§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.1 一元二次函数
【课前预习】
知识点一
2 0
诊断分析
解:一元二次函数的解析式有以下三种形式.
一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);
顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0);
交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
任意一个一元二次函数的解析式都有一般式和顶点式,但不一定有交点式.
知识点二
2.|h| |k|
知识点三
向上 向下 x=- 减小 增大 增大 减小
诊断分析
1.-1 [解析] 因为y=x2-4x+3=(x-2)2-1,x∈[1,4],所以当x=2时,函数取得最小值-1.
2.解:若b2-4ac>0,则函数图象与x轴有两个交点;若b2-4ac=0,则函数图象与x轴有一个交点;若b2-4ac<0,则函数图象与x轴没有交点.
【课中探究】
探究点一
例1 解:方法一:利用一元二次函数的一般式.
根据题意可设y=ax2+bx+c(a≠0),
由题意得可得
故所求一元二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7.
方法二:利用一元二次函数的交点式.
根据题意可设y+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
即y=ax2-ax-2a-1(a≠0).
∵函数有最大值8,∴=8,可得a=-4.
故所求一元二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7.
方法三:利用一元二次函数的顶点式.
根据题意可设y=a(x+m)2+n(a≠0).
∵函数图象经过点(2,-1),(-1,-1),∴函数图象的对称轴为直线x==,∴m=-,
又函数的最大值为8,∴n=8,∴y=a+8.
把点(2,-1)的坐标代入,得a+8=-1,可得a=-4,∴y=-4+8=-4x2+4x+7.
故所求一元二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7.
变式 解:由题可得解得
所以该一元二次函数的解析式为y=x2-2x.
探究点二
例2 (1)D (2)B [解析] (1)由A中的图象知,a<0,c<0,-<0,所以b<0,与abc>0矛盾;由B中的图象知,a<0,c>0,->0,所以b>0,与abc>0矛盾;由C中的图象知,a>0,c<0,-<0,所以b>0,与abc>0矛盾;由D中的图象知,a>0,c<0,->0,所以b<0,abc>0成立.故选D.
(2)y=-2x2+4x+6可化为y=-2(x-1)2+8,故将y=-2x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移8个单位长度即可得到y=-2(x-1)2+8的图象.故选B.
变式 解:∵y=x2-2x+1可变形为y=(x-1)2,
∴函数y=x2-2x+1的图象的顶点坐标为(1,0).
根据题意,把此函数的图象反向平移,可得到函数y=x2+bx+c的图象,即把函数y=x2-2x+1的图象向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,就可得到函数y=x2+bx+c的图象,此时点(1,0)平移至点(3,-3)处,
∴函数y=x2+bx+c的图象的顶点坐标是(3,-3),
则解析式为y=(x-3)2-3=x2-6x+6,
对照y=x2+bx+c,得b=-6,c=6.
探究点三
例3 解:(1)函数y=x2+2x-3的图象开口向上,且图象的对称轴为直线x=-1,
又x∈[-2,3],所以当x=-1时,y=x2+2x-3取得最小值-4,当x=3时,y=x2+2x-3取得最大值12.
所以函数y=x2+2x-3,x∈[-2,3]的最大值为12,最小值为-4.
(2)y=x2+ax-3的图象的对称轴为直线x=-,图象开口向上.
①当-≤1,即a≥-2时,函数y=x2+ax-3在x=1处取得最小值1,即a-2=1,得a=3,符合题意;
②当-≥3,即a≤-6时,函数y=x2+ax-3在x=3处取得最小值1,即3a+6=1,得a=-,与a≤-6矛盾,舍去;
③当1<-<3,即-6
综上可得a=3.
变式 A [解析] 由y=x2-2x+4可知其图象的对称轴为直线x=1,图象开口向上,所以易知ymin=1-2+4=3,所以m≥1.令x2-2x+4=4,解得x=0或x=2,易知1≤m≤2.§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.1 一元二次函数
1.B [解析] 抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点坐标为(-m,m),因此,不论m取何实数,该抛物线的顶点都在直线y=-x上.故选B.
