2026北师大版高中数学必修第一册练习--第四章 §1对数的概念（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
第四章　对数运算与对数函数
§1　对数的概念
基础过关练
题组一　对数的概念
1.(多选题)下列说法错误的是(　　)
A.零和负数没有对数
B.任何一个指数式都可以化成对数式
C.以10为底的对数叫作自然对数
D.以e为底的对数叫作常用对数
2.(2025天津滨海期中)在b=log(3a-1)(4-a2)中,实数a的取值范围是(　　)
A.∪(2,+∞)　　　　B.∪
C.　　　　D.
题组二　指数式与对数式的互化
3.(多选题)(教材习题改编)下列指数式与对数式互化正确的是(　　)
A.=m与logm=e
B.10x=6与lg 6=x
C.=与27=-
D.=3与log93=
4.(2025福建宁德期中)某一物质在特殊环境下的温度变化满足:T=15ln (T为时间,单位为min,w0为特殊环境下的温度,w1为该物质在特殊环境下的初始温度,w为该物质在特殊环境下冷却后的温度,单位均为℃),假设一开始该物质的初始温度为100 ℃,特殊环境温度是20 ℃,则经过15 min,该物质在特殊环境下冷却后的温度最接近(参考数据:e≈2.72)(　　)
A.54 ℃　　　　B.52 ℃　　　　C.50 ℃　　　　D.48 ℃
5.(2025湖南怀化期中)已知a,b均是正实数,且logba=3,ab=ba,则b=　　　　.
6.(2025江苏无锡锡山高级中学期中)已知x=loga,则=　　　　.
题组三　对数恒等式与多重对数方程
7.(2025江苏宿迁期中)计算:=(　　)
A.7-1　　　　B.7　　　　C.27　　　　D.2-7
8.(多选题)(2024湖北恩施州春晖高级中学月考)下列结论正确的有(　　)
A.lg(lg 10)=0
B.lg(ln e)=0
C.若10=lg x,则x=100
D.若log25x=,则x=±5
9.(多选题)下列等式正确的是(　　)
A.=2
B.+ln e=4
C.若log3(lg x)=1,则x=1 000
D.若loga=c(a>0,且a≠1),则b=a7c
10.若log2[lo(log2x)]=log3[(log3y)]=log5[(log5z)]=0,试比较x,y,z的大小.
答案与分层梯度式解析
第四章　对数运算与对数函数
§1　对数的概念
基础过关练
1.BCD 2.B 3.BD 4.C 7.B 8.AB 9.BCD
1.BCD　
2.B　根据题意得解得3.BD　=m化成对数式是ln m=,故A错误;
B正确;
=化成对数式是log27=-,故C错误;
D正确.
4.C　把w1=100,w0=20,T=15代入题中式子得,
15=15ln ,即ln =1,所以=e,即w=20+≈20+≈49.41,故根据选项知该物质在特殊环境下冷却后的温度最接近50 ℃.
5.答案　
解析　由logba=3,可得a=b3,代入ab=ba得b3b=,所以3b=b3,又b>0,所以b=.
6.答案　
解析　因为x=loga,所以ax=,则a-x=,
所以==a2x-1+a-2x=()2-1+=.
7.B　由题意可得===7.
8.AB　对于A,因为lg 10=1,lg 1=0,所以lg(lg 10)=lg 1=0,故A正确;
对于B,因为ln e=1,lg 1=0,所以lg(ln e)=lg 1=0,故B正确;
对于C,因为10=lg x,所以x=1010,故C错误;
对于D,因为log25x=,所以x=2=5,故D错误.
9.BCD　对于A,原式=(=(=4,所以A错误;
对于B,+ln e=3+1=4,所以B正确;
对于C,因为log3(lg x)=1,所以lg x=3,所以x=103=1 000,所以C正确;
对于D,因为loga=c,所以ac=,所以b=(ac)7=a7c,所以D正确.
10.解析　由log5[lo(log5z)]=0,得lo(log5z)=1,所以log5z=,所以z==(56,
由log3[(log3y)]=0,得(log3y)=1,所以log3y=,所以y==,
由log2[lo(log2x)]=0,得lo(log2x)=1,所以log2x=,所以x==(215,
因为310>215>56,所以y>x>z.
解题技法
对于多重对数方程,一般利用对数式与指数式互化的策略,从外到内,层层剥离对数符号,从而求得方程的解.
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