2026北师大版高中数学必修第一册练习--第七章 §2古典概型（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
§2　古典概型
基础过关练
题组一　古典概型的概念
1.(多选题)下列有关古典概型的说法中,正确的是　(　　)
A.试验的样本空间的样本点总数有限
B.每个事件出现的可能性相等
C.每个样本点出现的可能性相等
D.已知样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则事件A发生的概率P(A)=
2.(2025安徽江淮十校联考)下列试验中符合古典概型的是(　　)
A.抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子,观察向上一面的点数
B.抽奖箱里有4个白球和6个黑球,这10个球除颜色外完全相同,从中任取一个球
C.向一个圆面内随机投一个点,观察该点落在圆内的位置
D.射击选手进行射击训练,结果为命中10环、命中9环、…、命中0环
题组二　古典概型的概率计算
3.(2025江西上进联盟期末)若从二十四节气中的立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气,则选中立春的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.(2024广东佛山月考)将一枚骰子抛掷两次,所得向上点数分别为m和n,则函数y=mx2-4nx+1在[1,+∞)上单调递增的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
5.(2023河北统考)某校对高一新生进行体能测试(满分100分),高一(1)班恰有40名同学的成绩在[60,90]内,将这40名学生的成绩整理,绘制成频率分布直方图(如图所示),从成绩在[60,70)内的同学中任取2人的测试成绩,恰有一人的成绩在[60,65)内的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.(2025山东济宁一中月考)从2,4,8中任取两个不同的数,分别记作a,b,则logab为整数的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
7.(2024湖南长沙雅礼中学月考)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想如下:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,如30=7+23.在不超过25的素数中,随机选取2个不同的数,则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
8.(2025江西吉安期末)吉安有“吉泰民安”之美誉,拥有丰富的历史文化底蕴和秀丽的自然风光.小明准备在寒假期间前往吉安旅游,他计划用三天时间游览“武功山”“钓源古村”“后河·梦回庐陵”这三个景点,一天只能游览一个景点,如果按照任意次序排出游览顺序表,则第一天游览“武功山”或“钓源古村”的概率为　　　　.
9.(2024安徽皖北六校期末联考)在某次国际围棋比赛中,中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛,他们分成两个小组,其中一个小组有3位,另外一个小组有2位,则甲和乙分在不同小组的概率为　　　　.
10.(2024江西部分学校期末质量检测)有4名同学下课后一起来到图书馆看书,到图书馆以后把书包放到了一起,后来停电了,大家随机拿起了一个书包离开图书馆,分别计算下列事件的概率.
(1)恰有两名同学拿对了书包;
(2)至少有两名同学拿对了书包;
(3)书包都拿错了.
题组三　互斥事件与对立事件的概率计算
11.(多选题)(2024湖北武汉外国语学校月考)下列四个命题中,假命题有(　　)
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A,B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)
C.若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1
D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件
12.(2024安徽合肥一六八中学期末)已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P()=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
13.(2025湖北宜昌协作体期中)袋子中有一些大小、质地完全相同的红球、白球和黑球,从中任意摸出一球,若摸出的球是红球或白球的概率为0.56,摸出的球是红球或黑球的概率为0.68,则摸出的球是白球或黑球的概率为(　　)
A.0.64　　　　B.0.72　　　　C.0.76　　　　D.0.82
14.(2024江西宜春期末)国家射击队的某队员射击一次,命中7~10环的概率如表所示:
命中环数 10 9 8 7
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
若该射击队员射击一次,求:
(1)命中9环或10环的概率;
(2)至少命中8环的概率;
(3)命中不足8环的概率.
