本章总结提升
【知识辨析】
1.× [解析] =-2.
2.√ [解析] 根据指数函数的定义可知,实数a应满足2a2-3a+2=1,a>0,a≠1这三个条件,所以a=.
3.× [解析] 当x-2=0,即x=2时,f(x)=4,故函数f(x)=ax-2+3的图象过定点(2,4).
4.√ [解析] 根据指数函数y=2t为R上的增函数,得x-1<3-x,解得x<2,所以x的取值范围是(-∞,2).
5.× [解析] 把x+x-1=3两边平方,可得x2+x-2=7,则(x-x-1)2=x2-2+x-2=5,所以x-x-1=±,所以x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±3.
6.× [解析] 若a>1,则f(x)max=f(1)=a=2;若0
7.× [解析] 函数y=的定义域为{x|x≠1},因为≠0,所以y≠1,又指数函数y=2x的值域为(0,+∞),故所求函数的值域为{y|y>0且y≠1}.
【素养提升】
题型一
例1 (1)- (2)4 [解析] (1)原式=-(-3)2+-1=9-9+-1=-.
(2)∵(-)2=a-2+a-1=4,∴a+a-1=6,则(+)2=a+a-1+2=8,∴+=2,∴(+)(-)=a-a-1=2×2=4.
变式 (1)D (2) [解析] (1)原式=2·+2·=1+2x.
(2)由已知得a+b=6,ab=4,所以===.因为a>b>0,所以>,所以=.
题型二
例2 (1)B (2)B [解析] (1)函数y=ax+m-1(a>0,a≠1)的图象是把函数y=ax的图象向上或向下平移|m-1|个单位得到的.∵函数y=ax+m-1 (a>0,a≠1)的图象经过第一、三、四象限,∴a>1且m-1<-1,得a>1且m<0.故选B.
(2)由指数函数的图象过定点可知,①是y=的部分图象,③是y=2x的部分图象,④是y=3x的部分图象,②不是指数函数的图象.故选B.
变式 (1)B (2)C [解析] (1)作出函数y=|3x-2|的图象,如图所示.易知将函数y=|3x-2|的图象向上或向下平移|m|个单位长度后,得到y=|3x-2|+m的图象,而函数y=|3x-2|+m的图象不经过第二象限,由图可知,m≤-2.所以实数m的取值范围是(-∞,-2].故选B.
(2)两个函数分别为指数函数和二次函数,其中二次函数图象过点(0,-1),故排除A,D;二次函数图象的对称轴为直线
x=,当01时,指数函数为R上的增函数,二次函数图象开口向上,>0,B不符合题意.故选C.
题型三
例3 (1)D (2) [解析] (1)因为a=,b=1.5-0.2==,且y=在R上为减函数,0.2<,所以>,所以b>a.因为y=x0.2在(0,+∞)上单调递增,0.8>,所以0.80.2>,所以c>b,故a(2)因为函数y=是R上的减函数,所以由复合函数的单调性可知,函数y=-x2+4ax在区间(1,2)上单调递减.因为函数y=-x2+4ax的图象的对称轴为直线x=2a,且开口向下,所以2a≤1,解得a≤,即a的取值范围为.
(3)解:由题意知·(2x)2-3·2x+5<13,可得(2x)2-6·2x-16<0,所以(2x-8)(2x+2)<0.
因为2x+2>0,所以2x-8<0,解得x<3,所以原不等式的解集为{x|x<3}.
变式 (1)D (2)B [解析] (1)因为y=在R上为减函数,所以<<=1<,即a(2)函数f(x)=-3x-2x的定义域为R,函数y=,y=-3x,y=-2x在R上均单调递减,因此函数f(x)在R上单调递减.又f(-x)=-3-x-2(-x)=-=-f(x),即函数f(x)是奇函数,所以不等式f(a-6)+f(a2)>0即为f(a-6)>f(-a2),即a-6<-a2,解得-3判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
1.=2. ( )
2.若函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函数,则实数a=. ( )
3.函数f(x)=ax-2+3(a>0且a≠1)的图象过定点(3,3). ( )
4.已知2x-1<23-x,则实数x的取值范围是(-∞,2). ( )
5.若x+x-1=3(x>0),则x2-x-2=3. ( )
6.若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值为2,则实数a=2. ( )
7.函数y=的值域为{y|y>0}. ( )
◆ 题型一 指数幂的运算
[类型总述] (1)幂的运算;(2)指数的运算性质.
例1 (1)计算:2-+-(-2024)0= .
(2)已知a>0,且-=2,则a-a-1= .
变式 (1)已知x>0,则2=( )
A.3 B.2
C.2+x D.1+2x
(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则= .
◆ 题型二 指数函数的图象及其应用
[类型总述] (1)函数图象经过的特殊点;(2)含指数式的函数图象的画法、判别;(3)底数对函数图象的影响;(4)简单的图象变换.