2.D [解析] 根据一次函数y=bx+c(b≠0)与二次函数y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可判断出a>0,b>0,c<0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,对称轴方程为x=-<0,D正确.故选D.
3.C [解析] 由题意可知图象的开口向下,可得a<0,所以①错误;图象与y轴交于正半轴,可得c>0,所以②正确;图象与x轴有两个交点,可得b2-4ac>0,所以③正确.所以正确的结论有2个,故选C.
4.C [解析] 由函数图象的对称轴方程为x=-=1,得b=-2,由函数图象过点A(3,0),得9+3b+c=9-6+c=0,解得c=-3,∴y=x2-2x-3.则当x=-1时,y=(-1)2-2×(-1)-3=0.
5.C [解析] 易知函数y=-x2+2x的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=1,所以易知当x=1时,函数y=-x2+2x取得最大值,最大值为1;当x=3时,y=-x2+2x取得最小值,最小值为-3.故选C.
6.C [解析] 易知函数y=x2-2bx+3a的图象的对称轴为直线x=b,根据题意可得07.A [解析] ∵函数y=3x2-2(m+3)x+m+3的最小值为0,∴Δ=[-2(m+3)]2-4×3×(m+3)=0,∴m=-3或m=0,∴实数m的取值集合为{0,-3}.
8.ABD [解析] 因为函数图象过点(1,0),且对称轴是直线x=2,所以函数图象与x轴的另一个交点为(3,0),故D正确;因为函数图象与x轴交于点(1,0),(3,0),所以函数图象截x轴所得线段的长度为2,故A正确;因为函数图象的对称轴为直线x=2,故二次函数图象的顶点横坐标为2,故C错误;由题知得b=-4a,c=3a,所以y=a(x2-4x+3),令x=0,得y=3a,所以函数图象与y轴交于点(0,3a),故B正确.故选ABD.
9.ABC [解析] 根据图象可得-=1,即b=-2a,A正确;由对称性知当x=-1或x=3时,y=0,所以当x=2时,y>0,所以4a+2b+c>0,a-b+c=0,当y>0时,-110.y=(x-2)2+1 [解析] 因为二次函数的图象向左平移2个单位后的对称轴是y轴,向下平移1个单位后与x轴只有一个交点,所以二次函数的图象的顶点坐标为(2,1).设此二次函数的解析式为y=a(x-2)2+1(a≠0),又因为二次函数的图象过点(0,3),代入可得a=,所以此二次函数的解析式为y=(x-2)2+1.
11. [解析] 当m=1时,y=-x+1,它的图象不总在x轴的上方,不符合题意;当m≠1时,由题意可得解得m>.综上,实数m的取值范围为.
12.1或-3 [解析] 易知函数y=kx2-2kx=k(x-1)2-k(k≠0)的图象的对称轴为直线x=1.当k>0时,函数的图象开口向上,所以当x=3时,y取得最大值,最大值为9k-6k=3,得k=1;当k<0时,函数的图象开口向下,所以当x=1时,y取得最大值,最大值为-k=3,得k=-3.综上,k=1或-3.
13.解:(1)∵点A(2,m)在直线y=6x上,∴m=6×2=12.
把x=2,y=12代入y=ax2+6x-4中,求得a=1,∴y=x2+6x-4.
(2)y=x2+6x-4=(x+3)2-13,∴其图象的顶点坐标为(-3,-13).∴把抛物线y=x2+6x-4向右平移3个单位长度得到y=x2-13的图象,再把y=x2-13的图象向上平移13个单位长度得到y=x2的图象.
14.解:(1)因为点(-1,-8),(0,-3)在一元二次函数y=ax2+bx+c的图象上,且该函数在x=2处取得最大值,所以有解得
所以该函数的解析式为y=-x2+4x-3.
