专题课:带电粒子在有界磁场中的运动
例1 D [解析] 粒子运动轨迹如图所示,由图可知,粒子在磁场中向下偏转,根据左手定则可知,粒子应带负电,A错误;由几何关系可知Rsin 30°=d,解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R=2d,根据洛伦兹力提供向心力得qvB=m,解得磁感应强度B=,B、C错误;粒子在磁场中转过的圆心角为30°,则粒子在磁场中运动的时间t=T=×=×=,D正确.
例2 BD [解析] 从c、d两孔射出的电子的运动轨迹如图所示,电子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力得qvB=m,解得运动的轨道半径r=,由图可知rc=2rd,则vc∶vd=rc∶rd=2∶1,故A错误;电子运动的周期为T==,则电子运动的周期均相同,与速度无关,从c孔射出的电子运动了周期,从d孔射出的电子运动了周期,所以tc∶td=1∶2,故B正确;电子在磁场中运动的加速度a=,则ac∶ad=vc∶vd=2∶1,故C错误;由于电子运动的周期均相同,故运动的角速度ω=也相同,即ωc∶ωd=1∶1,故D正确.
[模型建构] (1)当带电粒子沿径向以一定速度垂直于磁场方向射入圆形边界匀强磁场时,因进、出磁场具有对称性,所以沿径向射入必沿径向射出,匀速圆周运动的圆心O'的位置如图甲所示.
(2)粒子射入磁场时速度方向与半径的夹角为θ,则射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ,匀速圆周运动的圆心O'的位置如图乙所示.
例3 B [解析] 如图所示,粒子以速度v1、v2进入磁场,做匀速圆周运动的圆心分别为O1和O2,运动半径分别为R1和R2,偏转角度分别为90°和60°,由几何关系得R1=R=,R2==,所以有=,B正确.
例4 B [解析] 粒子运动的轨迹如图所示,粒子做圆周运动的圆心O2一定在过入射点且垂直于入射速度方向的直线EF上,由于粒子射入、射出磁场时运动方向间的夹角为60°,故圆弧ENM对应的圆心角∠EO2M=60°,根据对称性可知∠EO2O1=30°,由于DE=,则cos∠O1ED==,解得∠O1ED=60°,根据外角关系可知∠EO1O2=∠O1ED-∠EO2O1=30°,所以△EO1O2是等腰三角形,粒子做圆周运动的半径EO2=O1E=R,由qvB=m,解得v=,B正确.
随堂巩固
1.D [解析] 粒子在磁场中运动的周期为T=,由此可知,粒子在磁场中运动的周期相同,由粒子运动的轨迹可知,通过a点的粒子的偏转角为90°,通过b点的粒子的偏转角为60°,则通过a点的粒子运动的时间为T,通过b点的粒子运动的时间为T,所以从S到a、b所需时间之比t1∶t2=3∶2,故D正确.
2.D [解析] 电子带负电,进入磁场后,由左手定则可知,电子所受洛伦兹力方向向左,电子将向左偏转,故A错误;设电子打在MN上的点与O'点的距离为x,如图所示,根据几何关系可得x=r-=2d-=(2-)d,故B、C错误;设轨迹对应的圆心角为θ,由几何关系得sin θ==0.5,解得θ=,则电子在磁场中运动的时间为t==,故D正确.
3.A [解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动,画出轨迹,如图所示,由几何关系得,轨迹半径r=R,故粒子在磁场中运动的时间t==,故A正确.
4.AB [解析] 带电粒子在磁场中向上偏转,根据左手定则可知,三个粒子都带正电,故A正确;设磁场半径为R,由几何关系可知ra=Rtan 45°=R,rb=Rtan 60°=R=ra,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得v=,则vb=va,故B正确;粒子在磁场中运动的周期为T=,运动时间t=T,由粒子运动的轨迹图可知θa=90°,θb=60°,θc=30°,所以三个粒子在磁场中运动的时间之比ta∶tb∶tc=θa∶θb∶θc=3∶2∶1,a粒子在磁场中运动的时间最长,故C、D错误.专题课:带电粒子在有界磁场中的运动
学习任务一 带电粒子在直线有界匀强磁场中运动
[模型建构]
1.直线边界
从某一直线边界射入的粒子再从这一边界射出时,速度与边界的夹角相等,如图所示.
2.平行边界(存在临界条件,如图所示).