能力提升练
题组　古典概型的概率计算
1.(2025北京师大附中期末)已知a2,④>中任选2个,事件“所选2个不等式都不成立”的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2.(2025辽宁重点中学协作校联考)甲、乙、丙三人玩踢毽子游戏,每个人接到毽子后都等可能地把毽子传给另外两个人中的一个人,从甲开始踢,则踢第三次时毽子传递给甲的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.(多选题)(2025河南焦作期中)甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游,则下列说法正确的是(　　)
A.甲去云台山的概率为
B.甲、乙两人都去云台山的概率为
C.甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为
D.甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为
4.(2024江西上饶广丰一中月考)某班举办趣味数学活动,规则如下:某同学从分别写有1至9这9个整数的9张卡片中随机抽取两张,将卡片上较大的数作为十位数字,较小的数作为个位数字组成一个两位数.若这个两位数与将它的个位与十位数字调换后得到的两位数的差为45,就视为该同学获奖.若该班同学A参加这项活动,则他获奖的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
5.(高考新发现)(以数学文化为背景考查古典概型)(2025山东青岛部分学校联考)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,它是由如图所示的七块板组成的,即五块等腰直角三角形板(两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板)、一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块,则这两块板的面积相等的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.(2024北京大兴第一中学月考)甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5道题,其中选择题3道,判断题2道,甲、乙两人各抽一题(抽到的题不相同).
(1)甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题的概率是多少
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少
7.(2024上海静安期末)口袋里装有4个大小、形状完全相同的小球,其中两个标有数字1,两个标有数字2.
(1)第一次从口袋里任意取一球,放回口袋里后第二次再任意取一球,记第一次与第二次取到的小球上的数字之和为ξ,则当ξ为何值时,其发生的概率最大 说明理由;
(2)第一次从口袋里任意取一球,不再放回口袋里,第二次再任意取一球,记第一次与第二次取到的小球上的数字之和为η,求η大于2的概率.
8.(2025江西上饶一中月考)某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片,为了解芯片的某项指标值,从这两种芯片中各抽取100件进行检测,获得该项指标值的频率分布直方图如图所示(图中各分组区间除最后一组为闭区间外,其余均为左闭右开区间):
假设数据在组内均匀分布,以样本估计总体,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)现采用分层随机抽样的方式,从甲型号芯片指标值在[70,90)内的抽取2件,乙型号芯片指标值在[50,70]内的抽取4件,再从这6件中任取2件,求这2件的指标值分别在[50,60)和[70,80)内的概率;
(2)根据检测结果确定该指标值的一个临界值c,且c∈[50,60],某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产M型手机、N型手机各1万部,有以下两种方案可供选择:
方案一:将甲型号芯片应用于M型手机,其中该指标值小于或等于临界值c的芯片会导致每部手机损失700元;将乙型号芯片应用于N型手机,其中该指标值大于临界值c的芯片会导致每部手机损失300元;
方案二:重新检测所用的全部芯片,会避免方案一的损失费用,但检测费用共需要101万元.
请从科技公司的角度考虑,选择合理的方案,并说明理由.
答案与分层梯度式解析
§2　古典概型
基础过关练
1.ACD 2.B 3.C 4.B 5.B 6.B 7.C 11.BCD
12.D 13.C
1.ACD　
2.B　在A中,骰子各个面的材质不一样,所以每面向上的可能性不相等,不满足等可能性,故A不是古典概型;
在B中,球的数量有限,且每次试验中,每个球被抽中的可能性相同,故B是古典概型;
在C中,试验的结果是无限的,故C不是古典概型;
在D中,各环的大小不均等,不满足等可能性,故D不是古典概型.
3.C　记立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气分别为a,b,c,d,则从四个中选两个的样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)},共6个样本点,记事件A为“选中立春”,则A={(a,b),(a,c),(a,d)},共3个样本点,所以P(A)==.
4.B　由题意可知m,n∈{1,2,3,4,5,6},
若函数y=mx2-4nx+1在[1,+∞)上单调递增,则-=≤1,所以m≥2n.
用(m,n)表示抛掷两次所得的点数结果,则所有的情况有36种,
满足m≥2n的有(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共9种,
故所求概率P==.
5.B　由题中频率分布直方图知,成绩在[60,65)内的有40×0.01×5=2(人),不妨记为a,b;成绩在[65,70)内的有40×0.02×5=4(人),不妨记为1,2,3,4.从6人中任取2人的样本空间为{(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共15个样本点,事件“恰有一人的成绩在[60,65)内”包含的样本点有8个,所以所求的概率为.
