第三章 指数运算与指数函数
§1 指数幂的拓展
【课前预习】
知识点一
1.
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× [解析] (1)=.
(2)根据分数指数幂的定义知,要使(1-2x有意义,应满足1-2x>0,即x<.
(3)分数指数幂不可以理解为个a相乘,其实质是一个数.
2.解:①若n为奇数,则对任意的实数a,都有意义;
②若n为偶数,则当a≥0时,才有意义,当a<0时,没有意义.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)ABD (2)- [解析] (1)==(y>0),C错误,易知A,B,D正确.故选ABD.
(2)由分数指数幂的意义可知,-=-.
变式 BD [解析] 因为=3|x|·y2,且=-3xy2,所以3|x|·y2=-3xy2,故x<0,又xy≠0,所以y>0或y<0.故选BD.
探究点二
例2 解:(1)=-0.1.
(2)因为x(3)因为-3变式 (1)BC [解析] 对于A,===,不符合题意;对于B,=,符合题意;对于C,===,符合题意;对于D,==,=23=8,不符合题意.故选BC.
(2)解:原式=(100-1-(-1)-8+(23=10-+1-8+=10+1-8=3.
拓展 解:原式=+
=+=
|-|+|+|=2.第三章 指数运算与指数函数
§1 指数幂的拓展
1.A [解析] 将根式(a>0)化为分数指数幂是,故选A.
2.D [解析] ∵m10=2,∴m=±,故选D.
3.A [解析] ∵a>0,m,n是正整数,且n>1,∴=,显然a0=1,==,∴=.故选A.
4.A [解析] +π=4-π+π=4.故选A.
5.D [解析] 由n次方根的定义可知①②③均正确.故选D.
6.C [解析] 因为n∈N,所以4n为偶数,(-7)4n≥0,所以有意义;取n=1,则(-7)3n=(-7)3<0,此时无意义;因为a2≥0,所以有意义;取a<0,则a3<0,此时无意义.故①③一定有意义,②④不一定有意义.故选C.
7.D [解析] 由题意得∴x≥,∴-()2=-()2=3x-1-(3x-5)=4,故选D.
8.AC [解析] 当n为奇数时,b的n次方根只有1个,为a,A正确,B错误;当n为偶数时,因为(±a)n=b,所以b的 n次方根有2个,为±a,所以C正确,D错误.故选AC.
9.ABD [解析] 对于A,(-x)0.5中的x<0,-中的x>0,故A中互化错误;对于B,当y<0时,=(-y,故B中互化错误;对于C,==,故C中互化正确;对于D,==,故D中互化错误.故选ABD.
10. [解析] 原式=-1-+=.
11.a≤ [解析] =|2a-1|,=1-2a,因为|2a-1|=1-2a,所以2a-1≤0,故a≤.
12.0 [解析] a+b=a+b=+=.因为ab<0,所以a,b异号,则a|b|+|a|b=0,所以+==0,所以a+b=0.
13.解:(1)=.(2)=.
(3)=.(4)=.
14.解:(1)依题意得a-1≥0,即a≥1.所以原式=a-1+|1-a|+(-a)=a-1-1+a-a=a-2.
(2)-=-=|x-2|-|x+1|,因为-10,x-2<0,所以原式=2-x-x-1=1-2x.
15.A [解析] 由<1化简可得>0,所以(x+2)(x-2)>0,所以x>2或x<-2,又--3=--3,所以--3=|5-3x|-|x-2|-3.当x>2时,--3=3x-5-x+2-3=2x-6;当x<-2时,--3=5-3x+x-2-3=-2x.故选A.
16.解:==|a-3|,要使|a-3|=(3-a)成立,则解得-3≤a≤3,即实数a的取值范围是[-3,3].第三章 指数运算与指数函数
§1 指数幂的拓展
【学习目标】
1.理解分数指数幂的概念,会进行分数指数幂与根式的互化.
2.了解无理数指数幂的概念,了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近得到的思想方法.
3.通过指数幂的拓展的学习,培养逻辑推理的核心素养;通过分数指数幂与根式的互化,培养数学运算的核心素养.
◆ 知识点一 分数指数幂
1.正分数指数幂的定义:给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b= ,这就是正分数指数幂.
2.负分数指数幂的定义:给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),定义==.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)=. ( )
(2)若(1-2x有意义,则x≠. ( )
(3)分数指数幂(a>0)可以理解为个a相乘. ( )
2.根式(n∈N+)一定有意义吗
◆ 知识点二 无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的正实数.至此,指数幂aα中指数的取值范围扩充为R.
◆ 探究点一 根式与分数指数幂
例1 (1)(多选题)下列各式中,根式化成分数指数幂的形式正确的是 ( )
A.=(a>0)
B.==(a>0)
C.=y3(y>0)
D.=a3(a>0)
(2)将-(x>0)表示为根式的形式为 .
变式 (多选题)[2024·四川南充高级中学高一月考] 已知xy≠0,且=-3xy2,则下列不等关系可能成立的是 ( )
A.x>0,y>0
B.x<0,y<0
C.x>0,y<0
D.x<0,y>0
[素养小结]
(1)根式与分数指数幂互化的规律:根指数指数位置分数的分母,被开方数(式)的指数指数位置分数的分子.
(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
◆ 探究点二 化简、求值
例2 化简:
(1);
(2)(x(3)-,x∈(-3,1).
变式 (1)(多选题)下列各式的值相等的是 ( )
A.-和 B.和 C.和 D.和
(2)计算:--8×(-)0+.