例1 如图所示,一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v垂直射入一有界匀强磁场区域内,速度方向跟磁场左边界垂直,从右边界离开磁场时速度方向偏转角θ=30°,磁场区域的宽度为d,则下列说法正确的是( )
A.该粒子带正电
B.磁感应强度B=
C.粒子在磁场中做圆周运动的半径R=d
D.粒子在磁场中运动的时间t=
例2 (多选)[2024·福建厦门一中月考] 如图所示,正方形容器处于匀强磁场中,一束电子从孔a垂直于磁场沿ab方向射入容器中,一部分从c孔射出,一部分从d孔射出.若小孔足够小,容器处于真空中,则下列结论中正确的是( )
A.从两孔射出的电子速率之比vc∶vd=1∶2
B.从两孔射出的电子在容器中运动的时间之比tc∶td=1∶2
C.从两孔射出的电子在容器中运动的加速度大小之比ac∶ad=1∶2
D.从两孔射出的电子在容器中运动的角速度之比ωc∶ωd=1∶1
学习任务二 带电粒子在圆弧有界匀强磁场中运动
[模型建构] 在下列两种圆形有界匀强磁场中,如何确定带电粒子做匀速圆周运动的圆心位置
(1)如图甲所示,电子沿径向以一定速度垂直于磁场方向射入圆形匀强磁场区域并穿出磁场.
(2)
如图乙所示,带正电粒子以一定速度沿与圆半径成θ角且垂直于磁场方向射入圆形匀强磁场区域并穿出磁场.
例3 [2021·全国乙卷] 如图所示,圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场.若粒子射入磁场时的速度大小为v1,则离开磁场时速度方向偏转90°; 若粒子射入磁场时的速度大小为v2,则离开磁场时速度方向偏转60°.不计重力,则为( )
A. B.
C. D.
[反思感悟]
例4 [2024·北京四中月考] 如图所示,半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面),磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外.一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子(不计重力)沿平行于直径ab的方向射入磁场区域,入射点与ab的距离为,已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°,则粒子的速率为 ( )
A.
B.
C.
D.
【要点总结】
1.分析解决带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的基本思路:定圆心、找半径、画轨迹、求时间.
2.半径的确定和计算
一般利用几何关系,通过解三角形的办法求半径.求解时注意:
(1)如图所示,粒子速度的偏转角φ等于轨迹对应的圆心角α,并且等于AB弦与切线的夹角θ的2倍,即φ=α=2θ.
(2)相对的弦切角(θ)相等,与相邻的弦切角(θ')互补,即θ+θ'=180°.
3.运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的轨迹对应的圆心角为α时,其运动时间t可以由下式表示:t=T、t=T或t=(l为轨迹的弧长).
1.(直线边界问题)如图所示,有界匀强磁场边界线SP∥MN,速度不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场,其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直,穿过b点的粒子速度方向与MN成60°角,设两粒子从S运动到a、b所需的时间分别为t1、t2,则t1∶t2为( )
A.1∶3
B.4∶3
C.1∶1
D.3∶2
2.(直线边界问题)[2024·山西晋城一中月考] 如图所示,有一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域,磁场宽度为d,方向垂直于纸面向里.一电子从O点沿纸面垂直于PQ以速度v0进入磁场.若电子在磁场中运动的轨迹半径为2d,O'在MN上,且OO'与MN垂直,则下列判断正确的是 ( )
A.电子将向右偏转
B.电子打在MN上的点与O'点的距离为d
C.电子打在MN上的点与O'点的距离为d
D.电子在磁场中运动的时间为
3.(圆弧边界问题)[2023·山东牟平一中月考] 如图所示,半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场.重力不计、电荷量一定的带电粒子以速度v正对着圆心O射入磁场,若粒子射入、射出磁场点间的距离为R,则粒子在磁场中运动的时间为( )
A. B.
C. D.
4.(圆弧边界问题)(多选)如图所示,圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c以不同的速率对准圆心O沿着PO方向射入磁场,运动轨迹如图所示,出射点分别为A、B、C,其中∠POA=90°,∠POB=120°,∠POC=150°.若带电粒子只受磁场力的作用,则下列说法正确的是( )
A.三个粒子都带正电
B.b粒子的速率是a粒子速率的倍
C.a粒子在磁场中运动的时间最短
D.三个粒子在磁场中运动的时间之比为3∶4∶5专题课:带电粒子在有界磁场中的运动
1.B [解析] 粒子运动轨迹如图所示,设OM=MN=L,对质子,根据洛伦兹力提供向心力,有q1v1B=m1,解得r1=,根据几何关系得2r1sin θ=L,联立得v1=,对α粒子,同理可得v2=,由题意可知m2=4m1,q2=2q1,联立可得v1=v2,质子运动的周期为T1=,α粒子运动的周期为T2=,可得T2>T1,因为运动轨迹对应的圆心角相等,所以t2>t1,故B正确.
