2026北师大版高中数学必修第一册练习--第六章 §3用样本估计总体的分布（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
§3　用样本估计总体的分布
基础过关练
题组一　统计图表
1.(2024河南安阳林州一中月考)某机构统计了1 000名员工的学历情况,并制作出如图所示的饼状图,其中本科学历的人数为650.现按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人,则抽取的硕士研究生学历的人数为(　　)
A.11　　　　B.13　　　　C.22　　　　D.26
2.(2025四川成都期中联考)某年1月25日至2月12日期间,某旅游景区A及其里面的特色景点a的累计参观人次的折线图如图所示,则下列判断正确的是(　　)
A.1月29日景区A的累计参观人次中特色景点a的累计参观人次的占比超过了
B.2月4日至2月10日特色景点a的累计参观人次增加了9 800人次
C.2月4日至2月6日特色景点a的累计参观人次的增长率和2月6日至2月8日特色景点a的累计参观人次的增长率相等
D.2月8日至2月10日景区A的累计参观人次的增长率小于2月6日至2月8日景区A的累计参观人次的增长率
3.(多选题)(2025陕西商洛模拟)如图所示的是某款新能源汽车在速度、稳定性、安全性、易用性、续航能力这五个方面的综合评分的雷达图,则下列结论正确的是(　　)
A.这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于在稳定性方面的综合评分
B.这款新能源汽车在稳定性和续航能力这两方面的综合评分相等
C.这款新能源汽车在安全性方面的综合评分最低
D.这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于在易用性方面的综合评分
题组二　频数与频率
4.(2025安徽江淮十校大联考)某工厂采用随机抽样的方法从某车间某一天内生产的产品中抽取了一个容量为40的样本,得到其质量的一组数据,对数据分组后,各组的频数如下表所示:
分组 [10, 20] (20, 30] (30, 40] (40, 50] (50, 60] (60, 70]
频数 4 6 x 10 y 4
已知样本数据在(20,40]内的频率为0.35,则样本数据在(50,60]内的频率为(　　)
A.0.70　　　　B.0.50　　　　C.0.25　　　　D.0.20
5.(2025四川成都蓉城名校联盟联考)在2024年巴黎奥运会上,我国网球选手郑钦文历经6场比赛,勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军,书写了中国网球新的历史.某学校有2 000名学生,一机构在该校随机抽取了800名学生,对郑钦文奥运会期间6场单打比赛的收看情况进行了调查,将数据分组整理后,列表如下:
观看场数 0 1 2 3 4 5 6
观看人数占调查人数的百分比 15% 5% 5% m% 10% 15% 4m%
从表中数据可以得出的正确结论为(　　)
A.表中m的值为15
B.观看场数不超过3的学生的比例为30%
C.观看场数不超过2的学生约有400人
D.观看场数不低于4的学生约有1 300人
6.(2024广东佛山大沥高级中学段考)相关部门对某景区在“十一”黄金周中每天的游客人数进行了统计,其频率分布表如下:
日 期 10月 1日 10月 2日 10月 3日 10月 4日 10月 5日 10月 6日 10月 7日
频 率 0.05 0.08 0.09 0.13 0.30 0.15 0.20
已知10月1日这天该景区的营业额约为8万元,假定这七天每天游客的人均消费相同,则这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为　　　　万元.
题组三　频率分布直方图
7.(2025江西上饶联考)某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试(简称“体测”)成绩的分布情况,从该年级学生的体测成绩(满分为100分)中,随机抽取了80名学生的成绩,按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组,并绘制成如下频率分布直方图,则频率分布直方图中a的值是(　　)
A.0.017　　　　B.0.018　　　　C.0.020　　　　D.0.023
8.(多选题)某学校为了调查学生在放学后体育运动的情况,抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示(各组区间除最后一组为闭区间外,其余各组均为左闭右开区间),其中体育运动时间(单位:分钟)在[40,50)内的有72人,则下列说法正确的是(　　)
A.样本中,放学后体育运动时间在[40,50)内的频率为0.36
B.样本中,放学后体育运动时间不少于40分钟的人数为132
C.n的值为200
D.若该校有1 000名学生,则必定有300人放学后的体育运动时间在[50,60]内
9.(2025河南开封月考)某校为了解今年春季学期开学第一周内,高二年级学生参加学校社团活动的时长,随机抽查了该校高二年级100名同学,统计他们今年春季学期开学第一周内参加学校社团活动的时长,并绘制成如图所示的频率分布直方图,其中这100名同学今年春季学期开学第一周内参加学校社团活动的时长(单位:小时)范围是[2,12],数据分组为[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12].则这100名同学中,今年春季学期开学第一周内参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为　　　　.
10.(教材习题改编)某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取了100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下.
