2026北师大版高中数学必修第一册练习--第六章 复习提升（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对分层随机抽样的抽样比理解不准确而出错
1.(2025江西南昌十中月考)某中学选派270名学生参加南昌市广播体操比赛,其中高一108人,高二、高三各81人,现要在比赛前抽取10人检验他们训练的熟练度,考虑选用简单随机抽样、分层随机抽样两种方案,将学生按高一、高二、高三依次编号为1,2,…,270.如果抽到的号码有下列四种情况:
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.
则不可能为分层随机抽样的是(　　)
A.①　　　　B.②　　　　
C.③　　　　D.④
2.某医用口罩生产厂家生产A、B、C三种不同的口罩,A、B、C三种口罩产量之比为2∶m∶1.为了调查这三种口罩的质量,用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本,样本中B种口罩数量比A种多40只,比C种多80只,则n=(　　)
A.240　　　　B.280　　　　
C.320　　　　D.360
易错点2　对频率分布直方图的特征理解有误而出错
3.(2024福建宁德寿宁第一中学月考)某小区从2 000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查,发现他们的月用电量(单位:kW·h)都在[50,350)内,进行适当分组后(每组均为左闭右开区间,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),画出频率分布直方图如图所示,则(　　)
A.小区居民月用电量的平均数为186.5 kW·h,极差为300 kW·h
B.小区居民月用电量的中位数为171 kW·h,众数为175 kW·h
C.估计小区居民月用电量的85%分位数为262.5 kW·h
D.小区居民月用电量不低于250 kW·h的约有380户
4.(多选题)(2025广东茂名联考)在一次数学竞赛中,将100名参赛者的成绩按区间[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组,得到如下频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),根据图中信息,下列结论正确的是(　　)
A.a=0.015
B.该100名参赛者的成绩的众数约为75
C.该100名参赛者中成绩在[70,90)内的人数为48
D.该100名参赛者的成绩的85%分位数约为82.5
5.(2025江西赣州期末)赣州市是我国当今保存最完好的北宋城,有“江南宋城”之誉,是客家先民中原南迁的第一站,世称“客家摇篮”,被命名为“国家历史文化名城”“中国优秀旅游城市”.目前,赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌.2024年国庆假期期间,赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计,10月1日至7日,全市共接待游客1 050.07万人次.为了解游客的旅游体验满意度,某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客,并将收集到的游客满意度分值数据分成六段:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值,并估计这100名游客满意度分值数据的中位数(结果保留整数);
(2)已知位于[70,80)的满意度分值的平均数=78,方差=9,位于[80,90)的满意度分值的平均数=88,方差=4,试求位于[70,90)的满意度分值的平均数和方差s2.
思想方法练
一、数形结合思想在统计中的应用
1.(2025辽宁锦州期末联考)某校高一年级组建了演讲、舞蹈、合唱、绘画、英语协会五个社团,高一1 500名学生每人都参加且只参加其中一个社团,学校从这1 500名学生中随机选取部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如下两个不完整的统计图:
则选取的学生中,参加舞蹈社团的学生人数为(　　)
A.20　　　　B.30　　　　C.35　　　　D.40
2.(多选题)(2025山东淄博摸底考试)某校举行了交通安全知识主题演讲比赛,甲、乙两位同学演讲后,6位评委对他们两人分别进行打分(满分10分),得到如图所示的折线统计图,则(　　 )
A.若去掉最高分和最低分,则甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B.甲得分的极差大于乙得分的极差
C.甲得分的75%分位数小于乙得分的75%分位数
D.甲得分的方差大于乙得分的方差
3.(2024湖北宜昌第一高级中学月考)某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民用水量(单位:t)标准x,月用水量不超过x的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样获得100位居民某年的月平均用水量(单位:t),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)已知该市有80万居民,请估计全市居民中月平均用水量不低于3 t的人数;
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过x t,估计x的值,并说明理由.