(2)易知该函数图象的开口向下,且对称轴为直线x=2∈[-1,3],所以当x=2时,y取得最大值,最大值为-4+8-3=1.因为直线x=-1离直线x=2更远,所以当x=-1时,y取得最小值,最小值为-1-4-3=-8.
15.①④ [解析] ①当x=0时,y=-4,所以①正确;②若b=-2,则y=|x2-2x|-4,设(x1,y1),(x2,y2)满足上式,取x1=0,则y1=-4,取x2=,则y2=-,此时x116.解:(1)由题可得解得
即y=2x2+2x+1.
(2)y=ax2+(b-2m)x+c=2x2+(2-2m)x+1,其图象的对称轴方程为x=.
①当<2,即m<5时,G(m)=85-12m,H(m)=13-4m,h(m)=72-8m;
②当2≤≤4,即5≤m≤9时,G(m)=85-12m,H(m)=,h(m)=m2-13m+;
③当4<≤6,即9④当>6,即m>13时,G(m)=13-4m,H(m)=85-12m,h(m)=8m-72.
综上,h(m)=§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.1 一元二次函数
【学习目标】
1.通过具体实例研究一元二次函数的图象和性质,得到一般性结论,培养归纳、抽象能力.
2.掌握一元二次函数的概念、表达式、图象与性质,会用配方法解决有关问题,能熟练地求一元二次函数的最值.
◆ 知识点一 一元二次函数
定义:一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫作x的一元二次函数.
结构特征:(1)等号左边是因变量,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是 ;
(2)二次项系数不为 .
【诊断分析】 一元二次函数的解析式有哪几种形式
◆ 知识点二 一元二次函数的图象及变换
1.抛物线的定义:通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.
2.一元二次函数图象的平移
一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移 个单位长度,再向上(或向下)平移 个单位长度得到.且有以下规律:“h正右移,h负左移”,“k正上移,k负下移”.
◆ 知识点三 一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
函数 一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
图象 a>0 a<0
(续表)
函数 一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
性质 图象开口 ,并向上无限延伸 图象开口 ,并向下无限延伸
对称轴方程为 , 顶点坐标为
在区间上,函数值y随自变量x的增大而 ;在区间上,函数值y随自变量x的增大而 在区间上,函数值y随自变量x的增大而 ;在区间上,函数值y随自变量x的增大而
当x=-时,y取得最小值 当x=-时,y取得最大值
【诊断分析】 1.函数y=x2-4x+3,x∈[1,4]的最小值为 .
2.如何判断一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点个数
◆ 探究点一 一元二次函数解析式的求解
例1 已知一元二次函数的图象经过点(2,-1),(-1,-1),且函数的最大值为8,求该一元二次函数的解析式.
变式 已知一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过原点,图象关于直线x=1对称且函数的最小值为-1,求该一元二次函数的解析式.
[素养小结]
一元二次函数解析式的求法
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0).
当已知抛物线上的任意三点时,通常将函数的解析式设为一般式,然后列出三元一次方程组并求解.
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,且a≠0).
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的坐标时,通常将函数的解析式设为顶点式.
(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2是常数,且a≠0).当已知抛物线与x轴的交点的横坐标时,通常将函数的解析式设为交点式.
◆ 探究点二 一元二次函数的图象及变换
例2 (1)设abc>0,则一元二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是 ( )
A B C D
(2)为了得到函数y=-2x2+4x+6的图象,只需把函数y=-2x2的图象 ( )
A.向左平移1个单位长度,再向上平移8个单位长度
B.向右平移1个单位长度,再向上平移8个单位长度
C.向左平移1个单位长度,再向下平移8个单位长度
D.向右平移1个单位长度,再向下平移8个单位长度
变式 将函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,便得到函数y=x2-2x+1的图象,求b,c的值.
[素养小结]
一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象在平移过程中,a不变,只是h或k发生变化,故对于一元二次函数图象的平移问题,关键是准确地求出函数图象的顶点坐标.
