2026北师大版高中数学必修第一册练习--第七章 单元整合练 概率与统计的综合应用（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
单元整合练　概率与统计的综合应用
1.(2025安徽阜阳月考)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次,得到的点数分别为1,2,3,x,4,5,5,6,则这8个点数的中位数为4的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2.(2025广东广州期中)某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间(单位:小时),收集了某位学生100天每天完成作业的时间,并绘制了如图所示的频率分布直方图(每个区间均为左闭右开区间,同组数据用区间中点值代替),根据此直方图得出了下列结论,其中正确的是(　　)
A.估计该学生每日完成作业的时间(单位:小时)在[2,2.5)内的有50天
B.估计该学生每日完成作业的时间超过3小时的概率为0.3
C.估计该学生每日完成作业的时间的中位数为2.625小时
D.估计该学生每日完成作业的时间的众数为2.3小时
3.(2025江西宜春丰城中学等四校联考)将95,96,97,98,99这5个数据作为总体,从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本,则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.(多选题)下列说法正确的有(　　)
A.事件A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小
B.抽查10件产品,事件“至少有2件次品”与“至多有一件次品”是对立事件
C.数据8,8,10,12,22,23,20,23,32,34,42,43的80%分位数是34
D.若P(A)=,P()=,且P(AB)=,则A,B是相互独立事件
5.(多选题)(2024江西南昌期末调研)某中学高二年级学生有500人,首选科目为物理的有300人,首选科目为历史的有200人,现对高二年级全体学生进行数学学科质量检测,按照分层随机抽样的原则抽取了一个容量为50的样本,经计算得到首选科目为物理的学生该次数学质量检测的平均成绩为95分,方差为154,首选科目为历史的该次数学质量检测的平均成绩为75分,所有样本的标准差为16分,下列说法中正确的是(　　)
A.样本中首选科目为历史的学生有20人
B.所有样本的均值为87分
C.每个首选科目为历史的学生被选到样本的概率为
D.首选科目为历史的学生的成绩的标准差为13分
6.(2025江西多校期末联考)为了解市民对某档节目的认可度,工作人员随机对60位市民进行调查,将他们的评分(满分100分)数据进行整理并得到下表.
评分 分组 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
人数 6 12 18 21 3
(1)根据表中数据在下面给出的坐标系内画出频率分布直方图;
(2)估计这60位市民评分的70%分位数(保留两位小数);
(3)若让评分在[80,100]内的三人重新评分,已知每人评100分的概率均为p,若至少有一人评100分的概率不高于0.1,求p的最大值.(参考数据:90≈9.65)
7.(2024安徽示范高中培优联盟联赛)一城市的某爱心机构鼓励市民多参加户外活动,与人面对面交流,让生活更加丰富多彩,并为此做了诸多宣传工作,为了使宣传全面有效,该机构随机选择了100位市民进行调查,这些市民的年龄数据的频率分布直方图如图所示(图中各区间均为左闭右开区间).
(1)请估计这100位市民的平均年龄(结果保留整数,同组数据用该组区间的中点值代替);
(2)请估计该市一位市民年龄位于区间[40,60)的概率;
(3)现要从年龄在[20,30)和[70,80)内的两组中用分层随机抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行电话回访,若抽取的2人的年龄差大于10岁,则代表该机构宣传工作做得全面,获得好评.有两种方案:
方案一:从6人中按照不放回抽样的方法抽取2人,获得好评的概率为P1;
方案二:从6人中按照有放回抽样的方法抽取2人,获得好评的概率为P2.
假设获得好评的概率大的方案较好,请比较上述两种方案哪种更好,并说明理由.
答案与分层梯度式解析
单元整合练　概率与统计的综合应用
1.D 2.C 3.D 4.BCD 5.ABD
1.D　当x=1,2,3时,8个点数的中位数为3.5;当x=4时,8个点数的中位数为4;当x=5,6时,8个点数的中位数为4.5,
故8个点数的中位数为4的概率为.
2.C　对于A,该学生每日完成作业的时间(单位:小时)在[2,2.5)内的天数为0.5×0.5×100=25,故A错误;
对于B,估计该学生每日完成作业的时间超过3小时的概率为(0.3+0.2+0.1+0.1)×0.5=0.35,故B错误;
对于C,∵(0.1+0.3+0.5)×0.5=0.45<0.5,0.45+0.4×0.5=0.65>0.5,∴中位数在区间[2.5,3)内,
则中位数为2.5+×0.5=2.625(小时),故C正确;
对于D,估计该学生每日完成作业的时间的众数为=2.25(小时),故D错误.
