2026北师大版高中数学必修第一册练习--第七章 1.4随机事件的运算（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2026北师大版高中数学必修第一册
1.4　随机事件的运算
基础过关练
题组一　事件的运算
1.(2025广东广州期中)向上抛掷一枚质地均匀的骰子两次,事件A表示两次点数之和小于8,事件B表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除,则事件A∩B用样本点表示为(　　)
A.{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}
B.{(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)}
C.{(1,5),(2,4),(3,3)}
D.{(1,5),(2,4)}
2.(多选题)从5个女生和4个男生中任选两个人参加某项活动,有如下随机事件:A=“至少有一个女生”,B=“至少有一个男生”,C=“恰有一个男生”,D=“两个都是女生”,E=“恰有一个女生”.下列结论正确的有(　　)
A.C=E　　　　B.A=B
C.D∩E≠ 　　　　D.B∩D= ,B∪D=Ω
3.(多选题)(2025四川雅安期末)某人连续投篮三次,每次投一球,记事件A为“三次都投中”,事件B为“三次都没投中”,事件C为“恰有两次投中”,事件D为“至少有两次投中”,则(　　)
A.A D　　　　B.B∩D≠ C.A∪C=D　　　　D.B∩=B
4.(多选题)(2025广东佛山联考)如图,一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件,设A=“甲元件故障”,B=“乙元件故障”,C=“丙元件故障”,则能表示电路是通路的事件是(　　)
A.∩　　　　B.∪ C.∩(∪)　　　　D.∪
5.(2024四川绵阳南山中学月考)下图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况(图中数字表示区域),设事件A=“参加数学兴趣小组”,事件B=“参加语文兴趣小组”,事件C=“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生,则事件AB所代表的区域是　　　　.
6.(教材习题改编)掷一枚骰子,设事件A=“出现奇数点”,B=“出现偶数点”,C=“出现的点数小于3”,D=“出现的点数大于2”,E=“出现的点数是3的倍数”.求:
(1)A∩B,B∩C;
(2)A∪B,B∪C;
(3),∩C,∪C,∪.
7.试验E:箱子里有3双不同的手套,随机拿出2只,记随机事件A为“拿出的手套配不成对”;随机事件B为“拿出的是同一只手上的手套”;随机事件C为“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”.
(1)写出试验E的样本空间Ω,并指出样本点的个数;
(2)分别用样本点表示随机事件A、随机事件B、随机事件C,并指出每个随机事件的样本点的个数;
(3)写出A∩B,B∩C,A∩C,B∪C.
题组二　互斥事件与对立事件
8.(易错题)(2025江西多校期末联考)7个除颜色外其他都相同的小球中,有3个红球,4个白球,从中任意取出3个小球,则事件“至少有2个白球”的对立事件是(　　)
A.至多有1个白球　　　　B.至多有1个红球
C.都是红球　　　　D.都是白球
9.(2025湖北八校协作体联考)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加比赛,那么互斥且不对立的两个事件是(　　)
A.至少有1名女生与全是女生
B.至少有1名女生与全是男生
C.恰有1名女生与恰有2名女生
D.至少有1名女生与至多有1名男生
10.(多选题)(2024四川雅安名山第三中学月考)甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动,中奖名额不限,设事件A为“甲中奖”,事件B为“乙中奖”,事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”,则(　　)
A.A与B为互斥事件　　　　
B.B与C为对立事件
C.A∩B与为互斥事件　　　　
D.∩与C为对立事件
11.(2025山东济宁月考)如果事件A,B互斥,记,分别为事件A,B的对立事件,那么(　　)
A.A+B是必然事件　　　　B.+是必然事件
C.与一定互斥　　　　D.与不可能互斥
12.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数为1~10各1张)中任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是不是互斥事件,是不是对立事件,并说明理由.
答案与分层梯度式解析
1.4　随机事件的运算
基础过关练
1.A 2.AD 3.ACD 4.ACD 8.A 9.C 10.CD 11.B
1.A　事件A∩B表示两次点数之和为6,因此事件A∩B用样本点表示为{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
2.AD　对于A,事件C,E均为“1个男生1个女生”,则C=E,A正确;
对于B,事件A为“1个男生1个女生或2个女生”,B为“1个男生1个女生或2个男生”,则A≠B,B错误;
对于C,事件D为“两个都是女生”,E为“1个男生1个女生”,包含的样本点不相同,则D∩E= ,C错误;
对于D,事件B为“1个男生1个女生或2个男生”,D为“两个都是女生”,则B∩D= ,B∪D=Ω,D正确.
