2026北师大版高中数学必修第一册练习--第七章 §3频率与概率（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
§3　频率与概率
基础过关练
题组一　频率与概率
1.(2025广东佛山顺德一中期中)下列三个命题:①任何事件的概率P(A)均满足0A.0个　　　　B.1个　　　　C.2个　　　　D.3个
2.(2024四川成都月考)下列说法一定正确的是(　　)
A.一名篮球运动员号称“百发百中”,若罚球三次,不会出现三次都不中的情况
B.一枚骰子掷一次得到2的概率是,则掷6次一定会出现一次2
C.若买彩票中奖的概率为万分之一,则买一万元的彩票一定会中奖一元
D.随机事件发生的概率与试验次数无关
3.(教材习题改编)小明与小华两人玩游戏,则下列游戏不公平的是(　　)
A.抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数,则小明获胜,向上的点数为偶数,则小华获胜
B.同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上,则小明获胜,两枚都正面向上,则小华获胜
C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色,则小明获胜,扑克牌是黑色,则小华获胜
D.小明、小华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同,则小明获胜,否则小华获胜
题组二　用频率估计概率
4.(2025江西抚州临川一中月考)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球,3个白球,若干个绿球,每次摇匀后随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中,经过大量重复试验后,发现摸到绿球的频率在0.4附近摆动,则袋中绿球的个数大约为(　　)
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9
5.(多选题)(2025江西部分学校联考)某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的酸皮奶,同时尽量减少滞销,统计了30天的销售情况,得到如下数据:
日销售量/杯 [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75]
天数 4 6 9 5 6
以样本估计总体,用频率估计概率,则下列结论正确的是(　　)
A.估计平均每天销售50杯酸皮奶(同一组数据以区间中点值为代表)
B.若当天准备55杯酸皮奶,则售罄的概率为
C.若当天准备45杯酸皮奶,则卖不完的概率为
D.这30天酸皮奶日销售量的80%分位数约是65杯
6.(2023北京汇文中学期末)两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率,绘制出统计图如图所示,则符合这一结果的试验最有可能是(　　)
A.抛一枚质地均匀的硬币,出现正面朝上的概率
B.掷一枚质地均匀的正六面体的骰子,出现1点的概率
C.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球,恰好是红球的概率
D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球,恰好是蓝球的概率
7.(2025山东济宁实验中学月考)在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,无关紧要的问题是“你的身份证号码的尾数是奇数吗”,敏感的问题是“你服用过兴奋剂吗”,然后要求被调查的运动员掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般愿意如实回答问题.若调查了300位运动员,得到80个“是”的回答,则这群人中服用过兴奋剂的人所占的百分比大约为　　(　　)
A.4.33%　　　　B.3.33%　　　　C.3.44%　　　　D.4.44%
8.(2024贵州贵阳期中)某学会创办了一个微信公众号,设置了一些固定栏目定期发布文章.为了扩大其影响力,后台统计了反映读者阅读情况的一些数据,其中阅读跳转率f(x)记录了在阅读某文章的所有读者中,阅读至该篇文章总量的x%(x=10,20,30,…,100)时退出该页面的读者占阅读该篇文章的所有读者的百分比,例如:阅读跳转率f(20)=5%表示阅读某篇文章的所有读者中,阅读至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读该篇文章的所有读者的5%.现从该公众号某两个栏目中各随机选取一篇文章,分别记为文章M,N,其阅读跳转率的折线图如图所示.用频率来估计概率.
(1)随机选取一名文章M的读者,估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率;
(2)现用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法,在阅读量没有达到30%的文章N的读者中随机抽取6人,再任选其中2人进行访谈,求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率.
答案与分层梯度式解析
§3　频率与概率
基础过关练
1.A 2.D 3.B 4.C 5.BCD 6.D 7.B
1.A　对于①,必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,故①错误;
对于②,是出现正面向上的频率,故②错误;
对于③,进行大量重复试验后,随机事件频率的稳定值才可以作为概率的估计值,故③错误.
因此正确的说法有0个.
2.D　号称“百发百中”说明投中的可能性比较大,但不能说明一定会中,A错误;
“”是事件发生的可能性,掷6次可能一次2也不出现,B错误;
“万分之一”是事件发生的可能性,买一万元的彩票也可能不中奖,C错误;
随机事件发生的概率是多次试验的稳定值,与试验次数无关,D正确.
3.B　对于A,抛掷一枚骰子,共6种情况,P(向上的点数为奇数)=,P(向上的点数为偶数)=,所以游戏公平;
对于B,同时抛掷两枚硬币,共有4种情况:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),
恰有一枚正面向上的概率为,两枚都正面向上的概率为,所以游戏不公平;
对于C,从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,P(抽到红色牌)=,P(抽到黑色牌)=,所以游戏公平;
对于D,小明、小华两人各写一个数字6或8,共(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)四种情况,
两人写的数字相同的概率为,两人写的数字不同的概率为,所以游戏公平.
4.C　因为通过大量重复的摸球试验后,发现摸到绿球的频率在0.4附近摆动,所以摸到绿球的概率为0.4,设袋中有x个绿球,则=0.4,解得x=8.
5.BCD　对于A,估计平均每天酸皮奶的销售量为=51(杯),A错误;
对于B,日销售量不小于55杯的概率为=,B正确;
对于C,日销售量小于45杯的概率为=,C正确;
对于D,1-=0.8,因此这30天酸皮奶日销售量的80%分位数约是65杯,D正确.
6.D　用频率估计概率,可知某一结果出现的概率P满足30%对于A,抛一枚质地均匀的硬币,出现正面朝上的概率为50%,A不符合;
对于B,掷一枚质地均匀的正六面体的骰子,出现1点的概率为×100%≈16.7%,B不符合;
对于C,从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球,恰好是红球的概率为×100%≈66.7%,C不符合;
对于D,从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球,恰好是蓝球的概率为×100%≈33.3%,D符合.
7.B　因为抛硬币出现正面朝上的概率为,所以大约有150人回答第一个问题,
又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的,故在回答第一个问题的150人中大约有75人回答了“是”,又共有80个“是”的回答,故回答服用过兴奋剂的人约有5人,
因此可估计这群人中,服用过兴奋剂的人所占的百分比大约为×100%≈3.33%.
8.解析　(1)由题中折线图可知,对于文章M的读者,f(90)+f(100)=30%+10%=40%,
所以随机选取一名文章M的读者,估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率为0.4.
(2)阅读量没有达到30%的文章N的读者,即阅读量为该篇文章总量的10%和20%时退出该页面的读者,易得阅读跳转率均为5%,所以抽取的6人中有3人阅读至文章总量的10%时退出,分别记为A,B,C,有3人阅读至文章总量的20%时退出,分别记为a,b,c,
则从中任取2人的样本空间Ω={AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc},共15个样本点,且每个样本点是等可能发生的,其中两个都阅读至文章总量的10%时退出的有AB,AC,BC,共3个样本点,
由古典概型的概率公式可得所求概率为=,
故这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率为.
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