3.D　依题意可知,总体平均数为97,从这5个数据中随机选取2个作为一个样本,情况如下:
选到95,96,样本平均数为95.5,则|95.5-97|=1.5,
选到95,97,样本平均数为96,则|96-97|=1,
选到95,98,样本平均数为96.5,则|96.5-97|=0.5,
选到95,99,样本平均数为97,则|97-97|=0,
选到96,97,样本平均数为96.5,则|96.5-97|=0.5,
选到96,98,样本平均数为97,则|97-97|=0,
选到96,99,样本平均数为97.5,则|97.5-97|=0.5,
选到97,98,样本平均数为97.5,则|97.5-97|=0.5,
选到97,99,样本平均数为98,则|98-97|=1,
选到98,99,样本平均数为98.5,则|98.5-97|=1.5,
共10种,其中样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的情况有8种,故所求概率为=.
4.BCD　对于A,比如在抛掷一枚骰子1次的试验中,记事件A为朝上的点数小于或等于5,事件B为朝上的点数大于或等于2,则P(A)=,P(B)=,
事件A,B同时发生,即朝上的点数小于或等于5且大于或等于2,共4种情况,其概率为=,
A,B中恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)=×+×=,>,故A错误;
对于B,抽查10件产品,“至少有2件次品”即次品件数大于或等于2,“至多有一件次品”即次品件数小于或等于1,两个事件必有且仅有一个发生,为对立事件,故B正确;
对于C,该组数据共有12个数,12×0.8=9.6,所以将该组数据从小到大排列后的第10个数34为该组数据的80%分位数,故C正确;
对于D,因为P()=,所以P(B)=,所以P(AB)==P(A)P(B),所以A,B是相互独立事件,故D正确.
5.ABD　设首选科目为历史的学生抽取的人数为n,则=,解得n=20,故A正确;
设首选科目为物理的学生成绩的平均数为分,方差为,首选科目为历史的学生成绩的平均数为分,方差为,所有样本的平均数为分,方差为s2,则=95,=154,=75,s2=162=256,
所以所有样本的均值=×75+×95=87(分),故B正确;
每个首选科目为历史的学生被选到样本的概率为=,故C错误;
由B及方差的计算公式可得256=×[154+(95-87)2]+×[+(75-87)2],解得=169,
所以所求成绩的标准差为=13(分),故D正确.
6.解析　(1)评分在[0,20)内的==0.005 0,
评分在[20,40)内的==0.010 0,
评分在[40,60)内的==0.015 0,
评分在[60,80)内的==0.017 5,
评分在[80,100]内的==0.002 5.
频率分布直方图如图所示.
(2)因为评分低于60分的频率为(0.005 0+0.010 0+0.015 0)×20=0.6<0.7,评分低于80分的频率为0.6+0.017 5×20=0.95>0.7,所以评分的70%分位数在[60,80)内,设为x分,则(x-60)×0.017 5+0.6=0.7,解得x≈65.71,
即估计这60位市民评分的70%分位数为65.71分.
(3)设事件A为“第一人评100分”,B为“第二人评100分”,C为“第三人评100分”,则A,B,C之间相互独立,且P(A)=P(B)=P(C)=p.
设事件D为“至少有一人评100分”,则=,
则P(D)=1-P()=1-(1-p)3≤0.1,
整理得p≤1-=1-≈1-0.965=0.035.
故p的最大值为0.035.
7.解析　(1)这100位市民的平均年龄为5×0.01+15×0.02+25×0.12+35×0.17+45×0.23+55×0.2+65×0.17+75×0.06+85×0.02=47.9≈48(岁),故这100位市民的平均年龄约为48岁.
(2)这100位市民中,年龄位于区间[40,60)的频率为(0.023+0.02)×10=0.43,
故估计该市一位市民年龄位于区间[40,60)的概率为0.43.
(3)参与调查的100位市民中年龄在区间[20,30)内的人数为0.012×10×100=12,在区间[70,80)内的人数为0.006×10×100=6,
按照分层随机抽样的方法抽取6人,则年龄在区间[20,30)内的应抽取×6=4(人),分别设为1,2,3,4;
年龄在区间[70,80)内的应抽取×6=2(人),分别设为a,b.
方案一:从6人中按照不放回抽样的方法抽取2人,所有可能出现的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b),共15种,
其中抽取的2人的年龄差大于10岁的情况有(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),共8种,
故获得好评的概率P1=.
方案二:从6人中按照有放回抽样的方法抽取2人,所有可能出现的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,a),(3,b),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,a),(4,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,a),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,a),(b,b),共36种,
其中抽取的2人的年龄差大于10岁的情况有(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),共16种,
故获得好评的概率P2==.
因为P1>P2,所以方案一较好.
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