4.2 一元二次不等式及其解法
【课前预习】
知识点二
诊断分析
1.解:不一定.当a>0时,不等式的解集为{x|x
x2};当a<0时,不等式的解集为{x|x12.解:(1)从“形”的方面看:一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴上方的图象上的所有点的横坐标组成的集合是一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集;一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴下方的图象上的所有点的横坐标组成的集合是一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
(2)从“数”的方面看:当一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值大于0时,相应的自变量的值组成的集合是一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集;当一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值小于0时,相应的自变量的值组成的集合是一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由-2x2+x+1<0得2x2-x-1>0,
因为方程2x2-x-1=0的Δ=1-4×2×(-1)>0,
所以该方程有两个不相等的实数根,解得x1=-,x2=1,
画出函数y=2x2-x-1的图象,由图可知原不等式的解集为.
(2)由3x2+5≤3x,得3x2-3x+5≤0,
令3x2-3x+5=0,可知Δ=9-4×3×5=-51<0,
又函数y=3x2-3x+5的图象开口向上,
所以易知3x2-3x+5≤0的解集为 ,
即3x2+5≤3x的解集为 .
(3)由-2x2+5x+7≥0可得2x2-5x-7≤0,
因为方程2x2-5x-7=0的Δ=25-4×2×(-7)>0,
所以该方程有两个不相等的实数根,解得x1=-1,x2=,
结合一元二次函数y=2x2-5x-7的图象得原不等式的解集为.
变式 (1)C (2) [解析] (1)不等式(x+1)(2-x)>0可化为(x+1)(x-2)<0,解得-1(2)不等式x(x+2)探究点二
例2 解:①当a=0时,不等式即为-x>0,解得x<0,
此时不等式的解集为(-∞,0).
②当a≠0时,方程ax2-x=0有两个不相等的实根,分别为0和.
当a>0时,>0,此时不等式的解集为(-∞,0)∪;当a<0时,<0,此时不等式的解集为.
综上所述,当a>0时,不等式的解集为(-∞,0)∪;当a=0时,不等式的解集为(-∞,0);
当a<0时,不等式的解集为.
变式 ABC [解析] 一元二次不等式(x-a)(x+1)<0对应的一元二次方程为(x-a)(x+1)=0,两根为a和-1.当a>-1时,一元二次不等式(x-a)(x+1)<0的解集为(-1,a);当a=-1时,不等式(x-a)(x+1)<0可化为(x+1)2<0,无解,则一元二次不等式(x-a)(x+1)<0的解集为 ;当a<-1时,一元二次不等式(x-a)(x+1)<0的解集为(a,-1).故选ABC.
探究点三
例3 解:由题意知可得
代入不等式cx2-bx+a>0,
得ax2+ax+a>0(a<0),
即x2+x+1<0,化简得x2+5x+6<0,解得-3变式 解:由题意知可得
代入不等式cx2-bx+a>0,
得ax2+ax+a>0(a>0),
即x2+x+1>0,化简得x2+5x+6>0,
解得x>-2或x<-3.
所以所求不等式的解集为{x|x>-2,或x<-3}.4.2 一元二次不等式及其解法
1.A [解析] 由x2≤3x,得x(x-3)≤0,所以其解集为{x|0≤x≤3},故选A.
2.C [解析] 借助一元二次函数的图象进行分析可得.
3.C [解析] 由表可知当x=-2时,y=0;当x=3时,y=0,所以y=ax2+bx+c=a(x+2)(x-3).又因为当x=1时,y=a(1+2)×(1-3)=-6a=-6,所以a=1,所以函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,且-2和3是方程ax2+bx+c=0的两个根.故易知ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2,或x>3}.
4.B [解析] 对于A,3x2-7x≤10,即(x+1)(3x-10)≤0,解得-1≤x≤,A错误;对于B,-x2+x-≤0,即(x-1)2≥0,解集为R,B正确;对于C,(x+2)(x-3)>0,解得x<-2或x>3,C错误;对于D,-2x2+x<-3,即(x+1)(2x-3)>0,解得x<-1或x>,D错误.故选B.