解后反思
在列举样本点时,经常借助字母或数字.此题中成绩在[60,65)内的人用字母表示,在[65,70)内的人用数字表示,不仅方便书写,而且方便查找符合“恰有一人的成绩在[60,65)内”的样本点.
6.B　由条件可知,得到的不同的对数为log24=2,log28=3,log42=,log48=,log82=,log84=,共6个,其中为整数的有2个,故所求概率P==.
7.C　不超过25的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,共9个,中位数为11,
从中随机选取2个不同的数,样本空间Ω={(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17),(2,19),(2,23),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(3,17),(3,19),(3,23),(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(5,23),(7,11),(7,13),(7,17),(7,19),(7,23),(11,13),(11,17),(11,19),(11,23),(13,17),(13,19),(13,23),(17,19),(17,23),(19,23)},共36个样本点,记事件A为“这2个数恰好含有这组数的中位数”,则A={(2,11),(3,11),(5,11),(7,11),(11,13),(11,17),(11,19),(11,23)},共8个样本点,∴P(A)==.
8.答案　
解析　将“武功山”“钓源古村”“后河·梦回庐陵”分别记为a,b,c,
随机安排三个景点的游览顺序,安排方法有(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),共6种,其中第一天游览“武功山”或“钓源古村”的有(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),共4种方法,故所求概率P==.
9.答案　
解析　记另外3位棋手分别为A,B,C,则样本空间Ω={(甲乙A,BC),(甲乙B,AC),(甲乙C,AB),(甲AB,乙C),(甲AC,乙B),(甲BC,乙A),(乙AB,甲C),(乙AC,甲B),(乙BC,甲A),(ABC,甲乙)},共10个样本点,设事件E为“甲和乙分在不同小组”,则E={(甲AB,乙C),(甲AC,乙B),(甲BC,乙A),(乙AB,甲C),(乙AC,甲B),(乙BC,甲A)},共6个样本点,所以P(E)==.
10.解析　设4名同学的书包分别为A,B,C,D,4名同学拿书包的结果的样本空间Ω={(A,B,C,D),(A,B,D,C),(A,C,B,D),(A,C,D,B),(A,D,B,C),(A,D,C,B),(B,A,C,D),(B,A,D,C),(B,C,A,D),(B,C,D,A),(B,D,A,C),(B,D,C,A),(C,A,B,D),(C,A,D,B),(C,B,A,D),(C,B,D,A),(C,D,A,B),(C,D,B,A),(D,A,B,C),(D,A,C,B),(D,B,A,C),(D,B,C,A),(D,C,A,B),(D,C,B,A)},共24个样本点.
(1)记“恰有两名同学拿对了书包”为事件M,则M={(A,B,D,C),(A,C,B,D),(A,D,C,B),(B,A,C,D),(C,B,A,D),(D,B,C,A)},共6个样本点,
故P(M)==.
(2)记“至少有两名同学拿对了书包”为事件N,则N={(A,B,C,D),(A,B,D,C),(A,C,B,D),(A,D,C,B),(B,A,C,D),(C,B,A,D),(D,B,C,A)},共7个样本点,故P(N)=.
(3)记“书包都拿错了”为事件E,则E={(B,A,D,C),(B,C,D,A),(B,D,A,C),(C,A,D,B),(C,D,A,B),(C,D,B,A),(D,A,B,C),(D,C,A,B),(D,C,B,A)},共9个样本点,故P(E)==.
11.BCD　易知A是真命题;
对于B,当A与B为互斥事件时,有P(A∪B)=P(A)+P(B),当A与B为任意两个事件时,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),B是假命题;
对于C,不妨令事件A,B,C分别表示掷一次骰子试验中的事件“掷出1点”“掷出2点”“掷出3点”,则事件A,B,C彼此互斥,但P(A∪B∪C)=,C是假命题;
对于D,例如,袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球,从袋中任摸一个球,设事件A=“摸到红球或黄球”,事件B=“摸到黄球或黑球”,则P(A)=,P(B)=,P(A)+P(B)=1,但事件A与B不对立,D是假命题.