2.AD [解析] 根据左手定则可知,三个离子均带负电,选项A正确,B错误;画出三个离子运动的轨迹如图所示,由图可知,离子1的轨迹半径最小,离子3的轨迹半径最大,选项C错误;三个离子运动的周期均为T=,则运动时间t=T,由图可知,离子1运动轨迹对应的圆心角最大,离子3运动轨迹对应的圆心角最小,所以离子1在磁场中运动的时间最长,离子3在磁场中运动的时间最短,选项D正确.
3.C [解析] 由左手定则可判定a粒子带负电,b粒子带正电,由于b粒子运动的半径大,故b粒子的速率大,动能大,所受的洛伦兹力大,选项C正确,A、B错误;由题图可知,b粒子运动轨迹所对的圆心角比a粒子小,所以b粒子在磁场中运动的时间较短,选项D错误.
4.B [解析] 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,即qvB=m,解得粒子第一次在磁场中运动的半径为r=,如图所示,由几何关系可知,圆弧 AC对应的圆心角∠AO' C=60°,经历的时间为Δt=T(T为粒子在匀强磁场中运动的周期,大小为T=,与粒子速度大小无关),当粒子速度减小为后,根据r=知其在磁场中运动的半径变为,粒子将从D点射出,根据几何关系得圆弧AD对应的圆心角∠AO″ D=120°,经历的时间为Δt'=T=2Δt,选项B正确.
5.BD [解析] 根据左手定则判断可知,a粒子带正电,b粒子带负电,A错误;在磁场中,洛伦兹力提供向心力,粒子的运动轨迹如图所示,对a粒子,由几何知识可得(Ra-d)2+(d)2=,解得Ra=2d,由图可知b粒子在磁场中做圆周运动的半径为Rb=d,则a、b粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为4∶1,B正确;在磁场中,洛伦兹力提供向心力,根据qvB=m,可得v=,由于a、b粒子的质量相等,电荷量也相等,则a、b粒子在磁场中运动的速率大小之比为4∶1,C错误;根据T=可知,两粒子的运动周期相同,由几何关系知,a粒子运动轨迹对应的圆心角为,b粒子运动轨迹对应的圆心角为π,根据t=T可得,a、b粒子在磁场中运动的时间之比为1∶3,D正确.
6.B [解析] 当粒子从a点进入磁场,从b点出磁场时,速度偏转角为120°,所以轨迹对应的圆心角为120°,可得粒子在磁场中的运动时间为;当粒子从a点进入磁场,从c点出磁场时,速度偏转角为60°,所以轨迹对应的圆心角为60°,可得粒子在磁场中的运动时间为,因此t1∶t2=2∶1,故选项B正确.
7.B [解析] 根据题意作图,连接MO如图所示,根据几何关系可知四边形O'MOP为菱形,所以粒子的运动半径与磁场半径相等,洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,解得v=,粒子在磁场中转过的圆心角∠MO'P=120°,运动的时间为t=T=·=,B正确.
8.(1)垂直于纸面向里 (2)
[解析] (1)粒子沿弧AE运动,洛伦兹力指向弧线内侧,由左手定则可判断出磁场的方向垂直于纸面向里.
(2)如图所示,连接A、E,作线段AE的中垂线,交AD的延长线于O点,O即为粒子运动轨迹的圆心,α为弦切角,因AE=2BE=2d,所以α=30°.
因为圆弧轨迹的圆心角θ=2α=60°,所以△AOE为等边三角形,R=2d
由qvB=m,解得m=
周期T==,所以粒子在磁场区域中运动的时间t==.
