专题课:带电粒子在组合场中的运动
例1 C [解析] 如图所示,粒子在电场中做类平抛运动,沿y轴负方向做匀速直线运动,有d=v0t,沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a==,则沿x轴正方向的位移x=at2=d,设射出电场时粒子的速度v方向与初速度v0方向的夹角为θ,根据类平抛运动的推论得tan θ=2=,则θ=60°,所以v==2v0,粒子在磁场中做匀速圆周运动,恰好打到y轴上时,轨迹与y轴相切,设粒子的轨迹半径为r,根据几何关系得r+rcos 60°=2d+x,解得r=2d,粒子做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,解得B=,选项C正确.
变式1 (1) (2) (3)
[解析] (1)设带电粒子的质量为m,电荷量为q,经电压U加速后的速度大小为v,根据动能定理可得qU=mv2
粒子在第一象限首先做匀速直线运动,运动轨迹如图甲所示
粒子进入到磁场中后做匀速圆周运动,根据几何关系可得粒子在磁场中运动的轨迹半径r=a
根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m
解得比荷=
(2)粒子自点垂直于y轴射入第二象限,落在点,粒子在电场中做类平抛运动.
垂直于电场方向有a=vt1
沿电场方向有2a=·
联立解得t1=,E=
粒子在磁场中运动的时间t2=
设粒子在第一象限直线y=x下方运动的时间t3=
所以粒子自M点运动到N点的时间t=t1+t2+t3=
(3)当M点的坐标变为时,运动轨迹如图乙所示
根据几何关系得acos α+a=a
解得α=45°
粒子自P点穿过y轴,则OP=a+asin 45°=a
根据动能定理得qE·OP=mv'2-mv2
解得v'=
例2 (1) (2)2v0 (3)
[解析] (1)x≤0的区域存在沿y轴负方向的匀强电场,带电粒子在电场中做类平抛运动,根据类平抛运动规律有
L=v0t
L=at2
根据牛顿第二定律有a=
联立解得E=
(2)沿y轴方向有vy=at=2v0
(3)磁感应强度沿x轴正方向,则粒子沿x轴正方向做匀速运动,有x'==v0t'
粒子在垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动,有qvyB=m
联立解得t'=,R=
由于周期T=,所以粒子到达光屏的时间t'=T
设粒子击中光屏时的位置坐标为(x',y',z'),根据几何关系可知
y'=-L+R=-L
z'=R=
故粒子击中光屏时的位置坐标为
例3 (1) (2)
[解析] (1)0~t0时间内粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由于t=t0时刻粒子第一次离x轴最远,所以此时粒子恰好运动了四分之一圆周,即粒子做圆周运动的周期T满足=t0
由于T=
联立解得B0=
粒子做四分之一圆周运动后,磁场变为电场,粒子以速度v0垂直于电场方向进入电场做类平抛运动,根据电场强度和磁感应强度变化的图像可知周期性运动的周期为4t0,要使粒子能沿一定轨道做周期性运动,粒子在t0~2t0时间内应从最高点运动到x轴,y方向上有R=a
其中R==,a=
联立解得v0=
(2)粒子运动的轨迹如图所示,粒子经过x轴时离O点的最远距离L=2R+2x1
其中R===,x1=v0t0=
代入得L=
随堂巩固
1.B [解析] 由洛伦兹力提供向心力可得,粒子在第二象限中运动的时间t1=T1=,在第一象限中运动的周期T2=2T1=,运动的半径为在第二象限中运动的半径的2倍,粒子运动的轨迹如图所示,由几何关系可知,粒子在第一象限中运动的圆弧对应的圆心角为60°,运动的时间t2=T2=,所以粒子在磁场中运动的时间t=t1+t2=,选项B正确.
2.D [解析] 由题意可得,qU=mv2,k=,r=,解得r=,若只增大U,则r增大,粒子不可能从d、P之间某位置穿出磁场,若只减小B,则r增大,粒子不可能从ad边某位置穿出磁场,若既减小U又增大B,则r减小,粒子不可能从bc边某位置穿出磁场,若只增大k,则r减小,粒子可以从d、P之间某位置穿出磁场,D正确.
3.AD [解析] 若粒子经时间t=T0恰好垂直打在CD上,则粒子运动的半径为R=L,根据qvB0=m,解得磁场的磁感应强度B0=,选项A正确; 若粒子经时间t=T0恰好垂直打在CD上,则粒子运动的轨迹为3个四分之一圆周,如图甲所示,由几何关系得运动的半径为r=L,运动的加速度大小为a==,选项B错误;要使粒子恰能沿DC方向通过C点,粒子运动的时间应为磁感应强度变化的周期的整数倍,如图乙所示,根据运动的对称性可知,运动的半径r'满足2nr'==2L,解得r'=(n=1,2,3,…),由洛伦兹力提供向心力得qv0B0=m,解得B0=(n=1,2,3,…),粒子运动的周期为T==(n=1,2,3,…),磁场变化的周期T0=T=(n=1,2,3,…),选项C错误,D正确.专题课:带电粒子在组合场中的运动
学习任务一 带电粒子在组合场中的运动
[科学思维] 组合场:电场与磁场分别位于一定的区域内,并不重叠,或在一定区域内电场、磁场交替出现.
(1)带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动.通常按时间的先后顺序分成若干个小过程,在每一运动过程中从粒子的受力性质、受力方向和速度方向的关系入手,分析粒子在电场中做什么运动,在磁场中做什么运动.
