第3课时 指数函数图象和性质的综合应用
1.A [解析] 因为f(x)=,所以f=,所以4-≥0,即≤4,即≤1,解得x≤4,所以y=f的定义域为(-∞,4],故选A.
2.A [解析] 因为2-x∈R,所以函数y=的值域为(0,+∞);函数y=的值域为[0,1);函数y=的值域为[0,+∞);y=的值域为(0,1)∪(1,+∞).故选A.
3.A [解析] 因为f(x)=,所以x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,所以f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为t=x2-2x-3的图象开口向上,对称轴为直线x=1,y=在[0,+∞)上单调递增,所以y=在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增.又y=在R上单调递减,所以f(x)=在(-∞,-1]上单调递增,在[3,+∞)上单调递减,即f(x)=的单调递增区间为(-∞,-1].故选A.
4.D [解析] ∵f(x)=在(1,3)上单调递减,且t=x2-2x+1在(1,3)上单调递增,∴函数y=at在定义域上是减函数,∴0
1,得x<0,即不等式的解集为{x|x<0}.
5.D [解析] 由已知得不等式≤22ax-3对任意的x∈[3,4]恒成立,根据指数函数的单调性得x2+1≤2ax-3对任意的x∈[3,4]恒成立,即2a≥对任意的x∈[3,4]恒成立.设y==x+,根据对勾函数的单调性知y=x+在[3,4]上单调递增,则当x∈[3,4]时,x+≤4+=5,则2a≥5,解得a∈,则实数a的取值范围为.故选D.
6.D [解析] 当01时,函数f(x)=ax在[-2,2]上单调递增,则f(x)max=f(2)=a2,f(x)min=f(-2)=,所以a2+=,可得a=.综上,a=或.故选D.
7.A [解析] 因为函数f(x)是R上的增函数,所以解得4≤a<8,所以实数a的取值范围是[4,8).故选A.
8.ABD [解析] ∵f(x)=2-x-2x,∴f(0)=20-20=0,A正确;∵f(-x)=2x-2-x=-f(x),∴f(x)是奇函数,B正确;f(x)=-2x在R上是减函数,C错误;∵当x→-∞时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→-∞,∴f(x)的值域是R,又f(x)是R上的减函数,∴对任意实数a,方程f(x)-a=0都有唯一解,D正确.故选ABD.
9.ABC [解析] 依题意,f(x)=|3x-1|=作出f(x)的图象,如图所示.由图可知,要使cf(a)>f(b)成立,则c<0且a>0,设f(t)=f(a),且t1,又f(c)-f(a)>0,所以1-3c-(3a-1)>0,即3c+3a<2,故D中关系式成立,C中关系式不成立;由c10.- [解析] 当a>1时,此方程组无解;当011.[-3,0](答案不唯一) [解析] 令g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,可得函数g(x)在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.由函数y=在定义域R上为减函数,结合复合函数的单调性的判定方法,可得函数f(x)在(-∞,1]上单调递增,即D (-∞,1],可取D=[-3,0].
12. [解析] 设2x=t,因为x∈(-∞,1],所以013.解:(1)∵t=3x在[0,2]上单调递增,∴1≤t≤9,即t的最大值为9,最小值为1.
(2)令y=t2-2t+4=(t-1)2+3,∵1≤t≤9,y=t2-2t+4在[1,9]上单调递增,∴当t=1时,y取得最小值3,当t=9时,y取得最大值67,
即f(x)的最大值为67,最小值为3.
14.解:(1)假设存在满足题意的实数b,函数f(x)=2x在定义域R上单调递增,不等式f(x+1)≥f[(x+b)2],
则x+1≥(x+b)2,即x2+(2b-1)x+b2-1≤0.
依题意, x∈[0,8],g(x)=x2+(2b-1)x+b2-1≤0恒成立,由于g(x)的图象开口向上,
故只需该方程组无解,
故不存在实数b,使得当x∈[0,8]时,不等式f(x+1)≥f[(x+b)2]恒成立.