分组 频数 频率
第1组 [160,165) 5 0.050
第2组 [165,170) m 0.350
第3组 [170,175) n p
第4组 [175,180) 20 0.200
第5组 [180,185] 10 0.100
合计 100 1.000
(1)求频率分布表中m,n,p的值,并作出相应的频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试,则第3,4,5组中各应抽取多少名学生进入第二轮面试
题组四　频率折线图
11.为了了解某外贸企业职工对人工智能的认知程度,随机抽取了110名职工组织人工智能知识竞赛,满分为100分(80分及以上为认知程度较高),并将所得成绩分组(各组区间除最后一组为闭区间外,其余均为左闭右开区间),得到了如图所示的频率折线图,则下列结论正确的是(　　)
A.成绩是100分的人比成绩是50分的人多
B.对人工智能认知程度较高的人数是40
C.成绩是75分的人数为40
D.成绩落在[70,80)内的人数为20
12.某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比,依考核分数分为A,B,C,D四个等级.其中分数在[60,70)内的为D等级,分数在[70,80)内的为C等级,分数在[80,90)内的为B等级,分数在[90,100]内的为A等级.考核评估后,得其频率折线图如图所示,试估计这100间学生公寓中考核分数为C,D等级的比考核分数为A,B等级的多多少间.
能力提升练
题组一　统计图表的综合应用
1.(多选题)(2025河南南阳月考)某学校对高一学生的选科情况进行了统计,发现仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种选科组合,其中选物化地和物化政组合的人数相等,并绘制得到如下的扇形图和条形图,则(　　)
A.该校高一学生的总人数为700
B.该校高一学生中选物化政组合的人数为80
C.该校高一学生中选物理的人比选历史的人多
D.用分层随机抽样方法从该校高一学生中抽取20人,则选生史地组合的学生中应抽取6人
2.(多选题)(2024湖北宜昌月考)某企业对目前销售的A,B,C,D四种产品进行改造升级,经过改造升级后,企业营收实现翻番,现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比,得到如下扇形图,下列说法正确的是(　　)
A.产品升级后,产品A的营收是升级前的4倍
B.产品升级后,产品B的营收是升级前的2倍
C.产品升级后,产品C的营收减少
D.产品升级后,产品B,D的营收总和占总营收的比例不变
3.随机地抽取200个某种灯泡样品,对其进行使用寿命调查,结果如下:
使用寿命/天 频数 频率
[100,200) 20 0.10
[200,300) 30 y
[300,400) 70 0.35
[400,500) x 0.15
[500,600] 50 0.25
合计 200 1.00
规定:使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品,小于300天的是次品,其余的是正品.某人从这种灯泡中随机购买了n(n∈N+)个,若这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层随机抽样所得的结果相同,则n的最小值为(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
4.(多选题)(2025四川绵阳南山中学月考)2024年2月29日,国家统计局发布了我国2023年国民经济和社会发展统计公报,全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长,结合图一、图二所示的统计图,下列说法正确的是(　　)
A.2019~2023年全国居民人均可支配收入逐年递增
B.2019~2023年全国居民人均可支配收入增长速度逐年递增
C.2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用最少
D.2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和的占比不足60%
题组二　频率分布直方图的综合应用
5.(2025江西新余月考)某市某品牌运动鞋专卖店为了了解某日旅游鞋的尺码销售情况,抽取了部分顾客所购旅游鞋的尺码,将所得数据整理后,画成频率分布直方图.已知从左到右前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第4小组与第5小组的频率如图所示,若第2小组的频数为10,则第5小组的频数是(　　)
A.4　　　　B.5　　　　
C.8　　　　D.10
6.(2024江西部分学校期末)要调查某地区高中生的身体素质,从该地区高中生中抽取100人进行跳远测试,根据测试成绩制作的频率分布直方图如图所示,现要从这100人中用分层随机抽样的方法抽取20人,应从成绩在[120,130)内抽取的人数为b,则b为(　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
7.某班同学进行社会实践,从年龄(单位:岁)在[25,55]内的人群中随机抽取n人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查(生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”),得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图,则表中p,a的值分别为(　　)
组别 分组 “低碳族” 的人数 “低碳族”占本组 的频率
第一组 [25,30) 120 0.6
第二组 [30,35) 195 p
第三组 [35,40) 100 0.5
第四组 [40,45) a 0.4
第五组 [45,50) 30 0.3
第六组 [50,55] 15 0.3
A.0.79,20　　　　B.0.195,40
C.0.65,60　　　　D.0.975,80
8.(2024江西上饶广丰一中月考)为了了解某工厂生产的产品情况,从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为200的样本,测量它们的尺寸(单位:mm),并将数据按[92,94),[94,96),[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106]分为七组,其频率分布直方图如图所示.