12.D　由题可知P(A∪B)=P(A)+P(B)=1-=,又P(A)=2P(B),所以2P(B)+P(B)=,解得P(B)=,所以P(A)=,所以P()=1-P(A)=.
13.C　设摸出红球、白球、黑球的事件分别为A,B,C,由题可知A,B,C彼此互斥,
则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.56,P(A∪C)=P(A)+P(C)=0.68,且P(A)+P(B)+P(C)=1,
所以P(C)=1-P(A)-P(B)=0.44,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.32,所以P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.76,即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76.
14.解析　记事件“射击一次,命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak彼此互斥.
(1)记“射击一次,命中9环或10环”为事件A,则当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件的概率加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.6.
(2)记“射击一次,至少命中8环”为事件B,则当A8,A9,A10之一发生时,事件B发生,由互斥事件的概率加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.
(3)事件B“射击一次,至少命中8环”的对立事件为“射击一次,命中不足8环”,根据对立事件的概率公式得P()=1-P(B)=1-0.78=0.22.
能力提升练
1.B 2.A 3.AC 4.D 5.C
1.B　取a=-4,b=-3,则a2>b2,故①不成立;
因为aab,故②不成立;
因为a0,>0,则+≥2=2,当且仅当a=b时取等号,显然等号无法取得,故③成立;因为a从4个不等式中选2个的样本空间Ω={①②,①③,①④,②③,②④,③④},共6个样本点,
设“所选2个不等式都不成立”为事件A,则A={①②,①④,②④},共3个样本点,所以P(A)==.
2.A　解法一:甲、乙、丙三人用a,b,c表示,由题意可知踢三次毽子的所有情况有(a,b,a,b),(a,b,a,c),(a,b,c,a),(a,b,c,b),(a,c,a,b),(a,c,a,c),(a,c,b,a),(a,c,b,c),共8种,其中踢第三次时毽子传递给甲的情况有(a,b,c,a),(a,c,b,a),共2种,故所求概率P==.
解法二:画出树状图如图,
由图可知共有8种情况,踢第三次时毽子传递给甲有2种情况,故所求概率P==.
解题技法
本题解法二显然比解法一清晰明了.当样本点个数没有很明显的规律,且涉及的样本点又不是太多时,可借助树状图直观地将其表示出来.树状图可以清晰准确地列出所有的样本点,并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.
3.AC　将甲去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游的事件分别记为A1,B1,C1,D1,乙去这四个景点的事件分别记为A2,B2,C2,D2.
依题意可知,样本空间Ω={A1A2,A1B2,A1C2,A1D2,B1A2,B1B2,B1C2,B1D2,C1A2,C1B2,C1C2,C1D2,D1A2,D1B2,D1C2,D1D2},共16个样本点.
A1={A1A2,A1B2,A1C2,A1D2},共4个样本点,故P(A1)==,故A正确;
记“甲、乙两人都去云台山”为事件B,则B={A1A2},共1个样本点,故P(B)=,故B错误;
记“甲、乙两人中恰有一人去云台山”为事件C,则C={A1B2,A1C2,A1D2,B1A2,C1A2,D1A2},共6个样本点,故P(C)==,故C正确;
记“甲、乙两人中至少有一人去云台山”为事件D,则D={A1A2,A1B2,A1C2,A1D2,B1A2,C1A2,D1A2},共7个样本点,故P(D)=,故D错误.
4.D　设同学A随机抽取得到的两位数的十位数字为x,个位数字为y(x>y).
若x=2,则y=1,有1种情况,
若x=3,则y=1,2,有2种情况,
若x=4,则y=1,2,3,有3种情况,
……
若x=9,则y=1,2,…,8,有8种情况,
共有1+2+3+…+8=36种情况,
其中满足获奖的情况是(10x+y)-(10y+x)=45,即x-y=5,
所以获奖的情况有x=6,y=1;x=7,y=2;x=8,y=3;x=9,y=4,共4种情况,
所以该班同学A参加这项活动获奖的概率为=.