(2)函数G(x)=2x+1+a·22x,x∈(-∞,0],
令t=2x∈(0,1],φ(t)=at2+2t,t∈(0,1].
当a=0时,函数φ(t)在(0,1]上单调递增,φ(t)max=φ(1)=2.
当a≠0时,φ(t)=at2+2t=a-,t∈(0,1],
当-<0,即a>0时,φ(t)的图象开口向上,函数φ(t)在(0,1]上单调递增,所以φ(t)max=φ(1)=a+2;
当0<-<1,即a<-1时,φ(t)的图象开口向下,φ(t)max=φ=-;
当-≥1,即-1≤a<0时,φ(t)的图象开口向下,函数φ(t)在(0,1]上单调递增,φ(t)max=φ(1)=2+a.
综上,H(a)=
15.ACD [解析] 由x∈R且f(-x)===-f(x),得f(x)是奇函数,A正确;由f(x)=1-,结合指数函数、复合函数的单调性,易知f(x)在R上是增函数,C正确;由g(1)=[f(1)]==0,g(-1)=[f(-1)]==-1,得g(-1)≠-g(1),则g(x)不是奇函数,B错误;当x≥0时,1+2x≥2,则f(x)=1-∈[0,1),此时g(x)=0,当x<0时,1<1+2x<2,则f(x)=1-∈(-1,0),此时g(x)=-1,所以g(x)的值域是{-1,0},D正确.故选ACD.
16.解:(1)因为f(x)是定义在[-8,8]上的奇函数,
所以f(0)=+=0,解得a=-1,
即当x∈[-8,0]时,f(x)=-.
设x∈(0,8],则-x∈[-8,0),
则f(-x)=-=4x-3x,
又f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(4x-3x)=3x-4x,所以当x∈(0,8]时,f(x)=3x-4x.
(2)当x∈[-8,0]时,不等式f(x)≥-恒成立,
即-≥-恒成立,可得m≤+恒成立,所以m≤+对x∈[-8,0]恒成立.
设h(x)=+,x∈[-8,0],
易知y=,y=在[-8,0]上均单调递减,则h(x)在[-8,0]上单调递减,
可得h(x)min=h(0)=2,则m≤2,
所以实数m的取值范围为(-∞,2].(共23张PPT)
§3 指数函数
第3课时 指数函数图象和性质的综合应用
3.2 指数函数的图象和性质
3.1 指数函数的概念
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
知识点一 ，且的图象与 的图象之间的
关系
函数,且的图象与的图象关于 轴对称.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数,的值域与函数, 的值域相同.( )
√
[解析] 因为函数,与函数, 的定义域相同，且
图象关于 轴对称，所以值域相同.
（2）函数且，的图象关于 轴对称. ( )
√
[解析] 设,且, ，因为
,所以函数为偶函数，图象关于 轴对称.
知识点二 与指数函数有关的复合函数问题
1.定义域
函数,且的定义域就是函数 的定义域.
2.值域
求形如,且的函数的值域时，应先求 的值域，再
结合的单调性求出 的值域.
3.单调性
将函数，且视为由与 复合而成，利用复合
函数单调性的判定方法可判断函数 的单调性.
类似地,可判断函数，且 的单调性.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数与函数 有相同的定义域.( )
√
（2）函数,且与函数 的单调性相同.( )
[解析] 当时，函数与函数的单调性相同；
当 时，函数与函数 的单调性相反.
探究点一 与指数函数有关的定义域与值域问题
例1 求下列函数的定义域和值域：
（1） ；
解: 由，得 ，故的定义域为 .
由，得 ，故的值域为 .
（2） ；
解:由，得， ，的定义域为 .
，， ，
又，的值域为 .
（3） ；
解:易知的定义域为 .
， .
又， 函数的值域为 .
（4） .
解:易知的定义域为 .