9.(1)(-1)a (2)
[解析] (1)根据运动的对称性可知,粒子在碰撞挡板前的运动轨迹与碰撞后的轨迹完全对称,作出运动轨迹如图所示
设粒子运动轨迹的半径为r,由几何关系可得r=a
入射点到O的距离为d=r-r
即d=(-1)a
(2)由洛伦兹力提供向心力可得
qvB=m
解得v=
10.(1) (2) (3)
[解析] (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动过程中,由牛顿第二定律有
qvB=m
根据圆周运动的周期公式T=
联立解得T=
(2)根据题意,画出粒子的运动轨迹,如图甲所示
由图可知,若粒子由边界cd离开磁场,则运动轨迹所对的圆心角为θ=π
运动的时间t=T
联立可得t=
(3)根据题意可知,带电粒子在磁场中运动的圆心角为120°,则弦切角与速度方向成60°角,根据几何关系,过P点作cd边的垂线,与ab边交点为Q,则粒子从ab边界中点Q离开磁场,运动轨迹如图乙所示
由几何关系可知rsin 60°=L
解得r=L
根据牛顿第二定律有
qvB=m
解得v=专题课:带电粒子在有界磁场中的运动
◆ 知识点一 直线边界
1.如图所示,一条直线上有O、M、N三点,OM=MN,直线上方的整个空间存在垂直于纸面向外的匀强磁场.质子H)和α粒子He)分别以速度v1、v2从O点沿OP方向射入磁场,质子经时间t1从M点射出磁场,α粒子经时间t2从N点射出磁场.质子和α粒子的重力不计,不考虑它们之间的相互作用,则下列判断正确的是( )
A.t1=t2,v1=v2
B.t1C.t1D.t1>t2,v1>v2
2.(多选)[2023·江西南昌二中月考] 三个速度大小不同而质量相同的一价离子分别从长方形区域的匀强磁场上边缘的同一位置平行于磁场边界射入磁场,它们从下边缘飞出时的速度方向如图所示,以下判断正确的是( )
A.三个离子均带负电
B.三个离子均带正电
C.离子1在磁场中运动的轨迹半径最大
D.离子3在磁场中运动的时间最短
◆ 知识点二 圆弧边界
3.两个质量相等、带电荷量也相等的带电粒子a、b以不同的速率沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域,其运动轨迹如图所示.若不计粒子的重力,则下列说法正确的是( )
A.a粒子带正电,b粒子带负电
B.a粒子在磁场中所受的洛伦兹力较大
C.b粒子的动能较大
D.b粒子在磁场中运动的时间较长
4.[2024·福建福州期末] 如图所示,圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场,经过Δt时间从C点射出磁场,OC与OB成60°角.现将带电粒子的速度变为,仍从A点沿原方向射入磁场,不计重力,则粒子在磁场中的运动时间变为( )
A.Δt B.2Δt C.Δt D.3Δt
5.(多选)如图所示,矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,AB=2d,BC=d,E为AB中点.从E点沿垂直于AB方向射入粒子a,粒子a经磁场偏转后从D点出磁场,若仍从E点沿垂直于AB方向射入粒子b,粒子b经磁场偏转后从B点出磁场,已知a、b粒子的质量相等,电荷量也相等,不计粒子的重力,则( )
A.a、b粒子均带正电
B.a、b粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为4∶1
C.a、b粒子在磁场中运动的速率之比为2∶1
D.a、b粒子在磁场中运动的时间之比为1∶3
6.[2023·湖北荆州中学月考] 如图所示,正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场.一带电粒子从a点沿ad方向射入磁场,粒子从b点离开磁场, 在磁场里的运动时间为t1;如果只改变粒子射入磁场的速度大小,粒子从c点离开磁场,在磁场里的运动时间为t2,不计粒子重力,则t1与t2之比为 ( )
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶3 D.3∶1
7.[2023·广东深圳中学月考] 如图所示,匀强磁场区域的横截面为圆形,其半径为R,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外.一电荷量为-q(q>0)、质量为m的粒子自P点沿与直径PQ成30°角的方向射入圆形磁场区域,粒子射出磁场时的运动方向与直径PQ垂直,不计粒子的重力,则粒子的速率和在磁场中运动的时间分别为 ( )
A.,
B.,
C.,
D.,
8.[2023·山东潍坊期末] 如图所示,空间存在一方向垂直于纸面、磁感应强度为B的正方形匀强磁场区域,一电荷量为-q的粒子(不计重力)从A点沿AB方向以速度v射入磁场,粒子从BC边上的E点离开磁场,且AE=2BE=2d.求:
(1)磁场的方向;
(2)带电粒子的质量以及其在磁场区域中运动的时间.
9.如图所示,在半径为a、圆心角为90°的扇形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,圆弧部分为绝缘弹性挡板.一带电荷量为+q、质量为m的粒子以某一速度垂直于OM边界射入匀强磁场,进入磁场后仅与挡板碰撞(垂直打在弧MN的中点,且电荷不发生转移)一次后又垂直于ON边界射出,已知粒子与挡板碰撞后速度大小不变、方向反向.不计粒子重力,求:
(1)粒子入射点到O点的距离;
(2)粒子的入射速度.
10.如图所示,边长为L的正方形匀强磁场区域abcd内的P点处有一粒子源,可以发射不同速率的质量为m、电荷量为q的带正电的粒子,粒子沿纸面以与Pd成30°角的方向射入该匀强磁场区域,磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里,P点是cd边的中点.不计粒子的重力以及粒子间的相互作用.
