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高中数学北师大版（2019）必修 第一册第三章 指数运算与指数函数3 指数函数3.2 指数函数的图像和性质

第三章 3 指数函数第2课时　指数函数y=ax(0＜a＜1)的图象和性质（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）必修 第一册

文档属性

名称 第三章 3 指数函数第2课时　指数函数y=ax(0＜a＜1)的图象和性质（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）必修 第一册
格式 zip
文件大小 11.7MB
资源类型 教案
版本资源 北师大版（2019）
科目 数学
更新时间 2025-09-12 10:34:14

文档简介

第2课时　指数函数y=ax(0【课前预习】
知识点一
(0,+∞)　(0,1)　增函数　减函数　01
知识点二
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)函数y=的图象向右平移1个单位长度得到函数y=的图象.
(2)当x>0时,有>;当x=0时,有==1;当x<0时,有<.
(3)因为2>-1,a20,且a≠1),所以0【课中探究】
探究点一
例1　(1)A　[解析] 因为y=3x为增函数,所以c==>32.4=270.8=b,即b(2)解:①因为0<0.8<1,所以指数函数y=0.8x在R上是减函数,又-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.
②因为<1,>1,所以<.
变式　ACD　[解析] 因为a=20.6>20=1,b=40.4=(22)0.4=20.8>20.6=a,c=0.20.8<0.20=1,且c>0,所以b>a>1>c>0,且ab>c.故选ACD.
拓展　(1)(-3,-1)　(2)　[解析] (1)由题知-10·+16<0,整理得-10·+16<0,即<0,可得2<<8,即<<,解得-3(2)当0ax+7,∴-5x-,
即x的取值范围是.
探究点二
例2　B　[解析] 函数y=3x,y=5x是R上的增函数,其图象都是上升的,排除C,D;在第一象限内,底数越大的指数函数的图象越靠近y轴,排除A.故选B.
变式　A　[解析] y2=3x与y4=10x在R上为增函数,y1=与y3=10-x=在R上为减函数.在第一象限内作直线x=1,该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数,则从上到下各点的纵坐标对应的底数依次为10,3,,,故选A.
拓展　01时,在同一平面直角坐标系中作出直线y=2a和函数y=|ax-1|的图象(如图①),由图象可知,直线y=2a与函数y=|ax-1|的图象只能有一个公共点,此时不满足题意.当01.C　[解析] 要使函数有意义,需满足1-≥0,即≤1=,解得x≥0,因此,函数y=的定义域为[0,+∞).故选C.
2.B　[解析] ∵0<<1,∴指数函数y=在R上是减函数,又>,∴a3.B　[解析] 当底数大于1时指数函数是定义域上的增函数,当底数大于0且小于1时指数函数是定义域上的减函数,由题图可知c,d大于1,a,b大于0且小于1.又由题图可知c1>d1,即c>d,b14.D　[解析] 因为函数y=x0.6在区间(0,+∞)上单调递增,所以0.60.6<1.50.6,即a0.60.7,即a>b,所以c>a>b.故选D.
5.B　[解析] 由题意得则可得a∈.故选B.
6.B　[解析] ∵y=与y=-x3在R上都是减函数,∴f(x)=-x3在R上是减函数,∴f(2a+1)>f(a-1)等价于2a+17.D　[解析] 因为2x-2y>7-x-7-y,所以2x-7-x>2y-7-y,令f(x)=2x-7-x,因为y=2x和y=-7-x在R上均单调递增,所以f(x)=2x-7-x在R上单调递增,所以由2x-7-x>2y-7-y,得x>y,所以C错误;当x=2,y=1时,满足x>y,而=<=1,所以A错误;当x=2,y=-2时,满足x>y,而|x|=|y|,所以B错误;因为y=在R上单调递减,所以<,所以D正确.故选D.
8.AC　[解析] 因为函数f(x)的定义域为R,且f(-x)===f(x),所以f(x)是偶函数,A正确,B错误;令t=|x|,则t≥0,所以f(x)转化为y=(t≥0),所以09.AD　[解析] 根据指数函数图象的性质知,当a>b>1时,f(x),g(x)的大致图象如A中图象,当1>a>b>0时,f(x),g(x)的大致图象如D中图象,当a>1>b时,f(x),g(x)的大致图象如图.故选AD.