例2 (1)若函数y=ax+m-1 (a>0,a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则 ( )
A.a>1,且m>0
B.a>1,且m<0
C.00
D.0(2)如图,①②③④中的三个是指数函数y=3x,y=2x,y=的部分图象,则剩下的一个是 ( )
A.① B.②
C.③ D.④
变式 (1)若函数y=|3x-2|+m的图象不经过第二象限,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,-2]
C.(3,+∞) D.[3,+∞)
(2)已知a>0且a≠1,则函数y=ax与函数y=(a-1)x2-2x-1在同一个平面直角坐标系内的图象可能是 ( )
A B C D
◆ 题型三 指数函数的性质及其应用
[类型总述] (1)依据指数函数的单调性比较大小;(2)解含指数式的不等式;(3)利用指数函数的单调性求参数.
例3 (1)[2024·江苏连云港海滨中学高一月考] 设a=,b=1.5-0.2,c=0.80.2,则 ( )
A.aC.b(2)若函数f(x)=在区间(1,2)上单调递增,则a的取值范围为 .
(3)解不等式22x-1-3·2x+5<13.
变式 (1)已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.bC.b(2)[2024·四川内江六中高一月考] 已知函数f(x)=-3x-2x,若f(a-6)+f(a2)>0,则实数a的取值范围是 ( )
A.(2,+∞) B.(-3,2)
C.(-∞,-3) D.(-∞,-3)∪(2,+∞)(共18张PPT)
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◆ 知识网络
◆ 知识辨析
◆ 素养提升
判断下列说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）
1. .( )
×
[解析] .
2.若函数是指数函数，则实数 .( )
√
[解析] 根据指数函数的定义可知，实数应满足， ，
这三个条件，所以 .
3.函数且的图象过定点 .( )
×
[解析] 当，即时，，故函数 的图象过定
点 .
4.已知，则实数的取值范围是 .( )
√
[解析] 根据指数函数为上的增函数，得，解得 ，所
以的取值范围是 .
5.若，则 .( )
×
[解析] 把两边平方，可得 ，
则，所以 ，
所以 .
6.若函数,且在上的最大值为2，则实数 .( )
×
[解析] 若，则；
若 ，则，得.故的值为2或 .
7.函数的值域为 .( )
×
[解析] 函数的定义域为，因为，所以 ，
又指数函数的值域为，故所求函数的值域为且 .
题型一 指数幂的运算
［类型总述］（1）幂的运算；（2）指数的运算性质.
例1（1） 计算： ____.
[解析] 原式 .
（2）已知，且，则 _____.
[解析] ， ，
则， ，
.
变式（1） 已知，则 ( )
D
A.3 B.2 C. D.
[解析] 原式 .
（2）已知，是方程的两根，且，则 ____.
[解析] 由已知得，，所以 .
因为，所以，所以 .
题型二 指数函数的图象及其应用
［类型总述］（1）函数图象经过的特殊点；（2）含指数式的函数图象的画法、
判别；（3）底数对函数图象的影响；（4）简单的图象变换.
例2（1） 若函数 的图象经过第一、三、四象限，
则( )
B
A.，且 B.，且
C.，且 D.，且
[解析] 函数的图象是把函数 的图象向上或
向下平移个单位得到的． 函数 的图象经
过第一、三、四象限，且，得且 ．故选B.
（2）如图，①②③④中的三个是指数函数 ，
， 的部分图象，则剩下的一个是( )
B
A.① B.② C.③ D.④
[解析] 由指数函数的图象过定点可知，
①是 的部分图象，
③是的部分图象，
④是 的部分图象，
②不是指数函数的图象.故选B.
变式（1） 若函数的图象不经过第二象限，则实数 的取值
范围是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 作出函数 的图象，如图所示.
易知将函数的图象向上或向下平移 个
单位长度后，得到 的图象，
而函数 的图象不经过第二象限，
由图可知，.
所以实数的取值范围是 .故选B.
（2）已知且，则函数与函数 在同一个
平面直角坐标系内的图象可能是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图象过点 ，
故排除A，D；
二次函数图象的对称轴为直线，当时，指数函数为 上的减函
数，二次函数图象开口向下，，C符合题意；
当时，指数函数为 上的增函数，二次函数图象开口向上， ，
B不符合题意.故选C.
题型三 指数函数的性质及其应用
［类型总述］（1）依据指数函数的单调性比较大小;（2）解含指数式的不等式;
（3）利用指数函数的单调性求参数.
例3（1） [2024·江苏连云港海滨中学高一月考]设， ，
，则( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为，，且在 上为减函
数，，所以，所以.
因为在 上单调递增，，所以，所以，
故 .故选D.
（2）若函数在区间上单调递增，则 的取值范围为
________．
[解析] 因为函数是 上的减函数，所以由复合函数的单调性可知，函数
在区间上单调递减.
因为函数 的图象的对称轴为直线，且开口向下，
所以，解得，即 的取值范围为 .
（3）解不等式 .
解：由题意知，可得 ,所以
.
因为,所以,解得,所以原不等式的解集为 .
变式（1） 已知，，，则，， 的大小关系是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为在上为减函数，所以 ，
即 .
（2）[2024·四川内江六中高一月考]已知函数 ，若
，则实数 的取值范围是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 函数的定义域为，函数,, 在
上均单调递减，因此函数在 上单调递减.
又，即函数 是奇函数，
所以不等式即为，
即 ，解得，所以实数的取值范围是 .故选B.