2026北师大版高中数学必修第一册练习--第三章 §1指数幂的拓展§2指数幂的运算性质（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
第三章　指数运算与指数函数
§1　指数幂的拓展　§2　指数幂的运算性质
基础过关练
题组一　根式与分数指数幂
1.(2025福建泉州四校期中)若a<0,=,则m,n满足的条件不能为(　　)
A.m,n均为奇数　　　　 B.m为偶数,n为奇数
C.m为奇数,n为偶数　　　　 D.m,n均为偶数
2.(多选题)(2025江西赣州十八县二十四校期中)下列计算中正确的是(　　)
A.4-1=　　　　 B.=±2
C.(-8=4　　　　 D.=
3.(2025江西上饶统测)下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是(　　)
A.-=(-x(x≠0)　　　　 B.=(x≠0)
C.=(xy>0)　　　　 D.=
题组二　指数幂的运算性质及其应用
4.(2025江西宜春丰城中学期中)×=(　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.　　　　D.
5.(2025江西宜春樟树中学月考)--(π-3)0+=　　　　.
6.(2025河北邢台一中月考)利用分数指数幂计算:=　　　　.(式中字母为正数)
7.(2025江西上饶沙溪中学月考)已知a>0,b>0,化简:=　　　　.
题组三　指数幂的条件求值问题
8.(2025广东深圳期中)若2m=5,4n=3,则43n-m的值是(　　)
A.0.9　　　　B.1.08　　　　C.2　　　　D.4
9.(2025河南驻马店期中)已知a,b∈R,2a-b=3,则=(　　)
A.27　　　　B.9　　　　C.3　　　　D.
10.(2025江苏徐州期中)若a是方程x2-3x+1=0的根,则a2+a-2=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.7　　　　D.6
11.(教材习题改编)(1)--++0.02-;
(2)已知+=3,a>0,求下列各式的值:
①a+a-1;②+.
12.设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,求证:=+.
能力提升练
题组一　指数幂的运算性质及其应用
1.(2025重庆一中期中)某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律,根据实验数据可知,在相同条件下,这种植物每天以a%的增长率生长,经过8天后,该植物的长度是原来的倍,则24天后该植物的长度是原来的(　　)
A.倍　　　　B.倍　　　　C.倍　　　　D.倍
2.化简(1+)(1+)(1+)(1+)×(1+)的结果是(　　)
A.　　　　B.
C.1-　　　　D.(1-)
3.(2025广东佛山一中月考)计算:+-+=　　　　.
4.(2025天津第二十一中学期中)计算下列各式:
(1)(其中a>0,结果化为幂的形式);
(2)2-3+-+;
(3)(a>0,b>0).
题组二　指数幂的条件求值问题
5.(2025江苏连云港灌南期中)设a>0,a≠1,已知m=ax,n=ay,mynx=(z≠0),则xyz的值为(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4
6.(多选题)(2025黑龙江哈尔滨第九中学校期中)已知a>0,a+a-1=4,则(　　)
A.+=　　　　B.a2+a-2=14
C.a3+a-3=52　　　　D.a-a-1=2
7.(2025湖北荆州中学期中)已知a>0,-=1,计算:=　　　　.
8.(2024江苏淮安楚州中学阶段检测)已知,是方程x2-5x+3=0的两个不相等的实数根,则的值为　　　　.
9.对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数x,y,z,w,若ax=by=cz=70w≠1,=++,求a-b+c的值.
答案与分层梯度式解析
第三章　指数运算与指数函数
§1　指数幂的拓展　§2　指数幂的运算性质
基础过关练
1.C 2.ACD 3.C 4.B 8.B 9.A 10.C
1.C　对于A,当m,n均为奇数时,由a<0,得am<0,此时=,故A不符合题意;
对于B,当m为偶数,n为奇数时,由a<0,得am>0,此时=,故B不符合题意;
对于C,当m为奇数,n为偶数时,由a<0,得am<0,此时无意义,故C符合题意;
对于D,当m,n均为偶数时,由a<0,得am>0,此时=,故D不符合题意.
易错警示
在分数指数幂化为根式时,要特别注意偶次方根的被开方数(式)必须非负.
2.ACD　A显然正确;=(24=2,B错误;==(-2)2=4,C正确;==2-2=,D正确.
3.C　-=-(x≠0),故A错误;=(x≠0),故B错误;
==(xy>0),故C正确;==|y,故D错误.
4.B　×=53×=53×=50×23=8.
5.答案　
解析　原式=--1+=.
6.答案　
解析　====.
7.答案　a
解析　====a.
8.B　因为2m=5,4n=3,所以43n-m====1.08.
9.A　因为2a-b=3,
所以===32a-b=33=27.
10.C　设方程x2-3x+1=0的另一个根为b,由根与系数的关系得ab=1,a+b=3,
故b=a-1,故a2+a-2=a2+b2=(a+b)2-2ab=9-2=7.
11.解析　(1)原式=(23-(-7)2-1+|3-π|+-(44=4-49-1+π-3+-4=-+π.
(2)①因为+=3,所以(+)2=9,即a+a-1+2=9,所以a+a-1=7.
②=++2=3+2=5,又+>0,所以+=.
解题模板
在条件求值中,将结论根据条件进行适当变形,然后整体代入求值.
12.证明　令3a=4b=6c=t(t>0),
则3=,2=,6=.
因为3×2=6,所以·=,即+=,
所以=+.
能力提升练
1.C 2.A 5.C 6.ABC
1.C　设植物原来的长度为m,则m(1+a%)8=m,即(1+a%)8=,即1+a%=,易得24天后该植物的长度是m(1+a%)24,即为原来的(1+a%)24倍,又(1+a%)24===,所以24天后该植物的长度是原来的倍.
2.A　原式=(1-)(1+)(1+)×(1+)(1+)(1+)
=(1-)(1+)(1+)(1+)×(1+)
=(1-)-1(1-)(1+)(1+)(1+)
=(1-)(1+)(1+)
=(1-)-1(1-)(1+)
=(1-2-1)=.
3.答案　3
解析　+-+=3-4+-+=3-4+4-+3-2=3.
4.解析　(1)原式=====.
(2)原式=+-+π-3=-+π-3=π.
(3)原式=-9=-9a.
5.C　∵m=ax,n=ay,∴my==axy,nx==axy,
故mynx=axy·axy=a2xy=,∴2xy=,解得xyz=2.
6.ABC　因为a+a-1=-2=4,所以+=,故A正确;
a2+a-2=-2=16-2=14,故B正确;
a3+a-3=(a+a-1)(a2-1+a-2)=4×13=52,故C正确;
因为a+a-1=+2=4,所以=2,所以-=±,所以a-a-1=(+)(-)=±2,故D错误.
7.答案　
解析　由-=1两边平方得a+a-1-2=1,即a+a-1=3,
所以===.
8.答案　22
解析　由根与系数的关系得+=5,=3,
所以==
==m++n=(+)2-=52-3=22.
9.解析　因为ax=70w,所以=≠1,同理可得=,=,
所以··=··,所以=,
又++=,所以abc=70,
由ax=by=cz≠1,得a,b,c均不为1,
又a≤b≤c,所以a=2,b=5,c=7,故a-b+c=2-5+7=4.
解题技法
对于较为复杂的条件求值问题,需要认真分析已知式和所求式的结构特征,通过变形并结合幂的运算性质把它们联系起来,然后用“整体代入”或“先求值后代换”的方法求值.
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