◆ 探究点三 一元二次函数性质的应用
例3 [2024·北京五十五中高一期中] (1)求函数y=x2+2x-3,x∈[-2,3]的最大值和最小值;
(2)若函数y=x2+ax-3在[1,3]上的最小值为1,求实数a的值.
变式 已知函数y=x2-2x+4在区间[0,m](m>0)上的最大值为4,最小值为3,则实数m的取值范围是 ( )
A.1≤m≤2 B.0C.0[素养小结]
因为一元二次函数的最值与其图象的对称轴有关,所以求解一元二次函数的最值问题时,需要利用配方法,确定一元二次函数图象的对称轴的位置,从而确定当自变量x为何值时,一元二次函数取得最值.§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.1 一元二次函数
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.不论m取何实数,抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都 ( )
A.在直线y=x上 B.在直线y=-x上
C.在x轴上 D.在y轴上
2.[2024·江西南昌聚仁高级中学高一月考] 在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数y=bx+c(b≠0)的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是 ( )
A B C D
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列结论:①a>0;②c>0;③b2-4ac>0.其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.已知函数y=x2+bx+c的图象的对称轴方程是x=1,且图象经过点A(3,0),则当x=-1时,y的值为 ( )
A.6 B.2 C.0 D.-4
5.已知函数y=-x2+2x,则当x∈[0,3]时,该函数的最小值和最大值分别为 ( )
A.0,3 B.-3,0
C.-3,1 D.0,1
6.若函数y=x2-2bx+3a在区间(0,1)内有最小值,则实数b的取值范围是 ( )
A.b<1 B.b>1
C.07.已知函数y=3x2-2(m+3)x+m+3的最小值为0,则实数m的取值集合为 ( )
A.{0,-3}
B.[-3,0]
C.(-∞,-3)∪[0,+∞)
D.{0,3}
8.(多选题)由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0),…,求证这个二次函数的图象关于直线x=2对称.根据现有信息,下列关于题中的二次函数图象的说法正确的是 ( )
A.截x轴所得线段的长度是2
B.与y轴交于点(0,3a)
C.顶点是(-2,-2)
D.过点(3,0)
9.(多选题)[2024·山西运城教育发展联盟高一月考] 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,则下面结论中正确的是 ( )
A.2a+b=0
B.4a+2b+c>0
C.a-b+c=0
D.当y>0时,-1二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.已知二次函数的图象过点(0,3),图象向左平移2个单位后的对称轴是y轴,向下平移1个单位后与x轴只有一个交点,则此二次函数的解析式为 .
11.若函数y=(m-1)x2-x+1的图象总在x轴的上方,则实数m的取值范围为 .
12.已知函数y=kx2-2kx(k≠0)在[0,3]上的最大值为3,则k= .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知抛物线y=ax2+6x-4与直线y=6x相交于点A(2,m).
(1)求a的值;
(2)请问该抛物线经过怎样的平移就可以得到y=ax2的图象
14.(10分)已知点(-1,-8),(0,-3)在一元二次函数y=ax2+bx+c的图象上,且该函数在x=2处取得最大值.
(1)求该函数的解析式;
(2)求函数在[-1,3]上的最大值与最小值.
15.(5分)[2024·湖南株洲二中高一月考] 函数y=|x2+bx|-4(b为常数)有下列结论:
①无论b为何值,该函数的图象都经过定点(0,-4);②若b=-2,则当x<1时,y随x的增大而减小;③该函数图象关于y轴对称;④若该函数图象与x轴有3个交点,则b=±4.其中正确的结论是 (填序号).
16.(15分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的图象过A(0,1),B(1,5)两点,且该图象的对称轴的方程为x=-.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)当2≤x≤6时,函数y=ax2+(b-2m)x+c的最大值为G(m),最小值为H(m),令h(m)=G(m)-H(m),求h(m)的表达式.(共33张PPT)
§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.1 一元二次函数
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.通过具体实例研究一元二次函数的图象和性质，得到一般性结论，培养
归纳、抽象能力.
