2026北师大版高中数学必修第一册练习--第七章 复习提升（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　列举样本空间中的样本点时重复或遗漏而出错
1.若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a,b,则在函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有交点的条件下,函数g(x)=为偶函数的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2.(2024河北石家庄第二中学期中)某校辩论赛小组共有5名成员,其中女生比男生多,现要从中随机抽取2名成员去参加校外交流活动,若抽到一男一女的概率为,则抽到2名男生的概率为　　　　.
易错点2　混淆“互斥事件”“对立事件”“相互独立事件”而出错
3.(多选题)(2024江西部分学校期末质量检测)设A,B为同一随机试验中的两个随机事件,A,B的对立事件分别为,,P(A)=0.5,P(B)=n(0≤n≤1),下列说法正确的是(　　)
A.若n=0.6,则事件A与B一定不互斥
B.若n=0.5,则事件A与B一定对立
C.若n=0.6,则P(B)=0.3
D.若A与B相互独立,且P(A)=0.4,则n=0.2
4.(2025湖北鄂东南省级示范高中期中)一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球,从中任意摸出两个球.设事件A1=“摸出的两个球的编号之和不超过6”,事件A2=“摸出的两个球的编号都大于3”,事件A3=“摸出的两个球中有编号为4的球”,则(　　)
A.A1与A2相互独立　　　　B.A1与A3对立
C.A1∪A2与A3互斥　　　　D.A1∩A3与A2∩A3互斥
易错点3　不会应用对立事件求解相关的概率问题而出错
5.(多选题)(2025河南南阳期末)甲、乙两人独立解决同一问题,甲解出此题的概率是,乙解出此题的概率是,下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙都解出此题的概率为
B.甲、乙都未解出此题的概率为
C.甲、乙恰有一人解出此题的概率为
D.至少有一人解出此题的概率为
6.(2024安徽皖北六校期末联考)为了普及国家安全教育,某校组织了一次国家安全知识竞赛,已知甲、乙、丙三位同学答对某道题的概率分别为,,p,且三人答题互不影响.
(1)求甲、乙两位同学恰有一人答对此题的概率;
(2)若甲、乙、丙三人中至少有一人答对此题的概率为,求p的值.
思想方法练
一、转化与化归思想在概率问题中的应用
1.(2024山东淄博临淄中学月考)甲、乙两人组成“九章队”参加某校数学学科周“最强大脑”比赛,每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率;
(2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率.
二、分类讨论思想在概率问题中的应用
2.(2024黑龙江大庆实验中学月考)某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题,第一轮从A类的5个问题中任选两题作答,若两题都答对,则得40分,否则得0分;第二轮从B类的5个问题中任选两题作答,每答对1题得30分,答错得0分.若两轮总积分不低于60分,则晋级复赛.
小芳和小明同时参赛,已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中,小明只能答对4个问题;在B类的5个问题中,小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求小明第一轮得40分的概率;
(2)以晋级复赛的概率大小为依据,小芳和小明谁更容易晋级复赛
三、数形结合思想在概率问题中的应用
3.(2025湖北部分重点高中联考)甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏(剪刀赢布,布赢石头,石头赢剪刀),规定每局中:①三人出现同一种手势,则每人各得1分;②三人出现两种手势,则赢者得2分,输者负1分;③三人出现三种手势则均得0分,当有人累计得分大于或等于3分时,游戏结束,得分最高者获胜.已知三人之间及每局游戏互不影响.
(1)求甲在一局中得2分的概率P1;
(2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率P2;
(3)求游戏经过两局就结束的概率P3.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.D 3.AD 4.D 5.AC
1.D　函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有交点,则Δ=a2-4b≥0,则满足该条件的(a,b)有(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(3,1),(3,2),(2,1),共19个.
函数g(x)=为偶函数,只需h(x)=ax-b-x是奇函数,即h(-x)=-h(x),所以a-x-bx=-(ax-b-x),所以a=b.
上述19个样本点中,满足a=b的有(6,6),(5,5),(4,4),共3个,
故所求概率P=.
易错警示
列举样本点时要按照一定的顺序,做到不重不漏.有时也可以借助表格和树状图得到样本点.
2.答案　
解析　由题可知,5名成员中有4女1男或3女2男.
