4.3 一元二次不等式的应用
【课中探究】
探究点一
例1 (1)-4解得-4(2)解:方法一:要使mx2-mx-1<-m+5对x∈[1,3]恒成立,需满足m+m-6<0对x∈[1,3]恒成立.
令y=m+m-6,x∈[1,3],
则当m>0时,y在[1,3]上随自变量x的增大而增大,所以ymax=7m-6<0,所以0当m=0时,-6<0恒成立;
当m<0时,y在[1,3]上随自变量x的增大而减小,
所以ymax=m-6<0,所以m<6,所以m<0.
综上所述,m<.
方法二:当x∈[1,3]时,mx2-mx-1<-m+5恒成立,
即当x∈[1,3]时,m(x2 -x+1)-6<0恒成立.
因为x2-x+1=+>0,
所以当x∈[1,3]时,m<恒成立.
易知函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.
变式 (1)[-4,+∞) (2)D [解析] (1)令y=x2+mx+4,易知函数y=x2+mx+4的图象的对称轴为直线x=-.当-≤1,即m≥-2时,1+m+4≥0,解得m≥-5,所以m≥-2.当1<-<2,即-4(2)根据题意需满足解得-探究点二
例2 解:(1)降低征税率后的征税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a(1+2x%)万元,
依题意得y=200a(1+2x%)(10-x)%=a(10-x)(0(2)原计划税收为200a×10%=20a(万元).
依题意得a(10-x)≥20a×83.2%,化简得x2+40x-84≤0,解得-42≤x≤2.
因为0故x的取值范围是0变式 ABC [解析] 由题意知,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400)的销售收入,需满足x[30-2(x-15)]>400,整理得x2-30x+200<0,解得10拓展 10≤V≤40 [解析] 第一次操作后,桶中剩下的纯药液为(V-10)升,第二次操作后,桶中剩下的纯药液为升.由题意可知V-10-×8≤V·60%,化简得V2-45V+200≤0,解得5≤V≤40,因为V≥10,所以10≤V≤40.4.3 一元二次不等式的应用
1.A [解析] 根据题意可得130t-5t2>240,解得22.C [解析] 当a=0时,不等式化为-3x≥0,该不等式不恒成立,不合题意;当a<0时,由二次函数的图象和性质知不合题意;当a>0时,要使ax2-3x+a≥0对任意的x∈R恒成立,需满足解得a≥.综上可得实数a的取值范围是.故选C.
3.C [解析] 设矩形一条边的长为x m,则与之相邻的另一条边的长为(50-x)m,0600,即x2-50x+600<0,解得204.B [解析] 设按销售收入的t%征收木材税时,每年的此项税收为y万元,则y=2400×t%=60(8t-t2).令y≥900,得60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.
5.A [解析] 不等式2x2-5x-1-m>0可化为m<2x2-5x-1.设y=2x2-5x-1,其中x∈[1,3],所以易知当x=3时,y取得最大值,最大值为18-15-1=2,所以实数m的取值范围是(-∞,2).故选A.
6.C [解析] 依题意知,每套礼服每天的租价为(200+10x)元时,每天有(300-10x)套礼服被租出,则该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为(300-10x)·(200+10x)=-100x2+1000x+60 000.因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元,所以应满足-100x2+1000x+60 000>62 400,即x2-10x+24<0,解得47.C [解析] 设矩形中与EF相邻的一条边的长为y m,因为△ABC∽△AEF,所以=,所以y=40-x.因为xy≥300,所以x(40-x)≥300,即x2-40x+300≤0,解得10≤x≤30.故选C.
8.BC [解析] 设每册的发行价格为x(x>2)元,则发行量为万册,则该杂志的销售收入为x万元.由题意得x≥22.4,化简得x2-6x+8.96≤0,解得2.8≤x≤3.2,故选BC.
9.ACD [解析] 设甲车的速度为x1 km/h,由题意得0.1x1+0.01>12,解得x1<-40(舍)或x1>30;设乙车的速度为x2 km/h,由题意得0.05x2+0.005>10,解得x2<-50(舍)或x2>40.结合题意知乙车超过限速.故A,C,D中说法错误,B中说法正确,故选ACD.