5.D [解析] 根据根与系数的关系得,c=1×(-6)=-6,-b=1+4=5,方程x2+bx+c=0的两根x1,x2满足解得故原不等式的解集为{x|-16.A [解析] 不等式x2-2ax-8a2<0可化为(x+2a)(x-4a)<0,∵a>0,∴不等式的解集为{x|-2a7.D [解析] 由x2-(a+1)x+a<0可得(x-1)(x-a)<0,且(x-1)(x-a)<0的解集中恰有两个整数.①当a<1时,不等式(x-1)(x-a)<0的解集为{x|a1时,不等式(x-1)(x-a)<0的解集为{x|18.ABC [解析] 由关于x的不等式ax2+bx+c≥0(a≠0)的解集是{x|-1≤x≤2},可得a<0,且ax2+bx+c=0的两个根为-1,2,所以-=-1+2=1,所以b=-a>0,故a+b=0,故A正确,D错误;=-2,则c>0,故C正确;易知当x=1时,y=a+b+c>0,故B正确.故选ABC.
9.AB [解析] a(x-a)(ax+a)≥0,即a2(x-a)(x+1)≥0.①当a=0时,不等式的解集为R.②当a≠0时,不等式变为(x-a)(x+1)≥0,方程(x-a)(x+1)=0的根为x=a或x=-1.当a<-1时,不等式的解集为{x|x≤a或x≥-1};当a=-1时,不等式的解集为R;当a>-1且a≠0时,不等式的解集为{x|x≤-1或x≥a}.综上,当a=0或a=-1时,不等式的解集为R,当a<-1时,不等式的解集为{x|x≤a或x≥-1},当a>-1且a≠0时,不等式的解集为{x|x≤-1或x≥a}.故选AB.
10.(-∞,0)∪ [解析] 因为ax+b>0的解集为{x|x<-3},所以a<0,-=-3,所以a=,b<0,所以bx2-(a+b)x<0,即bx2-bx<0,即x2-x>0,即x>0,解得x∈(-∞,0)∪.
11.(1,3) [解析] 因为集合B={x|(x-1)(x-4)>0}={x|x>4,或x<1},A={x|a-212.-13.解:因为关于x的不等式10,解得x>2或x<,所以所求不等式的解集为∪(2,+∞).
14.解:(1)∵关于x的不等式ax2-3x+2<0的解集A=(1,b),∴a>0且1,b是方程ax2-3x+2=0的两个根,
∴解得
(2)由题意知集合B={x|x2-(m+1)x+m<0}={x|(x-1)(x-m)<0},由A∩B=B得B A,又A=(1,2),∴当m<1时,B=(m,1),不符合题意;当m=1时,B= ,符合题意;当m>1时,B=(1,m),由B A,得115.D [解析] [x]2-[x]-6≤0,则-2≤[x]≤3,故-2≤x<4.故选D.
16.解:(1)∵关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|-10,-1,3是方程ax2+bx+c=0的两根,∴-1+3=2=-,-1×3=,
即b=-2a,c=-3a.
∵函数y=ax2+bx+c在x=-=1处取得最小值,
∴a+b+c=-4a=-4,即a=1,∴b=-2,c=-3.
(2)由(1)知y=x2-2x-3,则y≤(m+1)x2-(m+4)x-1(m∈R),即mx2-(m+2)x+2≥0,
即(mx-2)(x-1)≥0.
当m=0时,原不等式为-2(x-1)≥0,解得x≤1,即不等式的解集为{x|x≤1};当m=2时,原不等式为2(x-1)2≥0,解得x∈R,即不等式的解集为R;
当m<0时,解不等式得≤x≤1,即不等式的解集为;当0当m>2时,解不等式得x≥1或x≤,即不等式的解集为.
综上可得,当m=0时,不等式的解集为{x|x≤1};
当m=2时,不等式的解集为R;
当m<0时,不等式的解集为;
当0当m>2时,不等式的解集为.4.2 一元二次不等式及其解法
【学习目标】
1.能够从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,了解一元二次不等式的现实意义,发展数学建模素养.
2.探索并归纳一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系,进一步完成一元二次函数的再认识.
3.通过类比一元一次不等式的求解,从具体实例探究一元二次不等式的解法,感受从特殊到一般的研究方法及函数、方程、不等式的基本思想,感悟函数的基本观点,总结求解一元二次不等式的步骤,发展数学运算素养.
◆ 知识点一 一元二次不等式
1.定义:一般地,形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx+c≤0(其中,x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.
2.一元二次不等式的解集:使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.
◆ 知识点二 三个“二次”之间的关系
Δ>0 Δ=0 Δ<0
一元二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个相异实根x1,x2(x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1【诊断分析】 1.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1,x2(x10(a≠0)的解集一定为{x|xx2}吗
2.一元二次函数与一元二次不等式有什么关系
◆ 探究点一 解一元二次不等式
例1 解下列不等式:
(1)-2x2+x+1<0;
(2)3x2+5≤3x;
(3)-2x2+5x+7≥0.
