2026北师大版高中数学必修第一册练习--第七章 §4事件的独立性（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
§4　事件的独立性
基础过关练
题组一　事件独立性的判断
1.(多选题)(2025广东江门新会一中期中)下列事件中,A,B是相互独立事件的是(　　)
A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面”,B=“第二次为反面”
B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸两次,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A=“出现的点数为奇数”,B=“出现的点数为3或4”
D.掷一枚骰子,A=“出现的点数为奇数”,B=“出现的点数为偶数”
2.(多选题)(2025山东青岛期末)设A,B为两个随机事件,以下判断正确的有(　　)
A.若A,B是互斥事件,P(A)=,P(B)=,则P(A∪B)=
B.若A,B是对立事件,则P(A∪B)=1
C.若事件A与事件B相互独立,P(A)=,P(B)=,则P(A)=
D.若P()=,P()=,且P(B)=,则A与B相互独立
3.(2024江苏南京六校联合体期末)从甲、乙两名男生,丙、丁两名女生中随机选两人参加某比赛,事件A表示“甲被选中”,事件B表示“乙没被选中”,事件C表示“被选中的两个人性别相同”,则(　　)
A.A与B互斥　　　　B.A与B独立　　　　
C.A与C互斥　　　　D.A与C独立
题组二　事件独立性的概率计算
4.(2025湖南部分名校联考)某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字,但确定这个数字一定是奇数,随意拨号,则拨号不超过两次就拨对号码的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
5.(教材习题改编)如图所示的电路有a,b,c,d四个开关,每个开关断开与闭合的概率均为且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.(2024江西萍乡期末)甲、乙两位选手进行象棋比赛,已知每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果互不影响,若采用三局两胜制,则乙最终获胜的概率为(　　)
A.0.36　　　　B.0.352　　　　
C.0.288　　　　D.0.648
7.(多选题)(2025湖北部分重点中学期末)甲、乙两名同学进行投篮比赛,甲每次命中的概率为0.7,乙每次命中的概率为0.8,甲和乙是否命中互不影响,若甲、乙各投篮一次,则(　　)
A.两人都命中的概率为0.56
B.恰好有一人命中的概率为0.38
C.两人都没有命中的概率为0.6
D.至少有一人命中的概率为0.94
8.(2025河南驻马店期末)在全国中学生智能汽车总决赛中,某校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发,每次只能移动一个单位,沿x轴正方向移动的概率是,沿y轴正方向移动的概率是,则该智能汽车移动3次恰好移动到点(1,2)的概率为　　　　.
9.(2025江西赣州期末)小陈喜欢打排球和踢足球,他打算在连续的三天假期中每天下午选其中一项进行体育锻炼.如果某天选排球,那么他第二天还选排球的概率为;如果某天选足球,那么他第二天还选足球的概率为.若小陈第1天随机选其中一项运动,则小陈第3天选排球的概率为　　　　.
10.(2025江西上进联盟期末)某班级举办趣味运动会,其中个人比赛分为限时滚铁环和定点投篮两个项目,每个项目只有“过关”与“不过关”两种结果,每项过关积1分,不过关积0分.甲和乙两位同学参加个人比赛,在限时滚铁环和定点投篮两个项目中,假设甲过关的概率分别为,,乙过关的概率分别为,,且甲、乙所有项目是否过关相互之间没有影响.
(1)求甲积2分的概率;
(2)求甲、乙两人的积分之和不超过3分的概率.
11.(2024江西上饶广丰一中月考)甲、乙两位同学进行跳绳比赛,比赛规则如下:进行两轮跳绳比赛,每人每轮比赛在规定时间内跳绳200次及以上得1分,跳绳不够200次得0分,两轮结束总得分高的为跳绳王,得分相同则进行加赛直至有一方胜出为止.根据以往成绩分析,得知甲在规定时间内跳绳200次及以上的概率为,乙在规定时间内跳绳200次及以上的概率为,且每轮比赛中甲、乙两人跳绳的成绩互不影响.
(1)求两轮比赛结束后乙得分为1分的概率;
(2)若不进行加赛,求甲成为跳绳王的概率.
