2026北师大版高中数学必修第一册练习--第六章 4.2分层随机抽样的均值与方差4.3百分位数（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
4.2　分层随机抽样的均值与方差　4.3　百分位数
基础过关练
题组一　分层随机抽样的均值与方差
1.(2025湖北部分名校期中)某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1 000人、1 200人、800人,用分层随机抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30的样本,若抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高分别为165 cm、168 cm、171 cm,则估计该校学生的平均身高是(　　)
A.166.4 cm　　　　B.167.2 cm　　　　
C.167.8 cm　　　　D.170.0 cm
2.(2024江西部分学校期末质量检测)某班50名学生骑自行车或骑电动车到校所需的时间统计如下:
到校方式 人数 平均用时/分钟 方差
骑自行车 20 30 36
骑电动车 30 20 16
则这50名学生到校所需时间(单位:分钟)的方差为(　　)
A.48　　　　B.46　　　　C.28　　　　D.24
3.(多选题)(2025湖北武汉联考)某班有男生30人,女生20人.在某次考试中,男生、女生成绩的平均分分别为、(≠),方差分别为、,该班所有学生的成绩的平均分和方差分别为、s2,则下列结论一定正确的是(　　)
A.=+　　　　B.>+
C.s2=+　　　　D.s2>+
4.(2025江西宜春一中期末)在某次调查中,采用分层随机抽样的方法得到10个A类样本,30个B类样本.若A类样本的平均数为5.5,总体的平均数为4,则B类样本的平均数为　　　　.
5.(2025江西上饶新实中学月考)为检测同学的体能,学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试,将他们的测试成绩(单位:分)分成五组:第一组[45,55),第二组[55,65),第三组[65,75),第四组[75,85),第五组[85,95],并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3,第一组和第五组的频率相同.
(1)估计这100名同学体能测试成绩的平均分和众数(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);
(2)现用分层随机抽样的方法从各组中共选取20人进行成绩分析,若其中第二组同学成绩的平均分和方差分别为62分和40,第四组同学成绩的平均分和方差分别为80分和70,据此估计第二组和第四组所有同学成绩的方差.
题组二　百分位数
6.(2025江西赣州期末)为深入学习并宣传党的二十大精神,某校开展了“奋进新征程,强国伴我行”二十大主题知识竞赛,其中高一年级选派了10名同学参赛,且该10名同学的成绩(单位:分)依次是71,73,80,85,90,92,94,95,98,100,则这组数据的60%分位数为(　　)
A.92　　　　B.93　　　　C.94　　　　D.87.8
7.(2025江西上饶联考)某市随机抽取的100户居民月均用水量的频率分布直方图(图中各分组区间除最后一组为闭区间外,其余各组均为左闭右开区间)如下,如果要让60%的居民的月均用水量(单位:t)不超出标准a,根据直方图估计,下列最接近a的数为(　　)
A.8.5　　　　B.9　　　　C.9.5　　　　D.10
8.(2024天津第二十中学模拟)有按从小到大的顺序排列的两组数据,甲组:7,11,14,m,22;乙组:5,10,n,18,20.若这两组数据的50%分位数、80%分位数分别对应相等,则m+n=(　　)
A.28　　　　B.29　　　　C.30　　　　D.32
9.(2025江西萍乡期中)下图是我国2018—2023年纯电动汽车销量(单位:万辆)的统计情况,下列说法错误的是　　(　　)
A.这六年的销量呈现逐年增长的趋势
B.这六年销量数据的60%分位数为536.5
C.这六年销量的增长率中,最大的为2019年至2020年的增长率
D.2020年的销量高于这六年销量的平均值
10.(2025广东广州三校联考)为科普航天知识,某校组织学生参与航天知识竞答活动,某班8位同学的成绩如下:7,6,8,9,8,7,10,m,若去掉m,该组数据的25%分位数保持不变,则整数m(1≤m≤10)的值可以是　　　　(写出一个满足条件的m值即可).
11.(2025江西抚州联考)一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店.公司在年底时对所有加盟店本年度的营销总额(单位:百万元)进行统计,并制作成频率分布表如下:
分组 频数 频率
[12,14) 10 0.1
[14,16) x 0.15
[16,18) 20 0.2
[18,20) 30 y
[20,22) 15 0.15
[22,24) 5 0.05
[24,26] 5 0.05
合计 100 1.00
(1)请求出频率分布表中x,y的值,并画出频率分布直方图;
(2)为了评选本年度优秀加盟店,公司将依据营销总额制订评选标准,按照“不超过60%的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求,请根据频率分布直方图,为该公司提出本年度评选标准的建议.