(2)“磁偏转”和“电偏转”的比较
电偏转 磁偏转
偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场(不计重力)
受力情况 只受恒定的静电力F=Eq 只受大小恒定的洛伦兹力F=qvB,方向始终与速度方向垂直
运动情况 匀变速曲线运动(类平抛运动) 匀速圆周运动
运动轨迹 抛物线 圆弧
求解方法 利用类平抛运动的规律求解 x=v0t,y=at2,a=,tan θ= 利用牛顿第二定律、向心力公式求解 r=,T=,t=T=
例1 如图所示,在第一象限内有水平向右的匀强电场,电场强度大小E=,在第四象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场.在该平面内有一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从P点以初速度v0沿y轴负方向射出,P点的坐标为,粒子恰好能打到y轴上,不考虑粒子的重力,则匀强磁场的磁感应强度B的大小为( )
A.
B.
C.
D.
变式1 如图所示,在直角坐标系xOy中,x轴、y轴和直线y=x为理想磁场和理想电场边界,第一象限区域在直线y=x与y轴之间存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,在第二象限存在沿y轴负方向的匀强电场.一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后,自M点沿y轴正方向射入第一象限,垂直于y轴进入第二象限,自N点离开第二象限,不计重力.
(1)求带电粒子的比荷;
(2)求电场强度E的大小及粒子自M点运动到N点的时间t;
(3)如果只改变M点的坐标,坐标变为,求粒子从第二象限离开x轴时的速率.
【要点总结】
“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题
学习任务二 带电粒子在组合场空间立体问题
[科学思维] 分析带电粒子在立体空间中的运动时,首先确定粒子在空间的位置关系.带电粒子依次通过不同的空间,运动过程分为不同的阶段,只要分析出每个阶段上的运动规律,再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题.
例2 [2024·江西南昌二中月考] 如图所示,在空间直角坐标系中,x≤0的区域存在沿y轴负方向的匀强电场(未画出),在x>0的区域存在沿x轴正方向的匀强磁场,磁感应强度大小为B,x轴正半轴上有一垂直于x轴的足够大的光屏.在(-L,0,0)处,一带正电的粒子以大小为v0的初速度沿着x轴正方向出发,粒子经过yOz平面时的坐标为(0,-L,0).已知粒子的质量为m,带电荷量为q,光屏与x轴交点的横坐标为,不计粒子的重力.求:
(1)匀强电场的电场强度大小;
(2)粒子经过yOz平面时沿y轴方向的速度大小;
(3)粒子击中光屏时的位置坐标.
学习任务三 带电粒子在交变电磁场中的运动
1.交变电磁场特点
交变场是指电场、磁场在某一区域内随时间周期性变化,带电粒子在交变场中的运动问题涉及的物理过程比较复杂.粒子在交变场中的运动情况不仅与交变电磁场的变化规律有关,还与粒子进入交变场的时刻有关.
2.解决带电粒子在交变电磁场中的运动问题的基本思路
例3 如图甲所示的xOy平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中,电场强度E和磁感应强度B随时间做周期性变化的图像如图乙所示,y轴正方向为电场的正方向,垂直于纸面向里为磁场的正方向.t=0时刻,质量为m、电荷量为q的带负电粒子(重力不计)从原点O以速度v0(v0大小可调)沿y轴正方向射出,粒子恰好能沿一定的轨道做周期性运动.图中E0、t0为已知量.不考虑电磁场变化时的相互影响.若t=t0时刻,粒子运动过程中第一次离x轴最远,求:
(1)磁感应强度B0的大小和初速度v0的大小;
(2)粒子运动过程中经过x轴时离O点的最远距离.
1.(带电粒子在组合场中的运动)如图所示,在坐标系的第一和第二象限内存在着磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场.一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限,随后垂直于y轴进入第一象限,最后经过x轴离开第一象限,则粒子在磁场中运动的时间为 ( )
A. B.
C. D.
2.(带电粒子在组合场中的运动)[2023·重庆育才中学月考] 如图所示,有理想边界的匀强磁场方向垂直于纸面向外,磁感应强度大小为B,某带电粒子的比荷大小为k,由静止开始经电压为U的加速电场加速后,从O点垂直射入磁场,又从P点穿出磁场.下列说法正确的是(不计粒子所受重力) ( )
A.如果只增大U,粒子可以从d、P之间某位置穿出磁场
B.如果只减小B,粒子可以从ad边某位置穿出磁场
C.如果既减小U又增大B,粒子可以从bc边某位置穿出磁场
D.如果只增大k,粒子可以从d、P之间某位置穿出磁场
3.(带电粒子在交变磁场中的运动)(多选)如图甲所示,ABCD是一长方形有界匀强磁场边界,磁感应强度按如图乙所示规律变化,取垂直于纸面向外为磁场的正方向,图中AB=AD=L,一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速度v0在t=0时从A点沿AB方向垂直射入磁场,粒子重力不计.下列说法中正确的是 ( )
A.若粒子经时间t=T0恰好垂直打在CD上,则磁场的磁感应强度B0=
B.若粒子经时间t=T0恰好垂直打在CD上,则粒子运动的加速度大小a=
C.要使粒子恰能沿DC方向通过C点,磁场的磁感应强度的大小应为B0=
D.要使粒子恰能沿DC方向通过C点,磁场变化的周期应为T0=专题课:带电粒子在组合场中的运动
1.C [解析] 带电粒子在电场中做类平抛运动,运动轨迹如图所示,设第一次穿过MN到达P点时的竖直速度为v1(大小不变),则粒子进入磁场时的速度大小v=,速度方向与MN的夹角的正切值tan θ=,粒子进入磁场后做匀速圆周运动,轨迹半径R=,第二次穿过MN到达Q点时,由几何关系可得d=2Rsin θ,sin θ=,联立可得d=,所以当减小v0时,d不变;运动的时间t=·=,所以当减小v0时,tan θ增大,θ增大,t增大,故C正确.