(1)求带电粒子在磁场中运动的周期T;
(2)若粒子由边界cd离开磁场,求该粒子在磁场中运动的时间t;
(3)若粒子离开磁场时的速度方向偏转了120°,求该粒子的速度大小v.(共48张PPT)
专题课：带电粒子在有界磁场中的运动
学习任务一 带电粒子在直线有界匀强磁场中运动
学习任务二 带电粒子在圆弧有界匀强磁场中运动
随堂巩固
练习册
◆
备用习题
学习任务一 带电粒子在直线有界匀强磁场中运动
［模型建构］
1.直线边界
从某一直线边界射入的粒子再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示.
2.平行边界(存在临界条件,如图所示).
例1 如图所示,一质量为、带电荷量为的粒子以速度垂直射入一有界匀强磁场区域内,速度方向跟磁场左边界垂直,从右边界离开磁场时速度方向偏转角 ,磁场区域的宽度为,则下列说法正确的是( )
D
A.该粒子带正电
B.磁感应强度
C.粒子在磁场中做圆周运动的半径
D.粒子在磁场中运动的时间
[解析] 粒子运动轨迹如图所示,由图可知,粒子在磁场中向下偏转,根据左手定则可知,粒子应带负电,A错误;由几何关系可知,解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径,根据洛伦兹力提供向心力得,解得磁感应强度,B、C错误;粒子在磁场中转过的圆心角为 ,则粒子在磁场中运动的时间,D正确.
例2 (多选)[2024·福建厦门一中月考] 如图所示，正方形容器处于匀强磁场中，一束电子从孔垂直于磁场沿方向射入容器中，一部分从孔射出，一部分从孔射出.若小孔足够小，容器处于真空中，则下列结论中正确的是( )
BD
A.从两孔射出的电子速率之比
B.从两孔射出的电子在容器中运动的时间之比
C.从两孔射出的电子在容器中运动的加速度大小之比
D.从两孔射出的电子在容器中运动的角速度之比
[解析] 从、两孔射出的电子的运动轨迹如图所示，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得，解得运动的轨道半径，由图可知，则，故A错误；电子运动的周期为，则电子运动的周期均相同,与
速度无关，从孔射出的电子运动了周期，从孔射出的电子运动了周期，所以，故B正确；电子在磁场中运动的加速度，则，故C错误；由于电子运动的周期均相同，故运动的角速度也相同，即，故D正确.
学习任务二 带电粒子在圆弧有界匀强磁场中运动
［模型建构］ 在下列两种圆形有界匀强磁场中，如何确定带电粒子做匀速圆周运动的圆心位置？
(1) 如图甲所示，电子沿径向以一定速度垂直于磁场方向射入圆形匀强磁场区域并穿出磁场.
[答案] 当带电粒子沿径向以一定速度垂直于磁场方向射入圆形边界匀强磁场时，因进、出磁场具有对称性，所以沿径向射入必沿径向射出，匀速圆周运动的圆心的位置如图甲所示.
(2) 如图乙所示，带正电粒子以一定速度沿与圆半径成 角且垂直于磁场方向射入圆形匀强磁场区域并穿出磁场.
[答案] 粒子射入磁场时速度方向与半径的夹角为 ，则射出磁场时速度方向与半径的夹角也为 ,匀速圆周运动的圆心的位置如图乙所示.
例3 [2021·全国乙卷] 如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为、电荷量为的带电粒子从圆周上的点沿直径方向射入磁场.若粒子射入磁场时的速度大小为,则离开磁场时速度方向偏转 ；若粒子射入磁场时的速度大小为，则离开磁场时速度方向偏转 .不计重力，则为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 如图所示，粒子以速度、进入磁场，做匀速圆周运动的圆心分别为和，运动半径分别为和，偏转角度分别为 和 ，由几何关系得，，所以有，B正确.
例4 [2024·北京四中月考] 如图所示,半径为的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面),磁感应强度大小为,方向垂直于纸面向外.一电荷量为、质量为的粒子(不计重力)沿平行于直径的方向射入磁场区域,入射点与的距离为,已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为 ,则粒子的速率为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 粒子运动的轨迹如图所示,粒子做圆周运动的圆心一定在过入射点且垂直于入射速度方向的直线上,由于粒子射入、射出磁场时运动方向间的夹角为, 故圆弧对应的圆心角 ,根据对称性可知 ,由于,则,解得 ,根据外角关系可知
，所以是等腰三角形，粒子做圆周运动的半径,由,解得,B正确.
【要点总结】
1.分析解决带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的基本思路：定圆心、找半径、画轨迹、求时间.