10.　[解析] 由指数函数的性质可知,f(x)在区间[-2,2]上单调递减,故当x=2时,f(x)取得最小值.
11.f(x)=1-2|x|(答案不唯一)　[解析] 取函数f(x)=1-2|x|,则f(-x)=1-2|-x|=1-2|x|=f(x),由|x|≥0得2|x|≥1,所以f(x)≤0,满足f(x)为偶函数,f(x)<1且f(x)有最大值.故可取f(x)=1-2|x|.
12.(0,a)　[解析] 因为函数y=ax-b(a>0,且a≠1) 的图象经过第二、三、四象限,所以函数y=ax-b(a>0,且a≠1)为减函数且图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.令x=0,得 y=a0-b=1-b,由题意得解得则013.解:(1)因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.
(2)当a>1时,函数y=ax是R上的增函数,此时a1.3a2.5.故当a>1时,a1.3a2.5.
14.解:(1)由已知得a3=,解得a=,∴f(x)=,f(x)在R上是减函数.∵b2+2b+4-3=(b+1)2≥0,
∴b2+2b+4≥3,∴f(3)≥f(b2+2b+4).
(2)∵x≥0,∴x2-2x≥-1,∴≤3,
又>0,故g(x)的值域是(0,3].
15.AC　[解析] 由==,即==,得3x=4y=5z,又x,y,z为正实数,3<4<5,所以x>y>z,故A正确,B错误;因为3x=4y,所以(3x)12=312x=(34)3x=813x=(4y)12=412y=(43)4y=644y,又81>64,所以3x<4y,因为4y=5z,所以(4y)20=420y=(45)4y=10244y=(5z)20=520z==6255z,又1024>625,所以4y<5z,即5z>4y>3x,故C正确,D错误.故选AC.
16.解:(1)根据题意,函数g(x)为指数函数,设g(x)=ax(a>0且a≠1),由g(3)=8,得a3=8,解得a=2,则g(x)=2x,f(x)=g(x)-g(-x)=2x-2-x.
(2)由(1)知,f(x)=2x-2-x(x∈R),则f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数.易知函数f(x)在R上为增函数.
(3)f(2x+2)+f(x2-5x)≥0,即f(2x+2)≥-f(x2-5x),等价于f(2x+2)≥f(5x-x2),等价于2x+2≥5x-x2,整理得x2-3x+2≥0,解得x≥2或x≤1,即不等式的解集为{x|x≥2或x≤1}.第2课时　指数函数y=ax(0◆ 知识点一　指数函数的图象和性质
函数 y=ax(a>1) y=ax(0图象
性 质 定义域 R
值域 　　　
过定点 　　　
单调性 在R上为　　 在R上为　　　
函数值 变化 当x>0时,y>1 当x>0时,　　　
当x<0时,0◆ 知识点二　指数函数y=ax与y=bx(0如图.
(1)当x<0时,ax>bx>1;
(2)当x=0时,ax=bx=1;
(3)当x>0时,0【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)将函数y=的图象向右平移1个单位长度,即得到函数y=的图象. (　 )
(2)<. (　 )
(3)若a20,且a≠1),则y=ax在R上为减函数. (　 )
◆ 探究点一　比较大小
例1 (1)已知a=0.92,b=270.8,c=,则a,b,c的大小关系为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.a(2)比较下列各组中两个数的大小:
①0.8-0.1与0.8-0.2;②与.
变式 (多选题)[2024·江西赣州高一期中] 若a=20.6,b=40.4,c=0.20.8,则 (　 )
A.b>a B.a>b C.a>c D.ab>c
[素养小结]
对于两个相同底数的式子,要利用相应指数函数的单调性,通过自变量的大小关系直接判断相应函数值的大小;当两个式子不能化为相同底数时,我们可以找到一个中间值,将这两个数分别与中间值进行比较,常用的中间值有0,1等.
拓展 (1)关于x的不等式10·->16的解集为　　　　.
(2)如果a-5x>ax+7(0◆ 探究点二　指数函数图象的识别与应用
例2 函数y=3x,y=5x,y=在同一平面直角坐标系中的大致图象是 (　 )
变式 已知y1=,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一平面直角坐标系内,它们的大致图象为 (　 )
A B C D
[素养小结]
(1)不同底数的指数函数的图象在同一平面直角坐标系中的相对位置关系是:在y轴右侧的图象从下到上相应的底数由小变大;在y轴左侧的图象从下到上相应的底数由大变小.