[素养小结]
(1)解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.
(2)开偶次方时,先用绝对值表示开方的结果,再去掉绝对值符号化简,化简时要结合条件或分类讨论.
拓展 化简:+.第三章 指数运算与指数函数
§1 指数幂的拓展
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.将根式(a>0)化为分数指数幂是 ( )
A. B.
C.- D.
2.已知m10=2,则m等于 ( )
A. B.-
C. D.±
3.设a>0,m,n是正整数,且n>1,则=,a0=1,=三个式子中正确的个数是 ( )
A.3 B.2
C.1 D.0
4.化简:+π= ( )
A.4
B.2π-4
C.2π-4或4
D.4-2π
5.下列等式中成立的个数是 ( )
①()n=a(a>0,n∈N*且n>1);
②=a(n为大于1的奇数);
③=|a|=(n为大于零的偶数).
A.0 B.1
C.2 D.3
6.若n∈N,a∈R,给出下列四个式子:①;②;③;④.其中一定有意义的式子是 ( )
A.①②③ B.②④ C.①③ D.③④
7.化简-()2的结果是 ( )
A.6x-6
B.-6x+6
C.-4
D.4
8.(多选题)若an=b(a≠0,n>1,n∈N*),则下列说法中正确的是 ( )
A.当n为奇数时,b的n次方根为a
B.当n为奇数时,a的n次方根为b
C.当n为偶数时,b的n次方根为±a
D.当n为偶数时,a的n次方根为±b
9.(多选题)在下列根式与分数指数幂的互化中错误的是 ( )
A.(-x)0.5=-(x≠0)
B.=
C.=(xy>0)
D.=-(x>0)
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.计算:-(-2024)0-+1.5-2= .
11.若=,则实数a的取值范围为 .
12.[2024·贵州贵阳一中高一期中] 若ab<0,则化简a+b的结果是 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)用根式的形式表示下列各式(a>0):
(1);(2);(3);(4).
14.(10分)(1)化简:()2++.
(2)已知-115.(5分)若<1,则化简--3的结果为 ( )
A.2x-6或-2x B.4x-6或-2x
C.-2x或4x D.2x+4或-2x
16.(15分)求使等式=(3-a)·成立的实数a的取值范围.(共19张PPT)
§1 指数幂的拓展
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化.
2.了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近
得到的思想方法.
3.通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理的核心素养；通过分数指数幂
与根式的互化，培养数学运算的核心素养.
知识点一 分数指数幂
1.正分数指数幂的定义：给定正数和正整数，，且，互素 ，若
存在唯一的正数，使得，则称为的次幂，记作 ____，这就是
正分数指数幂.
2.负分数指数幂的定义：给定正数和正整数,,且,互素 ,定义
.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
×
[解析] .
（2）若有意义，则 .( )
×
[解析] 根据分数指数幂的定义知，要使有意义，应满足 ，
即 .
（3）分数指数幂可以理解为个 相乘.( )
×
[解析] 分数指数幂不可以理解为个 相乘，其实质是一个数.
2.根式 一定有意义吗？
解：①若为奇数，则对任意的实数， 都有意义；
②若为偶数，则当时，才有意义，当时， 没有意义.
知识点二 无理数指数幂
无理数指数幂, 是无理数是一个确定的正实数.至此，指数幂 中指
数的取值范围扩充为 .
探究点一 根式与分数指数幂
例1（1） （多选题）下列各式中，根式化成分数指数幂的形式正确的是
( )
ABD
A. B.
C. D.
[解析] ,C错误,易知A，B，D正确.故选 .
（2）将 表示为根式的形式为______.
[解析] 由分数指数幂的意义可知， .
变式 （多选题）[2024·四川南充高级中学高一月考] 已知 ，且
，则下列不等关系可能成立的是( )
BD
A.， B.， C.， D.，
[解析] 因为，且，所以 ，
故，又，所以或.故选 .
［素养小结］
（1）根式与分数指数幂互化的规律：根指数 指数位置分数的分母，被开
方数（式）的指数 指数位置分数的分子.
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数
指数幂的运算性质解题．
探究点二 化简、求值
例2 化简：
（1） ；
解： .
（2） ；
解：因为，所以 .
（3）， .
解：因为 ，所以原式
.
变式（1） （多选题）下列各式的值相等的是( )
BC
A.和 B.和 C.和 D.和
[解析] 对于A，，不符合题意；
对于B， ，符合题意；
对于C，，符合题意；
对于D， ，，不符合题意.故选 .
（2）计算： ．
解：原式
．
［素养小结］
（1）解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，
然后运用根式的性质进行化简或求值.
（2）开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简
时要结合条件或分类讨论.
拓展 化简： .
解：原式 .
1.分数指数幂
（1）分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，分数指数幂
与根式可以相互转化，在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大于0.同时，
负数开奇数次方根是有意义的，所以当奇数次根式要化成分数指数幂时，先要
把负号移到根号外面去，再按规定化成分数指数幂.
（2）负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负号只是出现
在指数上.
2.实数指数幂
引入了分数指数幂后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充.
当，是一个无理数时，规定 表示一个确定的实数，而且有理数指数幂的
运算性质对于无理数指数幂也适用，这样，指数概念就扩充到了整个实数范围.
的性质
利用根式的性质能方便地解决一些与根式有关的化简或求值问题.
例 求下列各式的值：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） .
解：
.