3.ACD　事件D“至少有两次投中”包含“恰有两次投中”和“三次都投中”,即A D,故A正确;
事件B“三次都没投中”与事件D“至少有两次投中”的交事件为不可能事件,即B∩D= ,故B错误;
事件A“三次都投中”与事件C“恰有两次投中”的和事件为“至少有两次投中”,即事件D,故C正确;
事件为“至多有一次投中”,与事件B“三次都没投中”的交事件为“三次都没投中”,即事件B,故D正确.
4.ACD　由题意得=“甲元件正常”,BC=“乙、丙元件同时故障”,则=“乙元件和丙元件至少有一个正常”,故∩表示电路是通路,A符合题意;
AB=“甲、乙元件同时故障”,则=“甲元件和乙元件至少有一个正常”,同理,AC=“甲、丙元件同时故障”,则=“甲元件和丙元件至少有一个正常”,所以∪不能得到甲元件一定正常,故不能表示电路是通路,B不符合题意;
=“乙元件正常”,=“丙元件正常”,∪=“乙元件和丙元件至少有一个正常”,故∩(∪)表示电路是通路,C符合题意;
=“甲、乙元件均正常”,=“甲、丙元件均正常”,故∪表示电路是通路,D符合题意.
5.答案　4
解析　事件AB表示参加数学兴趣小组,且参加语文兴趣小组,但不参加英语兴趣小组,故表示的区域为4.
6.解析　由题意得A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2},D={3,4,5,6},E={3,6}.
(1)A∩B= ,B∩C={2}.
(2)A∪B={1,2,3,4,5,6},B∪C={1,2,4,6}.
(3)易得={1,2},={2,4,6},={1,3,5},={1,2,4,5},
∴∩C={2},∪C={1,2,3,5},∪={1,2,4,5}.
7.解析　(1)分别设3双手套为a1a2,b1b2,c1c2,其中a1,b1,c1分别代表左手的3只手套,a2,b2,c2分别代表右手的3只手套.试验E的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(c1,c2)},样本点的个数为15.
(2)随机事件A={(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2)},样本点的个数为12.
随机事件B={(a1,b1),(a1,c1),(b1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b2,c2)},样本点的个数为6.
随机事件C={(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)},样本点的个数为6.
(3)A∩B={(a1,b1),(a1,c1),(b1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b2,c2)};
B∩C= ;
A∩C={(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)};
B∪C={(a1,b1),(a1,c1),(b1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b2,c2),(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)}.
8.A　由题意知,3个小球中至少有2个白球包含的情况为2白1红、3白,所以其对立事件包含的情况为3红、2红1白,即至多有1个白球.
易错警示
“至少有2个”的否定是“至多有1个”,而不是“至多有2个”.
9.C　从中任选2名同学参加比赛所包含的基本情况有两男、两女、一男一女.
“至少有1名女生”与“全是女生”可以同时发生,即“两女”,不是互斥事件,故A错误;
“至少有1名女生”与“全是男生”不能同时发生,且必有一个发生,是对立事件,故B错误;
“恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生,但可以同时不发生,即“两男”,是互斥事件,但不是对立事件,故C正确;
“至少有1名女生”与“至多有1名男生”是相同事件,故D错误.
方法技巧
判断互斥事件与对立事件时要牢记对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,两个事件都是不可能同时发生的事件,但对立事件还需要满足必有一个发生.
10.CD　对于A,B,两个事件均有可能同时发生,A,B错误;
对于C,事件A∩B为甲、乙都中奖,事件为甲、乙都不中奖,两事件不可能同时发生,所以A∩B与为互斥事件,C正确;
对于D,事件∩表示甲、乙都不中奖,事件∩与C不可能同时发生,但必有一个发生,故两事件为对立事件,D正确.
11.B　如图所示,集合E表示事件A,集合F表示事件B,集合I表示样本空间.
对于A,E+F不一定是全集,A错误;
对于B,( IE)∪( IF)=I,即+是必然事件,B正确;
对于C,( IE)∩( IF)不一定是空集,即与可以同时发生,C错误;
对于D,若( IE)∩( IF)= ,则与互斥,D错误.
12.解析　 (1)是互斥事件,不是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任取1张,“抽出红桃”与“抽出黑桃”这两个事件不可能同时发生,所以是互斥事件.由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,所以两个事件可能都不发生,因此二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件,又是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”这两个事件不可能同时发生,但必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.
(3)既不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得的牌点数为10,因此二者不是互斥事件,当然也不可能是对立事件.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)