2.B [解析] 设带电粒子离开电场时的速度为v,与水平方向的夹角为θ,则v=,粒子以速度v进入磁场中做匀速圆周运动,由牛顿第二定律可得qvB=m,解得粒子在磁场中运动的轨迹半径r=,由几何关系可得M、N两点间的距离d=2rcos θ,联立解得d=,所以d与v0成正比,与U无关,故当v0=300 m/s时,d=20 cm,当v0=600 m/s时,d=40 cm,B正确,A、C、D错误.
3.A [解析] 粒子运动轨迹如图所示,粒子恰好垂直y轴进入电场,由几何关系可知,粒子在磁场中运动的轨迹半径为r==L,由洛伦兹力提供向心力得qvB=m,解得磁感应强度大小B=,粒子在匀强电场中做类平抛运动,垂直于电场方向的位移为x1=L,由几何关系得沿电场方向的位移为y1=r(1-sin 30°)=L,由类平抛运动规律得L=v0t,L=t2,联立解得E=,则=v0,故A正确.
4.(1) (2) (3)
[解析] (1)带电粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系可知r+rcos 60°=L
由洛伦兹力提供向心力得qv0B=m
解得B=
(2)带电粒子在电场中做类平抛运动,则
沿x轴方向有2L=v0t2
沿y轴方向有L=a
由牛顿第二定律得qE=ma
联立解得E=
(3)带电粒子在磁场中运动的时间为t1=T=·=
带电粒子在电场中运动的时间为t2=
所以带电粒子在磁场和电场中运动的时间之比为=.
5.(1) (2) 垂直于纸面向外
[解析] (1)从M到N的过程中,电子做类平抛运动,在x轴方向上有F电=eE
加速度为a=
设从M点运动到N点的时间为t,则
L=at2
联立解得t=
在y轴方向上有
yN=v0t
解得yN=L
则N点的坐标为
(2)电子运动轨迹如图所示
设电子到达N点的速度大小为v,方向与y轴正方向的夹角为θ,由动能定理有
mv2-m=eEL
由(1)中分析可得,电子在N点时沿x方向的分速度为vx=at=v0
则tan θ==
解得θ=60°
因此v==2v0
设电子在磁场中运动的半径为r,由几何关系可知
(2L-rcos θ)2+(yN-rsin θ)2=r2
解得r=
电子在磁场中做匀速圆周运动,根据牛顿第二定律有
evB=m
解得B=
由左手定则可知磁场方向垂直于纸面向外.
6.(1)v0 方向与x轴正方向的夹角为53°
(2) (3)
[解析] (1)粒子从P1点到P2点做类平抛运动,设到达P2点时沿y轴方向的分速度为vy,由类平抛运动规律有
L=v0t1
L=t1
联立解得t1=,vy=v0
故粒子在P2点时的速度大小v==v0
设v与x轴正方向的夹角为β,则tan β==
解得β=53°
(2)粒子在电场中从P1点运动到P2点过程,由动能定理有
qEL=mv2-m
解得E=
作出粒子运动轨迹如图所示,设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,由几何关系可得rsin 37°=L
解得r=L
由洛伦兹力提供向心力得qvB=m
联立解得B=
(3)粒子运动一个周期的轨迹如图所示,粒子从P1点运动到P2点经历的时间为t1=
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T磁==
粒子从P2点运动到M点的时间为t2=T磁=
粒子从M点运动到N点,由牛顿第二定律得加速度a==
运动的时间t3==
故粒子第5次经过x轴经历的时间为t=4(t1+t2+t3)+t1=
每个周期内粒子会沿x轴正方向移动的距离为Δx=2×L+2r=4L
则粒子第5次经过x轴时与坐标原点的距离为x=2Δx+L=L
故粒子第5次经过x轴的位置坐标为.
7.D [解析] 带电粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为r== m=0.01 m,周期为T0== s=0.02 s,粒子运动的轨迹示意图如图所示,磁场变化的一个周期内,带电粒子的位移为2r,所以在磁场变化N个周期的时间内,带电粒子的平均速度为=== m/s=2 m/s,故D正确,A、B、C错误.