变式 (1)[2024·广东珠海金砖四校高一期中] 不等式(x+1)(2-x)>0的解集是 ( )
A.{x|x<-1}
B.{x|x<-1或x>2}
C.{x|-1D.{x|x>2}
(2)[2024·江苏徐州高级中学高一期中] 不等式x(x+2)[素养小结]
解一元二次不等式时,若二次项系数为负数,则可先将二次项系数化为正数,再求对应方程的根,并根据根的情况画出对应函数的图象,观察图象写出解集.
◆ 探究点二 解含参数的一元二次不等式
例2 解关于x的不等式ax2-x>0(a∈R).
变式 (多选题)[2024·安徽六安二中高一期中] 对于给定实数a,关于x的一元二次不等式(x-a)(x+1)<0的解集可能为 ( )
A. B.(-1,a) C.(a,-1) D.(a,+∞)
[素养小结]
含参数的一元二次不等式的解法
◆ 探究点三 三个“二次”之间的关系及应用
例3 若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为,求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集.
变式 若将例3中的“”改为“”,其他条件不变,如何求解
[素养小结]
(1)在三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程或一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题,关系如下:4.2 一元二次不等式及其解法
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.不等式x2≤3x的解集为 ( )
A.{x|0≤x≤3}
B.{x|x≤3}
C.{x|x≥3或x≤0}
D.{x|x≤0}
2.若关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是空集,则 ( )
A.a<0且b2-4ac>0
B.a<0且b2-4ac≤0
C.a>0且b2-4ac≤0
D.a>0且b2-4ac>0
3.一元二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则不等式ax2+bx+c>0的解集为 ( )
A.(-2,3)
B.(-3,2)
C.(-∞,-2)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(2,+∞)
4.[2024·广州番禺实验中学高一期中] 下列不等式的解集为R的是 ( )
A.3x2-7x≤10
B.-x2+x-≤0
C.(x+2)(x-3)>0
D.-2x2+x<-3
5.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集为{x|-6A.{x|1B.{x|-1C.{x|-4D.{x|-16.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1A. B.3
C.2 D.
7.若关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则实数a的取值范围是 ( )
A.3B.-2C.3D.-2≤a<-1或38.(多选题)若关于x的不等式ax2+bx+c≥0(a≠0)的解集是{x|-1≤x≤2},则下列结论正确的是 ( )
A.a+b=0
B.a+b+c>0
C.c>0
D.b<0
9.(多选题)[2024·河北卓越联盟高一月考] 对于给定的实数a,关于x的不等式a(x-a)(ax+a)≥0的解集不可能为( )
A.
B.{x|a≤x≤-1}
C.{x|x≤a或x≥-1}
D.R
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.[2024·福建莆田一中高一期中] 设a,b∈R且关于x的不等式ax+b>0的解集为{x|x<-3},则关于x的不等式bx2-(a+b)x<0的解集为 .
11.已知集合A={x|a-20},若A∪B=R,则a的取值范围是 .
12.若关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知关于x的不等式10的解集.
14.(10分)设a,b为实数,已知关于x的不等式ax2-3x+2<0的解集A=(1,b).
(1)求a,b的值;
(2)若集合B={x|x2-(m+1)x+m<0},且A∩B=B,求实数m的取值范围.
15.(5分) [2024·上海黄浦区高一期中] 设[x]表示不超过x的最大整数,如[4.1]=4,[-1.1]=-2,则不等式[x]2-[x]-6≤0的解集是 ( )
A.[-3,4] B.[-2,4]
C.[-3,4) D.[-2,4)
16.(15分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的最小值为-4,且关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|-1(1)求a,b,c的值;
(2)求关于x的不等式y≤(m+1)x2-(m+4)x-1(m∈R)的解集.(共25张PPT)
§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.2 一元二次不等式及其解法
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.能够从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，了解一元二次不等式的
现实意义，发展数学建模素养.
2.探索并归纳一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间
的关系，进一步完成一元二次函数的再认识.
3.通过类比一元一次不等式的求解，从具体实例探究一元二次不等式的解
法，感受从特殊到一般的研究方法及函数、方程、不等式的基本思想，感悟函
数的基本观点，总结求解一元二次不等式的步骤，发展数学运算素养.