若5名成员中有4女1男,设4名女生分别为A1,A2,A3,A4,1名男生为B,
则从中随机抽取2名成员的所有情况为A1A2,A1A3,A1A4,A1B,A2A3,A2A4,A2B,A3A4,A3B,A4B,共10种,抽到一男一女的情况为A1B,A2B,A3B,A4B,共4种,
所以抽到一男一女的概率为=≠,不符合题意;
若5名成员中有3女2男,设3名女生分别为A'1,A'2,A'3,2名男生分别为B1,B2,
则从中随机抽取2名成员的所有情况为A'1A'2,A'1A'3,A'1B1,A'1B2,A'2A'3,A'2B1,A'2B2,A'3B1,A'3B2,B1B2,共10种,
抽到一男一女的情况为A'1B1,A'1B2,A'2B1,A'2B2,A'3B1,A'3B2,共6种,
此时抽到一男一女的概率为=,符合题意,
则抽到2名男生的情况为B1B2,只有1种,
所以抽到2名男生的概率为.
3.AD　当n=0.6时,若事件A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.6=1.1>1,故事件A与B一定不互斥,故A正确;
P(A)+P(B)=0.5+0.5=1,但A与B不一定对立,如掷一枚骰子1次的试验中,事件A=点数小于4,事件B=点数为奇数,则P(A)=P(B)=0.5,但A与B不对立,B错误;
由已知得P()=0.5,P(B)=0.6,因为事件与B不一定相互独立,所以P(B)=P()P(B)=0.3不一定成立,故C错误;
因为A与B相互独立,所以A与也相互独立,则P(A)=P(A)P()=0.5×(1-n)=0.4,解得n=0.2,故D正确.
4.D　由题意可知,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15个样本点,
A1={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4)},共6个样本点,
A2={(4,5),(4,6),(5,6)},共3个样本点,
A3={(1,4),(2,4),(3,4),(4,5),(4,6)},共5个样本点,
所以P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==.
对于A,A1∩A2= ,故P(A1∩A2)=0≠P(A1)P(A2),故A错误;
对于B,A1∩A3={(1,4),(2,4)}≠ ,所以A1与A3不是对立事件,故B错误;
对于C,A1∪A2={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(4,5),(4,6),(5,6)},
则(A1∪A2)∩A3={(1,4),(2,4),(4,5),(4,6)}≠ ,所以A1∪A2与A3不是互斥事件,故C错误;
对于D,A2∩A3={(4,5),(4,6)},所以(A1∩A3)∩(A2∩A3)= ,所以A1∩A3与A2∩A3是互斥事件,故D正确.
易错警示
已知同一随机试验中的两个随机事件A,B,若A∩B= ,即两事件不能同时发生,则A与B互斥,此时P(A∪B)=P(A)+P(B);若A∪B=Ω且A∩B= ,即两事件必有一个发生,且不能同时发生,则A与B对立,此时P(A)=1-P(B),要熟知对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件;若A是否发生对B发生的概率无影响,则A与B相互独立,此时P(AB)=P(A)P(B).在具体问题中要注意三者的关系.
5.AC　记甲解出此题为事件A,乙解出此题为事件B,则A与B为相互独立事件,P(A)=,P(B)=.
P(AB)=P(A)P(B)=×=,故A正确;
P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]=×=,故B错误;
记甲、乙恰有一人解出此题为事件C,则P(C)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)
=P(A)[1-P(B)]+[1-P(A)]P(B)=×+×==,故C正确;
记至少有一人解出此题为事件D,
则P(D)=1-P()(易错点)=1-=,故D错误.
6.解析　(1)设事件A为“甲答对”,B为“乙答对”,
则P(A)=,P(B)=,P()=,P()=,
“甲、乙两位同学恰有一人答对”的事件为A∪B,且A与B互斥,
因为三人答题互不影响,所以A与B相互独立,则A与,与B均相互独立,
则P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×=.
所以甲、乙两位同学恰有一人答对此题的概率为.
(2)设事件C为“丙答对”,则P(C)=p,P()=1-p,
设事件D为“甲、乙、丙三人中至少有一人答对”,
则P(D)=1-P()=1-P()P()P()(易错点)=1-××(1-p)=,解得p=.所以p的值为.
易错警示
在求概率问题时,若正面求解遇到的情况较多或较复杂,则通常转化为求其反面,即求其对立事件的概率,最后用1减去对立事件的概率得所求概率,通常表现为“至多”“至少”等类型的试题.
思想方法练
1.解析　(1)有关键字眼“至少猜对一个”,可考虑其反面,即“一个也没猜对”,转化为求其对立事件的概率.
设事件F为“甲两轮至少猜对一个数学名词”,则其对立事件为“甲两轮一个数学名词也没猜对”,则P()=×=,故P(F)=1-P()=1-=.
故甲两轮至少猜对一个数学名词的概率为.
(2)设事件A为“甲第一轮猜对”,B为“乙第一轮猜对”,C为“甲第二轮猜对”,D为“乙第二轮猜对”,E为“‘九章队’在两轮比赛中猜对三个数学名词”,
则P(A)=P(C)=,P(B)=P(D)=,P()=P()=,P()=P()=,
则E=BCD∪ACD∪ABD∪ABC,
故P(E)=P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC)
=P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P()
=×××+×××+×××+×××=.
