2026北师大版高中数学必修第一册练习--第三章 指数运算与指数函数（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
第三章　指数运算与指数函数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)=那么f(f(-1))的值是(　　)
A.8　　　　B.7　　　　C.6　　　　D.5
2.函数y=的值域为(　　)
A.(0,+∞)　　　　B.(0,1)∪(1,+∞)
C.(-∞,1)∪(1,+∞)　　　　D.(1,+∞)
3.已知10m=2,10n=3,则1=(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.已知f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的图象如图所示,a,b为常数,则(　　)
A.a>1,b<0　　　　B.a>1,b>0　　　　C.00
5.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,2]　　　　B.[2,+∞)　　　　C.[-2,+∞)　　　　D.(-∞,-2]
6.某催化剂的活性指标K(单位:kgPP/gCat)与反应温度t(单位:℃)满足函数关系:K=eat+b(其中a,b为常数,e=2.718 28…是一个无理数).若该催化剂在20 ℃时的活性指标为11 kgPP/gCat,在40 ℃时的活性指标为83 kgPP/gCat,则该催化剂在50 ℃时的活性指标为(　　)
A.125 kgPP/gCat　　　　B.225 kgPP/gCat
C.245 kgPP/gCat　　　　D.250 kgPP/gCat
7.已知函数f(x)=-ax(a>1),则不等式f(2x2)+f(x-1)<0的解集为(　　)
A.(-∞,-1)∪　　　　B.
C.∪(1,+∞)　　　　D.
8.设函数f(x)的定义域为R,且f(x)=2f(x+1),当x∈(0,1]时,f(x)=2x,则满足f(x)≤的x的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.∪(4,+∞)　　　　D.∪(4,+∞)
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A.=(a>0)　　　　B.=-(x>0)
C.=(x>0,y>0)　　　　D.=(x>0)
10.已知函数f(x)=5|x|+5-|x|,则下列说法正确的是(　　)
A. f(x)的图象关于y轴对称　　　　B. f(x)的单调递增区间为(-∞,0)
C. f(x)的最小值为2　　　　D. f(a2+2)>f(2|a|)
11.已知函数f(x),若存在实数t,使得f(x+t)+tf(x)=0对任意的实数x恒成立,则称f(x)为“D(t)函数”.下列说法正确的是(　　)
A.若f(x)为“D(3)函数”,且f(3)=3,则f(6)=-9
B.若f(x)=x,则f(x)是“D(t)函数”
C.若f(x)=ax(a>1)为“D(t)函数”,则t<0
D.若f(x)是“D(2)函数”,且当x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则当x∈[2,3)时,f(x)=-2x-1+2
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若代数式+有意义,则+=　　　　.
13.已知函数f(x)=-2ax+m+n(m>-2,n>0)的图象所过的定点在一次函数y=2x+1的图象上,则+的最小值为　　　　.
14.已知函数f(x)=若m四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(1)计算:0.008 +π0-(+×3×;
(2)已知a>0且a2x=3,求的值.
16.(15分)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1).
(1)若f(1)+f(-1)=,求f(2)+f(-2)的值;
(2)若函数f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的差为,求实数a的值.
17.(15分)已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足f(1-a)=f(a-1),h(x)=ax.
(1)求函数y=h(2x)-h(x)+1在区间[-2,2]上的值域;
(2)若函数y=|h(x)+m|和y=|h(-x)+m|在区间[1,2 023]上的单调性相同,求实数m的取值范围.
18.(17分)设常数a∈R,已知f(x)=2a-x+2x.
(1)当a=0时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当a=2时,求f(x)(3)若存在x∈R,使f ≥4x+4-x+11成立,求证:≥6.
19.(17分)设a,b∈R,若对于函数f(x)定义域内的任意一个实数x都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则对于函数f(x)定义域内的任意一个实数x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)=.
(1)证明:函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称;
(2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1.若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.
答案全解全析
1.A　f(-1)=-2×(-1)+1=3,则f(f(-1))=f(3)=23=8.
2.B　函数y=的定义域为{x|x≠1},当x>1时,>0,所以>1;
当x<1时,<0,所以0<<1,所以函数y=的值域为(0,1)∪(1,+∞).
3.D　因为(1)2=103m-2n=103m×10-2n=×=23×3-2=,且1>0,所以==.
4.D　f(x)=ax+b=ab·ax,a>0,a≠1,结合题图可得ab>0,且f(x)单调递减,故00.
5.B　由f(1)=a2=,得a=(负值舍去),因此f(x)=.
