专题课:带电粒子(带电体)在叠加场中的运动
[科学思维] 如图所示,微粒受到重力、静电力和洛伦兹力作用.微粒做直线运动的条件是其所受合力方向与速度方向共线或其所受合力为零.假如速度大小变化,则洛伦兹力大小变化,微粒所受合力除了沿速度方向的分力之外,还有垂直于速度方向的分力,微粒将做曲线运动,因此运动过程中带电微粒只能做匀速直线运动,速度不会发生变化.
例1 D [解析] 小球在电场、磁场、重力场的复合场中做直线运动,一定做的是匀速直线运动,对小球受力分析可知,小球只能带正电,故A错误;由平衡条件可知qvB=mg,解得v=,故B错误;由mg=qE,解得E=,故C错误;小球运动到P点时,撤去磁场,小球在重力和电场力的合力作用下做类平抛运动,则有x=vt,y=at2,a=g,tan 45°=,解得t=,故D正确.
例2 ACD [解析] 使小球获得一个水平向右的初速度后,小球将受到向上的洛伦兹力和向下的重力,还可能有向左的滑动摩擦力.若重力小于洛伦兹力,则小球受到向下的弹力,受到摩擦力,将做减速运动,当洛伦兹力大小等于重力时,小球做匀速运动,故C正确.若重力大于洛伦兹力,则小球受到向上的弹力,受到摩擦力,将做减速运动,随着洛伦兹力的减小,管道对小球的支持力变大,摩擦力变大,加速度逐渐变大,最后速度减为零,故D正确.若洛伦兹力大小等于小球的重力,则小球将做匀速直线运动,故A正确.
例3 BC [解析] 小球在电磁场区域的竖直平面内做匀速圆周运动,则小球受到的静电力和重力大小相等、方向相反,所以小球带负电,A错误;小球做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供,有qvB=m,由动能定理得qU=mv2,且mg=qE,联立解得小球做匀速圆周运动的半径r=,故B正确;由运动学公式有T=,联立可得T=,说明小球做匀速圆周运动的周期与电压U无关,故C正确,D错误.
例4 ABC [解析] 带电粒子在竖直平面内做匀速圆周运动,则静电力与重力平衡,洛伦兹力提供向心力,有mg=qE,qvB=m,解得电荷量q=,速度大小v=,根据电场强度方向和静电力方向可判断出粒子带负电,由左手定则可判断出粒子沿顺时针方向运动,根据洛伦兹力提供向心力得联立解得,故选项A、B、C正确;由于洛伦力不做功,但静电力做功,所以机械能不守恒,故选项D错误.
例5 D [解析] 由于洛伦兹力方向始终与速度方向垂直,所以小球受到的洛伦兹力始终不做功,故C错误;根据左手定则可知,小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右,故D正确;小球在洛伦兹力作用下速度方向会发生改变,进而又会改变洛伦兹力,小球受到的洛伦兹力和重力的合力会发生变化,加速度将发生变化,故A、B错误.
变式 B [解析] 根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知N点的电势高于P点的电势,所以电子从N到P,静电力做负功,故A错误,B正确;由于洛伦兹力一直都和速度方向垂直,故电子从M到N,洛伦兹力不做功,故C错误;由于M点和P点在同一等势面上,故从M到P,静电力做功为0,而洛伦兹力不做功,电子在M点时的速度为0,根据动能定理可知,电子在P点时的速度也为0,则电子在M点和P点都只受静电力作用,在匀强电场中电子在这两点所受的静电力相同,即合力相同,故D错误.
随堂巩固
1.B [解析] 带电小球M斜向右上做匀速直线运动,由平衡条件得qE=qvBsin 30°,解得v=,故B正确.
2.C [解析] 当环沿杆运动的速度为v时,垂直于杆的方向有FN1+qvB=mgcos α,沿杆的方向有mgsin α-Ff1=ma,当 Ff1=0,即FN1=0时,a有最大值,设此时速度为v1,有qv1B=mgcos α,解得v1=,在环继续下滑过程中,弹力方向变为垂直于杆向下,设当环的速度达到最大值v2时,环受到杆的弹力为 FN2,摩擦力为Ff2=μFN2,此时a=0,即mgsin α=Ff2,FN2+mgcos α=qv2B,解得v2=,因此=1+,故C正确.
3.D [解析] 将粒子在ab区域的运动分解,水平方向上有d=t',解得运动的时间t'=,故A错误;粒子在ab区域运动时,水平方向上有d=ax,qE=max,竖直方向上有d=ay,mg=may,联立得qE=mg,进入bc区域,静电力大小未变,方向变成竖直向上,静电力与重力平衡,粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,有qv0B=m,其中B=,联立解得r=2d,故B错误;在bc区域,设粒子运动的轨迹所对的圆心角为α,由几何关系得sin α==,解得α=,则运动的时间t==,故C错误;粒子在ab、bc区域中运动的总时间为t总=+=,故D正确.专题课:带电粒子(带电体)在叠加场中的运动
学习任务一 带电体在叠加场中的直线运动
[科学思维] 如图所示,某空间中存在正交的匀强磁场和匀强电场,电场方向水平向右,磁场方向垂直于纸面向里,一带负电的微粒从a点进入场区并刚好能沿直线ab向上运动,微粒重力不可忽略.请画出带电微粒的受力示意图,并分析说明运动过程中带电微粒的速度如何变化.
例1 [2024·吉林一中月考] 如图所示,空间存在正交的匀强电场和匀强磁场,电场方向水平向右,磁场方向垂直于纸面向里,一个带电小球进入此空间后做直线运动,速度方向垂直于磁场斜向右上方,与电场方向的夹角θ=45°. 已知小球质量为m,电荷量为q,匀强磁场的磁感应强度大小为B,重力加速度为g,则 ( )
A.小球带负电
B.小球运动的速度大小为
C.匀强电场的电场强度大小为
D.小球运动到图中P点时,撤去磁场,小球运动到与P点等高位置所用时间为
[反思感悟]
例2 (多选)[2024·北大附中月考] 如图所示,在一绝缘、粗糙且足够长的水平管道中有一带正电荷的小球,管道半径略大于球体半径,整个管道处于方向与管道垂直的水平匀强磁场中. 现使小球获得一个水平向右的初速度v0,以后小球的速度随时间变化的图像可能正确的是( )
A
B
C
D
[反思感悟]
学习任务二 带电体在叠加场中的圆周运动
[科学思维] 当带电粒子在叠加场中受到的重力与静电力大小相等、方向相反时,粒子在洛伦兹力的作用下,将在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动.