2.半径的确定和计算
一般利用几何关系，通过解三角形的办法求半径.求解时注意：
(1)如图所示，粒子速度的偏转角 等于轨迹对应的圆心角 ，并且等于弦与切线的夹角 的2倍，即 .
(2)相对的弦切角相等，与相邻的弦切角互补，即 .
3.运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为，当粒子运动的轨迹对应的圆心角为 时，其运动时间可以由下式表示：、或为轨迹的弧长.
1. (多选)如图所示,正方形ABCD内有垂直于纸面方向的匀强磁场(未画出),三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c从B点以不同的速率沿着BC方向射入磁场,粒子a从D点射出,粒子b从AD边的中点E射出,粒子c从AB边的中点F射出.若带电粒子仅受磁场力的作用,则下列说法正确的是 ( )
A.a粒子的速率是b粒子速率的两倍
B.c在磁场中运动的时间是a的两倍
C.a在磁场中运动的弧长与c的相等
D.若c粒子的速率稍微减小,在磁场中的运动时间不变
BD
[解析] 带电粒子的质量和电荷量都相等,分别设为m和q,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,则v=,找到粒子b运动轨迹的圆心O,如图所示,设正方形的边长为d,在△OAE中,有(d-Rb)2+=,解得Rb=d,粒子a运动的半径Ra=d,粒子c运动的半径Rc=d,粒子a和b的速率之比==,故A错误;带电粒子在磁场中运动的时间t=T,其中T=,由几何关系可知,粒子 c的轨迹所对的圆心角为π,粒子a的
轨迹所对的圆心角为,两个粒子的周期T相同,故c在磁场中运动的
时间是a的两倍,故B正确;
由弧长公式l=αr可知,===2,所以a在磁场中运动的弧长是c的两倍,故C错误;由洛伦兹力提供向心力可知,轨迹半径R=,粒子c的速率稍微减小,则半径减小,在磁场中运动仍然可以从AB边射出,轨迹对应的圆心角仍然为π,运动时间为,其中周期不变,所以c粒子的速率稍微减小,在磁场中的运动时间不变,故D正确.
2. 如图所示,在平面直角坐标系中有一个垂直于纸面向里的圆形匀强磁场,其边界过原点O和y轴上的点a(0,L).一质量为m、电荷量为e的电子从a点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场,并从x轴上的b点射出磁场.此时速度方向与x轴正方向的夹角为60°.下列说法中正确的是( )
A.电子在磁场中运动的半径为L
B.电子在磁场中运动的时间为
C.电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为
D.电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为
B
[解析] 电子在磁场中做匀速圆周运动,电子的运动轨迹如图所示,设电子的轨道半径为R,由几何关系可知,电子转过的圆心角θ=60°,Rsin 30°=R-L,解得R=2L,故A错误;电子在磁场中做圆周运动的周期T==,电子在磁场中运动的时间t=T=,故B正确;根据几何关系可得R-L=Rcos 60°,解得R=2L,所以电子做圆周运动的圆心坐标为(0,-L),故C、D错误.
1.(直线边界问题)如图所示，有界匀强磁场边界线，速度不同的同种带电粒子从点沿方向同时射入磁场，其中穿过点的粒子速度与垂直，穿过点的粒子速度方向与成 角，设两粒子从运动到、所需的时间分别为、，则为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 粒子在磁场中运动的周期为，由此可知，粒子在磁场中运动的周期相同，由粒子运动的轨迹可知，通过点的粒子的偏转角为 ,通过点的粒子的偏转角为 ,则通过点的粒子运动的时间为，通过点的粒子运动的时间为，所以从到、所需时间之比,故D正确.
2.(直线边界问题)[2024·山西晋城一中月考] 如图所示,有一个理想边界为、的匀强磁场区域,磁场宽度为,方向垂直于纸面向里.一电子从点沿纸面垂直于以速度进入磁场.若电子在磁场中运动的轨迹半径为,在上,且与垂直,则下列判断正确的是( )
D
A.电子将向右偏转 B.电子打在上的点与点的距离为
C.电子打在上的点与点的距离为 D.电子在磁场中运动的时间为
[解析] 电子带负电,进入磁场后,由左手定则可知,电子所受洛伦兹力方向向左,电子将向左偏转,故A错误;设电子打在上的点与点的距离为,如图所示,根据几何关系可得,故B、C错误;设轨迹对应的圆心角为 ,由几何关系得,解得,则电子在磁场中运动的时间为,故D正确.