(2)对于指数函数y=ax(a>0,a≠1),其图象一定出现在x轴上方.若指数型函数的图象出现在x轴下方或与x轴相切,则可以通过平移变换和对称变换实现.
拓展 直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是　　　　. 第2课时　指数函数y=ax(0一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.函数y=的定义域是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.[0,+∞) D.(-∞,0]
2.已知>,则下列关系一定正确的是 (　 )
A.1>a>b>0 B.aC.a>b D.1>b>a>0
3.如图①②③④分别是指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象,则a,b,c,d与0,1的大小关系是 (　 )
A.0B.0C.1D.04.设a=0.60.6,b=0.60.7,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系为 (　 )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>a>b
5.已知f(x)=是定义域为R的减函数,则a的取值范围是 (　 )
A. B.
C.(1,+∞) D.
6.已知函数f(x)=-x3,若f(2a+1)>f(a-1),则实数a的取值范围是 (　 )
A.a>-2 B.a<-2
C.-22
7.[2024·辽宁朝阳建平实验中学高一月考] 若2x-2y>7-x-7-y,则 (　 )
A.> B.|x|>|y|
C.x8.(多选题)设函数f(x)=,则下列说法正确的是 (　 )
A.函数f(x)是偶函数
B.函数f(x)是奇函数
C.函数f(x)有最大值1
D.函数f(x)在(-∞,0)上单调递减
9.(多选题)已知指数函数①f(x)=ax,②g(x)=bx,且a>b>0,则两函数在同一坐标系中的大致图象可能为 (　 )
A B C D
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.函数f(x)=在区间[-2,2]上的最小值是　　　　.
11.写出一个符合下列要求的函数f(x)的解析式:　　　　　　.
①f(x)为偶函数;②f(x)<1;③f(x)有最大值.
12.函数y=ax-b(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则ab的取值范围是　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)比较大小:
(1)1.70.3,0.93.1;
(2)a1.3,a2.5(a>0,a≠1).
14.(10分)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点.
(1)比较f(3)与f(b2+2b+4)的大小;
(2)求函数g(x)=(x≥0)的值域.
15.(5分)(多选题)[2024·广西三新学术联盟高一月考] 已知x,y,z为正实数,若==,则下列结论正确的是 (　 )
A.x>y>z B.z>y>x
C.5z>4y>3x D.3x>4y>5z
16.(15分)已知指数函数g(x)满足g(3)=8,定义域为R的函数f(x)=g(x)-g(-x).
(1)求g(x),f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的奇偶性与单调性;
(3)解不等式f(2x+2)+f(x2-5x)≥0.(共25张PPT)
§3 指数函数
第2课时 指数函数 的图象和性质
3.2 指数函数的图象和性质
3.1 指数函数的概念
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
知识点一 指数函数的图象和性质
函数
图象 ______________________________ __________________________
性质 定义域
值域 ________
过定点 ______
单调性 在 上为________ 在 上为________
函数值变化 当时, 当 时,__________
当时, 当 时,______
增函数
减函数
知识点二 指数函数与 的特点
如图.
（1）当时， ;
（2）当时， ;
（3）当时， .
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）将函数的图象向右平移1个单位长度,即得到函数 的图
象.( )
√
[解析] 函数的图象向右平移1个单位长度得到函数 的图象.
（2） .( )

[解析] 当时,有;当时,有;当 时,有
.
（3）若,且，则在 上为减函数.( )
√
[解析] 因为，,且，所以，在 上
为减函数.
探究点一 比较大小
例1（1） 已知，，，则，， 的大小关系为
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为为增函数，所以，即 .
又，即，所以 .故选A.
（2）比较下列各组中两个数的大小:
①与 ;
解：因为,所以指数函数在上是减函数,又 ,所以
.
②与 .
解：因为,,所以 .
变式 （多选题）[2024·江西赣州高一期中] 若，， ，
则( )
ACD
A. B. C. D.
[解析] 因为， ，
，且，所以，且.故选 .
［素养小结］
对于两个相同底数的式子，要利用相应指数函数的单调性，通过自变量的大小
关系直接判断相应函数值的大小；当两个式子不能化为相同底数时，我们可以
找到一个中间值，将这两个数分别与中间值进行比较，常用的中间值有0，1等.