例3 (多选)[2024·江苏常州中学月考] 如图所示,一带电小球在光滑绝缘的水平面上由静止开始经电压为U的电场加速后,水平进入互相垂直的匀强电场和匀强磁场区域(电场强度E和磁感应强度B已知),小球在此区域的竖直平面内做匀速圆周运动,重力加速度为g,则 ( )
A.小球可能带正电
B.小球做匀速圆周运动的半径为r=
C.小球做匀速圆周运动的周期为T=
D.当电压U增大时,小球做匀速圆周运动的周期增大
[反思感悟]
例4 (多选)[2024·浙江学军中学月考] 电场强度大小为E的匀强电场和磁感应强度大小为B的匀强磁场正交,如图所示,质量为m的带电粒子在垂直于磁场方向的竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动,重力加速度为g,则下列结论正确的是 ( )
A.粒子带负电,且电荷量q=
B.粒子沿顺时针方向运动
C.粒子的速度大小v=
D.粒子的机械能守恒
[反思感悟]
学习任务三 带电体在叠加场中的一般曲线运动
[科学思维] 当带电粒子在叠加场中受到的合力大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上时,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线.
例5 [2023·湖北荆州中学月考] 如图所示,带正电的小球竖直向下射入垂直于纸面向里的匀强磁场,下列关于小球运动和受力的说法正确的是 ( )
A.小球运动过程中的速度不变
B.小球运动过程的加速度保持不变
C.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
D.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
[反思感悟]
变式 [2024·广东肇庆一中月考] 如图所示,磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场.电子从M点由静止释放,沿图中所示轨迹依次经过N、P两点.已知M、P在同一等势面上,不计电子重力,下列说法正确的是 ( )
A.电子从N到P,静电力做正功
B.N点的电势高于P点的电势
C.电子从M到N,洛伦兹力做正功
D.电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
[反思感悟]
【要点总结】
带电粒子在叠加场中运动的分析思路
1.(带电体在叠加场中的直线运动)电场强度为E的匀强电场水平向右,匀强磁场与匀强电场垂直,磁感应强度大小为B,方向如图所示.一带电小球M斜向右上做匀速直线运动,速度方向与水平方向的夹角为30°,则该小球运动的速度大小为 ( )
A.
B.
C.
D.
2.(带电体在叠加场中有约束下的直线运动)[2024·安徽铜陵中学月考] 如图所示,竖直平面内固定一足够长的绝缘直杆,与水平面夹角为α.杆处在足够大的匀强磁场中,磁场方向垂直于杆所在的平面,磁感应强度大小为B.杆上套一个带负电的环,环与绝缘直杆间的动摩擦因数为μ(μA.tan α
B.
C.+1
D.-1
3.(带电体在叠加场中的曲线运动)[2024·辽宁盘锦期中] 如图所示,竖直放置的两块很大的平行金属板a、b间距为d,a、b间的电场强度为E.今有一带正电的微粒从a板下边缘以初速度v0竖直向上射入电场,当它飞到b板时,速度大小不变,而方向变为水平方向,且刚好从高度也为d的狭缝穿过b板进入bc区域,bc区域的宽度也为d,所加电场强度大小为E,方向竖直向上,磁感应强度方向垂直于纸面向里,磁场磁感应强度大小等于,重力加速度为g,则下列关于粒子运动的说法正确的是 ( )
A.粒子在ab区域运动的时间为
B.粒子在bc区域中做匀速圆周运动,运动的半径为d
C.粒子在bc区域中做匀速圆周运动,运动的时间为
D.粒子在ab、bc区域运动的总时间为专题课:带电粒子(带电体)在叠加场中的运动
1.D [解析] 假设小球做变速直线运动,则速度大小在改变,小球受到的洛伦兹力大小在改变,由于小球原来所受合力与速度方向共线,现在垂直于速度方向的洛伦兹力大小发生变化,所以合力有垂直于速度方向的分量,合力与速度方向不在同一直线上,小球不可能在此空间中做直线运动,因此假设错误,说明小球一定做匀速直线运动,故A、B错误;小球做匀速直线运动,受力分析如图所示,由平衡条件得F洛sin 45°=mg,F洛cos 45°=qE,其中F洛=qvB,联立解得qE=mg,v=,故C错误,D正确.
2.C [解析] 带负电的小球在正交匀强电场与匀强磁场中运动,受到竖直向下的重力、竖直向下的静电力和竖直向上的洛伦兹力,沿轨迹1运动的小球进入场区后向上偏转,静电力做负功,所以小球的电势能逐渐增大,故A错误;沿轨迹2运动的小球沿直线运动,静电力不做功,同时洛伦兹力也不做功,所以小球的机械能保持不变,故B错误;沿轨迹3运动的小球进入场区后向下偏转,静电力和重力都做正功,而洛伦兹力不做功,所以小球的动能逐渐增大,故C正确;小球射入场区时受到的竖直向下的重力和静电力的合力恒定,由于沿轨迹1、2、3运动的小球受到的洛伦兹力大小分别大于、等于、小于重力和静电力的合力大小,故沿轨迹1运动的小球受到的洛伦兹力最大,而受到的洛伦兹力F洛=qvB随着入射的初速度v增大而增大,所以沿轨迹1运动的小球入射的初速度最大,故D错误.
3.D [解析] 小球从A到C的过程中,洛伦兹力和轨道的支持力都不做功,只有重力做功,故机械能守恒,有mgR=mv2,解得v=,所以小球在C点受到的洛伦兹力大小为F洛=qB,故A错误;小球在C点时,由牛顿第二定律有FN-mg+F洛=m,解得FN=3mg-qB,故小球在C点对轨道的压力大小为3mg-qB,故B错误;小球从C到D的过程中,洛伦兹力和支持力都不做功,小球的速率不变,则动能不变,由动能定理可知,外力F做功的功率等于克服重力做功的功率,由于速度方向与竖直方向的夹角θ逐渐减小,故克服重力做功的功率PG=mgvcos θ逐渐增大,所以外力F做的功率逐渐增大,即水平外力F做功的功率PF=Fvsin θ逐渐增大,因sin θ逐渐减小,所以外力F应逐渐增大,故C错误,D正确.