令u=|2x-4|,则f(x)=即y=.因为y=在R上单调递减,u=|2x-4|的单调递增区间是[2,+∞),所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).
6.C　由题意可得11=e20a+b,83=e40a+b,
两式作差可得e40a-e20a-72=0,所以(e20a-9)(e20a+8)=0,
则e20a=9或e20a=-8(舍去),故e10a=3,b=2,
所以该催化剂在50 ℃时的活性指标为e50a+2=35+2=245(kgPP/gCat).
7.A　令u=ax,a>1,则函数f(x)=-ax即y=-u(u>0).
u=ax在定义域内单调递增,y=-u在定义域内单调递减,
根据复合函数“同增异减”的单调性判断原则知f(x)在定义域内单调递减,
因为f(-x)=ax-=-f(x),f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)为奇函数.
因为f(2x2)+f(x-1)<0,所以f(2x2)<-f(x-1)=f(1-x),
所以2x2>1-x,所以x∈(-∞,-1)∪.
8.C　设x∈(k,k+1](k∈N),则x-k∈(0,1],所以f(x-k)=2x-k,
由题意得f(x)=f(x-1),所以f(x)=f(x-2)=…=f(x-k)=2x-2k,x∈(k,k+1](k∈N).
当x∈(k,k+1](k∈N)时,若直线y=与y=f(x)的图象相交,则2k-2k<≤2k+1-2k,即2-k<≤21-k,解得2.5作出f(x)的部分图象,如图,
结合图象可知,满足f(x)≤的x的取值范围是∪(4,+∞).
9.ACD　对于A,=·(=·==(a>0),故A正确;
对于B,==(x>0),故B错误;
对于C,=(x>0,y>0),故C正确;
对于D,=(=(==(x>0),故D正确.
10.ACD　对于A,f(x)的定义域为R,且f(-x)=5|-x|+5-|-x|=5|x|+5-|x|=f(x),所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,A正确;
对于B,f(x)=5|x|+5-|x|=即f(x)=5x+5-x,x∈R,
根据对勾函数的性质可得函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,B不正确;
对于C,f(x)=5|x|+5-|x|≥2=2,当且仅当5|x|=5-|x|,即x=0时等号成立,故f(x)的最小值为2,C正确;
对于D,当x>0时,5|x|>1,f(x)=5|x|+5-|x|=5|x|+,
根据对勾函数的性质可得函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又a2+2>0,2|a|≥0,a2+2=a2+1+1≥2|a|+1>2|a|,所以f(a2+2)>f(2|a|),D正确.
11.ACD　对于A,若f(x)为“D(3)函数”,则f(x+3)+3f(x)=0,
当x=3时,f(6)+3f(3)=0,
因为f(3)=3,所以f(6)=-3f(3)=-9,故A正确;
对于B,假设f(x)是“D(t)函数”,则x+t+tx=0,即x(1+t)+t=0,此时不存在t满足该式对任意的实数x恒成立,假设不成立,故B错误;
对于C,f(x)=ax(a>1)为“D(t)函数”,即f(x+t)+tf(x)=ax+t+tax=ax·(at+t)=0对任意的实数x恒成立,
因为ax>0,at>0,所以at+t=0,即t=-at<0,则t<0,故C正确;
对于D,若f(x)是“D(2)函数”,则f(x+2)+2f(x)=0,即f(x+2)=-2f(x),对任意的实数x恒成立,
当x∈[2,3)时,x-2∈[0,1),所以f(x-2)=2x-2-1,则f(x)=-2f(x-2)=-2x-1+2,故D正确.
12.答案　1
解析　由题意可知∴1≤x≤2,
∴+=+=|x-1|+|x-2|=x-1+2-x=1.
13.答案　
解析　令x+m=0,得x=-m,故函数f(x)的图象经过定点(-m,n-2),则n-2=-2m+1,所以2(m+2)+n=7,故[2(m+2)+n]=8++≥8+2=16,
当且仅当=,即m=-,n=时等号成立,
故+的最小值为.
14.答案　
解析　当x<1时,f(x)=3x+4单调递增,且f(x)<7,
当x≥1时,f(x)=3x-2单调递增,且f(x)≥1,
令3x+4=1,解得x=-1,令3x-2=7,解得x=2,
画出f(x)=的图象,如图,
若m所以mf(n)=m(3n-2)=m(3m+4)=3-,-1≤m<1,
当m=-时,mf(n)=3-取得最小值,最小值为-,
又m=-1时,mf(n)=-1,m=1时,mf(n)=7,
故mf(n)=3-∈.
