单元素养测评卷(一)
1.B [解析] A={x|2x≥1}={x|x≥0},B={x|x2-3x+2<0}={x|(x-1)(x-2)<0}={x|1
2.D [解析] 对于A,当c<0时,若ac>bc,则ab2,但ab,但>,是假命题;对于D,由c>d,得-c<-d,又a>b,所以a-d>b-c,是真命题.故选D.
3.D [解析] 因为A∩B={1},所以1∈A,1∈B,于是得a+1=1,解得a=0,因此b=1,则A={0,1},B={1,6},则A∪B={0,1,6},所以A∪B的子集的个数为23=8.故选D.
4.A [解析] 由题意可知,-3和2是方程ax2-5x+b=0的两个实数根,且a<0,所以解得所以不等式bx2-5x+a<0即为30x2-5x-5<0,即5(3x+1)(2x-1)<0,解得-5.A [解析] c-b=-+=,因为(2+)2-(2)2=4-9=->0,且2+>0,2>0,所以2+>2,所以c-b>0,所以c>b.因为a-c=-+==>0,所以a>c.故a>c>b.故选A.
6.A [解析] ∵x>1,∴x-1>0,∴=·=≥×2×=1,当且仅当x-1=,即x=2时取等号,故选A.
7.C [解析] 对于A选项,命题“ x∈R,使x2+x+1<0”的否定是“ x∈R,有x2+x+1≥0”,所以A中说法正确;对于B选项,已知a,b∈R,“a>1且b>1”能够推出“ab>1”,“ab>1”不能推出“a>1且b>1”,所以B中说法正确;对于C选项,当x=1时,x2-3x+2=0成立,反之,当x2-3x+2=0时,x=1或x=2,所以C中说法错误;对于D选项,由充分条件与必要条件的定义可知,若p是q的充分不必要条件,则q是p的必要不充分条件,所以D中说法正确.故选C.
8.B [解析] 因为原命题是假命题,所以其否定“ x∈R,有2x2+(a-1)x+>0”是真命题,所以Δ=(a-1)2-4×2×<0,解得-19.BC [解析] 题图中阴影部分用集合可表示为( UA)∩B或[ U(A∩B)]∩B,故A,D均错误,B,C均正确.故选BC.
10.AD [解析] 因为“xk+2”是“-411.AD [解析] 由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,因此==+-3≥2-3=1,当且仅当x=2y时等号成立,且此时z=xy=2y2,故A正确,B错误;因为x=2y,z=xy=2y2,所以x+2y-z=-2y2+4y=-2(y-1)2+2≤2,又因为y>0,所以x+2y-z无最小值,因此C错误,D正确.故选AD.
12.2 [解析] ∵集合A={1,3,a2},B={1,a+2},A∪B=A,∴B A,∴a+2=3或a+2=a2,解得a=-1或a=1或a=2.当a=-1时,A中元素不满足互异性,不符合题意;当a=1时,A中元素不满足互异性,不符合题意;当a=2时,A={1,3,4},B={1,4},符合题意.故实数a=2.
13.(-∞,-4)∪(2,+∞) [解析] ∵<1,∴-1<0,即(x-2)(x+1)>0,解得x>2或x<-1,∴A={x|x<-1或x>2}.∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件,∴B A,又a+3>a恒成立,∴a+3<-1或a>2,解得a<-4或a>2,即a的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).
14.-2≤m≤4 [解析] ∵x>0,y>0,x+2y=xy,∴+=1,∴x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8,当且仅当=,即x=4,y=2时等号成立,∴x+2y的最小值为8.则m2-2m≤8,解得-2≤m≤4.
15.解:(1)∵m=5,∴B={x|-9∵A={x|1≤x≤7},∴ RA={x|x<1,或x>7},
∴A∪B={x|-9(2)∵A∩B=A,∴A B,∴∴m>7.
16.解:(1)因为x>0,所以y==x+-1≥2-1=3,
当且仅当x=,即x=2时等号成立,所以y的最小值为3.
(2)证明:因为a,b都是正实数,且ab=2,
所以由基本不等式得2a+b≥2=4,当且仅当2a=b,且ab=2,
即a=1,b=2时等号成立.
所以(1+2a)(1+b)=1+2a+b+2ab=5+2a+b≥5+4=9,
即(1+2a)(1+b)≥9.
17.解:(1)设甲工程队的总造价为y元,依题意,左、右两面墙体的长度均为x(2≤x≤6)米,则保管员室前面新建墙体的长度为米,
则y=3+7200=900+7200≥900×2×+7200=14 400,
当且仅当x=,即x=4时等号成立,此时甲工程队的报价最低,
即当左、右两面墙体的长度均为4米时,甲工程队的报价最低.