8.(1)0.01 m 2π×10-5 s (2)0.04 m -0.02 m
[解析] (1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力得qv0B=m
解得r=0.01 m
运动的周期T==2π×10-5 s
当k=1时,因为kt0=t0=,所以粒子第3次经过y轴时恰好向上经历两个半圆(如图甲所示),则此时刻为t=T=2π×10-5 s
(2)当k=2时,因为t0=,2t0=T,所以粒子一个循环周期中运动的轨迹为半圆→整圆→半圆→整圆,由几何关系得
与y轴交点纵坐标的最大值为ymax=4r=0.04 m
与y轴交点纵坐标的最小值为ymin=-2r=-0.02 m专题课:带电粒子在组合场中的运动
1.[2024·湖南浏阳一中月考] 如图所示,足够长的水平虚线MN上方有一匀强电场,方向竖直向下(与纸面平行),下方有一匀强磁场,方向垂直于纸面向里.一个带电粒子从电场中的A点以水平初速度v0向右运动,第一次穿过MN时的位置记为P点,第二次穿过MN时的位置记为Q点,P、Q两点间的距离记为d,从P点运动到Q点的时间记为t.不计粒子的重力,若只适当减小v0的大小,则 ( )
A.t变大,d变小
B.t不变,d变小
C.t变大,d不变
D.t变小,d变大
2.[2024·河北邢台一中月考] 如图所示,两导体板水平放置,两板间电势差U=100 V,带电粒子以初速度v0=300 m/s沿平行于两板的方向从两板正中间射入,穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场,粒子射入磁场和射出磁场的位置M、N两点间的距离d=20 cm,则 ( )
A.当v0=600 m/s,U=50 V时,d=20 cm
B.当v0=600 m/s,U=100 V时,d=40 cm
C.当v0=300 m/s,U=50 V时,d<20 cm
D.当v0=600 m/s,U=100 V时,d<40 cm
3.如图所示,在第一象限内有沿y轴负方向的匀强电场,在第二象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场,一个速度大小为v0、速度方向与x轴正方向成60°角的带正电的粒子(重力不计)从与O点距离为L的A点射入磁场,粒子恰好垂直于y轴进入电场,之后通过x轴上的C点,C点与O点距离也为L,则电场强度E与磁感应强度B的大小比值为 ( )
A.v0
B.v0
C.v0
D.2v0
4.如图所示,直角坐标系的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场,第Ⅱ象限中存在垂直于纸面向外的匀强磁场.一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子在x轴上的a点以与x轴负方向成60°角的速度v0射入磁场,从y=L处的b点沿垂直于y轴方向进入电场,并经过x轴上x=2L处的c点.不计粒子重力.求:
(1)磁感应强度B的大小;
(2)电场强度E的大小;
(3)带电粒子在磁场和电场中运动的时间之比.
5.[2023·湖北荆州中学月考] 如图所示,在xOy坐标系中的第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场,第二象限内存在可调节的垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出).一粒子源固定在x轴上M(L,0)点,沿y轴正方向释放出速度大小均为v0的电子,电子经电场后恰好从y轴上的N点进入第二象限.已知电子的质量为m,电荷量为e,电场强度E=,不考虑电子的重力和其间的相互作用.
(1)求N点的坐标;
(2)若第二象限充满匀强磁场,要使电子从x=-2L处射出第二象限,求所加磁场的磁感应强度的大小和方向.
6.如图所示,平面直角坐标系xOy中,在x轴上方和y=-L下方存在电场强度大小相等、方向相反(均平行于y轴)的匀强电场,在x轴和y=-L之间存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子经过y轴上的点P1(0,L)时的速率为v0,方向沿x轴正方向,然后经过x轴上的点P2进入磁场,经磁场偏转后垂直于y=-L处的虚线进入下方电场.不计粒子重力,sin 37°=,cos 37°=,求:
(1)粒子到达P2点时速度的大小和方向;
(2)电场强度E的大小和磁感应强度B的大小;
(3)粒子从P1点出发后至第5次经过x轴所经历的时间及第5次经过x轴的位置坐标.
7.空间存在垂直于纸面方向的匀强磁场,其方向随时间做周期性变化,磁感应强度B随时间t变化的图像如图所示,规定B>0时磁场的方向穿出纸面.一电荷量q=5π×10-7 C、质量m=5×10-10 kg的带电粒子位于某点处,在t=0时刻以初速度v0=π m/s沿某方向开始在纸面内运动.不计重力的作用,不计磁场的变化可能产生的一切其他影响.在磁场变化N个周期(N为整数)的时间内,带电粒子的平均速度大小为 ( )
A.π m/s
B. m/s
C. m/s
D.2 m/s
8.[2023·江苏南师大附中月考] 如图甲所示的直角坐标系中有如图乙所示的周期性交变磁场,设磁感应强度B垂直于纸面向里为正方向,B0=1 T,t0=π×10-5 s,k为正整数.坐标原点O处有一粒子源,在t=0时刻沿x轴正方向发射速度为v0=103 m/s的正点电荷,比荷=1×105 C/kg,不计粒子重力.
(1)若k=1,求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3次(从O点出发记为第1次)经过y轴时的时刻;
(2)若k=2,求粒子在运动过程中与y轴交点纵坐标的最大值和最小值.(共70张PPT)
专题课：带电粒子在组合场中的运动
学习任务一 带电粒子在组合场中的运动
学习任务二 带电粒子在组合场空间立体问题
学习任务三 带电粒子在交变电磁场中的运动
随堂巩固
练习册
◆
备用习题
学习任务一 带电粒子在组合场中的运动
［科学思维］ 组合场：电场与磁场分别位于一定的区域内，并不重叠，或在一定区域内电场、磁场交替出现.
(1)带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动.通常按时间的先后顺序分成若干个小过程，在每一运动过程中从粒子的受力性质、受力方向和速度方向的关系入手，分析粒子在电场中做什么运动，在磁场中做什么运动.