(1)求图中x的值;
(2)求200件产品中尺寸(单位:mm)在[98,100)内的产品件数;
(3)记产品尺寸(单位:mm)在[98,102)内的为A等品,每件可获利5元;产品尺寸(单位:mm)在[92,94)内的为不合格品,每件亏损2元;其余为合格品,每件可获利3元.若该工厂一个月共生产3 000件该产品,以样本的频率代替总体在各组内的频率,若单月利润未能达到11 000元,则需要对该工厂设备实施升级改造,试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.
9.(2024福建福州三中期末)已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件,这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图分别如图一、二所示(每组区间均为左开右闭).其中,尺寸大于M的零件用于大型机器制造,尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造.
(1)若M=60,试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数;
(2)若M∈(60,70],现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件,分别用于大型机器、小型机器各1 000台的制造,每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造,其中若尺寸小于或等于M的零件用于大型机器制造,则每台会使得工厂损失200元;将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造,其中若尺寸大于M的零件用于小型机器制造,则每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用(单位:元)的估计值H(M)的取值范围.
答案与分层梯度式解析
§3　用样本估计总体的分布
基础过关练
1.C 2.D 3.ABC 4.D 5.D 7.C 8.ABC 11.B
1.C　由题意知,硕士研究生学历的人数占总人数的比例为1-17%-5%-2%-×100%=11%,
故按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人,抽取的硕士研究生学历的人数为11%×200=22.
2.D　1月29日景区A的累计参观人次中特色景点a的累计参观人次的占比为<=,所以A错误;
2月4日至2月10日特色景点a的累计参观人次增加了9 800-6 000=3 800(人次),所以B错误;
2月4日至2月6日特色景点a的累计参观人次的增长率为=,
2月6日至2月8日特色景点a的累计参观人次的增长率为=,
因为>,所以C错误;
2月8日至2月10日景区A的累计参观人次的增长率为=,
2月6日至2月8日景区A的累计参观人次的增长率为=,
因为<,所以D正确.
3.ABC　由题中雷达图可知,这款新能源汽车在速度方面的综合评分在(8,10)内,在稳定性和续航能力这两方面的综合评分都是8分,在安全性方面的综合评分在(6,8)内,在易用性方面的综合评分是10分,故A,B,C正确,D错误.
4.D　由题意得=0.35,解得x=8,
所以y=40-4-6-8-10-4=8,所以样本数据在(50,60]内的频率为=0.20.
解题模板
对于与频率或频数有关的计算问题,常利用以下关系式求解:
(1)某组的频率=;
(2)各组的频率总和为1.
5.D　由题表可知,15%+5%+5%+m%+10%+15%+4m%=1,解得m=10,A错误;
观看场数不超过3的学生的比例为15%+5%+5%+10%=35%,B错误;
观看场数不超过2的学生的比例为15%+5%+5%=25%,则观看场数不超过2的学生约有2 000×25%=500(人),C错误;
观看场数不低于4的学生的比例为10%+15%+40%=65%,则观看场数不低于4的学生约有2 000×65%=1 300(人),D正确.
6.答案　48
解析　设游客人数最多的那一天的营业额约为x万元,则=,解得x=48.
7.C　由题意得10×(0.010+a+0.030+0.025+0.015)=1,解得a=0.020.
8.ABC　由题中频率分布直方图得样本中,放学后体育运动时间在[40,50)内的频率是1-(0.01+0.024+0.03)×10=0.36,A正确;
n==200,C正确;
样本中,放学后体育运动时间不少于40分钟的人数为200×(0.36+0.3)=132,B正确;
若该校有1 000名学生,则1 000×0.3=300(人),用样本估计总体,只能说明可能有300人放学后的体育运动时间在[50,60]内,D错误.
9.答案　 68
解析　这100名同学中,今年春季学期开学第一周内参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为1-(0.04+0.12)×2=0.68,
故这100名同学中,今年春季学期开学第一周内参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为0.68×100=68.
易错警示
要注意在频率分布直方图中,纵轴表示的不是频率,而是,各小矩形的面积才表示相应组的频率.
10.解析　(1)由已知得0.050+0.350+p+0.200+0.100=1.000,解得p=0.300,
m=0.35×100=35,n=0.3×100=30,
频率分布直方图如图所示:
(2)第3,4,5组的人数之比为30∶20∶10=3∶2∶1,若用分层随机抽样的方法选6名学生,则第3,4,5组中各应抽取的学生人数分别为3,2,1.
11.B　从题中频率折线图中看不出成绩是100分的人多还是成绩是50分的人多,也不能得出成绩是75分的人数,故A,C错误;
对于B,成绩为80分及以上的人数为×10×110=40,故B正确;
对于D,成绩落在[70,80)内的人数为10××110=40,故D错误.