二、函数与方程思想在统计中的应用
4.某校为了了解高三年级学生的身体素质状况,在开学初举行了一场身体素质体能测试,以便对体能不达标的学生进行针对性的训练,促进他们体能的提升,现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩,并把测试成绩分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组,绘制成频率分布直方图(如图所示),其中[90,100]这一组对应的纵坐标为a,则该次体能测试成绩的80%分位数约为　　　　分.
5.设样本数据x1,x2,…,x2 026的平均数为,方差为s2,若新数据2x1+1,2x2+1,…,2x2 026+1的平均数比方差大3,求s2- 2的最大值.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.D 2.A 3.C 4.AB
1.D　设在高一、高二、高三分别抽取x,y,z人,
则由分层随机抽样可知===,解得x=4,y=z=3(易错点:列比例式时“=”两边的标准要一致),
由题意可知,需要从高一学生的编号1到108里抽取4个,从高二学生的编号109到189里抽取3个,从高三学生的编号190到270里抽取3个(易错点:需要根据样本中各层的人数正确确定所抽取号码的对应范围),所以④中的编号不符合题意.
2.A　设样本中A、B、C三种口罩分别有a只,b只,c只,
则即∴==2,∴b=120,
则a=80,c=40,故n=a+b+c=240.
易错警示
分层随机抽样就是按比例抽样,因此列比例式时应注意“=”两边的标准要一致.
3.C　对于A,小区居民月用电量的平均数为50×0.002 4×75+50×0.003 6×125+50×0.006 0×175+50×0.004 4×225+50×0.002 4×275+50×0.001 2×325=186(kW·h),极差小于350-50=300(kW·h),故A错误;
对于B,小区居民月用电量的众数为=175(kW·h),
因为50×(0.002 4+0.003 6)=0.3,50×(0.002 4+0.003 6+0.006 0)=0.6,
所以小区居民月用电量的中位数在[150,200)内,设中位数为m kW·h,
则0.3+(m-150)×0.006 0=0.5,解得m=,故B错误;
对于C,因为50×(0.002 4+0.003 6+0.006 0+0.004 4)=0.82<0.85,
50×(0.002 4+0.003 6+0.006 0+0.004 4+0.002 4)=0.94>0.85,
所以估计小区居民月用电量的85%分位数在[250,300)内,设为x kW·h,则0.82+(x-250)×0.002 4=0.85,解得x=262.5,故C正确;
对于D,样本中小区居民月用电量不低于250 kW·h的频率为0.002 4×50+0.001 2×50=0.18,
所以小区居民月用电量不低于250 kW·h的约有2 000×0.18=360(户),故D错误.
4.AB　依题意可得(a+0.03+0.035+a+0.005)×10=1(易错点:计算频率之和时,不要错将各矩形的高视为频率),解得a=0.015,故A正确;
该100名参赛者的成绩的众数约为=75(易错点:频率分布直方图中各数据的众数是最高矩形对应底边中点的横坐标),故B正确;
该100名参赛者中成绩在[70,90)内的人数为(0.035+0.015)×10×100=50,故C错误;
因为(0.015+0.03+0.035)×10=0.8<0.85,(0.015+0.03+0.035+0.015)×10=0.95>0.85,
所以这100名参赛者的成绩的85%分位数位于区间[80,90),设其为x,则0.8+(x-80)×0.015=0.85,解得x=83,故D错误.
易错警示
利用频率分布直方图解决相关问题时要注意三点:一是纵轴表示频率与组距的比值;二是频率分布直方图中各矩形的面积是频率;三是频率分布直方图中原始数据无法得知,各组数据往往用对应区间的中点值代替.
5.解析　(1)由(0.005+0.010×2+0.020+a+0.025)×10=1,解得a=0.030.满意度分值在[40,80)内的频率为(0.005+0.010×2+0.020)×10=0.45<0.5,
在[40,90)内的频率为(0.005+0.010×2+0.020+0.030)×10=0.75>0.5,
所以中位数落在区间[80,90)内(易错点:根据频率分布直方图正确确定中位数所在的区间),
所以中位数为80+10×=≈82.
