2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章 2.2 基本不等式 同步练习(及答案)

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第二章 2.2 基本不等式
一、单选题
1.给出条件① ② ③ ④ ，其中能使 成立的条件有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.设 ，，且 ，则 的最小值是（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
3.若实数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
4.若 ，则 的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
5.不等式 中，等号成立的条件是（ ）
A. B. C. D.
6.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、多选题
7.若 ，且 ，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
8.下列推导过程，正确的是（ ）
A. 因为 ，所以
B. 因为 ，所以
C. 因为 ，所以
D. 因为 ，，所以 ，当且仅当 时，等号成立
9.下列选项正确的是（ ）
A. 当 时， 的最小值是3
B. 已知 ，则 的最大值是-2
C. 当 时， 的最大值是5
D. 设 ，则 的最小值为2
三、填空题
10.若 ，则 的最小值为______.
11.已知 ，则 取得最大值时 的值为______.
12.已知 为正实数，且满足 ，则 的最大值为______.
四、解答题
13.若 都是正数，求证：
14.已知 ，且 ，求证：
15.如图所示，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为 、宽为 。
（1）现有钢筋网36m，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大值为多少？
（2）若使每间虎笼面积为 ，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？
一、单选题
1.答案：C
解析：要使，需满足（否则左边为负数，无法≥2）。
①、③（）、④（）均满足；②不满足。
共3个条件成立，故选C。
2.答案：A
解析：且，则。
由基本不等式，故，最小值为1，故选A。
3.答案：D
解析：，则，变形得：
。
由基本不等式，故，
因此，最大值为，故选D。
4.答案：C
解析：，则，变形得：
。
由基本不等式，
故，最小值为6，故选C。
5.答案：D
解析：由基本不等式，等号成立条件为，即，，故，故选D。
6.答案：A
解析：- 充分性：若，则，由基本不等式，充分性成立；
必要性：若，取（满足不等式），但，必要性不成立。
故为充分不必要条件，选A。
二、多选题
7.答案：AD
解析：，则同号：
A：（完全平方公式），恒成立；
B：需，取，，不成立；
C：应为（等号成立时），“>”错误；
D：，由基本不等式，恒成立。
故选AD。
8.答案：ABD
解析： A：，则，，推导正确；
B：，，正确；
C：，，而，推导错误；
D：，则，变形为，等号成立时，正确。
故选ABD。
9.答案：ABC
解析：- A：，，（等号成立时），正确；
B：，（等号成立时），正确；
C：，，故（等号成立时），正确；
D：设，在时单调递增，最小值为，错误。
故选ABC。
三、填空题
10.答案：
解析：，则，变形得：
。
由基本不等式，
故，最小值为。
11.答案：
解析：，则，变形得：
。
由基本不等式（等号成立条件），解得，此时取得最大值。
12.答案：9
解析：且，变形得：
。
由基本不等式，故，
因此，最大值为9。
四、解答题
13.证明：
因，由基本不等式：
（等号成立时），
（等号成立时）。
两式相乘得：
，
当且仅当且（即）时取等号，故原不等式成立。
14.证明：
因且，变形得：
。
由基本不等式：
，，，
故，
当且仅当时取等号，故原不等式成立。
15.解：
由题意，钢筋网总长（一面靠墙，需2根长、5根宽），每间虎笼面积。
(1) 已知，即，求的最大值：
由基本不等式，代入得：
。
等号成立时，联立解得，。
故每间虎笼长、宽（或），面积最大值为（或）。
(2) 已知，即，求的最小值：
由基本不等式，代入得：
。
等号成立时，联立解得，。
故每间虎笼长、宽，钢筋网总长最小值为。