知识点一 一元二次不等式
1.定义：一般地，形如，或 ，或
，或（其中,为未知数，,, 均为常数，且
）的不等式叫作一元二次不等式.
2.一元二次不等式的解集：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集
合叫作这个一元二次不等式的解集.
知识点二 三个“二次”之间的关系
一元二次函数 的图象 _________________________________ ______________________________ ______________________________
一元二次方程 的根 有两个相异实根 ， 有两个相等实根 无实根
的解集 ,或
的解集
续表
【诊断分析】
1.若一元二次方程的两个实根为， ，则
一元二次不等式的解集一定为,或 吗？
解：不一定.当时，不等式的解集为，或；
当 时，不等式的解集为 .
2.一元二次函数与一元二次不等式有什么关系
解：（1）从“形”的方面看：一元二次函数在 轴上方的
图象上的所有点的横坐标组成的集合是一元二次不等式
的解集；
一元二次函数在 轴下方的图象上的所有点的横坐标
组成的集合是一元二次不等式 的解集.
（2）从“数”的方面看：当一元二次函数 的函数值大于
0时，相应的自变量的值组成的集合是一元二次不等式
的解集；
当一元二次函数 的函数值小于0时，相应的自变量的值
组成的集合是一元二次不等式 的解集.
探究点一 解一元二次不等式
例1 解下列不等式:
（1） ；
解：由得 ，
因为方程的 ，
所以该方程有两个不相等的实数根，解得， ，
画出函数 的图象，由图可知原不等式的解集为
.
（2） ；
解：由，得 ，
令，可知 ，
又函数 的图象开口向上，
所以易知的解集为 ，
即的解集为 .
（3） .
解：由可得 ，
因为方程的 ，
所以该方程有两个不相等的实数根，解得， ，
结合一元二次函数的图象得原不等式的解集为 .
变式（1） [2024·广东珠海金砖四校高一期中]不等式 的解集
是( )
C
A. B.或
C. D.
[解析] 不等式可化为，解得 ，
不等式的解集是 .故选C.
（2）[2024·江苏徐州高级中学高一期中] 不等式 的解
集为_______________.
[解析] 不等式可化为 ，
即，解得，
所以不等式 的解集为 .
［素养小结］
解一元二次不等式时，若二次项系数为负数，则可先将二次项系数化为正数，
再求对应方程的根，并根据根的情况画出对应函数的图象，观察图象写出解集.
探究点二 解含参数的一元二次不等式
例2 解关于的不等式 .
解：①当时，不等式即为，解得 ，
此时不等式的解集为 .
②当时，方程有两个不相等的实根，分别为0和 .
当时，，此时不等式的解集为；
当时， ，此时不等式的解集为 .
综上所述，当时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为 .
变式 （多选题）[2024·安徽六安二中高一期中] 对于给定实数，关于 的一
元二次不等式 的解集可能为( )
ABC
A. B. C. D.
[解析] 一元二次不等式 对应的一元二次方程为
，两根为和.
当 时，一元二次不等式的解集为；
当时，不等式 可化为，无解，
则一元二次不等式的解集为 ；
当时，一元二次不等式的解集为.故选 .
［素养小结］
含参数的一元二次不等式的解法
探究点三 三个“二次”之间的关系及应用
例3 若关于的一元二次不等式的解集为 ，
求关于的不等式 的解集.
解：由题意知可得 代入不等式 ，
得 ，即，
化简得，解得 ，
所以所求不等式的解集为 .
变式 若将例3中的“”改为“ ”，其他条件不变，
如何求解？
解：由题意知可得 代入不等式 ，
得 ，即，化简得 ，
解得或 .所以所求不等式的解集为，或 .
［素养小结］
（1）在三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化
为一元二次方程或一元二次不等式的形式来研究.
（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，
通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
1.从函数观点看
一元二次不等式的解集为函数 的
值大于0时的自变量组成的集合，即函数图象在 轴上方的点的横坐标组成的集合.
2.设一元二次不等式与 的解集
分别为或与，则有 ,
，即不等式解集的端点值是相应方程的根.
含参数一元二次不等式的求解误区
1.忽略对根的大小关系的判断
例1 解关于的不等式 .
解： 设方程的解为,，则易知, .
所以当时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为空集；
当时，不等式的解集为 .
2.忽略对根的判别式的讨论
例2 解关于的不等式 .
解： 方程的判别式 .
当，即时，不等式的解集为 .
当时,.
若，则不等式的解集为；
若 ，则不等式的解集为 .
当，即或 时，
不等式的解集为 .