4.BD [解析] 带电粒子的初速度方向垂直于等势面,则粒子所受静电力与初速度方向平行,由于粒子向下方偏转,所以洛伦兹力向下,根据左手定则可知,粒子带负电,故A错误;由于空间只存在电场和磁场,粒子的速度增大,动能增大,而洛伦兹力不做功,说明在此过程中静电力对带电粒子做正功,则粒子的电势能减小,又知粒子带负电,所以电场线方向一定垂直于等势面向左,故B、D正确;由于洛伦兹力方向始终与速度方向垂直,故粒子受到的合力是变力,而物体只有在恒力作用下做曲线运动时,轨迹才是抛物线,故C错误.
5.BC [解析] 该带负电的粒子由静止释放后,在洛伦兹力和静电力的共同作用下向右下方运动,说明静电力向下,因而电场方向竖直向上,选项A错误;在曲线运动中,合力方向指向轨迹凹侧,所以该粒子在轨迹最低点所受合力方向竖直向上,选项B正确;该粒子从释放到轨迹最低点的过程中,静电力做正功,所以电势能减小,选项C正确;该粒子从释放到轨迹中相邻最高点的过程中,静电力先做正功后做负功,洛伦兹力不做功,因此粒子的速率先增大后减小,选项D错误.
6.C [解析] 小球做匀速直线运动过程中,对小球受力分析,小球受到静电力、重力、洛伦兹力而平衡,假设小球带负电,则静电力方向水平向右,洛伦兹力方向垂直于管道轴线向左下,重力方向竖直向下,这三个力不能平衡,所以假设错误,说明小球一定带正电,在水平向左的静电力、垂直于管道轴线向右上的洛伦兹力和竖直向下的重力作用下可以平衡,根据平衡条件得qE=qv0Bsin 30°,解得=v0,故A、B错误;因为静电力、重力、洛伦兹力三力平衡时,静电力和重力的合力与洛伦兹力方向相反,说明重力和静电力的合力与速度方向垂直,小球刚进入管道时撤去磁场,则重力和静电力的合力不做功,管道的支持力也不做功,小球在这三个力作用下仍然受力平衡,小球将沿管道做匀速直线运动,故C正确;若小球刚进入管道时撤去电场,则只有重力对小球做功,洛伦兹力和支持力都不做功,所以小球的机械能不变,故D错误.
7.D [解析] 小球在叠加场中运动,受到重力、静电力和洛伦兹力及圆环的弹力,洛伦兹力与圆环的弹力在一条直线上,可视为一个等效“弹力”,由题意知,静电力与重力大小相等,静电力水平向左,重力竖直向下,则二者的合力指向左下方与电场方向成45°角,由于合力是恒力,故bc圆弧的中点是做圆周运动的等效“最低点”,在等效“最低点”速度最大,而ad圆弧的中点为等效“最高点”,由于a、d两点关于等效“最高点”对称,所以若从a点由静止释放小球,则小球可以经b、c运动到d点,此过程中,重力做的正功与静电力做的负功大小相等,由动能定理可知,小球最高只能运动到d点,不能继续沿环向上运动,故A错误;由于bc弧的中点为等效“最低点”,在此处小球的速度最大,所以在此处洛伦兹力最大,故B错误;小球从a点运动到b点,重力和静电力都做正功,重力势能和电势能都减小,故C错误;小球从b点运动到c点,静电力做负功,电势能增大,但由于在bc弧的中点处速度最大,所以动能先增大后减小,故D正确.
8.C [解析] 小球运动过程中只有重力做功,由动能定理可知,由于小球从P点由静止释放,到达右侧Q点时速度为0,则重力做功为0,P点位置与Q点等高,故A错误;根据左手定则可知,小球从Q点向下运动,受到向右的洛伦兹力,小球向右偏转,不可能沿轨迹返回P点,故B错误;利用配速法,把由静止释放的小球看成具有一个向左的速度v0和一个向右的速度v0,且有qv0B=mg,则小球的两个分运动为向右的匀速直线运动和匀速圆周运动,当运动到最低点时,小球的速度最大,最大速度为vm=2v0=2=2 m/s,设小球下降的最大高度为hm,由动能定理有mghm=m,解得hm=0.2 m,故D错误,C正确.
9.(1) (2) (3)
[解析] (1)微粒到达A点之前做匀速直线运动,对微粒受力分析,由平衡条件得qE=mgsin 45°
解得E=
(2)由平衡条件得qvB=mgcos 45°
电场大小和方向改变后,微粒所受的静电力为q·E=mg
由于静电力与重力平衡,故微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,由几何关系可得r=L
由洛伦兹力提供向心力得qvB=m
联立解得v=,B=
(3)微粒匀速直线运动的时间t1==
微粒做匀速圆周运动的时间t2==
故微粒在复合场中运动的时间为t=t1+t2=
10.(1)vB 沿z轴正方向 (2)
(3)
[解析] (1)因不计重力,则带电粒子只受到静电力和洛伦兹力.由左手定则可知,带电粒子所受的洛伦兹力沿z轴负方向.由于粒子恰好能做匀速直线运动,则粒子受力平衡,故静电力沿z轴正方向,即电场强度沿z轴正方向.