12.解析　由题中频率折线图可知,分数为A等级的频率为0.025×10=0.25,分数为B等级的频率为0.020×10=0.20,分数为C等级的频率为0.040×10=0.40,分数为D等级的频率为0.015×10=0.15,所以可估计这100间学生公寓中考核分数为C,D等级的比考核分数为A,B等级的多100×(0.40+0.15)-100×(0.25+0.20)=10(间).
能力提升练
1.BC 2.ABD 3.C 4.AD 5.B 6.C 7.C
1.BC　对于A,选科组合为政史地的人数为200,占比为25%,
则该校高一学生共有200÷=800(人),A错误;
对于B,选科组合为物化生的人数为800×35%=280,
选科组合为物化政的人数为=80,B正确;
对于C,选历史的人数为200+160=360,选物理的人数为280+80+80=440,440>360,
故该校高一学生中选物理的人数比选历史的人数多,C正确;
对于D,选科组合为生史地的学生人数的占比为×100%=20%,
若采用分层随机抽样方法从该校高一学生中抽取20人,则选生史地组合的学生中应抽取20×20%=4(人),D错误.
2.ABD　设产品升级前的总营收为a,则产品升级后的总营收为2a.
对于产品A,产品升级前的营收为0.1a,升级后的营收为2a×0.2=0.4a,故升级后的产品A的营收是升级前的4倍,A正确.
对于产品B,产品升级前的营收为0.2a,升级后的营收为2a×0.2=0.4a,故升级后的产品B的营收是升级前的2倍,B正确.
对于产品C,产品升级前的营收为0.5a,升级后的营收为2a×0.4=0.8a,故升级后的产品C的营收增加,C错误.
产品升级前后,产品B,D的营收总和占总营收的比例均为20%+20%=40%,不变,D正确.
3.C　由题中频率分布表,得x=200×0.15=30,灯泡样品中优等品有50个,次品有20+30=50(个),则正品有200-50-50=100(个),∴优等品、正品、次品个数的比为50∶100∶50,即1∶2∶1,∴按分层随机抽样的方法,购买灯泡的个数n=k+2k+k=4k(k∈N+),∴n的最小值为4.
4.AD　对于A,根据题图一可知,2019~2023年全国居民人均可支配收入分别为30 733元,32 189元,35 128元,36 883元,39 218元,逐年递增,即A正确;
对于B,根据题图一可知2020年、2022年的增长速度在下降,即B错误;
对于C,根据题图二可知,2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用为2 904元,比衣着、生活用品及服务等支出费用要多,不是最少的,即C错误;
对于D,2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和的占比为29.8%+22.7%=52.5%,不足60%,即D正确.
5.B　设从左到右前3个小组的频率分别为x,2x,3x,第5小组的频数是y,
则解得
6.C　由题得10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,所以a=0.030,
则成绩在[120,130)内的学生有100×10×0.030=30(人).
现要从这100人中用分层随机抽样的方法抽取20人,
则应从成绩在[120,130)内抽取的人数为×30=6,故b=6.
7.C　第一组的人数为120÷0.6=200,第三组的人数为100÷0.5=200,第五组的人数为30÷0.3=100,第六组的人数为15÷0.3=50,
由题中的频率分布直方图可得第一组的频率为5×0.04=0.2,所以n==1 000,
所以第四组的人数为5×0.03×1 000=150,所以a=150×0.4=60,第二组的人数为1 000-(200+200+150+100+50)=300,所以p==0.65.
8.解析　(1)由题意得(0.02+0.04+0.06+0.07+0.09+0.10+x)×2=1,解得x=0.12.
(2)200件产品中尺寸(单位:mm)在[98,100)内的产品件数为200×0.09×2=36.
(3)由题意可得,这批产品中A等品有3 000×(0.18+0.20)=1 140(件),
不合格品有3 000×0.04=120(件),
合格品有3 000-1 140-120=1 740(件),
1 140×5+1 740×3-120×2=10 680(元).
则该工厂一个月生产的该产品所获得的利润为10 680元,
因为10 680<11 000,所以需要对该工厂设备实施升级改造.
9.解析　(1)由题图一可知,一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为10×(0.02+0.024+0.02+0.02)=0.84,
所以一区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为500×0.84=420.
由题图二可知,二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为10×(0.024+0.016)=0.4,
所以二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为500×0.4=200.
(2)根据题图一可知,一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为10×0.004+10×0.012+(M-60)×0.02=0.02M-1.04,
由题图二可知,二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为0.024×(70-M)+0.016×10=1.84-0.024M,
所以H(M)=(0.02M-1.04)×1 000×200+(1.84-0.024M)×1 000×100=4 000M-208 000+184 000-2 400M=1 600M-24 000,
因为M∈(60,70],所以72 000<1 600M-24 000≤88 000,
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