，且， ，
故函数的值域为 .
变式（1） 函数 的定义域和值域分别为( )
B
A. B.， C.， D.
[解析] 由，得，即，故函数的定义域为 .
因为，所以，即 ，
故函数的值域为 .故选B.
（2）函数 的值域是__________.
[解析] 设,则,
当时，取得最大值9；当时，取得最小值 ，
又函数是减函数， 原函数的值域是 .
［素养小结］
对于形如,且的函数的值域的求解，可令，先求出
的取值范围，再借助函数 的单调性确定整个函数的值域.
拓展 已知函数，且的定义域是，求实数 的
取值范围.
解: 由，得 .
因为函数,且的定义域是 ，
所以的解集为，所以 .
探究点二 与指数函数有关的单调性问题
例2 判断函数 的单调性.
解: 设,则,易知对任意的， ,
,都有 ，
因为是减函数，设, ,
所以，所以在 上单调递减.
易知对任意的，,,都有 ，
因为 是减函数,设,,所以 ，
所以在 上单调递增.
变式（1） 已知函数，则函数 的单调递增区间为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 令，则该函数在 上单调递减，
在上单调递增，而函数在上为增函数，
所以函数在 上单调递减，在上单调递增，
即的单调递增区间为 .故选D.
（2）若函数在区间上单调递减，则实数 的取值范围是 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 记 ，其图象为抛物线，
对称轴为直线，且抛物线的开口向上.
函数在区间 上单调递减，
函数在区间上单调递增，
又在区间 上单调递增，，解得 .
［素养小结］
复合函数的单调性一般是看包含的两个函数的单调性.若两个函数均为增函数或
均为减函数，则复合函数为增函数；若两个函数一增一减，则复合函数为减函
数.简记为“同增异减”.
拓展 [2024·江西师大附中高一期中] 已知函数 ．
（1）若关于的不等式的解集为，求, 的值；
解：的解集为，
则， 的解为和 ，
由解得
（2）已知，当时， 恒成立，求实
数 的取值范围．
解：由， ，
得 ，
设，，因为在上单调递增，所以 ，
则 ，整理得 .
当时，取得最小值3，
故且，即 的取值范围为 .
基于指数运算的指数型奇、偶函数
（1）函数且 为偶函数，函数
且 为奇函数.
（2）函数且和函数 且
均为奇函数.
1.换元法
对于与指数函数复合的函数，求其值域时一般考虑换元法，即通过换元将复合
函数转化为简单函数，再利用简单函数的单调性求其值域.
例1 求函数 的值域.
解：，令 ，
则 .
当，即时，函数取得最小值 ，
所以函数的值域为 .
2.分类讨论思想
由于指数函数的底数的取值不同,当时,在 上是增函数，当
时,在上是减函数，因此本节的许多问题都与对底数 进行分
类讨论有关.
例2 若且，求实数 的取值范围.
解: 当时,,,解得 .
当时, ,,解得 .
综上可知,当时，；当时， .第3课时 指数函数图象和性质的综合应用
【课前预习】
知识点一
诊断分析
(1)√ (2)√ [解析] (1)因为函数y=3x,x∈[-1,1]与函数y=,x∈[-1,1]的定义域相同,且图象关于y轴对称,所以值域相同.
(2)设y=f(x)=a|x|,x∈[-k,k](a>0且a≠1,k>0),因为f(-x)=a|-x|=a|x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,图象关于y轴对称.
知识点二
诊断分析
(1)√ (2)× [解析] (2)当a>1时,函数y=af(x)与函数y=f(x)的单调性相同;当0【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由x-4≠0,得x≠4,
故y=的定义域为(-∞,4)∪(4,+∞).
由≠0,得≠1,
故y=的值域为(0,1)∪(1,+∞).
(2)由1-2x≥0,得2x≤1,∴x≤0,
∴y=的定义域为(-∞,0].