2.掌握一元二次函数的概念、表达式、图象与性质，会用配方法解决有关
问题，能熟练地求一元二次函数的最值.
知识点一 一元二次函数
定义：一般地，如果，，是常数，，那么叫作 的
一元二次函数.
结构特征：（1）等号左边是因变量，右边是关于自变量的二次式， 的最高次
数是___；
（2）二次项系数不为___.
2
0
【诊断分析】
一元二次函数的解析式有哪几种形式？
解：一元二次函数的解析式有以下三种形式.
一般式： ；
顶点式： ；
交点式： .
任意一个一元二次函数的解析式都有一般式和顶点式，但不一定有交点式.
知识点二 一元二次函数的图象及变换
1.抛物线的定义：通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.
2.一元二次函数图象的平移
一元二次函数的图象可以由 的图象经过向左（或向右）
平移____个单位长度，再向上（或向下）平移____个单位长度得到.且有以下规
律：“正右移，负左移”，“正上移， 负下移”.
知识点三 一元二次函数 的性质
函数 图象
_____________________________ ___________________________
性质 图象开口______，并向上无限延伸 图象开口______，并向下无限延伸
对称轴方程为_________，顶点坐标为_____________ 向上
向下
函数 性质
减小
增大
增大
减小
续表
【诊断分析】
1.函数， 的最小值为____.
[解析] 因为,,所以当 时，函数取得
最小值 .
2.如何判断一元二次函数的图象与 轴的交点个数？
解：若，则函数图象与轴有两个交点；
若 ，则函数图象与轴有一个交点；
若，则函数图象与 轴没有交点.
探究点一 一元二次函数解析式的求解
例1 已知一元二次函数的图象经过点, ，且函数的最大值为8，
求该一元二次函数的解析式.
解：方法一：利用一元二次函数的一般式.
根据题意可设 ，
由题意得可得
故所求一元二次函数的解析式为 .
方法二：利用一元二次函数的交点式.
根据题意可设 ，
即 .
函数有最大值8，，可得 .
故所求一元二次函数的解析式为 .
方法三：利用一元二次函数的顶点式.
根据题意可设 .
函数图象经过点,，
函数图象的对称轴为直线， ，
又函数的最大值为8，， .
把点的坐标代入，得，可得 ，
.
故所求一元二次函数的解析式为 .
变式 已知一元二次函数 的图象过原点，图象关于直
线对称且函数的最小值为 ，求该一元二次函数的解析式.
解：由题可得解得
所以该一元二次函数的解析式为 .
［素养小结］
一元二次函数解析式的求法
（1）一般式：，，为常数，且 .
当已知抛物线上的任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式，然后列出三
元一次方程组并求解.
（2）顶点式：，，为常数，且 .
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的坐标时，通常将函数的解析式设
为顶点式.
（3）交点式：，，是常数，且 .当已知抛物
线与 轴的交点的横坐标时，通常将函数的解析式设为交点式.
探究点二 一元二次函数的图象及变换
例2（1） 设，则一元二次函数 的图象可能是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由A中的图象知，，，，所以，与 矛盾；
由B中的图象知，，，，所以，与 矛盾；
由C中的图象知，，，，所以，与 矛盾；
由D中的图象知，，，，所以， 成立.故选D.
（2）为了得到函数的图象，只需把函数 的图象
( )
B
A.向左平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度
B.向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度
C.向左平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度
D.向右平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度
[解析] 可化为，故将 的图象向
右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度即可得到 的图
象.故选B.
变式 将函数 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单
位长度，便得到函数的图象，求， 的值.
解：可变形为 ，
函数的图象的顶点坐标为 .
根据题意，把此函数的图象反向平移，可得到函数 的图象，即
把函数 的图象向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，
就可得到函数的图象，此时点平移至点 处，
函数的图象的顶点坐标是 ，
则解析式为 ，
对照，得， .
［素养小结］
一元二次函数的图象在平移过程中，不变，只是 或
发生变化，故对于一元二次函数图象的平移问题，关键是准确地求出函数图象
的顶点坐标.