故“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率为.
思想方法
转化与化归思想在概率问题中的应用主要体现在:
(1)正难则反:当事件的概率直接计算比较复杂时,可转化为求其对立事件的概率.
(2)化繁为简:对复杂事件进行分解,将需要计算概率的事件分解为互斥的几类简单事件.
2.解析　(1)对A类的5个问题依次编号为a,b,c,d,e,第一轮从A类的5个问题中任选两题作答,
则样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共10个样本点,
不妨设小明能答对的4个问题的编号分别为a,b,c,d,
事件M表示“小明第一轮得40分”,则M={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)},共6个样本点,
所以P(M)==,
故小明第一轮得40分的概率为.
(2)由(1)知,小明第一轮得40分的概率为,则第一轮得0分的概率为1-=,
能够晋级复赛,即两轮总积分不低于60分,
当第一轮答对两题得40分,第二轮答对一题得30分时,设小芳和小明晋级复赛的概率分别为P1,P2,
则P1=0.5×0.5×[0.5×(1-0.5)+(1-0.5)×0.5]=0.125,
P2=×(0.4×0.6+0.6×0.4)=0.288;
当第一轮答对两题得40分,第二轮答对两题得60分时,设小芳和小明晋级复赛的概率分别为P3,P4,
则P3=0.5×0.5×0.5×0.5=0.062 5,
P4=×0.4×0.4=0.096;
当第一轮答错一题得0分,第二轮答对两题得60分时,
设小芳和小明晋级复赛的概率分别为P5,P6,
则P5=[0.5×(1-0.5)+(1-0.5)×0.5]×0.5×0.5=0.125,P6=×0.4×0.4=0.064;
当第一轮答错两题得0分,第二轮答对两题得60分时,小芳晋级复赛的概率P7=[(1-0.5)×(1-0.5)]×0.5×0.5=0.062 5,
所以小芳晋级复赛的概率为P1+P3+P5+P7=0.125+0.062 5+0.125+0.062 5=0.375,
小明晋级复赛的概率为P2+P4+P6=0.288+0.096+0.064=0.448,
因为0.448>0.375,所以小明更容易晋级复赛.
思想方法
在概率问题中,要求的结果往往由多种情况构成,这就需要对各种情况进行合理分类,从而将复杂事件分解为若干个简单事件求解,注意选择正确的分类标准,做到不重不漏.
3.解析　(1)三人所出手势的情况用列举法表示容易混乱,可用树状图的形式表示出来.
根据题意,画出树状图,如图:
所以每局中共有27种情况,其中甲在一局中得2分的情况有(手势顺序按甲乙丙记录):(剪刀、剪刀、布)、(剪刀、布、剪刀)、(剪刀、布、布)、(石头、石头、剪刀)、(石头、剪刀、石头)、(石头、剪刀、剪刀)、(布、布、石头)、(布、石头、布)、(布、石头、石头),共9种,
所以甲在一局中得2分的概率P1==.
(2)游戏经过两局后甲恰得3分且是唯一获胜者的情况有2种:
(i)甲第一局得2分,第二局得1分,乙第一局得负1分,第二局得1分,丙第一局得负1分,第二局得1分,故满足的情况如下:
第一局:(剪刀、布、布)、(石头、剪刀、剪刀)、(布、石头、石头),
第二局:(剪刀、剪刀、剪刀)、(布、布、布)、(石头、石头、石头),
此时概率为×=;
(ii)甲第一局得1分,第二局得2分,乙、丙第一局均得1分,第二局均得负1分,
故满足的情况如下:
第一局:(剪刀、剪刀、剪刀)、(布、布、布)、(石头、石头、石头),
第二局:(剪刀、布、布)、(石头、剪刀、剪刀)、(布、石头、石头),
此时概率为×=.
综上所述,游戏经过两局后甲恰得3分且是唯一获胜者的概率P2=+=.
(3)游戏经过两局就结束总共有4种情况:
①仅1人得3分,记为事件A,则P(A)=×3=;
②有2人得3分,记为事件B,则P(B)=3×=;
③仅1人得4分,记为事件C,有以下几种情况:
a.一人得4分,另两人各得负2分的概率为3×=,
b.一人得4分,一人得负2分,一人得1分的概率为3×××2=,
c.一人得4分,另两人各得1分的概率为3××2=,
则P(C)=++=;
④有2人分别得4分,记为事件D,则P(D)=3×=.
故游戏经过两局就结束的概率P3=+++=.
思想方法
数形结合思想在概率问题中的主要应用是在列举样本点时,若样本点没有明显的规律,且数量不是太多,则可借助树状图将其直观地表示出来.
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