能力提升练
题组　事件独立性的概率计算
1.(2025河南焦作期末)某科研小组共60名成员,他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目,科研成员随机参与,且每个人可以参与一个或多个项目.若参与甲、乙、丙、丁项目的分别有30、10、20、30人,参与了甲或乙项目的共有40人,同时参与了甲和丙项目的有10人,参与了甲或丁项目的共有60人,则下列说法正确的是　　(　　)
A.参与甲项目与参与乙项目不互斥
B.参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立
C.参与丙项目与参与丁项目不相互独立
D.参与甲项目与参与丙项目相互独立
2.(多选题)(2024江西上饶广丰中学月考)甲、乙两人各准备买一部手机,购买A品牌手机的概率分别为0.8,0.9,购买黑色手机的概率分别为0.7,0.5,若甲、乙两人购买哪款手机、哪种颜色互相独立,则(　　)
A.甲、乙两人恰有一人购买A品牌手机的概率为0.26
B.甲购买A品牌手机,但不是黑色的概率为0.24
C.甲、乙两人都没有购买黑色手机的概率为0.3
D.甲、乙两人至少有一人购买A品牌黑色手机的概率为0.758
3.(2024福建莆田阶段练习)甲、乙、丙三人进行传球游戏,每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式,当球在甲手中时,若骰子点数大于3,则甲将球传给乙,若点数不大于3,则甲将球保留;当球在乙手中时,若骰子点数大于4,则乙将球传给甲,若点数不大于4,则乙将球传给丙;当球在丙手中时,若骰子点数大于3,则丙将球传给甲,若点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时,球在甲手中,则投掷3次骰子后,球仍在甲手中的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.(多选题)(2025江西南昌第二中学期末)下列对各事件发生的概率的判断正确的是(　　)
A.某学生在上学的路上要经过4个路口,若在各路口是否遇到红灯相互独立,且遇到红灯的概率都是,则该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中不放回地随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为
C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到不同颜色球的概率为
D.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则A发生的概率是
5.(2025山东部分名校质检)下图中共有10个交汇点A,B,C,D,E,F,G,H,P,Q.已知质点甲在P地,质点乙在Q地,若每经过一次移动,两质点都等可能地随机移动到与之相邻的任意一个交汇点处,若同时移动两次,则两质点移动到同一个交汇点处的概率为　　　　.
6.(2025江西上饶沙溪中学月考)单项选择题与多项选择题是数学考试中常见的题型,单项选择题一般是从A,B,C,D四个选项中选出一个正确选项,其评分标准为选对得5分,选错得0分;多项选择题一般是从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的选项(有两个或三个选项正确),其评分标准为全部选对的得6分,部分选对的得部分分(有两个正确选项的每个得3分,有三个正确选项的每个得2分),有选错的得0分.
(1)甲有一道单项选择题不会做,他随机选择一个选项,求他选对得5分的概率;
(2)乙有一道答案为ABD的多项选择题不会做,他随机选择两个或三个选项,求他做本题得4分的概率;
(3)现有2道多项选择题,根据训练经验,丙每道题得6分的概率为,得3分的概率为;丁每道题得6分的概率为,得3分的概率为.丙、丁二人答题互不影响,且两题答对与否也互不影响,丙、丁两人做这2道多项选择题,求总分刚好为18分的概率.
7.(2025江西景德镇一中期末)随着小汽车的普及,驾驶证已经成为现代人必考证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利拿到驾驶证,需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在每一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试,若5次都没有通过,则需要重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计,得到如下结论:男性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为,女性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻是否通过考试互不影响,且参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.
(1)设这对夫妻中,“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件Ai(i=1,2,3,4,5),事件A=“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”,试用Ai或(i=1,2,3,4,5)的运算表示A,并求P(A)的值;
(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;
(3)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率.
答案与分层梯度式解析
§4　事件的独立性
基础过关练
1.AC 2.BC 3.D 4.B 5.C 6.B 7.ABD
1.AC　对于A,一枚硬币掷两次,第一次和第二次的结果互不影响,故事件A,B是相互独立事件,故A正确;
对于B,不放回地摸球,第一次是否摸到白球会影响第二次摸到白球的概率,故事件A,B不是相互独立事件,故B错误;
对于C,掷一枚骰子的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={1,3},所以P(A)==,P(B)==,而A∩B={3},所以P(AB)=,则P(AB)=P(A)P(B),所以事件A,B相互独立,故C正确;
对于D,事件A,B是互斥事件,故D错误.
解题技法
判断两个事件是否相互独立的方法:
(1)定性法:由事件本身的实际意义,直观判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响,若没有影响就是相互独立事件;
(2)定量法:利用P(AB)=P(A)P(B)判断两个事件是否相互独立.
2.BC　对于A,若A,B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=,故A错误;
对于B,若A,B是对立事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,故B正确;
对于C,若事件A与B相互独立,则A,也相互独立,易得P()=,则P(A)=P(A)P()=×=,故C正确;
对于D,由P()=,得P(B)=,又P()=,所以P()P(B)=×=≠P(B),则,B不相互独立,故A,B也不相互独立,故D错误.
