2026北师大版高中数学必修第一册练习--第二章 4.2简单幂函数的图象和性质（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
4.2　简单幂函数的图象和性质
基础过关练
题组一　幂函数的概念
　1.(2024安徽滁州名校期中联考)现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x,其中幂函数的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
2.(2025江西赣州十八县二十四校期中)已知f(x)=(m-4)是幂函数,若f(a)=2,则a=(　　)
A.　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.6
3.已知函数f(x)=(m2+2m)·,m为何值时,函数f(x)是(1)正比例函数 (2)反比例函数 (3)幂函数
题组二　幂函数的图象
4.(2025江苏淮安淮阴中学期中)已知幂函数y=(m3-4m+1)xm的图象与坐标轴没有公共点,则实数m的取值为(　　)
A.2　　　　B.-2　　　　C.0或-2　　　　D.0或2
5.(教材习题改编)下图是当a分别取、4、-4、-这四个值时的幂函数y=xa的部分图象,则与曲线C1、C2、C3、C4相对应的a的值依次为(　　)
A.4、、-、-4　　　　B.-4、-、、4
C.-、4、-4、　　　　D.4、、-4、-
6.(2025江西景德镇一中期中)在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4bx与幂函数y=(x>0)的图象的关系可能为(　　)
　　
　　
7.(多选题)(2024湖北咸宁期中)已知幂函数f(x)的图象经过A(0,0),B(1,1),C(-1,-1),D(4,2)中的三个点,则f(3)的值可能为(注:=)(　　)
A.　　　　B.　　　　C.3　　　　D.9
题组三　幂函数的性质与应用
8.(2025江苏苏州期中)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则函数y=2f(x)-x的值域是(　　)
A.(-∞,1]　　　　B.(-∞,0]
C.[-1,+∞)　　　　D.[1,+∞)
9.(2024河南郑州中牟期中)小强在研究幂函数y=xa的图象和性质时得到如下结论,其中正确的是(　　)
A.幂函数的图象必过定点(0,0)和(1,1)
B.幂函数的图象不可能过第四象限
C.幂函数y=为偶函数
D.幂函数y=x-1在其定义域上为减函数
10.(2024天津部分区期中)已知幂函数f(x)=,若正数a,b满足f(a+1)+f(b-2)=0,则a+b+2ab的最大值是　　　　.
11.(2025江西宜春一中期中)若幂函数y=(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则满足(a+1)-m>(3-2a)-m的a的取值范围为　　　　　　.
12.(2025山东青岛六中期中)已知幂函数f(x)与一次函数g(x)的图象都经过点(3,9),且f(1)=g(1).
(1)求f(x)与g(x)的解析式;
(2)求函数h(x)=g(x)-f(x)在[-1,3]上的最值;
(3)若不等式f(x)>2ax-3在R上恒成立,求a的取值范围.
13.(2025江西抚州一中等校联考)已知幂函数f(x)=(m2-m-5)xm+3是奇函数,函数g(x)=f(x2)-af(x).
(1)求m;
(2)若g(x)在[-1,5]上单调,求a的取值范围;
(3)若g(x)在[1,3]上的最小值为-a,求a.
答案与分层梯度式解析
4.2　简单幂函数的图象和性质
基础过关练
1.B 2.C 4.C 5.A 6.D 7.BC 8.A 9.B
1.B　根据幂函数的概念,可得①⑤为幂函数,②③④不符合幂函数的基本形式.
2.C　因为f(x)是幂函数,所以m-4=1,解得m=5,即f(x)==,则f(a)==2,解得a=4.
3.解析　(1)若函数f(x)为正比例函数,
则∴m=1.
(2)若函数f(x)为反比例函数,则∴m=-1.
(3)若函数f(x)为幂函数,则m2+2m=1,∴m=-1±.
4.C　由题意得m3-4m+1=1,解得m=0或m=2或m=-2,
当m=2时,此幂函数为y=x2,其图象与坐标轴的交点为(0,0),不满足题意,舍去;
当m=0时,此幂函数为y=x0,当m=-2时,此幂函数为y=x-2,均满足题意.
5.A　当a>0时,幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递增,当a<0时,幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递减,
并且在直线x=1的右侧,图象自下而上所对应的幂指数a依次增大,
所以与曲线C1、C2、C3、C4相对应的a的值依次为4、、-、-4.
6.D　二次函数y=ax2+4bx的图象的对称轴为直线x=-.