根据平衡条件得qE-qvB=0
解得E=vB
(2)撤去电场后,粒子将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,作出粒子运动的轨迹如图甲所示
根据几何关系可知r2=(r-a)2+(2a)2
解得粒子运动的半径r=a
根据洛伦兹力提供向心力得qvB'=m
解得B'=
(3)要使粒子能做匀变速曲线运动,粒子应受到与初速度方向不在一条直线上的恒力,由于静电力是恒力,而洛伦兹力会随垂直于磁感应强度方向上速度变化而变化,所以静电力应有一个沿z轴正方向的分力来平衡洛伦兹力,另一个分力沿y轴正方向提供类平抛运动的加速度,如图乙所示
根据平衡条件得qE1-qvB=0
根据类平抛运动规律有
2a=vt
a=a0t2
其中加速度a0=
解得E1=vB,E2=
则E'==
tan θ==专题课:带电粒子(带电体)在叠加场中的运动
1.[2024·河北保定期末] 真空中存在着如图所示的相互垂直的匀强电场和匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度大小为B,一质量为m、电荷量为q的带负电小球恰能在此空间中做直线运动,观察到某时刻小球速度v的方向如图中所示.重力加速度为g,下列说法中正确的是 ( )
A.小球做非匀变速直线运动
B.小球做匀变速直线运动
C.qvB=mg
D.v=
2.ab、cd两个极板间分布着如图所示的正交匀强电场与匀强磁场,同一个带负电的小球先后以大小不同的速度从两板左侧中点O 处水平向右射入极板之间,运动轨迹在图中分别标注为1、2、3,则下列说法中正确的是( )
A.沿轨迹1运动的小球电势能逐渐减小
B.沿轨迹2运动的小球机械能逐渐增大
C.沿轨迹3运动的小球动能逐渐增大
D.沿轨迹3运动的小球入射的初速度最大
3.[2023·山东日照一中月考] 如图所示,半径为R的光滑半圆形绝缘轨道固定在竖直平面内,轨道所在空间存在磁感应强度大小为B、方向垂直于轨道平面向里的匀强磁场.一质量为m、电荷量为q的带正电小球(可视为质点)由轨道左端A处无初速度滑下,当小球滑至轨道最低点C时,给小球再施加一始终水平向右的外力F,使小球能保持不变的速率滑过轨道右侧的D点.若轨道两端等高,小球始终与轨道接触,重力加速度为g,则下列判断正确的是( )
A.小球在C点受到的洛伦兹力大小为qB
B.小球在C点对轨道的压力大小为3mg
C.小球从C到D的过程中,外力F的大小保持不变
D.小球从C到D的过程中,外力F做功的功率逐渐增大
4.(多选)[2024·四川绵阳中学月考] 如图所示,空间存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场,图中虚线为匀强电场的等势线,一不计重力的带电粒子在M点以某一初速度垂直于等势线进入正交电磁场中,运动轨迹如图中实线所示,已知粒子在N点的速度比在M点的速度大.下列说法正确的是 ( )
A.粒子带正电
B.电场线方向一定垂直于等势面向左
C.粒子的运动轨迹一定是抛物线
D.粒子从M点运动到N点的过程中电势能减小
5.(多选)[2023·广东执信中学月考] 在空间中存在垂直于纸面向外的匀强磁场和沿着纸面竖直方向的匀强电场(图中均未画出),有一带负电的粒子(不考虑重力)从O点由静止释放后,其运动轨迹如图所示,则下列说法正确的是( )
A.电场方向竖直向下
B.该粒子在轨迹最低点所受合力方向竖直向上
C.该粒子从释放到轨迹最低点的过程中,电势能减小
D.该粒子从释放到轨迹中相邻最高点的过程中,做速率不变的曲线运动
6.如图所示,空间中存在水平方向的匀强电场和匀强磁场,电场方向水平向左,磁场方向垂直于纸面向里.一带电小球恰能以速度v0沿与水平方向成30°角斜向右下方做匀速直线运动,最后进入一轴线沿小球运动方向且固定摆放的光滑绝缘管道(管道内径略大于小球直径).下列说法正确的是 ( )
A.小球带负电
B.磁感应强度E和电场强度B的大小关系为=v0
C.若小球刚进入管道时撤去磁场,则小球仍做匀速直线运动
D.若小球刚进入管道时撤去电场,则小球的机械能不断增大
7.如图所示,空间中存在水平向左的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场,在该区域中有一个竖直放置的光滑绝缘圆环,环上套有一个带正电的小球.O点为圆环的圆心,a、b、c、d为圆环上的四个点,a点为最高点,c点为最低点,bd沿水平方向.已知小球所受静电力与重力大小相等.现将小球从环的顶端a点由静止释放.下列判断正确的是( )
A.小球能越过与O等高的d点并继续沿环向上运动
B.当小球运动到c点时,洛伦兹力最大
C.小球从a点运动到b点,重力势能减小,电势能增大
D.小球从b点运动到c点,电势能增大,动能先增大后减小
8.[2023·山东德州期中] 如图所示,空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B=1 T.将一质量为m=0.1 kg、电荷量为q=1 C的带正电小球从P点由静止释放,小球在重力和洛伦兹力的作用下,部分运动轨迹如图中实线所示,到达右侧Q点时速度为0.g取10 m/s2,下列说法正确的是 ( )
A.P点位置比Q点高
B.小球可能沿轨迹返回P点
C.小球运动的最大速度为2 m/s
D.小球下降的最大高度为0.4 m
9.[2024·江西彭泽一中月考] 如图所示,在竖直平面内建立直角坐标系xOy,其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场,电场强度的方向与x轴夹角为45°斜向右上方,磁感应强度的方向垂直于纸面向里.一个质量为m、电荷量为q的带正电微粒从原点出发,以某一初速度沿与x轴正方向夹角为45°的方向进入复合场中,正好做直线运动,当微粒运动到A时,电场方向突然变为竖直向上,大小变为原来的倍(不计电场变化的时间),微粒继续运动一段时间后,正好垂直于y轴穿出复合场.不计一切阻力,重力加速度为g,求:
(1)电场强度E的大小;
(2)磁感应强度B的大小;
(3)微粒在复合场中运动的时间.
10.在某空间建立如图所示的直角坐标系,并在该空间加上沿y轴负方向、磁感应强度大小为B的匀强磁场和沿某个方向的匀强电场.一质量为m、带电荷量为+q(q>0)的粒子从坐标原点O以初速度v沿x轴正方向射入该空间,粒子恰好能做匀速直线运动,不计粒子重力的影响.