(2)“磁偏转”和“电偏转”的比较
电偏转 磁偏转
偏转条件 带电粒子以进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以进入匀强磁场(不计重力)
受力情况 只受恒定的静电力 只受大小恒定的洛伦兹力，方向始终与速度方向垂直
运动情况 匀变速曲线运动(类平抛运动) 匀速圆周运动
电偏转 磁偏转
运动轨迹 抛物线 ___________________ __________________________ 圆弧
_________
_______________________
求解方法 利用类平抛运动的规律求解 ，，， 利用牛顿第二定律、向心力公式求解
，，
续表
例1 如图所示，在第一象限内有水平向右的匀强电场，电场强度大小，在第四象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场.在该平面内有一个质量为、电荷量为的带正电的粒子从
点以初速度沿轴负方向射出，点的坐标为，粒子恰好能打到轴上，不考虑粒子的重力，则匀强磁场的磁感应强度的大小为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 如图所示，粒子在电场中做类平抛运动，沿轴负方向做匀速直线运动，有，沿轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度，则沿轴正方向的位移，设射出电场时粒子的速度方向与初速度方向的夹角为 ，根据类平抛运动的推论得，则 ，所以，粒子在磁场
中做匀速圆周运动，恰好打到轴上时，轨迹与轴相切，设粒子的轨迹半径为，根据几何关系得，解得，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有，解得，选项C正确.
变式 如图所示，在直角坐标系中，轴、轴和直线为理想磁场和理想电场边界,第一象限区域在直线与轴之间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，在第二象限存在沿轴负方向的匀强电场.一带正电的粒子从静止开始经电压加速后，自点沿轴正方向射入第一象限，垂直于轴进入第二象限，自点离开第二象限，不计重力.
(1) 求带电粒子的比荷；
[答案]
[解析] 设带电粒子的质量为，电荷量为，经电压加速后的速度大小为，根据动能定理可得
粒子在第一象限首先做匀速直线运动，运动轨迹如图甲所示
粒子进入到磁场中后做匀速圆周运动，根据几何关系可得粒子在磁场中运动的轨迹半径
根据洛伦兹力提供向心力有
解得比荷
(2) 求电场强度的大小及粒子自点运动到点的时间；
[答案] ;
[解析] 粒子自点垂直于轴射入第二象限，落在点，粒子在电场中做类平抛运动.
垂直于电场方向有
沿电场方向有
联立解得,
粒子在磁场中运动的时间
设粒子在第一象限直线下方运动的时间
所以粒子自点运动到点的时间
(3) 如果只改变点的坐标，坐标变为，求粒子从第二象限离开轴时的速率.
[答案]
[解析] 当点的坐标变为时，运动轨迹如图乙所示
根据几何关系得
解得
粒子自点穿过轴，则
根据动能定理得
解得
【要点总结】
“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题
学习任务二 带电粒子在组合场空间立体问题
［科学思维］ 分析带电粒子在立体空间中的运动时,首先确定粒子在空间的位置关系.带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题.
例2 [2024·江西南昌二中月考] 如图所示，在空间直角坐标系中，的区域存在沿轴负方向的匀强电场(未画出)，在的区域存在沿轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，轴正半轴上有一垂直于轴的足够大的光屏.在处，一带正电的粒子以大小为的初速度沿着轴正方向出发，粒子
经过平面时的坐标为.已知粒子的质量为，带电荷量为，光屏与轴交点的横坐标为，不计粒子的重力.求：
(1) 匀强电场的电场强度大小；
[答案]
[解析] 的区域存在沿轴负方向的匀强电场，带电粒子在电场中做类平抛运动，根据类平抛运动规律有
根据牛顿第二定律有
联立解得
(2) 粒子经过平面时沿轴方向的速度大小；
[答案]
[解析] 沿轴方向有
(3) 粒子击中光屏时的位置坐标.
[答案]
[解析] 磁感应强度沿轴正方向，则粒子沿轴正方向做匀速运动，有
粒子在垂直于轴的平面内做匀速圆周运动,有
联立解得，
由于周期,所以粒子到达光屏的时间
设粒子击中光屏时的位置坐标为,根据几何关系可知
故粒子击中光屏时的位置坐标为
学习任务三 带电粒子在交变电磁场中的运动
1.交变电磁场特点
交变场是指电场、磁场在某一区域内随时间周期性变化,带电粒子在交变场中的运动问题涉及的物理过程比较复杂.粒子在交变场中的运动情况不仅与交变电磁场的变化规律有关,还与粒子进入交变场的时刻有关.
2.解决带电粒子在交变电磁场中的运动问题的基本思路
例3 如图甲所示的平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中，电场强度和磁感应强度随时间做周期性变化的图像如图乙所示，轴正方向为电场的正方向，垂直于纸面向里为磁场的正方向.时刻，质量为、电荷量为的带负电粒子(重力不计)从原点以速度(大小可调)沿轴正方向射出，粒子恰好能沿一定的轨道做周期性运动.图中、为已知量.不考虑电磁场变化时的相互影响.若时刻，粒子运动过程中第一次离轴最远，求：
(1) 磁感应强度的大小和初速度的大小；
[答案] ;
[解析] 时间内粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由于时刻粒子第一次离轴最远,所以此时粒子恰好运动了四分之一圆周，即粒子做圆周运动的周期满足
由于,联立解得,粒子做四分之一圆周运动后，磁场变为电场，粒子以速度垂直于电场方向进入电场做类平抛运动，根据电场强度和磁感应强度变化的图像可知周期性运动的周期为，要使粒子能沿一定轨道做周期性运动，粒子在时间内应从最高点运动到轴，方向上有
其中，
联立解得
(2) 粒子运动过程中经过轴时离点的最远距离.