3.(圆弧边界问题)[2023·山东牟平一中月考] 如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场.重力不计、电荷量一定的带电粒子以速度正对着圆心射入磁场，若粒子射入、射出磁场点间的距离为，则粒子在磁场中运动的时间为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，如图所示,由几何关系得，轨迹半径，故粒子在磁场中运动的时间，故A正确.
4.(圆弧边界问题)(多选)如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子、、以不同的速率对准圆心沿着方向射入磁场，运动轨迹如图所示，出射点分别为、、，其中 ， ， .若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是( )
AB
A.三个粒子都带正电 B.粒子的速率是粒子速率的倍
C.粒子在磁场中运动的时间最短 D.三个粒子在磁场中运动的时间之比为
[解析] 带电粒子在磁场中向上偏转，根据左手定则可知，三个粒子都带正电，故A正确；设磁场半径为，由几何关系可知，，根据洛伦兹力提供向心力有，可得，则，故B正确；粒子在磁场中运动的周期为，运动时间，由粒子运动的轨迹图可知 ， ， ，所以三个粒子在磁场中运动的时间之比，粒子在磁场中运动的时间最长，故C、D错误.
从点射出磁场, 粒子经时间从点射出磁场.质子和 粒子的重力不计,不考虑它们之间的相互作用,则下列判断正确的是( )
知识点一 直线边界
1.如图所示,一条直线上有、、三点,,直线上方的整个空间存在垂直于纸面向外的匀强磁场.质子和 粒子分别以速度、从点沿方向射入磁场,质子经时间
B
A., B., C., D.,
[解析] 粒子运动轨迹如图所示,设,对质子,根据洛伦兹力提供向心力,有,解得,根据几何关系得,联立得,对 粒子,同理可得,由题意可知,,联立可得，质子运动的周期为, 粒子运动的周期为,可得,因为运动轨迹对应的圆心角相等,所以,故B正确.
2.(多选)[2023·江西南昌二中月考] 三个速度大小不同而质量相同的一价离子分别从长方形区域的匀强磁场上边缘的同一位置平行于磁场边界射入磁场，它们从下边缘飞出时的速度方向如图所示，以下判断正确的是( )
AD
A.三个离子均带负电 B.三个离子均带正电
C.离子1在磁场中运动的轨迹半径最大 D.离子3在磁场中运动的时间最短
[解析] 根据左手定则可知，三个离子均带负电，选项A正确，B错误；画出三个离子运动的轨迹如图所示，由图可知，离子1的轨迹半径最小，离子3的轨迹半径最大，选项C错误；三个离子运动的周期均为，则运动时间,由图可知，离子1运动轨迹对应的圆心角最大，离子3运动轨迹对应的圆心角最小，所以离子1在磁场中运动的时间最长，离子3在磁场中运动的时间最短，选项D正确.
知识点二 圆弧边界
3.两个质量相等、带电荷量也相等的带电粒子、以不同的速率沿着方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示.若不计粒子的重力，则下列说法正确的是( )
C
A.粒子带正电，粒子带负电
B.粒子在磁场中所受的洛伦兹力较大
C.粒子的动能较大
D.粒子在磁场中运动的时间较长
[解析] 由左手定则可判定粒子带负电，粒子带正电，由于粒子运动的半径大，故粒子的速率大，动能大，所受的洛伦兹力大，选项C正确，A、B错误；由题图可知，粒子运动轨迹所对的圆心角比粒子小，所以粒子在磁场中运动的时间较短，选项D错误.
4.[2024·福建福州期末] 如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度从点沿直径方向射入磁场，经过时间从点射出磁场，与成 角.现将带电粒子的速度变为，仍从点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，即，解得粒子第一次在磁场中运动的半径为，如图所示，由几何关系可知，圆弧对应的圆心角 ，经历的时间为(为粒子在匀强磁场中运动的周期，大小为，与粒子速度大小无关)，当粒子速度减小为后，根据知其在磁场中运动的半径
变为，粒子将从D点射出，根据几何关系得圆弧对应的圆心角 ，经历的时间为，选项B正确.
5.(多选)如图所示，矩形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，，，为中点.从点沿垂直于方向射入粒子，粒子经磁场偏转后从点出磁场，若仍从点沿垂直于方向射入粒子，粒子经磁场偏转后从点出磁场，已知、粒子的质量相等，电荷量也相等，不计粒子的重力，则( )
BD
A.、粒子均带正电
B.、粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为
C.、粒子在磁场中运动的速率之比为
D.、粒子在磁场中运动的时间之比为
[解析] 根据左手定则判断可知，粒子带正电，粒子带负电，A错误；在磁场中，洛伦兹力提供向心力，粒子的运动轨迹如图所示，对粒子，由几何知识可得，解得,由图可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为，则、粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为，B正确；在磁场中，洛伦兹力提供向心力，根据,可得，由于、粒子的质量相等，电荷量也相等，则、粒子在磁场中运动的速率大小之比为，C错误；根据可知，两粒子的运动
周期相同，由几何关系知，粒子运动轨迹对应的圆心角为，粒子运动轨迹对应的圆心角为 ，根据可得，、粒子在磁场中运动的时间之比为，D正确.