10.(0,1) [解析] 由题意知中间草坪的长为(8-2x)米,宽为(6-2x)米,其中0×8×6,整理得x2-7x+6>0,即(x-6)(x-1)>0,解得x<1或x>6,又011.[4,+∞) [解析] 因为对任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,所以对任意的x∈[-1,0],m≥2x2-4x-2恒成立.因为当x∈[-1,0]时,2x2-4x-2=2(x-1)2-4∈[-2,4],所以m≥4,即m的取值范围是[4,+∞).
12.16 [解析] 由题意知,分流前产品A的年产值为100t万元,分流x人后,产品A的年产值为(100-x)(1+1.2x%)t万元,则由题意得解得013.解:(1)当x∈(-∞,-1)时,x2+mx+m+3<0有解,
即(x+1)m<-x2-3有解,
因为x+1<0,所以(x+1)m<-x2-3等价于m>=-(x+1)++2,
故需满足m>.
因为-(x+1)>0,所以-(x+1)++2≥2+2=6,
当且仅当即x=-3时等号成立,所以m>6,即实数m的取值范围是(6,+∞).
(2)当x∈[-2,1]时,m(x2-x+1)<2恒成立.
因为x2-x+1=+>0,且当x=-2时取得最大值7,所以m(x2-x+1)<2等价于m<.
所以当x∈[-2,1]时,m<恒成立.
易知y=在区间[-2,1]上的最小值为,故只需满足m<,所以实数m的取值范围是.
14.解:(1)依题意得S=70×(100-10R)×R%(0(2)依题意得解得2≤R≤4或6≤R≤8,即R的取值范围是[2,4]∪[6,8].
15.(0,600-200] [解析] 示意图如图所示,设圆弧的半径为R m,则OA=OB=OC=R,CD=x(016.解:(1)由m-n≥0,得x-≥-x2+5x+,
整理得x2-2x-8≥0,解得x≥4或x≤-2(舍去),
所以该企业要想不亏损,每月至少要生产4台电机.
(2)由(1)可知当0所以当x=1时,n-m取得最大值,
此时m=×1-=,即当月总产值为万元时,企业亏损最严重,最大亏损额为万元.4.3 一元二次不等式的应用
【学习目标】
1.能够从实际生产和生活中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.
2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
3.体会化归与转化思想的应用,加强数学建模素养的培养.
◆ 知识点 一元二次不等式的应用
利用不等式解决实际问题的一般步骤:
(1)选取合适的字母表示题中的未知数;
(2)由题中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组);
(3)求解所列出的不等式(组);
(4)结合题目的实际意义确定答案.
◆ 探究点一 一元二次不等式恒成立问题
例1 (1)若对于一切实数x,不等式mx2-mx-1<0恒成立,则m的取值范围是 .
(2)若对任意的x∈[1,3],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,求m的取值范围.
变式 (1)当10恒成立,则实数m的取值范围为 .
(2)已知二次函数y=x2+mx-1,若对任意x∈[m,m+1],都有y<0,则实数m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
(1)对于一元二次不等式在R上恒成立的问题,通常转化为不等式组来求解.一般地,一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立的条件是一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立的条件是若所给不等式未指明为一元二次不等式,还应注意对二次项的系数进行讨论,需验证二次项系数为0时是否满足题意.
(2)对于给定区间的恒成立问题,通常转化为最值问题来求解.
◆ 探究点二 一元二次不等式的实际应用
例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并按收购金额的10%纳税(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担.当地政府为了鼓励农贸公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(0(1)写出降低征税率后税收y(万元)与x的函数关系式;
(2)要使此项税收在征税率调节后不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.
变式 (多选题)[2024·四川合江马街中学高一月考] 某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏,若单价每提高1元,则日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400)的销售收入,则这批台灯的单价x(单位:元)的取值可以是 ( )
A.18 B.15 C.16 D.20
[素养小结]
求解数学应用题,需要过三关.
(1)事理关:通过阅读、理解,找出关键词、句,确定条件是什么,要解决什么问题.
(2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学符号语言,用数学式子表达数学关系.
