§2 指数幂的运算性质
【课前预习】
知识点
(1)aα+β
诊断分析
1.解:因为0的负数指数幂无意义,所以a≠0.若a<0,如取a=-2,则[(-2)3没有意义.
故有理数指数幂的运算性质不适用于底数a=0或a<0的情况.
2.解:不对,例如(-2×(-2=[(-2)×(-2)不成立,其中(-2无意义.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)=-=4a.
(2)··(2)÷=10=10a.
(3)====()5=()5=.
变式 解:(1)原式=1+4×-×=1+6-1=6.
(2)原式====b,因为a=,b=,所以原式=(×3-1=3.
探究点二
例2 解:因为-=()3-()3,
所以==
a+a-1+1=(+)2-2+1=52-1=24.
变式 解:因为-=()3-()3,
所以==
a+a-1+1=(-)2+2+1=52+3=28.
拓展 解:因为10a=2,102b=5,所以=(10a÷102b==.§2 指数幂的运算性质
1.D [解析] ==≠a,故A错误;a÷==≠,故B错误;==a0=1≠0,故C错误;()4==a,故D正确.故选D.
2.D [解析] 2×=(33×(32=32×3-3=9×=.故选D.
3.A [解析] 因为ab=2 ×3 =(2×3,所以36=(2×3)2=[(2×3=(ab=.
4.A [解析] ===.故选A.
5.B [解析] 原式=÷=÷=×2=.故选B.
6.C [解析] a===2023-,b===2023-,所以a-b=-=<0,所以a7.A [解析] 由+=1,得=1,则(1-2b+1)+(1-2a)=(1-2a)(1-2b+1),可得2-(2a+2b+1)=1-(2a+2b+1)+2a+b+1,所以2a+b+1=1,可得a+b+1=0,即a+b=-1,故选A.
8.ABD [解析] A选项,由π-3>0,得=π-3,A选项正确;B选项,=[a3b-1(b2a-6==a0b0=1,B选项正确;C选项,=,C选项错误;D选项,4÷=-6=-6a0b1=-6b,D选项正确.故选ABD.
9.ACD [解析] ∵a+a-1=4,∴(a+a-1)2=a2+a-2+2=16,∴a2+a-2=14,故选项A正确;∵(a-a-1)2=(a+a-1)2-4=42-4=12,∴a-a-1=±2,故选项B错误;∵(+)2=a+2+a-1=4+2=6,∴+=,故选项C正确;∵(+)3=++3a+3a-1=++3+3=++3(+),且+=,∴()3=++3,∴+=3,∴==3,故选项D正确.故选ACD.
10. [解析] ∵10x=3,10y=4,∴102x-y===.
11.1 [解析] (··÷=··÷=·=a0·b0=1.
12. [解析] ==×,因为3a+2b+1=0,所以a+b=-,则=×=.
13.解:(1)原式=-=-2a0b1c2=-2bc2.
(2)原式=(÷(=÷a-1=.
14.解:(1)因为a>0,且a2x=+1,所以a-2x===-1,所以(ax+a-x)(ax-a-x)=a2x-a-2x=+1-(-1)=2.
(2)====+1.
(3)==a2x-ax·a-x+a-2x=+1-1+(-1)=2-1.
15.0 [解析] 因为153(5ab-bc-3ac)===×=1,所以3(5ab-bc-3ac)=0,即5ab-bc-3ac=0.
16.解:∵a7=128,∴a===2.
∴+++=++=++=
+=+==-.§2 指数幂的运算性质
【学习目标】
1.掌握实数指数幂的运算性质及利用性质进行综合运算,能够熟练、准确地进行指数式、根式等的相互转化,能够熟练地利用性质进行数式的化简、求值等综合运算.
2.通过实数指数幂的综合运算,提高数学运算的核心素养.
◆ 知识点 实数指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂满足下面的运算性质:
(1)aα·aβ= ;
(2)(aα)β=aαβ;
(3)(ab)α=aαbα.
【诊断分析】 1.有理数指数幂的运算性质是否适用于底数a=0或a<0的情况
2.an·bn=(a·b)n,a,b,n∈R,这个等式对吗
◆ 探究点一 指数幂的综合运算
例1 化简与计算(式中的字母均为正实数):
(1);
(2)··(2)÷;
(3).
变式 (1)计算:+22×-×.
(2)已知a=,b=,求的值.
[素养小结]
利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧:
(1)有括号,则先化简或计算括号里的式子;
(2)无括号,则先进行指数运算;
(3)负指数幂化为正指数幂的倒数;
(4)底数是小数,先要化为分数,底数是带分数,先要化为假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,利用指数运算性质求解.