6.[2023·湖北荆州中学月考] 如图所示，正六边形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场.一带电粒子从点沿方向射入磁场，粒子从点离开磁场，在磁场里的运动时间为；如果只改变粒子射入磁场的速度大小，粒子从点离开磁场，在磁场里的运动时间为，不计粒子重力，则与之比为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 当粒子从点进入磁场，从点出磁场时，速度偏转角为 ，所以轨迹对应的圆心角为 ，可得粒子在磁场中的运动时间为；当粒子从点进入磁场，从点出磁场时，速度偏转角为 ，所以轨迹对应的圆心角为 ，可得粒子在磁场中的运动时间为，因此，故选项B正确.
7.[2023·广东深圳中学月考] 如图所示，匀强磁场区域的横截面为圆形，其半径为，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外.一电荷量为、质量为的粒子自点沿与直径成 角的方向射入圆形磁场区域，粒子射出磁场时的运动方向与直径垂直，不计粒子的重力，则粒子的速率和在磁场中运动的时间分别为( )
B
A.， B.， C.， D.，
[解析] 根据题意作图，连接如图所示,根据几何关系可知四边形为菱形，所以粒子的运动半径与磁场半径相等，洛伦兹力提供向心力，有，解得，粒子在磁场中转过的圆心角 ,运动的时间为，B正确.
8.[2023·山东潍坊期末] 如图所示，空间存在一方向垂直于纸面、磁感应强度为的正方形匀强磁场区域，一电荷量为的粒子(不计重力)从点沿方向以速度射入磁场，粒子从边上的点离开磁场，且.求：
(1) 磁场的方向；
[答案] 垂直于纸面向里
[解析] 粒子沿弧运动，洛伦兹力指向弧线内侧，由左手定则可判断出磁场的方向垂直于纸面向里.
(2) 带电粒子的质量以及其在磁场区域中运动的时间.
[答案] ;
[解析] 如图所示，连接、，作线段的中垂线，交的延长线于点，即为粒子运动轨迹的圆心， 为弦切角，因，所以 .
因为圆弧轨迹的圆心角 ，所以为等边三角形，
由，解得
周期，所以粒子在磁场区域中运动的时间.
9.如图所示，在半径为、圆心角为 的扇形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，圆弧部分为绝缘弹性挡板.一带电荷量为、质量为的粒子以某一速度垂直于边界射入匀强磁场，进入磁场后仅与挡板碰撞(垂直打在弧的中点，且电荷不发生转移)一次后又垂直于边界射出，已知粒子与挡板碰撞后速度大小不变、方向反向.不计粒子重力，求：
(1) 粒子入射点到点的距离；
[答案]
[解析] 根据运动的对称性可知，粒子在碰撞挡板前的运动轨迹与碰撞后的轨迹完全对称，作出运动轨迹如图所示
设粒子运动轨迹的半径为，由几何关系可得
入射点到的距离为
即
(2) 粒子的入射速度.
[答案]
[解析] 由洛伦兹力提供向心力可得
解得
10.如图所示，边长为的正方形匀强磁场区域内的点处有一粒子源，可以发射不同速率的质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子沿纸面以与成 角的方向射入该匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里，点是边的中点.不计粒子的重力以及粒子间的相互作用.
(1) 求带电粒子在磁场中运动的周期；
[答案]
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动过程中，由牛顿第二定律有
根据圆周运动的周期公式
联立解得
(2) 若粒子由边界离开磁场，求该粒子在磁场中运动的时间；
[答案]
[解析] 根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图甲所示
由图可知，若粒子由边界离开磁场，则运动轨迹所对的圆心角为
运动的时间
联立可得
(3) 若粒子离开磁场时的速度方向偏转了 ，求该粒子的速度大小.
[答案]
[解析] 根据题意可知，带电粒子在磁场中运动的圆心角为 ，则弦切角与速度方向成 角，根据几何关系，过点作边的垂线，与边交点为，则粒子从边界中点离开磁场，运动轨迹如图乙所示
由几何关系可知
解得
根据牛顿第二定律有
解得