(1)求所加电场的电场强度E的大小和方向;
(2)若撤去电场,并改变磁感应强度的大小,使得粒子恰好能够经过坐标为(2a,0,-a)的点,则改变后的磁感应强度B'为多大
(3)若保持磁感应强度B不变,将电场强度大小调整为E',方向调整为平行于yOz平面且与y轴正方向成某一夹角θ,使得粒子能够在xOy平面内做匀变速曲线运动,并经过坐标为(2a,a,0)的点,则E'和tan θ各为多大 (共50张PPT)
专题课：带电粒子(带电体)在叠加场中的运动
学习任务一 带电体在叠加场中的直线运动
学习任务二 带电体在叠加场中的圆周运动
学习任务三 带电体在叠加场中的一般曲线运动
随堂巩固
练习册
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备用习题
学习任务一 带电体在叠加场中的直线运动
［科学思维］ 如图所示，某空间中存在正交的匀强磁场和匀强电场，电场方向水平向右，磁场方向垂直于纸面向里，一带负电的微粒从点进入场区并刚好能沿直线向上运动，微粒重力不可忽略.请画出带电微粒的受力示意图，并分析说明运动过程中带电微粒的速度如何变化.
[答案] 如图所示，微粒受到重力、静电力和洛伦兹力作用.微粒做直线运动的条件是其所受合力方向与速度方向共线或其所受合力为零.假如速度大小变化，则洛伦兹力大小变化，微粒所受合力除了沿速度方向的分力之外,还有垂直于速度方向的分力,微粒将做曲线运动，因此运动过程中带电微粒只能做匀速直线运动,速度不会发生变化.
例1 [2024·吉林一中月考] 如图所示，空间存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，磁场方向垂直于纸面向里，一个带电小球进入此空间后做直线运动，速度方向垂直于磁场斜向右上方，与电场方向的夹角 .已知小球质量为
D
A.小球带负电
B.小球运动的速度大小为
C.匀强电场的电场强度大小为
D.小球运动到图中点时，撤去磁场，小球运动到与点等高位置所用时间为
，电荷量为，匀强磁场的磁感应强度大小为，重力加速度为，则( )
[解析] 小球在电场、磁场、重力场的复合场中做直线运动，一定做的是匀速直线运动，对小球受力分析可知，小球只能带正电，故A错误；由平衡条件可知，解得，故B错误；由，解得，故C错误；小球运动到点时，撤去磁场，小球在重力和电场力的合力作用下做类平抛运动，则有，，，，解得,故D正确.
例2 (多选)[2024·北大附中月考] 如图所示，在一绝缘、粗糙且足够长的水平管道中有一带正电荷的小球，管道半径略大于球体半径，整个管道处于方向与管道垂直的水平匀强磁场中.现使小球获得一个水平向右的初速度，以后小球的速度随时间变化的图像可能正确的是( )
ACD
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 使小球获得一个水平向右的初速度后，小球将受到向上的洛伦兹力和向下的重力，还可能有向左的滑动摩擦力.若重力小于洛伦兹力，则小球受到向下的弹力，受到摩擦力，将做减速运动，当洛伦兹力大小等于重力时，小球做匀速运动，故C正确.若重力大于洛伦兹力，则小球受到向上的弹力，受到摩擦力，将做减速运动，随着洛伦兹力的减小，管道对小球的支持力变大，摩擦力变大，加速度逐渐变大，最后速度减为零，故D正确.若洛伦兹力大小等于小球的重力，则小球将做匀速直线运动，故A正确.
学习任务二 带电体在叠加场中的圆周运动
［科学思维］ 当带电粒子在叠加场中受到的重力与静电力大小相等、方向相反时,粒子在洛伦兹力的作用下,将在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动.
例3 (多选)[2024·江苏常州中学月考] 如图所示,一带电小球在光滑绝缘的水平面上由静止开始经电压为的电场加速后,水平进入互相垂直的匀强电场和匀强磁场区域(电场强度和磁感
BC
A.小球可能带正电
B.小球做匀速圆周运动的半径为
C.小球做匀速圆周运动的周期为
D.当电压增大时,小球做匀速圆周运动的周期增大
应强度已知),小球在此区域的竖直平面内做匀速圆周运动,重力加速度为,则( )
[解析] 小球在电磁场区域的竖直平面内做匀速圆周运动,则小球受到的静电力和重力大小相等、方向相反,所以小球带负电,A错误;小球做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供,有,由动能定理得,且,联立解得小球做匀速圆周运动的半径,故B正确;由运动学公式有,联立可得,说明小球做匀速圆周运动的周期与电压无关,故C正确,D错误.
例4 (多选)[2024·浙江学军中学月考] 电场强度大小为的匀强电场和磁感应强度大小为的匀强磁场正交，如图所示,质量为的带电粒子在垂直于磁场方向的竖直平面内做半径为的匀速圆周运动,重力加速度为,则下列结论正确的是( )
ABC
A.粒子带负电,且电荷量 B.粒子沿顺时针方向运动
C.粒子的速度大小 D.粒子的机械能守恒
[解析] 带电粒子在竖直平面内做匀速圆周运动,则静电力与重力平衡,洛伦兹力提供向心力,有,,解得电荷量,速度大小，根据电场强度方向和静电力方向可判断出粒子带负电,由左手定则可判断出粒子沿顺时针方向运动,根据洛伦兹力提供向心力得联立解得,故选项A、B、C正确;由于洛伦力不做功，但静电力做功,所以机械能不守恒,故选项D错误.
学习任务三 带电体在叠加场中的一般曲线运动
［科学思维］ 当带电粒子在叠加场中受到的合力大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上时,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线.
例5 [2023·湖北荆州中学月考] 如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直于纸面向里的匀强磁场，下列关于小球运动和受力的说法正确的是( )
D
A.小球运动过程中的速度不变
B.小球运动过程的加速度保持不变
C.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
D.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
[解析] 由于洛伦兹力方向始终与速度方向垂直，所以小球受到的洛伦兹力始终不做功，故C错误；根据左手定则可知，小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，故D正确；小球在洛伦兹力作用下速度方向会发生改变，进而又会改变洛伦兹力，小球受到的洛伦兹力和重力的合力会发生变化，加速度将发生变化，故A、B错误.