3.D　随机选两人参加比赛,样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)},共有6个样本点,
A={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁)},共有3个样本点,
∴P(A)==,
B={(甲,丙),(甲,丁),(丙,丁)},共有3个样本点,
∴P(B)==,
C={(甲,乙),(丙,丁)},共有2个样本点,
∴P(C)==,
AB={(甲,丙),(甲,丁)},共有2个样本点,
∴P(AB)==,
AC={(甲,乙)},共有1个样本点,
∴P(AC)=.
对于A,∵P(AB)≠0,∴A与B不互斥,故A错误;
对于B,∵P(AB)≠P(A)P(B),∴A与B不独立,故B错误;
对于C,∵P(AC)≠0,∴A与C不互斥,故C错误;
对于D,∵P(AC)=P(A)P(C),∴A与C独立,故D正确.
4.B　设Ai={第i次拨号拨对号码},i=1,2.拨号不超过两次就拨对号码可表示为A1+A2,
所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=+×=.
5.C　记“c,d至少有一个闭合”为事件M,则P(M)=1-=,所以灯泡甲亮的概率P=××=.
6.B　乙最终获胜有两种情况:
①前两局乙获胜,概率为0.4×0.4=0.16,
②前两局乙胜一局,第三局乙获胜,概率为2×0.4×0.6×0.4=0.192.
所以乙最终获胜的概率为0.16+0.192=0.352.
7.ABD　设事件A:甲投篮一次,命中;事件B:乙投篮一次,命中,则事件A,B相互独立.
对于A,P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56,故A正确;
对于B,P(B)+P(A)=P()P(B)+P(A)P()=0.3×0.8+0.7×0.2=0.38,故B正确;
对于C,P()=P()P()=0.3×0.2=0.06,故C错误;
对于D,至少有一人命中的对立事件为两人都没命中,故所求概率为1-P()=1-0.06=0.94,故D正确.
8.答案　
解析　该智能汽车移动3次恰好移动到点(1,2),需沿x轴正方向移动1次,沿y轴正方向移动2次,
有三种方式:先沿x轴正方向移动一次,再沿y轴正方向移动两次;先沿y轴正方向移动一次,再沿x轴正方向移动一次,再沿y轴正方向移动一次;先沿y轴正方向移动两次,再沿x轴正方向移动一次,故所求概率为××+××+××=.
9.答案　
解析　设事件Ai(i=1,2,3)表示第i天选排球,Bi(i=1,2,3)表示第i天选足球,则P(A1)=P(B1)=,
设小陈第3天选排球为事件A,则A=A1A2A3+A1B2A3+B1B2A3+B1A2A3,
所以P(A)=P(A1A2A3+A1B2A3+B1B2A3+B1A2A3)
=P(A1A2A3)+P(A1B2A3)+P(B1B2A3)+P(B1A2A3)
=××+××+××+××=.
10.解析　(1)记事件A1=“甲限时滚铁环过关”,A2=“甲定点投篮过关”,则P(A1)=,P(A2)=,A1与A2相互独立,记事件A=“甲积2分”,则A=A1A2,
故P(A)=P(A1)P(A2)=×=.
(2)设事件B1=“乙限时滚铁环过关”,B2=“乙定点投篮过关”,则P(B1)=,P(B2)=,B1与B2相互独立,记事件B=“乙积2分”,则B=B1B2,
故P(B)=P(B1)P(B2)=×=.
又A与B相互独立,所以两人的积分之和为4分的概率为P(AB)=P(A)P(B)=×=,
所以两人的积分之和不超过3分的概率为1-P(AB)=1-=.
11.解析　设Ai=“甲第i轮得一分”,Bi=“乙第i轮得一分”,Cj=“两轮比赛甲得j分”,Dj=“两轮比赛乙得j分”,其中i=1,2,j=0,1,2.
(1)P(D1)=P(B1∪B2)=P(B1)+P(B2)=P(B1)P()+P()P(B2)=×+×=.
所以两轮比赛结束后乙得分为1分的概率为.
(2)设E=“不进行加赛,甲成为跳绳王”.
由题意得P(D0)=P()=P()P()=×=,
P(C1)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=×+×=,
P(C2)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,
则P(E)=P(C2D1∪C2D0∪C1D0)=P(C2D1)+P(C2D0)+P(C1D0)
=P(C2)P(D1)+P(C2)P(D0)+P(C1)P(D0)=×+×+×=.
所以若不进行加赛,甲成为跳绳王的概率为.
解题技法
求复杂事件概率的两种方法
　　(1)直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和;
(2)间接法:先求该事件的对立事件的概率,再由互为对立事件的两事件的概率之和为1求解.当题目为“至多”“至少”型问题时多考虑用间接法.