(3)数理关:构建相应的数学模型,并求解模型,得到问题的答案.
拓展 为配制一种药液,进行了二次稀释,先在容积为V升的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出10升后用水补满,搅拌均匀,第二次倒出8升后用水补满,若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%,则V的取值范围为 . 4.3 一元二次不等式的应用
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.已知某炮弹的飞行高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系式为h=130t-5t2,则炮弹飞行的高度大于240 m的时间为 ( )
A.22 s B.23 s
C.24 s D.25 s
2.[2024·广州白云中学高一期中] 若对任意的x∈R,ax2-3x+a≥0恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.(-∞,0)∪
3.用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形,则其中一条边的长的取值范围是 ( )
A.(20,25) B.(25,30)
C.(20,30) D.(30,40)
4.某地每年销售木材20万立方米,每立方米木材的价格为2400元,为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证每年的此项税收不少于900万元,则实数t的取值范围是 ( )
A.[1,3] B.[3,5]
C.[2,4] D.[4,6]
5.若关于x的不等式2x2-5x-1-m>0在[1,3]上有解,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,2) B. C.(-∞,-4) D.
6.某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁,若每套礼服每天的租价为200元,则所有礼服均可被租出;若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤20,x∈Z),则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元,则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为 ( )
A.220元 B.240元
C.250元 D.280元
7.计划在如图所示的三角形空地中建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),设边EF=x m,则x的取值范围是 ( )
A.15≤x≤30 B.12≤x≤25
C.10≤x≤30 D.20≤x≤30
8.(多选题)某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册(发行的杂志均可被售出).经过调查,若每册的发行价格每提高0.2元,则发行量就减少5000册.要使该杂志的销售收入不少于22.4万元,每册的发行价格可以为 ( )
A.2.5元 B.3元
C.3.2元 D.3.5元
9.(多选题)在一个限速40 km/h的道路上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事发后,现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两辆汽车的刹车距离S甲 m,S乙 m与车速x km/h之间分别有如下关系:S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.则下列说法错误的是 ( )
A.甲车超速 B.乙车超速
C.两车均不超速 D.两车均超速
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.如图所示,某学校要在长为8米,宽为6米的一块矩形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,均为x米,中间种植草坪.为了美观,要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半,则x的取值范围为 .
11.若对任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,则m的取值范围是 .
12.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t(t为正常数)万元.公司决定从原有员工中分流x(0三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)[2024·湖南慈利一中高一期中] (1)若关于x的不等式x2+mx+m+3<0在(-∞,-1)上有解,求实数m的取值范围;
(2)若对任意x∈[-2,1],不等式m(x2-x+1)<2恒成立,求实数m的取值范围.
14.(10分)国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,实行征收附加税政策,已知某种酒每瓶的售价为70元,若不征收附加税,某公司每年销售100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税R元(即税率为R%),则该公司每年的销售量将减少10R万瓶.
(1)求出每年该公司被征收的附加税税金S(单位:万元)关于R的函数关系式;
(2)若要求附加税税金S不少于112万元,且不大于168万元,求R的取值范围.
15.(5分)已知某段铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600 m,若该段铁道转弯处的圆弧所对的圆心角小于180°,而连接圆弧的两端所得的弦长为800 m,设圆弧对应的弓形的高为x m,016.(15分)设某企业每月生产电机x台,根据企业月度报表可知,每月总产值m(单位:万元)与总支出n(单位:万元)满足下列关系:m=x-,n=-x2+5x+.当m-n≥0时,称企业不亏损;当m-n<0时,称企业亏损,且n-m为亏损额.
(1)该企业要想不亏损,每月至少要生产多少台电机
(2)当月总产值为多少时,企业亏损最严重,最大亏损额为多少 (共20张PPT)
§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.3 一元二次不等式的应用
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.能够从实际生产和生活中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.
2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
3.体会化归与转化思想的应用,加强数学建模素养的培养.
知识点 一元二次不等式的应用
利用不等式解决实际问题的一般步骤：
（1）选取合适的字母表示题中的未知数；
（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；
（3）求解所列出的不等式（组）；
（4）结合题目的实际意义确定答案.