[答案]
[解析] 粒子运动的轨迹如图所示，粒子经过轴时离点的最远距离
其中，
代入得
1. 如图所示,空间中存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的匀强磁场.在x≥0区域,磁感应强度的大小为B0;在x<0区域,磁感应强度的大小为λB0(常数λ>1).一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正方向射入磁场,此时开始计时,当粒子的速度方向再次沿x轴正方向时,求(不计重力):
(1)粒子运动的时间;
[答案]
[解析] 在匀强磁场中,带电粒子做圆周运动.设在x≥0区域,运动半径为R1;在x<0区域,运动半径为R2.由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得 qB0v0=m qλB0v0=m
粒子速度方向转过180°时,所需时间t1=
粒子再转过180°时,所需时间t2=
联立解得所求时间为t0=t1+t2=
(2)粒子与O点间的距离.
[答案]
[解析] 由几何关系可得,所求距离为
d0=2(R1-R2)=
2. 如图所示,在直角坐标系xOy的第一象限中分布着沿y轴负方向的匀强电场,在第四象限中分布着方向垂直于纸面向里的匀强磁场.一个质量为m、电荷量为+q的微粒,在A点(0,3 m)以初速度v0=120 m/s平行x轴正方向射入电场区域,然后从电场区域进入磁场,又从磁场进入电场,并且先后只通过x轴上的P点(6 m,0)和Q点(8 m,0)各一次.已知该微粒的比荷为=102 C/kg,微粒重力不计.
(1)求微粒从A到P所经历的时间和加速度的大小;
[答案] 0.05 s 2.4×103 m/s2
[解析] 微粒平行x轴正方向射入电场区域,由A到P做类平抛运动,
微粒在x轴正方向做匀速直线运动
由x=v0t,得t==0.05 s
微粒沿y轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动,
由y=at2得a=2.4×103 m/s2.
(2)求出微粒到达P点时速度方向与x轴正方向的夹角,并画出带电微粒在电场和磁场中由A至Q的运动轨迹;
[答案] 45° 如图所示
[解析] vy=at,tan α==1,所以α=45°
轨迹如图
(3)求电场强度E和磁感应强度B的大小.
[答案] 24 N/C 1.2 T
[解析] 由qE=ma,得E=24 N/C
微粒从P点进入磁场以速度v做匀速圆周运动,
v=v0=120 m/s
由几何关系可知r= m,由qvB=m得
B==1.2 T.
3. 如图甲所示,在空间中存在一个变化的电场和一个变化的磁场,电场的方向水平向右(图甲中由B到C的方向),电场强度的大小随时间变化的情况如图乙所示;磁感应强度方向垂直于纸面,磁感应强度的大小随时间变化的情况如图丙所示.在t=1 s时,从A点沿AB方向(垂直于BC)以初速度v0射入第一个粒子,并在此之后,每隔2 s有一个相同的粒子沿AB方向以初速度v0从A处射入,射入的粒子均能击中C点.若AB=L,BC=,且粒子由A运动到C的时间均小于1 s.不计粒子间的相互作用、粒子重力、空气阻力及电磁场变化带来的影响.
(1)求磁场的方向以及电场强度的大小E0和磁感应强度的大小B0的比值;
[答案] 垂直于纸面向外
[解析] 磁场方向为垂直于纸面向外.
设带电粒子的质量为m,电荷量为q,
第一个带电粒子进入磁场后做匀速圆周运动,有 L2+(R-0.5L)2=R2 B0qv0=m
第二个带电粒子进入电场后,有 L=v0t =t2
联立解得=.
(2)假设第一个粒子由A运动到C所经历的时间为t,求第二个粒子运动到C的时间.
[答案] (3+0.87t) s
[解析] 第一个带电粒子进入磁场,
打到C点所用时间为t=×
第二个带电粒子进入电场,打到C点所用时间为t2===0.87t
所以第二个粒子运动到C的时刻为(3+0.87t) s.
4. 如图所示,在xOy坐标系的0≤y≤d的区域内分布着沿y轴正方向的匀强电场,在d≤y≤2d的区域内分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场,MN为电场和磁场的交界面,ab为磁场的上边界.现从原点O处沿x轴正方向发射出速率为v0、比荷(电荷量与质量之比)为k的带正电粒子,粒子运动轨迹恰与ab相切并返回电场.已知电场强度E=,不计粒子重力和粒子间的相互作用.
(1)求粒子第一次穿过MN时的速度;
[答案] 2v0,方向与水平方向成60°角斜向右上
[解析] 粒子从原点O处沿x轴正方向发射,在电场中做类平抛运动,
由动能定理得qEd=mv2-m
将=k,E=代入,解得v=2v0
粒子运动轨迹如图所示
图中cos θ==,
解得θ=60°
即粒子第一次穿过MN时的速度为2v0,方向与水平方向成60°角斜向右上.
(2)求磁场的磁感应强度B的大小;
[答案]
[解析] 根据几何关系可知R+Rcos θ=d,
解得R=d
由牛顿第二定律得qvB=
解得B=.