∵0<2x,∴-2x<0,∴1-2x<1,
又1-2x≥0,∴y=的值域为[0,1).
(3)易知y=的定义域为R.
∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
∴≤=16.
又>0,∴函数y=的值域为(0,16].
(4)易知y=4x+2x+1+1的定义域为R.
∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2×2x+1=(2x+1)2,且2x>0,∴y>1,故函数y=4x+2x+1+1的值域为(1,+∞).
变式 (1)B (2) [解析] (1)由1-6x-2≥0,得x-2≤0,即x≤2,故函数的定义域为(-∞,2].因为0<6x-2≤1,所以0≤1-6x-2<1,即0≤<1,故函数的值域为[0,1).故选B.
(2)设t=-2x2-8x+1=-2(x+2)2+9, 则y=.∵-3≤x≤1,∴当x=-2 时,t取得最大值9;当x=1 时,t取得最小值-9.∴-9≤t≤9,又函数y=(-9≤t≤9)是减函数,∴原函数的值域是 .
拓展 解:由ax-1≥0,得ax≥1.
因为函数y=(a>0,且a≠1)的定义域是(-∞,0],
所以ax≥1的解集为(-∞,0],所以0探究点二
例2 解:设u=x2-2x,则y=,易知对任意的1≤x1因为y=是减函数,设y1=,y2=,
所以y1>y2,所以y=在[1,+∞)上单调递减.
易知对任意的x3u4,因为y=是减函数,
设y3=,y4=,所以y3所以y=在(-∞,1]上单调递增.
变式 (1)D (2)C [解析] (1)令u=x2-4x=(x-2)2-4,则该函数在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,而函数y=2u在R上为增函数,所以函数f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(2,+∞).故选D.
(2)记u=x2+ax=-,其图象为抛物线,对称轴为直线x=-,且抛物线的开口向上.∵函数f(x)=在区间[1,2]上单调递减,∴函数u=x2+ax在区间[1,2]上单调递增,又u=x2+ax在区间上单调递增,∴-≤1,解得a≥-2.
拓展 解:(1)f(x)=ax2+x+1<0的解集为(-3,b),则a>0,ax2+x+1=0的解为x=-3和x=b,
由解得
(2)由f(x)=ax2+x+1,f(2x)≤g(x),得a×(2x)2+2x+1≤4x+1-2x+2,
设t=2x,x∈[-1,1],因为t=2x在[-1,1] 上单调递增,所以t∈,则at2+t+1≤4t2-t+2,
整理得a≤-+4=+3.
当t=1时,y=+3取得最小值3,故a≤3且a≠0,即a的取值范围为(-∞,0)∪(0,3].第3课时 指数函数图象和性质的综合应用
◆ 知识点一 y=ax(a>0,且a≠1)的图象与
y=的图象之间的关系
函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与y=的图象关于y轴对称.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=3x,x∈[-1,1]的值域与函数y=,x∈[-1,1]的值域相同. ( )
(2)函数y=a|x|(a>0且a≠1),x∈[-k,k](k>0)的图象关于y轴对称. ( )
◆ 知识点二 与指数函数有关的复合函数问题
1.定义域
函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域就是函数f(x)的定义域.
2.值域
求形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的值域时,应先求u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.
3.单调性
将函数y=af(x)(a>0,且a≠1)视为由u=f(x)与y=au复合而成,利用复合函数单调性的判定方法可判断函数y=af(x)的单调性.类似地,可判断函数y=f(ax)(a>0,且a≠1)的单调性.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=2f(x)与函数y=f(x)有相同的定义域. ( )
(2)函数y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数y=f(x)的单调性相同. ( )
◆ 探究点一 与指数函数有关的定义域与值域问题
例1 求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;(2)y=;(3)y=;
(4)y=4x+2x+1+1.
变式 (1)函数y=的定义域和值域分别为 ( )
A.(0,2],(0,1]
B.(-∞,2],[0,1)
C.(0,2],[0,1)
D.(-∞,2],(0,1]
(2)函数y=(-3≤x≤1)的值域是 .