答案与分层梯度式解析
4.2　分层随机抽样的均值与方差
4.3　百分位数
基础过关练
1.C 2.A 3.AD 6.B 7.A 8.C 9.D
1.C　依题意,容量为30的样本中,高一年级的学生人数为×30=10,
高二年级的学生人数为×30=12,
高三年级的学生人数为×30=8,
所以估计该校学生的平均身高为=167.8(cm).
2.A　由已知可得,骑自行车平均用时(单位:分钟)=30,方差=36,
骑电动车平均用时(单位:分钟)=20,方差=16,
骑自行车人数占总数的,骑电动车人数占总数的,
故这50名学生到校所需时间(单位:分钟)的平均数=×30+×20=24,
方差s2=×[36+(30-24)2]+×[16+(20-24)2]=48.
3.AD　由分层随机抽样的平均数计算公式可得=+=+,则A正确,B错误;
由分层随机抽样的方差计算公式可得s2=[+]+[+]≥+,当且仅当=时,等号成立,
又因为≠,所以等号不成立,故s2>+,则C错误,D正确.
4.答案　3.5
解析　设B类样本的平均数为x,则=4,解得x=3.5.
5.解析　(1)由题意可知
解得
所以每组的频率依次为0.05,0.25,0.45,0.2,0.05,
所以估计这100名同学体能测试成绩的平均分为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5(分),
众数为=70(分).
(2)设第二组、第四组同学成绩的平均分与方差分别为,,,,
易知第二组、第四组的频率的比值为=,
则第二组与第四组所有同学成绩的平均分=+==70(分),
第二组与第四组所有同学成绩的方差s2=×[+]+×[+]=×[40+(62-70)2]+×[70+(80-70)2]=,
故估计第二组和第四组所有同学成绩的方差为.
解题模板
(1)计算分层随机抽样平均数的关键是知道样本中不同层的平均数及它们相应的权重,然后运用公式计算即可.
(2)计算分层随机抽样方差的关键是知道样本中不同层的平均数、方差及它们相应的权重,然后运用公式计算即可.
6.B　原数据是按从小到大排序的,
因为10×60%=6,所以这组数据的60%分位数为=93.
易错警示
计算一组离散数据的百分位数时,要注意先将数据从小到大排序,再进行相应的计算.
7.A　因为3×(0.077+0.107)=0.552<0.60,3×(0.077+0.107+0.043)=0.681>0.6,所以a应在[7.2,10.2)内,
所以3×(0.077+0.107)+(a-7.2)×0.043=0.60,解得a≈8.316.
结合选项知最接近8.316的数为8.5.
解题关键
首先判断a位于区间[7.2,10.2),再根据百分位数的计算规则进行计算即可得结论.
8.C　甲组数据的50%分位数为14,乙组数据的50%分位数为n,则n=14,
由5×80%=4,得甲组数据的80%分位数为,乙组数据的80%分位数为=19,因此=19,解得m=16,所以m+n=30.
9.D　对于A,由题图知,这六年的销量呈现逐年增长的趋势,A中说法正确;
对于B,由6×60%=3.6,知这六个销量数据的60%分位数为从小到大排序后的第4个数据,为536.5,B中说法正确;
对于C,由题图知,2019年到2020年的增长率超过了100%,其他都不超过100%,C中说法正确;
对于D,由=410.35>291.6,知D中说法错误.
10.答案　7(答案不唯一)
解析　剩余7位同学的成绩由小到大排列为6,7,7,8,8,9,10,7×0.25=1.75,故其25%分位数为由小到大排列后的第二个数据,为7,
要使25%分位数保持不变,满足m不小于7就可以.
11.解析　(1)x=100×0.15=15,y=30÷100=0.3,
频率分布直方图如图所示.
(2)按照“不超过60%的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求,
可知有40%及以上的加盟店不能获评优秀加盟店称号,
由(1)中的频率分布直方图可知,这些营销总额数据的40%分位数为16+2×=17.5,故应选取本年度营销总额大于或等于17.5百万元的加盟店获评优秀加盟店称号.
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