∞,0),使ax2-x-2=0
D. x∈(-∞,0),有ax2-x-2=0
[素养小结]
写出存在量词命题的否定有两个关键点:(1)先确定它的存在量词和结论,然后再把存在量词改写为全称量词,对结论作出否定就得到了存在量词命题的否定.(2)注意对不同的存在量词的否定的写法,例如,“存在”的否定是“任意的”,“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等.
◆ 探究点三 由全称量词命题与存在量词命题真假求参数的范围
例3 若命题“ x∈R,有x2-4x+a≠0”为假命题,求实数a的取值范围.
变式 (1)若“ x∈R,使|x|+m<0”是假命题,则实数m的取值范围是 .
(2)[2024·山东平邑一中高一月考] 若命题“ x∈[-1,2],使x-a>0”为假命题,则实数a的取值范围是 .
[素养小结]
已知全称量词命题、存在量词命题为假求参数范围的问题,通常先写出该命题的否定,再利用该命题的否定为真,将其转化为最值问题来求解.