[素养小结]
对于形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函数的值域的求解,可令t=ax,先求出t的取值范围,再借助函数y=f(t)的单调性确定整个函数的值域.
拓展 已知函数y=(a>0,且a≠1)的定义域是(-∞,0],求实数a的取值范围.
◆ 探究点二 与指数函数有关的单调性问题
例2 判断函数y=的单调性.
变式 (1)已知函数f(x)=,则函数f(x)的单调递增区间为 ( )
A.(4,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,2) D.(2,+∞)
(2)若函数f(x)=在区间[1,2]上单调递减,则实数a的取值范围是 ( )
A.a≤-4 B.a≤-2 C.a≥-2 D.a>-4
[素养小结]
复合函数的单调性一般是看包含的两个函数的单调性.若两个函数均为增函数或均为减函数,则复合函数为增函数;若两个函数一增一减,则复合函数为减函数.简记为“同增异减”.
拓展 [2024·江西师大附中高一期中] 已知函数f(x)=ax2+x+1(a≠0).
(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(-3,b),求a,b的值;
(2)已知g(x)=4x+1-2x+2,当x∈[-1,1]时,f(2x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.第3课时 指数函数图象和性质的综合应用
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.设函数f(x)=,则函数y=f的定义域为 ( )
A.(-∞,4] B.
C.(0,4] D.
2.下列函数中值域为(0,+∞)的是 ( )
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=
3.[2024·江西南昌三中高一月考] 函数f(x)=的单调递增区间为 ( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,1]
C.[1,+∞) D.[3,+∞)
4.若函数f(x)=(a>0且a≠1)在(1,3)上单调递减,则关于x的不等式ax>1的解集为 ( )
A.{x|x>1} B.{x|x<1}
C.{x|x>0} D.{x|x<0}
5.[2024·四川凉山安宁河联盟高一期中] 若不等式≤对任意的x∈[3,4]恒成立,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C. D.
6.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[-2,2]上的最大值与最小值的和为,则a的值为 ( )
A. B.
C. D.或
7.若函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.[4,8) B.(1,8)
C.(4,8) D.(1,+∞)
8.(多选题)已知函数f(x)=2-x-2x,则下列结论中正确的是 ( )
A.f(0)=0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数
D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有唯一解
9.(多选题)设函数f(x)=|3x-1|,若cf(a)>f(b),则下列关系式不成立的是 ( )
A.3c>3b B.3b>3a
C.3c+3a>2 D.3c+3a<2
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .
11.[2024·辽宁名校联盟高一月考] 若函数f(x)=在区间D上单调递增,请写出一个满足条件的区间D: .
12.若函数y=在区间(-∞,1]上有意义,则实数a的取值范围是 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知f(x)=9x-2×3x+4(x∈[0,2]),设t=3x(x∈[0,2]).
(1)求t的最大值与最小值;
(2)求f(x)的最大值与最小值.
14.(10分)[2024·广东茂名高一期末] 已知函数f(x)=2x.
(1)是否存在实数b,使得当x∈[0,8]时,不等式f(x+1)≥f[(x+b)2]恒成立
(2)试求函数G(x)=f(x+1)+af(2x)(a∈R),x∈(-∞,0]的最大值H(a).
15.(5分)(多选题)[2024·山东烟台高一期末] 高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-π]=-4,[1.5]=1.已知函数f(x)=,设g(x)=[f(x)],则 ( )
A.f(x)是奇函数
B.g(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数
D.g(x)的值域是{-1,0}
16.(15分)[2024·湖南邵阳高一期末] f(x)是定义在[-8,8]上的奇函数,当x∈[-8,0]时,f(x)=+.
(1)求f(x)在(0,8]上的解析式;
(2)若当x∈[-8,0]时,不等式f(x)≥-恒成立,求实数m的取值范围.