(2)由题意可得,900+7200>对任意的x∈[2,6]恒成立,则当x∈[2,6]时,>,
即>a,即x+1++6>a恒成立,
因为x+1++6≥2+6=12,
当且仅当x+1=,即x=2时等号成立,所以018.解:(1)由关于x的不等式ax2-(a+1)x+1≤2在R上恒成立,可得ax2-(a+1)x-1≤0在R上恒成立,∴解得-3-2≤a≤-3+2.
∴实数a的取值范围为[-3-2,-3+2].
(2)不等式ax2-(a+1)x+1<0可化为(ax-1)(x-1)<0.
①当0②当a=1时,不等式等价于(x-1)2<0,无解;
③当a>1时,不等式等价于(x-1)<0,解得④当a<0时,不等式等价于(x-1)>0,解得x<或x>1.综上,当0当a=1时,不等式的解集为 ;
当a>1时,不等式的解集为;
当a<0时,不等式的解集为.
19.解:(1)设x=m+n,y=p+q是A中任意两个元素,其中m,n,p,q∈Z,那么xy=(m+n)(p+q)=(mp+2nq)+(mq+np).
因为m,n,p,q∈Z,所以mp+2nq∈Z,mq+np∈Z,所以xy∈A,
故数集A对通常的实数的乘法运算封闭.
(2)数集B对通常的实数的乘法运算不封闭,证明如下:
取x=2+,y=2-,则x,y∈B,但xy=(2+)(2-)=2 B,
故数集B对通常的实数的乘法运算不封闭.单元素养测评卷(一)
第一章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2023·江西景德镇一中期中] 已知全集为R,集合A={x|2x≥1},B={x|x2-3x+2<0},则A∩( RB)= ( )
A.{x|0≤x≤1}
B.{x|0≤x≤1,或x≥2}
C.{x|1D.{x|0≤x<1,或x>2}
2.下列命题是真命题的是 ( )
A.若ac>bc,则a>b
B.若a2>b2,则a>b
C.若a>b,则<
D.若c>d,a>b,则a-d>b-c
3.设集合A={a,b},B={a+1,6},且A∩B={1},则A∪B的子集的个数为 ( )
A.4 B.6
C.7 D.8
4.已知不等式ax2-5x+b>0(a≠0)的解集为{x|-3A. B.
C. D.
5.若a=+,b=-,c=+,则 ( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>b>a D.b>c>a
6.若x>1,则的最小值为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
7.下列说法错误的是 ( )
A.命题“ x∈R,使x2+x+1<0”的否定是“ x∈R,有x2+x+1≥0”
B.已知a,b∈R,“a>1且b>1”是“ab>1”的充分不必要条件
C.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充要条件
D.若p是q的充分不必要条件,则q是p的必要不充分条件
8.已知“ x∈R,使2x2+(a-1)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.a<-1 B.-1C.a>-3 D.-3二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设全集为U,则图中的阴影部分用集合可表示为 ( )
A.A∩B
B.( UA)∩B
C.[ U(A∩B)]∩B
D.( UA)∪B
10.[2024·陕西渭南蓝光中学高一期末] 若“xk+2”是“-4A.-8 B.-5
C.-3 D.1
11.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,当取得最小值时,下列结论正确的是 ( )
A.z=xy
B.x=y
C.x+2y-z的最小值为-2
D.x+2y-z的最大值为2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若A∪B=A,则实数a= .
13.[2024·河南原阳一中高一月考] 已知集合A=,B={x|a≤x≤a+3},若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则实数a的取值范围是 .
14.已知x>0,y>0,且x+2y=xy,若不等式x+2y≥m2-2m恒成立,则实数m的取值范围为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知集合A={x|1≤x≤7},B={x|-2m+1(1)若m=5,求A∪B,( RA)∩B;
(2)若A∩B=A,求m的取值范围.
16.(15分)(1)已知x>0,求函数y=的最小值;
(2)已知a,b都是正实数,且ab=2,求证:(1+2a)(1+b)≥9.
17.(15分)某车站准备在某仓库外利用其一侧原有墙体,建造一个高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室,由于保管员室的背面靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价如下:保管员室前面新建墙体的报价为每平方米400元,左、右两面新建墙体的报价均为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设保管员室的左、右两面墙体的长度均为x(2≤x≤6)米,且墙体厚度忽略不计.
(1)当左、右两面墙体的长度为多少米时,甲工程队的报价最低
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左、右两面墙体的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功(报价低的工程队中标),求a的取值范围.
18.(17分)已知a≠0.
(1)若关于x的不等式ax2-(a+1)x+1≤2在R上恒成立,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
19.(17分)[2024·江西景德镇一中高一月考] 已知数集A及定义在该数集上的某个运算“*”,如果对一切a∈A,b∈A,都有a*b∈A,那么就说,集合A对运算“*”是封闭的.
(1)设A={x|x=m+n,m,n∈Z},判断数集A对通常的实数的乘法运算是否封闭
(2)设B={x|x=m+n,m,n∈Z,且n≠0},问数集B对通常的实数的乘法运算是否封闭 试证明你的结论.