(3)求粒子在磁场中运动的时间;若增大磁感应强度B,试判断粒子在磁场中运动的时间如何变化.
[答案] 运动时间不变
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动,有qvB=,T=
联立解得粒子运动的周期T==
故粒子在磁场中运动的时间为t=T=T=
由以上结果可知,粒子在磁场中运动的时间是一个常数,与磁感应强度B无关,因此增大磁感应强度B,粒子在磁场中运动的时间不变.
随后垂直于轴进入第一象限，最后经过轴离开第一象限，则粒子在磁场中运动的时间为( )
1.(带电粒子在组合场中的运动)如图所示，在坐标系的第一和第二象限内存在着磁感应强度大小分别为和、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场.一质量为、电荷量为的粒子垂直于轴射入第二象限，
B
A. B. C. D.
[解析] 由洛伦兹力提供向心力可得，粒子在第二象限中运动的时间,在第一象限中运动的周期,运动的半径为在第二象限中运动的半径的2倍，粒子运动的轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子在第一象限中运动的圆弧对应的圆心角为 ，运动的
时间，所以粒子在磁场中运动的时间,选项B正确.
2.(带电粒子在组合场中的运动)[2023·重庆育才中学月考] 如图所示，有理想边界的匀强磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为，某带电粒子的比荷大小为，由静止开始经电压为的加速电场加速后，从点垂直射入磁场，又从点穿出磁场.下列说法正确的是(不计粒子所受重力)( )
D
A.如果只增大，粒子可以从、之间某位置穿出磁场
B.如果只减小，粒子可以从边某位置穿出磁场
C.如果既减小又增大，粒子可以从边某位置穿出磁场
D.如果只增大，粒子可以从、之间某位置穿出磁场
[解析] 由题意可得，，，，解得，若只增大，则增大，粒子不可能从、之间某位置穿出磁场，若只减小B，则增大，粒子不可能从边某位置穿出磁场，若既减小又增大B，则减小，粒子不可能从边某位置穿出磁场，若只增大，则减小，粒子可以从、之间某位置穿出磁场，D正确.
A.若粒子经时间恰好垂直打在上，则磁场的磁感应强度
B.若粒子经时间恰好垂直打在上，则粒子运动的加速度大小
C.要使粒子恰能沿方向通过点，磁场的磁感应强度的大小应为
D.要使粒子恰能沿方向通过点，磁场变化的周期应为
3.(带电粒子在交变磁场中的运动)(多选)如图甲所示，是一长方形有界匀强磁场边界，磁感应强度按如图乙所示规律变化，取垂直于纸面向外为磁场的正方向，图中，一质量为、电荷量为的带正电粒子以速度在时从点沿方向垂直射入磁场，粒子重力不计.下列说法中正确的是( )
AD
[解析] 若粒子经时间恰好垂直打在上，则粒子运动的半径为，根据，解得磁场的磁感应强度，选项A正确； 若粒子经时间恰好垂直打在上，则粒子运动的轨迹为3个四分之一圆周，如图甲所示，由几何关系得运动的半径为，运动的加速度大小为，选项B错误；要使粒子恰能沿方向通过C点，粒子运动的时间应为磁感应强度变化的周期的整数倍，如图乙所示，根据运动的对称性可知，运动的半径满足，解得，由洛伦兹力提供向心力得，解得，粒子运动的周期为，磁场变化的周期，选项C错误，D正确.
1.[2024·湖南浏阳一中月考] 如图所示，足够长的水平虚线上方有一匀强电场，方向竖直向下(与纸面平行)，下方有一匀强磁场，方向垂直于纸面向里.一个带电粒子从电场中的点以水平初速度向右运动，第一次穿过时的位置记为点，第二次穿过时的位置记为
C
A.变大，变小 B.不变，变小 C.变大，不变 D.变小，变大
点，、两点间的距离记为，从点运动到点的时间记为.不计粒子的重力，若只适当减小的大小，则( )
[解析] 带电粒子在电场中做类平抛运动，运动轨迹如图所示，设第一次穿过到达点时的竖直速度为(大小不变)，则粒子进入磁场时的速度大小，速度方向与的夹角的正切值，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，轨迹半径，第二次穿过到达点时，由几何关系可得 ，，联立可得，所以当减小时，不变；运动的时间，所以当减小时， 增大， 增大，增大，故C正确.
2.[2024·河北邢台一中月考] 如图所示，两导体板水平放置，两板间电势差，带电粒子以初速度沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，粒子射入磁场和射出磁场的位置、两点间的距离，则( )
B
A.当，时，
B.当，时，
C.当，时，
D.当，时，
[解析] 设带电粒子离开电场时的速度为，与水平方向的夹角为 ，则，粒子以速度进入磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得，解得粒子在磁场中运动的轨迹半径，由几何关系可得、两点间的距离 ，联立解得，所以与成正比，与无关，故当时，，当时，，B正确，A、C、D错误.
3.如图所示，在第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，在第二象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场，一个速度大小为、速度方向与轴正方向成 角的带正电的粒子(重力不计)从与点距离为的点射入磁场，粒子恰好垂直于轴进入电场，之后通过轴上的点，点与点距离也为，则电场强度与磁感应强度的大小比值为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 粒子运动轨迹如图所示，粒子恰好垂直轴进入电场，由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹半径为，由洛伦兹力提供向心力得，解得磁感应强度大小
，粒子在匀强电场中做类平抛运动，垂直于电场方
向的位移为，由几何关系得沿电场方向的位移为，由类平抛运动规律得，，联立解得，则，故A正确.