5.C　将七块板编号,如图,记图中大正方形为ABCD.从七块板中任意取出两块的所有可能结果为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),(6,7),共21种,
将七巧板进行划分,△ABC被分成8个全等的三角形,设正方形ABCD的面积为2S,
则编号分别为1,2的三角形板的面积相等,均为;编号分别为4,6的三角形板的面积相等,均为;编号分别为3,5,7的板的面积相等,均为,
任取两块板的面积相等的可能结果有(1,2),(4,6),(3,5),(3,7),(5,7),共5种,
故所求概率P=.
6.解析　记3道选择题分别为x1,x2,x3,2道判断题分别为p1,p2,用x表示甲抽到的题,y表示乙抽到的题,(x,y)表示二人抽题的结果,
则“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6种;
“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6种;
“甲、乙两人都抽到选择题”的情况有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6种;
“甲、乙两人都抽到判断题”的情况有(p1,p2),(p2,p1),共2种.
所以样本点总数为6+6+6+2=20.
(1)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A,则P(A)==.
记“甲抽到判断题,乙抽到选择题”为事件B,
则P(B)==.
显然事件A与事件B互斥,故所求概率为P(A∪B)=+=.
(2)记“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为事件C,则为“甲、乙两人都抽到判断题”,易得P()==,故P(C)=1-P()=1-=.
解题模板
在求事件的概率时,会遇到含“至少”或“至多”的事件的概率问题,如果从正面考虑比较烦琐或情况比较多,那么可先求事件的对立事件的概率,再用1减去对立事件的概率即为所求概率,这是“正难则反”思想的具体体现.
7.解析　(1)记第一次取到的小球上的数字为X,第二次取到的小球上的数字为Y,样本空间为Ω1,则ξ=X+Y,如下表:
X+Y Y
1 1 2 2
X 1 2 2 3 3
1 2 2 3 3
2 3 3 4 4
2 3 3 4 4
记样本空间Ω1中的样本点个数为n(Ω1),可知n(Ω1)=16,同理,n(ξ=2)=4,n(ξ=3)=8,n(ξ=4)=4,
所以当ξ=3时,其发生的概率最大,最大为=.
(2)记第一次取到的小球上的数字为a,第二次取到的小球上的数字为b,样本空间为Ω2,则η=a+b,如下表:
a+b b
1 1 2 2
a 1 — 2 3 3
1 2 — 3 3
2 3 3 — 4
2 3 3 4 —
可知n(Ω2)=12,n(η=2)=2,n(η=3)=8,n(η=4)=2,
所以P(η>2)==.
8.解析　(1)由题中频率分布直方图及分层随机抽样得,从甲型号芯片指标值在[70,80)和[80,90)内的各抽取1件,分别记为A和B,乙型号芯片指标值在[50,60)和[60,70]内的分别抽取3件和1件(这两组频率之比为0.3∶0.1=3∶1),分别记为C1,C2,C3和D,
从这6件中任取2件的样本空间Ω={AB,AC1,AC2,AC3,AD,BC1,BC2,BC3,BD,C1C2,C1C3,C1D,C2C3,C2D,C3D},共15个样本点,
记事件E=“这2件的指标值分别在[50,60)和[70,80)内”,则E={AC1,AC2,AC3},共3个样本点,
故P(E)==.
(2)设将甲、乙两种型号芯片分别应用于M型、N型手机时,该科技公司的损失费用为y万元,
y=700×[0.002×10+0.005×(c-50)]×10 000÷10 000+300×[0.01×10+0.03×(60-c)]×10 000÷10 000=409-5.5c,c∈[50,60],
因此当50≤c<56时,y>101;当c=56时,y=101;当56所以当临界值c∈[50,56)时,选择方案二;当临界值c=56时,选择方案一和方案二均可;当临界值c∈(56,60]时,选择方案一.
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