变式 [2024·广东肇庆一中月考] 如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场.电子从点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过、两点.已知、在同一等势面上，不计电子重力，下列说法正确的是( )
B
A.电子从到，静电力做正功
B.点的电势高于点的电势
C.电子从到，洛伦兹力做正功
D.电子在点所受的合力大于在点所受的合力
[解析] 根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知点的电势高于点的电势，所以电子从到，静电力做负功，故A错误，B正确；由于洛伦兹力一直都和速度方向垂直，故电子从到，洛伦兹力不做功，故C错误；由于点和点在同一等势面上，故从到，静电力做功为0，而洛伦兹力不做功，电子在点时的速度为0，根据动能定理可知，电子在点时的速度也为0，则电子在点和点都只受静电力作用，在匀强电场中电子在这两点所受的静电力相同，即合力相同，故D错误.
【要点总结】
带电粒子在叠加场中运动的分析思路
1. 如图所示,空间中存在水平方向的匀强电场和匀强磁场,电场方向水平向左,磁场方向垂直于纸面向里.一带电小球恰能以速度v0沿与水平方向成30°角斜向右下方做匀速直线运动,最后进入一轴线沿小球运动方向且固定摆放的一光滑绝缘管道(管道内径略大于小球直径).下列说法正确的是 ( )
A.小球带负电
B.磁感应强度B和电场强度E的大小关系为=v0
C.若小球刚进入管道时撤去磁场,则小球仍做匀速直线运动
D.若小球刚进入管道时撤去电场,则小球的机械能不断增大
C
[解析] 由于洛伦兹力不做功,重力做正功,而小球动能不变,所以电场力一定做负功,小球带正电,故A错误;仅当支持力为零,电场力、重力、洛伦兹力三力平衡时,有qE=qv0Bsin 30°,即=v0,故B错误;因为电场力、重力、洛伦兹力三力平衡时,电场力和重力的合力与洛伦兹力方向相反,说明电场力和重力的合力方向和速度方向垂直,撤去磁场后,重力和电场力的合力不做功,支持力不做功,则小球仍沿杆做匀速直线运动,故C正确;撤去电场,只有重力对小球做功,小球的机械能不变,故D错误.
2. (多选)如图甲所示,带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出,能够达到的最大高度为h1;若加上水平方向的匀强磁场,且保持初速度仍为v0,则小球上升的最大高度为h2,如图乙所示;若加上水平方向的匀强电场,且保持初速度仍为v0,小球上升的最大高度为h3,如图丙所示.不计空气阻力,则 ( )
A.h1=h2 B.h1>h2
C.h1>h3 D.h3>h2
BD
[解析] 图甲中小球只受重力,到达最高点的速度为0,根据机械能守恒定律得m=mgh1,解得h1=;图乙中小球受到重力和洛伦兹力的作用,洛伦兹力不做功,但使小球速度发生偏转,到最高点时具有水平方向的速度v2,根据机械能守恒定律得m=mgh2+m,则h2<;图丙中小球在竖直方向上只受重力的作用,在竖直方向上做匀减速运动,到达最高点时竖直方向的速度为0,根据运动学公式得
0-=-2gh3,解得h3=.所以h1=h3>h2,故B、D正确.
1.(带电体在叠加场中的直线运动)电场强度为的匀强电场水平向右,匀强磁场与匀强电场垂直,磁感应强度大小为,方向如图所示.一带电小球斜向右上做匀速直线运动,速度方向与水平方向的夹角为 ,则该小球运动的速度大小为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 带电小球斜向右上做匀速直线运动,由平衡条件得 ,解得,故B正确.
2.(带电体在叠加场中有约束下的直线运动)[2024·安徽铜陵中学月考] 如图所示，竖直平面内固定一足够长的绝缘直杆，与水平面夹角为 .杆处在足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直于杆所在的平面，磁感应强度大小为.杆上套一个带负电的环，环与绝缘直杆间的动摩擦因数为.将环由静止释放，环沿杆向下滑动，当环的速度为时其加速度最大，当环的速度为时其加速度为零，则 为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 当环沿杆运动的速度为时，垂直于杆的方向有 ，沿杆的方向有，当，即时，有最大值，设此时速度为，有 ，解得，在环继续下滑过程中，弹力方向变为垂直于杆向下，设当环的速度达到最大值时，环受到杆的弹力为，摩擦力为，此时，即，，解得，因此，故C正确.
3.(带电体在叠加场中的曲线运动)[2024·辽宁盘锦期中] 如图所示，竖直放置的两块很大的平行金属板、间距为，、间的电场强度为.今有一带正电的微粒从板下边缘以初速度竖直向上射入电场，当它飞到板时，速度大小不变，而方向变为水平方向，且刚好从高度也为的狭缝穿过板进入区域，区域的宽度也为，所加电场强度大小为，方向竖直向上，磁感应强度方向垂直于纸面向里，磁场磁感应强度大小等于，重力加速度为，则下列关于粒子运动的说法正确的是( )
D
A.粒子在区域运动的时间为
B.粒子在区域中做匀速圆周运动，运动的半径为
C.粒子在区域中做匀速圆周运动，运动的时间为
D.粒子在、区域运动的总时间为
[解析] 将粒子在区域的运动分解，水平方向上有，解得运动的时间，故A错误；粒子在区域运动时，水平方向上有，，竖直方向上有,，联立得，进入区域，静电力大小未变，方向变成竖直向上，静电力与重
力平衡，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有，其中，联立解得，故B错误；在区域，设粒子运动的轨迹所对的圆心角为 ，由几何关系得，解得，则运动的时间，故C错误；粒子在、区域中运动的总时间为，故D正确.
1.[2024·河北保定期末] 真空中存在着如图所示的相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为，一质量为、电荷量为的带负电小球恰能在此空间中做直线运动，观察到某时刻小球速度的方向如图中所示.重力加速度为，下列说法中正确的是( )
D
A.小球做非匀变速直线运动 B.小球做匀变速直线运动
C. D.
[解析] 假设小球做变速直线运动，则速度大小在改变，小球受到的洛伦兹力大小在改变，由于小球原来所受合力与速度方向共线，现在垂直于速度方向的洛伦兹力大小发生变化，所以合力有垂直于速度方向的分量，合力与速度方向不在同一直线上，小球不可能在此空间中做直线运动，因此假设错误，说明小球一定做匀速直线运动，故A、B错误；小球做匀速直线运动，受力分析如图所示，由平衡条件得，，其中
，联立解得，，故C错误，D正确.