◆ 探究点二 条件求值
例2 已知+=5(a>0),求的值.
变式 若将例2中的条件+=5改为-=5,则结论如何
[素养小结]
对于“条件求值”问题,要根据式子的特点,弄清已知条件与待求式的联系,然后用整体代换的思想求解.要注意恰当地变形,如分解因式等,还要注意开方时正负值的选取.
拓展 [2024·皖豫名校联盟高一期中] 已知10a=2,102b=5,求的值.§2 指数幂的运算性质
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.设a>0且a≠1,则下列运算中正确的是 ( )
A.=a B.a÷=
C.=0 D.()4=a
2.计算2×= ( )
A.-3 B.-
C.3 D.
3.已知=a,=b,则36= ( )
A. B.
C. D.
4.已知x>0,y>0,化简: = ( )
A. B.
C. D.
5.÷(0.062 5)0.25= ( )
A. B.
C. D.
6.[2024·广西三新学术联盟高一月考] 已知a=,b=,则a与b之间的大小关系是 ( )
A.a=b B.a>b
C.a7.实数a,b满足+=1,则a+b= ( )
A.-1 B.1 C.2 D.-2
8.(多选题)[2024·浙江强基联盟高一月考] 已知a>0,b>0,m>0,n>0,则下列各式正确的是 ( )
A.=π-3
B.=1
C.=
D.4÷=-6b
9.(多选题)已知正实数a满足a+a-1=4,下列选项中正确的是 ( )
A.a2+a-2=14
B.a-a-1=2
C.+=
D.=3
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.若10x=3,10y=4,则102x-y的值为 .
11.[2024·福建三明一中高一月考] 已知a>0,b>0,则(··÷= .
12.已知3a+2b+1=0,则= .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)化简(式中各字母均为正实数):
(1)(8)()÷(-4b);
(2)÷.
14.(10分)已知a>0,且a2x=+1,求下列各式的值.
(1)(ax+a-x)(ax-a-x);
(2);
(3).
15.(5分)已知315a=55b=153c,则5ab-bc-3ac= .
16.(15分)已知a7=128,求+++的值.(共15张PPT)
§2 指数幂的运算性质
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.掌握实数指数幂的运算性质及利用性质进行综合运算，能够熟练、准确
地进行指数式、根式等的相互转化，能够熟练地利用性质进行数式的化简、求
值等综合运算.
2.通过实数指数幂的综合运算，提高数学运算的核心素养.
知识点 实数指数幂的运算性质
对于任意正数,和实数 ， ，实数指数幂满足下面的运算性质：
（1） ______；
（2） ；
（3） .
【诊断分析】
1.有理数指数幂的运算性质是否适用于底数或 的情况
解：因为0的负数指数幂无意义，所以.若，如取,则
没有意义.故有理数指数幂的运算性质不适用于底数或 的情况.
2.，，， ，这个等式对吗？
解：不对，例如不成立，其中 无意义.
探究点一 指数幂的综合运算
例1 化简与计算（式中的字母均为正实数）
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解： .
变式（1） 计算： .
解：原式 .
（2）已知，，求 的值.
解：原式，因为， ，所以原
式 .
［素养小结］
利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧:
（1）有括号，则先化简或计算括号里的式子；
（2）无括号，则先进行指数运算；
（3）负指数幂化为正指数幂的倒数；
（4）底数是小数，先要化为分数，底数是带分数，先要化为假分数，然后要尽
可能用幂的形式表示，利用指数运算性质求解.
探究点二 条件求值
例2 已知，求 的值.
解：因为 ，
所以
.
变式 若将例2中的条件改为 ，则结论如何？
解：因为 ，
所以
.
［素养小结］
对于“条件求值”问题，要根据式子的特点，弄清已知条件与待求式的联系，然
后用整体代换的思想求解.要注意恰当地变形，如分解因式等，还要注意开方时
正负值的选取.
拓展 [2024·皖豫名校联盟高一期中] 已知,，求 的值.
解：因为,，所以 .
指数式的化简求值
（1）一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、
化小数为分数进行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为
简的目的.
（2）对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或
“求值后代换”两种方法求值.
（3）分式化简的方法与技巧：
①将分子、分母分解因式，可约分的先约分；
②利用公式的基本性质，化繁分式为简分式，化异分母为同分母；
③把其中适当的几个分式先化简，重点突破；
④可考虑整体思想，用换元法使分式简化.
“凑公式”法
在本节的试题中，有些式子直接计算比较麻烦，此时我们要善于观察所求式子
的结构特征，“凑”出乘法公式或因式分解公式的形式，再充分利用这些公式进
行幂的综合运算.
例 化简：且 .
解：原式
.