探究点三 一元二次函数性质的应用
例3 [2024·北京五十五中高一期中]
（1）求函数， 的最大值和最小值；
解：函数的图象开口向上，且图象的对称轴为直线 ，
又，所以当时，取得最小值，当 时，
取得最大值12.
所以函数，的最大值为12，最小值为 .
（2）若函数在上的最小值为1，求实数 的值．
解：的图象的对称轴为直线 ，图象开口向上.
①当，即时，函数在 处取得最小值1，
即，得 ，符合题意；
②当，即时，函数在 处取得最小值1，
即，得，与 矛盾，舍去；
③当，即时，
函数在 处取得最小值1，即 ，无解，舍去.
综上可得 .
变式 已知函数在区间 上的最大值为4，最小值
为3，则实数 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由可知其图象的对称轴为直线 ，图象开口向上，
所以易知，所以.
令，解得 或,易知 .
［素养小结］
因为一元二次函数的最值与其图象的对称轴有关，所以求解一元二次函数的最
值问题时，需要利用配方法，确定一元二次函数图象的对称轴的位置，从而确
定当自变量 为何值时，一元二次函数取得最值.
一、一元二次函数图象的平移
（1）函数的图象是把函数的图象向左平移 个单位
长度得到的；
（2）函数的图象是把函数的图象向右平移 个单位
长度得到的．
简称其为“左加右减”.
利用同样的探究方法我们可以得到以下结论：
（3）函数的图象是把函数的图象向上平移 个单位长
度得到的；
（4）函数的图象是把函数的图象向下平移 个单位长
度得到的．
简称其为“上加下减”.
二、系数，，对一元二次函数 的性质的影响
1.当时，函数的图象开口向上；当 时，函数的图象开口向下.
2.的大小决定着函数图象的开口程度，越小，图象开口就越大； 越大，
图象开口就越小.
3.一元二次函数图象与轴交点的纵坐标就是，只有当 时，一元二次函数
的图象才能通过原点.
4.一元二次函数图象的对称轴为直线，且当， 同号时，图象的对称轴
在轴左侧；当，异号时，图象的对称轴在 轴右侧.
5.当时，函数有最小值；当时，函数有最大值 .
1.特殊点法
特殊点法就是借助一元二次函数图象上的某些特殊点研究一元二次函数的图象问题.
例1 已知函数 的图象如图所示，
则实数 的取值范围是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 由函数的图象过点，，
且当 时，，得解得 .
2.解决一元二次函数在含参数的给定闭区间上的最值问题,常分类讨论求解.
例2 求函数在区间 上的最小值.
解：易知函数的图象开口向上，图象的对称轴为直线 ，
顶点坐标为 .
如图①所示，当时，函数的最小值为 .
如图②所示，当，即 时，函数的最小值为1.
如图③所示，当，即 时，函数的最小值为 .
综上，
3.解决涉及一元二次函数的实际问题中的最值问题常利用函数建模，借助一元
二次函数的图象加以解决.
例3 [2024·浙江温州中学高一期中] 某公司有两款产品, ，根据市场调研，
最近30天产品每日收入（单位：万元）与时间 （单位：天）的关系式为
；产品每日收入 （单位：万元）与
时间（单位：天）的关系式为 .数据显
示，在第30天, 两款产品的当日收入之和为32万元.
（1）从第几天开始产品的日收入超过 产品？
解：由题可得，所以 ，
即 .
令，得，
又 , ,所以, .
故从第21天开始产品的日收入会超过 产品.
（2）在第几天, 两款产品的总日收入最多？最多是多少万元？
解：, 两款产品的总日收入（单位：万元）
，
记，则 ，
故，则 .
因为一元二次函数的图象的对称轴为直线 ，图象
开口向下，当时，，当时， ，
所以当时，取得最大值，即 取到最大值， .
故在第20天,两款产品的总日收入最多，最多是 万元.