探究点一 一元二次不等式恒成立问题
例1（1） 若对于一切实数，不等式恒成立，则 的取值
范围是____________.
[解析] 若，则，满足题意；
若，要使 恒成立，则需
解得.所以 .
方法一：要使对 恒成立，
需满足对 恒成立.
令， ，则当时，在上随自变量的
增大而增大，所以 ，所以 ；
当时， 恒成立；当时，在上随自变量 的增大而减小，
所以，所以，所以 .
综上所述， .
（2）若对任意的，不等式恒成立，求 的取
值范围.
方法二：当时， 恒成立，
即当时， 恒成立.
因为 ，
所以当时， 恒成立.
易知函数在上的最小值为，所以只需 即可.
（2）若对任意的，不等式恒成立，求 的取
值范围.
变式（1） 当时，关于的不等式 恒成立，则实数
的取值范围为__________.
[解析] 令,易知函数 的图象的对称轴为直线.
当，即时，，解得 ，所以.
当，即时， ，满足题意，
所以.
当，即时，，解得 ，所以.
综上所述， .
（2）已知二次函数，若对任意，都有 ，则
实数 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 根据题意需满足解得 ，
即实数的取值范围是 .故选D.
［素养小结］
（1）对于一元二次不等式在 上恒成立的问题，通常转化为不等式组来求解.一
般地，一元二次不等式在 上恒成立的条件是
一元二次不等式在 上恒成立的条
件是 若所给不等式未指明为一元二次不等式，还应注意对二
次项的系数进行讨论，需验证二次项系数为0时是否满足题意.
（2）对于给定区间的恒成立问题，通常转化为最值问题来求解.
探究点二 一元二次不等式的实际应用
例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按收购金额的 纳税
（又称征税率为10个百分点），计划可收购 万担.当地政府为了鼓励农贸公司
多收购这种农产品，决定将征税率降低 个百分点，并预测收购量
可增加 个百分点.
（1）写出降低征税率后税收（万元）与 的函数关系式；
解：降低征税率后的征税率为，农产品的收购量为 万担，
收购总金额为 万元，
依题意得 .
（2）要使此项税收在征税率调节后不少于原计划税收的，试确定 的取
值范围.
解：原计划税收为 （万元）.
依题意得，化简得 ，
解得 .
因为，所以 ，故的取值范围是 .
变式 （多选题）[2024·四川合江马街中学高一月考] 某文具店购进一批新型
台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若单价每提高1元，则
日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收
入，则这批台灯的单价 （单位：元）的取值可以是( )
ABC
A.18 B.15 C.16 D.20
[解析] 由题意知，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入，
需满足，整理得,解得 .
故选 .
［素养小结］
求解数学应用题，需要过三关.
（1）事理关：通过阅读、理解，找出关键词、句，确定条件是什么，要解决什
么问题.
（2）文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数
学关系.
（3）数理关：构建相应的数学模型，并求解模型，得到问题的答案.
拓展 为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为 升的桶中盛满纯药液，
第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出8升后用水补满，
若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的，则 的取值范围为__________
___.
[解析] 第一次操作后，桶中剩下的纯药液为 升，第二次操作后，桶中
剩下的纯药液为升.
由题意可知 ，
化简得，解得，因为，所以 .
1.解一元二次不等式的实际应用问题，首先要用字母表示题中的未知量，再由
题中给出的不等量关系，列出关于未知数的一元二次不等式（或根据需要转换
成一元二次不等式），然后解不等式，最后写出实际问题的解.
2.由实际问题列不等式时，要抓住题中的关键词句，并结合实际意义来写出.
例 如图所示，已知边长为 的正方形钢板有一个角被锈
蚀，被锈蚀区域为，其中， .为
了合理利用这块钢板，将在五边形 内截取一个矩形
块，使点在边 上.
（1）设，矩形的面积为，试写出 的
取值范围及与 的关系式；
解：由题意知，.设，作于 （如图所示），
所以， .
易知，所以，所以 ，
所以 ，
则矩形的面积
， .
（2）要使矩形的面积不小于，试求 的取值范围.
解：依题意得，解得 ，
又，所以，故的取值范围为 .