拓展（1） 关于的不等式 的解集为_________.
[解析] 由题知，整理得 ，
即，可得，即 ，
解得 .
（2）如果，那么 的取值范围为_ __________.
[解析] 当时，在上是减函数， ，
，解得 ，即的取值范围是 .
探究点二 指数函数图象的识别与应用
例2 函数，， 在同一平面直角坐标系中的大致图象是
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 函数，是 上的增函数，其图象都是上升的，排除C,D;
在第一象限内，底数越大的指数函数的图象越靠近 轴，排除A.故选B.
变式 已知，，， ，则在同一平面直角
坐标系内，它们的大致图象为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 与在上为增函数，与在
上为减函数.
在第一象限内作直线 ，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，
则从上到下各点的纵坐标对应的底数依次为10，3，, ，故选A.
［素养小结］
（1）不同底数的指数函数的图象在同一平面直角坐标系中的相对位置关系是：
在轴右侧的图象从下到上相应的底数由小变大；在 轴左侧的图象从下到上相
应的底数由大变小.
（2）对于指数函数，其图象一定出现在 轴上方.若指数型
函数的图象出现在轴下方或与 轴相切，则可以通过平移变换和对称变换实现.
拓展 直线与函数且 的图象有两个公共点，
则实数 的取值范围是_ _________.
[解析] 当 时，在同一平面直角坐标系
中作出直线和函数 的图
象（如图①），由图象可知，直线 与
函数 的图象只能有一个公共点，
此时不满足题意.
当 时，作出直线 和函数的图象（如图②），
若直线与函数 的图象有两个交点，则由图象可知，
所以.故实数 的取值范围是 .
1.底数且 的大小决定了指数函数的图象的形状和走向:
（1）当时，图象好像汉字笔画的“撇”；当 时，图象好像汉字笔
画的“捺”.
（2）当时，图象向右不断上升，向左不断下降,并且无限靠近 轴的负半
轴;
当时，图象向左不断上升，向右不断下降，并且无限靠近 轴的正半
轴.
（3）对于多个指数函数来说，底数大的图象在 轴右侧的部分越高（简称：底
大图高）.
2.底数对指数函数图象的影响
若下图中的四条曲线分别为四个指数函数，，， 的
图象，则 .
1.比较大小的方法
（1）中间量法
当两个式子的底数不同且指数也不同时，常将它们都与一个中间量进行比较，
常用的中间量有0，1等.
例1 比较与 的大小.
解：，， .
例2 （多选题）[2024·宁夏银川唐徕中学高一期末] 以下关于数的大小关系的
结论正确的是( )
ABD
A. B. C. D.
（2）函数单调性法
当两个式子的底数相同且指数不同时，经常用函数单调性法来比较大小.
[解析] 对于选项A，因为指数函数在上单调递增，且 ，
所以，所以选项A正确;
对于选项B，因为指数函数在 上单调递减，且,
所以 ，所以选项B正确；
对于选项C，因为,,所以 ，
所以选项C不正确;
对于选项D，因为函数在上单调递增，且 ，
，所以，所以选项D正确.故选 .
（3）构造函数法
当两个式子的结构相似或相近时，解题时试着通过变换、化简生成同构式，然
后通过单调性比较大小.
例3 [2024· 福建德化一中、永安一中、漳平一中高一期中]设 ，
，则下列结论中正确的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设，则，因为在
上单调递增，所以在上单调递减，故 ，
即,所以，A错误；
因为在 上单调递减，所以，B正确；
由于,，即 ,，
故，C错误；
，当且仅当 时取等号，但，故 ，D错误.
故选B.
2.利用图象变换法作图
对于由指数函数构成的复合函数的作图问题，一般宜用图象变换法作图，这样
有利于从整体上把握函数的性质.
利用图象变换法作图要注意:（1）选择哪个指数函数作为起始函数；（2）要注
意平移的方向及单位长度.
例4 画出函数 的图象，并根据图象判断此函数的单调性.
解：由题意得 此函数图象由两
部分构成，一部分是把 的图象向右平移1个单位长度，
取的部分，另一部分是把 的图象向右平移1个
由图象可知，函数 有三个重要性质：
①对称性：函数图象的对称轴为直线 ;
②单调性：在上单调递减，在 上单调递增；
③值域： .
单位长度，取的部分，两部分的连接处存在公共点 ，
如图中实线部分所示.
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