4.如图所示，直角坐标系的第Ⅰ象限中存在沿轴负方向的匀强电场，第Ⅱ象限中存在垂直于纸面向外的匀强磁场.一电荷量为、质量为的带正电的粒子在轴上的点以与轴负方向成 角的速度射入磁场，从处的点沿垂直于轴方向进入电场，并经过轴上处的点.不计粒子重力.求：
(1) 磁感应强度的大小；
[答案]
[解析] 带电粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系可知
由洛伦兹力提供向心力得
解得
(2) 电场强度的大小；
[答案]
[解析] 带电粒子在电场中做类平抛运动，则
沿轴方向有
沿轴方向有
由牛顿第二定律得
联立解得
(3) 带电粒子在磁场和电场中运动的时间之比.
[答案]
[解析] 带电粒子在磁场中运动的时间为
带电粒子在电场中运动的时间为
所以带电粒子在磁场和电场中运动的时间之比为.
5.[2023·湖北荆州中学月考] 如图所示，在坐标系中的第一象限内存在沿轴正方向的匀强电场，第二象限内存在可调节的垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出).一粒子源固定在轴上点，沿轴正方向释放出速度大小均为的电子，电子经电场后恰好从轴上的点进入第二象限.已知电子的质量为，电荷量为，电场强度，不考虑电子的重力和其间的相互作用.
(1) 求点的坐标；
[答案]
[解析] 从到的过程中，电子做类平抛运动，在轴方向上有
加速度为
设从点运动到点的时间为，则
联立解得
在轴方向上有
解得
则点的坐标为
(2) 若第二象限充满匀强磁场，要使电子从处射出第二象限，求所加磁场的磁感应强度的大小和方向.
[答案] ; 垂直于纸面向外
[解析] 电子运动轨迹如图所示
设电子到达点的速度大小为，方向与轴正方向的夹角为 ，由动能定理有
由(1)中分析可得，电子在点时沿方向的分速度为
则
解得
因此
设电子在磁场中运动的半径为，由几何关系可知
解得
电子在磁场中做匀速圆周运动
根据牛顿第二定律有
解得
由左手定则可知磁场方向垂直于纸面向外.
6.如图所示，平面直角坐标系中，在轴上方和下方存在电场强度大小相等、方向相反(均平行于轴)的匀强电场，在轴和之间存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场.一质量为、电荷量为的带正电粒子经过轴上的点时的速率为，方向沿轴正方向，然后经过轴上的点进入磁场，经磁场偏转后垂直于处的虚线进入下方电场.不计粒子重力，，，求：
(1) 粒子到达点时速度的大小和方向；
[答案] 方向与轴正方向的夹角为
[解析] 粒子从点到点做类平抛运动，设到达点时沿轴方向的分速度为，由类平抛运动规律有
联立解得，
故粒子在点时的速度大小
设与轴正方向的夹角为 ，则
解得
(2) 电场强度的大小和磁感应强度的大小；
[答案] ;
[解析] 粒子在电场中从点运动到点过程，由动能定理有
解得 作出粒子运动轨迹如图所示，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可得
解得
由洛伦兹力提供向心力得
联立解得
(3) 粒子从点出发后至第5次经过轴所经历的时间及第5次经过轴的位置坐标.
[答案] ;
[解析] 粒子运动一个周期的轨迹如图所示，粒子从点运动到点经历的时间为
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
粒子从点运动到点的时间为
粒子从点运动到点，由牛顿第二定律得加速度
运动的时间
故粒子第5次经过轴经历的时间为
每个周期内粒子会沿轴正方向移动的距离为
则粒子第5次经过轴时与坐标原点的距离为
故粒子第5次经过轴的位置坐标为.
7.空间存在垂直于纸面方向的匀强磁场，其方向随时间做周期性变化，磁感应强度随时间变化的图像如图所示,规定时磁场的方向穿出纸面.一电荷量、质量的带
D
A. B. C. D.
电粒子位于某点处，在时刻以初速度沿某方向开始在纸面内运动.不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的一切其他影响.在磁场变化个周期(为整数)的时间内,带电粒子的平均速度大小为( )
[解析] 带电粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为，周期为，粒子运动的轨迹示意图如图所示，磁场变化的一个周期内，带电粒子的位移为，所以在磁场变化个周期的时间内，带电粒子的平均速度为，故D正确，A、B、C错误.
8.[2023·江苏南师大附中月考] 如图甲所示的直角坐标系中有如图乙所示的周期性交变磁场，设磁感应强度垂直于纸面向里为正方向，，，为正整数.坐标原点处有一粒子源，在时刻沿轴正方向发射速度为的正点电荷，比荷，不计粒子重力.
(1) 若，求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3次(从点出发记为第1次)经过轴时的时刻；
[答案]
[解析] 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
由洛伦兹力提供向心力得解得
运动的周期
当时，因为，所以粒子第3次经过轴时恰好向上经历两个半圆(如图甲所示),则此时刻为
(2) 若，求粒子在运动过程中与轴交点纵坐标的最大值和最小值.
[答案]
[解析] 当时，因为,
所以粒子一个循环周期中运动的轨迹为
半圆 整圆 半圆 整圆，由几何关系得
与轴交点纵坐标的最大值为
与轴交点纵坐标的最小值为