能力提升练
1.D 2.ABD 3.D 4.AC
1.D　设总人数为n,参与甲、乙、丙、丁项目的人数分别为n(甲)、n(乙)、n(丙)、n(丁),则n=60,n(甲)=30,n(乙)=10,n(丙)=20,n(丁)=30.
由题意可得n(甲+乙)=40=n(甲)+n(乙),故n(甲乙)=0,故参与甲项目与参与乙项目互斥,故A错误;
由题意可得n(甲+丁)=n=60=n(甲)+n(丁),
故n(甲丁)=0,
故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立,故B错误;
由题意得n(丙丁)=20-10=10,
P(丙)==,P(丁)==,P(丙丁)===,
故P(丙丁)=P(丙)P(丁),故参与丙项目与参与丁项目相互独立,故C错误;
P(甲)==,P(甲丙)===,故P(甲丙)=P(甲)P(丙),
故参与甲项目与参与丙项目相互独立,故D正确.
2.ABD　对于A,甲、乙两人恰有一人购买A品牌手机的概率为0.8×0.1+0.2×0.9=0.26,故A正确;
对于B,甲购买A品牌手机,但不是黑色的概率为0.8×0.3=0.24,故B正确;
对于C,甲、乙两人都没有购买黑色手机的概率为0.3×0.5=0.15,故C错误;
对于D,甲购买A品牌黑色手机的概率为0.8×0.7=0.56,乙购买A品牌黑色手机的概率为0.9×0.5=0.45,
则甲、乙两人至少有一人购买A品牌黑色手机的概率为1-(1-0.56)×(1-0.45)=0.758,故D正确.
3.D　投掷3次骰子后,球在甲手中,共有4种情况:
①甲→甲→甲→甲,其概率为××=;
②甲→甲→乙→甲,其概率为××=;
③甲→乙→甲→甲,其概率为××=;
④甲→乙→丙→甲,其概率为××=.
所以投掷3次骰子后,球仍在甲手中的概率为+++=.
4.AC　对于A,由题知该学生在前2个路口都没遇到红灯,
第3个路口遇到红灯,故所求概率为×=,A正确;
对于B,从这4张卡片中不放回地随机抽取2张,不同结果为1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个,
取出的2张卡片上的数字之和为奇数的结果为1和2,1和4,2和3,3和4,共4个,其概率为=,B错误;
对于C,从甲袋中取到白球的概率P1==,取到红球的概率P2==,从乙袋中取到白球的概率P3=,取到红球的概率P4=,
故所求概率P=P1P4+P2P3=×+×=,C正确;
对于D,由相互独立事件的概率公式,
可得
解得P(A)=P(B)=,D错误.
5.答案　
解析　经过两次移动后,两质点都移动到A的路线为甲:P→C→A,乙:Q→B→A,其概率为×××=,易得两质点都移动到A,B,G,H的概率相等,均为.
同理,两次移动后,都移动到C的路线为甲:P→A→C或P→E→C,乙:Q→D→C,其概率为××=,易得两质点都移动到C,D,E,F的概率相等,均为.
故所求概率为×4+×4=.
6.解析　(1)甲有A,B,C,D这4个选项可选择,其中只有一个正确,则他选对得5分的概率为.
(2)乙从A、B、C、D中随机选两个或三个的样本空间Ω={AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD},共10个样本点,
设M=“乙做本题得4分”,则M={AB,AD,BD},共3个样本点,故P(M)=.
(3)由题意得丙得0分的概率为1--=,丁得0分的概率为1--=,
丙、丁总分刚好为18分的情况包含以下几种:
①丙得12分,有6+6一种情况,丁得6分,有6+0,0+6,3+3三种情况,
其概率P1=××=;
②丙得9分,有6+3,3+6两种情况,丁得9分,有6+3,3+6两种情况,
其概率P2=×=;
③丙得6分,有6+0,0+6,3+3三种情况,丁得12分,有6+6一种情况,
其概率P3=××=.
所以丙、丁总分刚好为18分的概率P=P1+P2+P3=++=.
7.解析　(1)由题意得P(Ai)=,A=A1+A2,
则P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=+×=.
(2)记“妻子在科目二考试中第i次通过”为事件Bi(i=1,2,3,4,5),则P(Bi)=.
设事件B=“妻子参加科目二考试不需要交补考费”,事件C=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”,
则P(B)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+×=,P(C)=P(AB)=×=.
因此这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为.
(3)设事件D=“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”,事件E=“妻子参加科目二考试需交补考费200元”,事件F=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”,
则P(D)=P(A3)=××=,P(E)=P(B3)=××=,P(F)=P(AE+DB)=×+×=.
因此这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为.
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