15.解析　(1)原式=(0.34+1-+×3×××
=0.3+1-2+3×3×20=8.3.(6分)
(2)∵a2x=3,∴a-2x=,
∴==a2x+1+a-2x=.(13分)
16.解析　(1)∵f(x)=ax,∴f(1)+f(-1)=a+=,(2分)
解得a=2或a=,(3分)
当a=2时,f(x)=2x,∴f(2)+f(-2)=22+2-2=,(5分)
当a=时,f(x)=,∴f(2)+f(-2)=+=,(7分)
故f(2)+f(-2)=.(8分)
(2)当a>1时,f(x)=ax在[-1,1]上单调递增,
∴f(x)max-f(x)min=f(1)-f(-1)=a-a-1=,(10分)
化简得3a2-8a-3=0,解得a=-(舍去)或a=3.(11分)
当0∴f(x)max-f(x)min=f(-1)-f(1)=a-1-a=,(13分)
化简得3a2+8a-3=0,解得a=-3(舍去)或a=.(14分)
综上,a的值为3或.(15分)
17.解析　(1)当0当a>1时,22a-1=4a-1,无解,
故a=.(2分)
所以h(x)=,则y=h(2x)-h(x)+1=-+1.(4分)
令t=,因为x∈[-2,2],所以t∈,
故y=-+1即y=t2-t+1=+,t∈,(6分)
当t=时,ymin=,当t=4时,ymax=13.
故函数y=h(2x)-h(x)+1在区间[-2,2]上的值域为.(8分)
(2)函数h(x)=在R上单调递减,函数h(-x)=2x在R上单调递增.
由题意得函数y=+m与函数y=|2x+m|在区间[1,2 023]上同增或者同减.(10分)
①若两函数在区间[1,2 023]上均单调递增,则在区间[1,2 023]上恒成立,
故解得-2≤m≤-;(12分)
②若两函数在区间[1,2 023]上均单调递减,则在区间[1,2 023]上恒成立,
故该不等式组无解.(14分)
综上,实数m的取值范围是.(15分)
18.解析　(1)若a=0,则f(x)=2-x+2x,其定义域为R,且f(-x)=2x+2-x=f(x),所以f(x)为偶函数,(1分)
设x1,x2∈[0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=(+)-(+)=,(2分)
因为0≤x11,则-<0,-1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,(4分)
结合偶函数图象的对称性可知函数f(x)在(-∞,0]内单调递减,
所以函数f(x)的单调递增区间为[0,+∞)(或(0,+∞)).(5分)
(2)若a=2,则f(x)=22-x+2x,
因为f(x)整理可得22x>2,则2x>1,解得x>,(9分)
所以f(x)(3)证明:f ≥4x+4-x+11,即+≥4x+4-x+11,(11分)
令t=2x+2-x,由(1)可知t≥20+20=2,
则+=·t,4x+4-x=t2-2,(13分)
所以·t≥t2+9(t≥2),所以≥t+(t≥2),
原问题等价于≥t+在[2,+∞)内有解,(15分)
又因为t+≥2=6,当且仅当t=,即t=3时,等号成立,
所以≥6,故得证.(17分)
19.解析　(1)证明:∵g(x)=,x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),
∴g(-2-x)=.
∴g(x)+g(-2-x)=+=10,(3分)
即对任意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),都有g(x)+g(-2-x)=10成立,∴函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称.(5分)
(2)g(x)==5-,易知g(x)在上单调递增,
∴g(x)在上的值域为[-1,4].
记函数y=h(x),x∈[0,2]的值域为A.
若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,则A [-1,4].
∵当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1,
∴h(1)=2,即函数h(x)的图象过对称中心(1,2).(7分)
①当≤0,即m≤0时,函数h(x)在[0,1]上单调递增.由对称性知,h(x)在[1,2]上单调递增,∴函数h(x)在[0,2]上单调递增.
易知h(0)=m+1.又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m,
则A=[m+1,3-m].
由A [-1,4],得解得m≥-1,又m≤0,∴-1≤m≤0.(10分)
②当0<<1,即0结合对称性,知A=[h(2),h(0)]或A=.∵0③当≥1,即m≥2时,函数h(x)在[0,1]上单调递减.由对称性知,h(x)在[1,2]上单调递减,∴函数h(x)在[0,2]上单调递减.
易知h(0)=m+1,又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m,
则A=[3-m,m+1].
由A [-1,4],得解得m≤3,又m≥2,∴2≤m≤3.(16分)
综上可知,实数m的取值范围为[-1,3].(17分)
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