(2)满意度分值在[70,80)内的频率为0.02×10=0.2,对应的游客人数为100×0.2=20;
在[80,90)内的频率为0.03×10=0.3,对应的游客人数为100×0.3=30,
位于[70,80)的满意度分值的平均数=78,方差=9,
位于[80,90)的满意度分值的平均数=88,方差=4,
所以位于[70,90)的满意度分值的平均数==84,
方差s2=×[+(-)2]+×[+(-)2]=30(易错点:要根据题意联想到分层随机抽样中的方差公式).
思想方法练
1.D　由题中条形图得参加合唱社团的学生人数为70,由题中饼状图得参加合唱社团的学生人数占比为35%,
通过观察题中所给的条形图和饼状图分别得到参加合唱社团的学生人数及其占比.
因此选取的总人数为=200,
由题中饼状图得参加演讲及舞蹈社团的学生人数的占比之和为1-20%-10%-35%=35%,
则人数之和为200×35%=70,
由题中条形图得参加演讲社团的学生人数为30,所以参加舞蹈社团的学生人数为40.
2.ABD　将甲、乙的得分从小到大排列如下:
甲:7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,乙:8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1,
根据题中折线图读出原始数据,进而利用相关公式得出中位数、极差、75%分位数等.
去掉最高分和最低分后,可得甲的中位数为8.9,乙的中位数为8.6,故A正确;
甲得分的极差为9.3-7.0=2.3(分),乙得分的极差为9.1-8.1=1(分),故B正确;
6×75%=4.5,所以甲的75%分位数为9.2,乙的75%分位数为8.7,故C错误;
由题中折线图可直观看出两人得分波动的大小,进而判断方差的大小.
由题图可以看出,甲得分的波动比乙大,故甲得分的方差大于乙得分的方差,故D正确.
3.解析　根据题中频率分布直方图的信息解决相关问题.
(1)由频率分布直方图中小矩形的面积之和等于1,可得(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5=1,解得a=0.30.
(2)100位居民中月平均用水量不低于3 t的频率为(0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12,
由此可估计全市80万居民中月平均用水量不低于3 t的人数为800 000×0.12=96 000.
(3)由题意知,只需求出样本数据的85%分位数,即85%分位数为x t,
因为前6组频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)×0.5=0.88>0.85,
前5组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)×0.5=0.73<0.85,所以2.5≤x<3,
由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9,
因此当月用水量标准为2.9 t时,85%的居民每月的用水量不超过标准.
思想方法
数形结合思想是统计学中很重要的一种思想方法.一方面用图形可以直观表示相关统计量;另一方面可以借助图形分析样本数据的分布状况、变化趋势、变量间的关系等,进而估计总体的状况.常见的图形有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、频率分布直方图等,要熟练掌握它们的特点.
4.答案　92
解析　根据频率分布直方图中小矩形的面积之和为1,列方程.
由(0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+a)×10=1,解得a=0.025.
因为0.02+0.04+0.14+0.2+0.35=0.75,
所以该次体能测试成绩的80%分位数落在[90,100]内,设80%分位数为x分,
根据百分位数的定义,列方程.
则(x-90)×0.025=0.8-0.75,解得x=92.
5.解析　设数据2x1+1,2x2+1,…,2x2 026+1的平均数为,方差为,则=2+1,=4s2.
因为新数据的平均数比方差大3,
所以2+1=4s2+3,可得s2=-,
则s2- 2=--=--.
列出s2- 2的表达式,利用二次函数的性质求最值,体现了函数思想.
由s2=-≥0,可得≥1,
由二次函数的性质知,当=1时,s2-取得最大值,且最大值为-1.
思想方法
在统计中,常通过频率分布直方图的相关性质和样本数字特征的相关公式列方程解决问题,在求样本的数字特征时,偶尔也会通过构造函数,结合函数的性质来求解.
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