对于A,由题中图象得-=-1,则=,所以幂函数y==,当x>1时,图象应在直线y=x的下方,故A不正确;
对于B,由题中图象得-=2,则b=-a,所以幂函数y==x-1=,故B不正确;
对于C,由题中图象得-=-2,则b=a,所以幂函数y==x,其图象为直线,故C不正确;
对于D,由题中图象得-=2,则b=-a,所以幂函数y==x-1=,故D正确.
7.BC　设f(x)=xα,α为常数,由幂函数的性质可知f(x)的图象必定经过点B.
若f(x)的图象经过A,B,C三点,则α>0,由f(-1)=(-1)α=-1,得α为正奇数或分子、分母均为奇数的正分数,又f(3)=3α,=3-1,=,3=31,9=32,
所以α=1, f(x)=x,则f(3)=3;
若f(x)的图象经过A,B,D三点,由f(4)=4α=2,得α=,则f(x)=,此时f(3)=;
若f(x)的图象经过B,C,D三点,由D(4,2)知α=,则C(-1,-1)必不在函数图象上,故不成立.
8.A　设f(x)=xa,其中a为常数,
则f(2)=2a=,可得a=,则f(x)==,
所以y=2f(x)-x=-x+2=-+1≤1,当且仅当x=1时,等号成立,
故函数y=2f(x)-x的值域为(-∞,1].
9.B　对于A,幂函数y=x-1的图象不过点(0,0),错误;
对于B,当x>0时,y=xa>0,幂函数的图象不可能过第四象限,正确;
对于C,幂函数y=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以幂函数y=既不是奇函数也不是偶函数,错误;
对于D,当x=-1时,y=-1,当x=1时,y=1,所以幂函数y=x-1不是定义域上的减函数,错误.
10.答案　
解析　f(x)=的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=(-x=-=-f(x),
所以f(x)为奇函数,即f(x)+f(-x)=0,
因为f(a+1)+f(b-2)=0,所以-(a+1)=b-2,化简得a+b=1.
故a+b+2ab=1+2ab≤1+2×=,当且仅当a=b=时取等号,故a+b+2ab的最大值是.
11.答案　∪
解析　因为幂函数y=(m∈N*)在(0,+∞)上单调递减,所以m2-2m-3<0,解得-1又m∈N*,所以m=1或m=2,
当m=1时,此幂函数为y=x-4,其图象关于y轴对称,满足题意;
当m=2时,此幂函数为y=x-3,其图象不关于y轴对称,舍去,
所以m=1,不等式为(a+1)-1>(3-2a)-1,
因为函数y=x-1在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减,且当x<0时,y<0,当x>0时,y>0,
所以a+1<3-2a<0或3-2a>a+1>0或3-2a<0解得-1.
12.解析　(1)设f(x)=xa,g(x)=kx+b(k≠0),
因为f(x)的图象经过点(3,9),所以3a=9,解得a=2,则f(x)=x2,故f(1)=1,
又g(x)的图象经过点(3,9),且g(1)=f(1)=1,
所以解得所以g(x)=4x-3.
(2)由(1)得h(x)=g(x)-f(x)=4x-3-x2=-(x-2)2+1,
所以h(x)在[-1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减,
又h(-1)=-(-1-2)2+1=-8,h(3)=-(3-2)2+1=0,
所以h(x)max=h(2)=1,h(x)min=h(-1)=-8.
(3)由f(x)>2ax-3,得x2>2ax-3,即x2-2ax+3>0在R上恒成立,
所以Δ=(-2a)2-4×3<0,解得-故a的取值范围为(-,).
13.解析　(1)由题意得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x6,是偶函数,不符合题意;当m=-2时,f(x)=x,是奇函数,符合题意,故m=-2.
(2)由(1)得f(x)=x,则g(x)=f(x2)-af(x)=x2-ax,其图象开口向上,对称轴为直线x=,
所以g(x)在上单调递减,在上单调递增.
因为g(x)在[-1,5]上单调,所以≤-1或≥5,
解得a≤-2或a≥10,
即a的取值范围为(-∞,-2]∪[10,+∞).
(3)由(2)得g(x)=x2-ax.
当≥3,即a≥6时,g(x)在[1,3]上单调递减,则g(x)min=g(3)=9-3a=-a,解得a=,又a≥6,故舍去;
当≤1,即a≤2时,g(x)在[1,3]上单调递增,则g(x)min=g(1)=1-a=-a,解得a=-4,成立;
当1<<3,即2则g(x)min=g=-=-a,解得a=5或a=0(舍去).
故a=-4或a=5.
解后反思
(1)指数为偶数的幂函数为偶函数;指数为奇数的幂函数为奇函数.
(2)求含参的二次函数的最值时,往往要分类讨论,分类的标准是图象的对称轴与所给区间之间的位置关系.
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