2.、两个极板间分布着如图所示的正交匀强电场与匀强磁场，同一个带负电的小球先后以大小不同的速度从两板左侧中点处水平向右射入极板之间，运动轨迹在图中分别标注为1、2、3，则下列说法中正确的是( )
C
A.沿轨迹1运动的小球电势能逐渐减小 B.沿轨迹2运动的小球机械能逐渐增大
C.沿轨迹3运动的小球动能逐渐增大 D.沿轨迹3运动的小球入射的初速度最大
[解析] 带负电的小球在正交匀强电场与匀强磁场中运动，受到竖直向下的重力、竖直向下的静电力和竖直向上的洛伦兹力，沿轨迹1运动的小球进入场区后向上偏转，静电力做负功，所以小球的电势能逐渐增大，故A错误；沿轨迹2运动的小球沿直线
运动，静电力不做功，同时洛伦兹力也不做功，所以小球的机械能保持不变，故B错误；沿轨迹3运动的小球进入场区后向下偏转，静电力和重力都做正功，而洛伦兹力不做功，所以小球的动能逐渐增大，故C正确；小球射入场区时受到的竖直向下的重力和静电力的合力恒定，由于沿轨迹1、2、3运动的小球受到的洛伦兹力大小分别大于、等于、小于重力和静电力的合力大小，故沿轨迹1运动的小球受到的洛伦兹力最大，而受到的洛伦兹力随着入射的初速度增大而增大，所以沿轨迹1运动的小球入射的初速度最大，故D错误.
3.[2023·山东日照一中月考] 如图所示，半径为的光滑半圆形绝缘轨道固定在竖直平面内，轨道所在空间存在磁感应强度大小为、方向垂直于轨道平面向里的匀强磁场.一质量为、电荷量为的带
D
A.小球在点受到的洛伦兹力大小为
B.小球在点对轨道的压力大小为
C.小球从到的过程中，外力的大小保持不变
D.小球从到的过程中，外力做功的功率逐渐增大
正电小球(可视为质点)由轨道左端处无初速度滑下，当小球滑至轨道最低点时，给小球再施加一始终水平向右的外力，使小球能保持不变的速率滑过轨道右侧的点.若轨道两端等高，小球始终与轨道接触，重力加速度为，则下列判断正确的是( )
[解析] 小球从A到C的过程中，洛伦兹力和轨道的支持力都不做功，只有重力做功，故机械能守恒，有，解得，所以小球在C点受到的洛伦兹力大小为，
故A错误；小球在C点时，由牛顿第二定律有，解得，故小球在C点对轨道的压力大小为，故B错误；小球从C到D的过程中，洛伦兹力和支持力都不做功，小球的速率不变，则动能不变，由动能定理可知，外力做功的功率等于克服重力做功的功率，由于速度方向与竖直方向的夹角 逐渐减小，故克服重力做功的功率 逐渐增大，所以外力做的功率逐渐增大，即水平外力做功的功率 逐渐增大，因 逐渐减小，所以外力应逐渐增大，故C错误，D正确.
4.(多选)[2024·四川绵阳中学月考] 如图所示，空间存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，图中虚线为匀强电场的等势线，一不计重力的带电粒子在点以某一初速度垂直于等势线进入正交电磁场中，运动轨迹如图中实线所示，已知粒子在点的速度比在点的速度大.下列说法正确的是( )
BD
A.粒子带正电
B.电场线方向一定垂直于等势面向左
C.粒子的运动轨迹一定是抛物线
D.粒子从点运动到点的过程中电势能减小
[解析] 带电粒子的初速度方向垂直于等势面，则粒子所受静电力与初速度方向平行，由于粒子向下方偏转，所以洛伦兹力向下，根据左手定则可知，粒子带负电，故A错误；由于空间只存在电场和磁场，粒子的速度增大，动能增大，而洛伦兹力不做功，说明在此过程中静电力对带电粒子做正功，则粒子的电势能减小，又知粒子带负电，所以电场线方向一定
垂直于等势面向左，故B、D正确；由于洛伦兹力方向始终与速度方向垂直，故粒子受到的合力是变力，而物体只有在恒力作用下做曲线运动时，轨迹才是抛物线，故C错误.
5.(多选)[2023·广东执信中学月考] 在空间中存在垂直于纸面向外的匀强磁场和沿着纸面竖直方向的匀强电场(图中均未画出)，有一带负电的粒子(不考虑重力)从点由静止释放后，其运动轨迹如图所示，则下列说法正确的是( )
BC
A.电场方向竖直向下
B.该粒子在轨迹最低点所受合力方向竖直向上
C.该粒子从释放到轨迹最低点的过程中，电势能减小
D.该粒子从释放到轨迹中相邻最高点的过程中，做速率不变的曲线运动
[解析] 该带负电的粒子由静止释放后，在洛伦兹力和静电力的共同作用下向右下方运动，说明静电力向下，因而电场方向竖直向上，选项A错误；在曲线运动中，合力方向指向轨迹凹侧，所以该粒子在轨迹最低点所受合力方向竖直向上，选项B正确；该粒子从释放到轨迹最低点的过程中，静电力做正功，所以电势能减小，选项C正确；该粒子从释放到轨迹中相邻最高点的过程中，静电力先做正功后做负功，洛伦兹力不做功，因此粒子的速率先增大后减小，选项D错误.
6.如图所示，空间中存在水平方向的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，磁场方向垂直于纸面向里.一带电小球恰能以速度沿与水平方向成 角斜向右下方做匀速直线运动，最后进入一轴线沿小球运动方向且固定摆放的光滑绝缘管道(管道内径略大于小球直径).下列说法正确的是( )
C
A.小球带负电
B.磁感应强度和电场强度的大小关系为
C.若小球刚进入管道时撤去磁场，则小球仍做匀速直线运动
D.若小球刚进入管道时撤去电场，则小球的机械能不断增大
[解析] 小球做匀速直线运动过程中，对小球受力分析，小球受到静电力、重力、洛伦兹力而平衡，假设小球带负电，则静电力方向水平向右，洛伦兹力方向垂直于管道轴线向左下，重力方向竖直向下，这三个力不能平衡，所以假设错误，说明小球一定带
正电，在水平向左的静电力、垂直于管道轴线向右上的洛伦兹力和竖直向下的重力作用下可以平衡，根据平衡条件得 ，解得,故A、B错误；因为静电力、重力、洛伦兹力三力平衡时，静电力和重力的合力与洛伦兹力方向相反，说明重力和静电力的合力与速度方向垂直，小球刚进入管道时撤去磁场，则重力和静电力的合力不做功，管道的支持力也不做功，小球在这三个力作用下仍然受力平衡，小球将沿管道做匀速直线运动，故C正确；若小球刚进入管道时撤去电场，则只有重力对小球做功，洛伦兹力和支持力都不做功，所以小球的机械能不变，故D错误.
7.如图所示,空间中存在水平向左的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，在该区域中有一个竖直放置的光滑绝缘圆环,环上套有一个带正电的小球.点为圆环的圆心,、、、为圆环上的四个点,点为最高点,点为最低点,沿水平方向.已知小球所受静电力与重力大小相等.现将小球从环的顶端点由静止释放.下列判断正确的是( )
D
A.小球能越过与等高的点并继续沿环向上运动
B.当小球运动到点时,洛伦兹力最大
C.小球从点运动到点,重力势能减小,电势能增大
D.小球从点运动到点,电势能增大,动能先增大后减小
[解析] 小球在叠加场中运动,受到重力、静电力和洛伦兹力及圆环的弹力,洛伦兹力与圆环的弹力在一条直线上,可视为一个等效“弹力”,由题意知,静电力与重力大小相等,静电力水平向左,重力竖直向下,则二者的合力指向左下方与电场方向成 角,由于合力是恒力,故圆弧的中点是做圆周运动的等效“最低点”,在等效“最低点”速度最大,而圆弧的中点为等效“最高点”,由于、两点
关于等效“最高点”对称,所以若从点由静止释放小球,则小球可以经、运动到点，此过程中,重力做的正功与静电力做的负功大小相等,由动能定理可知,小球最高只能运动到点,不能继续沿环向上运动，故A错误;由于弧的中点为等效“最低点”,在此处小球的速度最大,所以在此处洛伦兹力最大,故B错误;小球从点运动到点,重力和静电力都做正功,重力势能和电势能都减小,故C错误;小球从点运动到点,静电力做负功,电势能增大,但由于在弧的中点处速度最大,所以动能先增大后减小,故D正确.
8.[2023·山东德州期中] 如图所示，空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度.将一质量为、电荷量为的带正电小球从点由静止释放，小球在重力和洛伦兹力的作用下，部分运动轨迹如图中实线所示，到达右侧点时速度为取，下列说法正确的是( )
C
A.点位置比点高 B.小球可能沿轨迹返回点
C.小球运动的最大速度为 D.小球下降的最大高度为
[解析] 小球运动过程中只有重力做功，由动能定理可知，由于小球从点由静止释放，到达右侧点时速度为0，则重力做功为0，点位置与点等高，故A错误；根据左手定则可知，小球从点向下运动，受到向右的洛伦兹力，小球向右偏转，不可能沿轨迹返回点，故B错误；利用配速法，把由静止释放的小球看成具有一个向左的速度和一个向右的速度，且有，则小球的两个分运动为向右的匀速直线运动和匀速圆周运动，当运动到最低点时，小球的速度最大，最大速度为，设小球下降的最大高度为，由动能定理有，解得，故D错误，C正确.
9.[2024·江西彭泽一中月考] 如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向与轴夹角为 斜向右上方，磁感应强度的方向垂直于纸面向里.一个质量为、电荷量为的带正电微粒从原点出发，以某一初速度沿与轴正方向夹角为 的方向进入复合场中，正好
做直线运动，当微粒运动到时，电场方向突然变为竖直向上，大小变为原来的倍(不计电场变化的时间)，微粒继续运动一段时间后，正好垂直于轴穿出复合场.不计一切阻力，重力加速度为，求：
(1) 电场强度的大小；
[答案]
[解析] 微粒到达点之前做匀速直线运动，对微粒受力分析，由平衡条件得
解得
(2) 磁感应强度的大小；
[答案]
[解析] 由平衡条件得
电场大小和方向改变后，微粒所受的静电力为
由于静电力与重力平衡，故微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运
动，由几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力得
联立解得，
(3) 微粒在复合场中运动的时间.
[答案]
[解析] 微粒匀速直线运动的时间
微粒做匀速圆周运动的时间
故微粒在复合场中运动的时间为
10.在某空间建立如图所示的直角坐标系，并在该空间加上沿轴负方向、磁感应强度大小为的匀强磁场和沿某个方向的匀强电场.一质量为、带电荷量为的粒子从坐标原点以初速度沿轴正方向射入该空间，粒子恰好能做匀速直线运动，不计粒子重力的影响.
(1) 求所加电场的电场强度的大小和方向；
[答案] ; 沿轴正方向
[解析] 因不计重力，则带电粒子只受到静电力和洛伦兹力.由左手定则可知，带电粒子所受的洛伦兹力沿轴负方向.由于粒子恰好能做匀速直线运动，则粒子受力平衡，故静电力沿轴正方向，即电场强度沿轴正方向.
根据平衡条件得
解得
(2) 若撤去电场，并改变磁感应强度的大小，使得粒子恰好能够经过坐标为的点，则改变后的磁感应强度为多大？
[答案]
[解析] 撤去电场后，粒子将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，作出粒子运动的轨迹如图甲所示
根据几何关系可知
解得粒子运动的半径
根据洛伦兹力提供向心力得
解得
(3) 若保持磁感应强度不变，将电场强度大小调整为，方向调整为平行于平面且与轴正方向成某一夹角 ，使得粒子能够在平面内做匀变速曲线运动，并经过坐标为的点，则和 各为多大？
[答案] ;
[解析] 要使粒子能做匀变速曲线运动，粒子应受到与初速度方向不在一条直线上的恒力，由于静电力是恒力，而洛伦兹力会随垂直于磁感应强度方向上速度变化而变化，所以静电力应有一个沿轴正方向的分力来平衡洛伦兹力，另一个分力沿轴正方向提供类平抛运动的加速度，如图乙所示
，根据平衡条件得
根据类平抛运动规律有
其中加速度
解得，
则
