2026北师大版高中数学必修第一册练习--第四章 §2对数的运算（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
§2　对数的运算
基础过关练
题组一　对数的运算性质
1.(多选题)(2024山东青岛统考)已知a=lg 2,b=lg 3,则(　　)
A.a+b=lg 6　　　　B.=log34
C.2+=log212　　　　D.b-a=lg
2.(2025江西临川二中月考)荀子《劝学》中说:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程,每天进步一点点,前进就不止一小点.我们可以把(1+1%)365看作每天的“进步”率都是1%,一年后是1.01365≈37.783 4;把(1-1%)365看作每天的“退步”率都是1%,一年后是0.99365≈0.025 5.若“进步”的值是“退步”的值的10倍,则大约经过的天数为(参考数据:lg 101≈2.004 3,lg 99≈1.995 6)(　　)
A.100天　　　　B.105天　　　　
C.110天　　　　D.115天
3.(2025安徽亳州蒙城第一中学月考)计算:4lg -eln 3+log23×log316-(π-3)0+-=　　　　.
4.(2025江苏连云港新海高级中学月考)已知log2a=log3b=log65,则ab=　　　　.
5. (2024河北石家庄二中期中)已知a=log3-,b=log38·log2,c=,则a+b+c=　　　　.
6.(1)已知logx8=6,求x的值;
(2)已知log3(x2-10)=1+log3x,求x的值.
题组二　换底公式
7.(教材习题改编)若lg 2=a,10b=3,则log2415=(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
8.(2024四川成都期中)牛顿冷却定律可描述一个物体在常温环境下的温度变化:如果物体的初始温度为T0,则经过t分钟后的温度T将满足T-Ta=·(T0-Ta),其中Ta是环境温度,h称为半衰期.现有一杯85 ℃的热茶,放置在25 ℃的房间中,如果热茶降温到55 ℃需要10分钟,则热茶从85 ℃降温到45 ℃大约需要　　　　分钟(附:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　)
A.12　　　　B.14　　　　C.16　　　　D.18
9.(2025江西赣州上犹中学月考)计算:+-·log49·log274=　　　　.
10. (2023江西萍乡期末)把满足log23×log34×…×log(n+1)(n+2),n∈N+为整数的n叫作“贺数”, 则在区间(1,50)内所有“贺数”的和是　　　　.
题组三　对数运算的综合应用
11.(2025江西上饶四中月考)金针菇采摘后会很快失去新鲜度,甚至腐烂,所以超市销售金针菇时需要用保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后的时间t(单位:天)满足的函数解析式为h=mln(t+a)(a>0).已知采摘后1天,金针菇失去的新鲜度为40%;采摘后3天,金针菇失去的新鲜度为80%.若现在金针菇失去的新鲜度为60%,则采摘后的天数为(结果保留一位小数,≈1.41)(　　)
A.1.5　　　　B.1.9　　　　C.2.0　　　　D.2.1
12.(多选题)(2025江西赣州部分学校联考)下列结论正确的有(　　)
A.log45·log58=
B.log62-log82=log84-log64
C.(lg 2)2+lg 2·lg 5+lg 50=2
D.若3a=10,log925=b,则log25=
13.(多选题)(创新题)(2025江西阶段练习)下围棋是我国发明的最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列,361个格点,每个格点上可能出现黑子、白子、空三种情况,因此整个棋盘上有3361种不同的情况,下面对于数字3361的判断正确的是(参考数据:lg 3≈0.477 1)(　　)
A.3361的个位数字是3　　　　
B.3361的个位数字是1
C.3361是173位数　　　　
D.3361是172位数
14.(2024山东菏泽第一中学月考)已知函数f(x)=则f(log23)=　　　　.
15.(2024江西宜春宜丰中学月考)定义在R上的奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),且f(x)在区间[1,2]上单调递减.若a=f(5),b=f(2-0.),c=f(log5),则a,b,c按照从小到大的顺序排列为　　　　　.
16.(教材习题改编)已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,2x=py.
(1)求p的值;
(2)求证:-=.
17.(2025上海复旦大学附属中学期中)
(1)设logac,logbc是关于x的方程x2-3x+1=0的两个实数根,求log(ab)c的值;
(2)已知x2+y2=1,且x,y>0,若loga(1+x)=m,loga=n,求logay的值.
答案与分层梯度式解析
§2　对数的运算
基础过关练
1.AD 2.D 7.C 8.C 11.B 12.AC 13.AC
1.AD　对于A,lg 6=lg(2×3)=lg 2+lg 3=a+b,故A正确;
对于B,log34===≠,故B错误;
对于C,log212=log2(4×3)=log24+log23=2+=2+,故C错误;
对于D,lg =lg 3-lg 2=b-a,故D正确.
2.D　设经过x天“进步”的值是“退步”的值的10倍,则10×0.99x=1.01x,即=10,
故lg=lg 10=1,故x=≈≈115.
3.答案　1
解析　原式=2lg 10-3+log23×(4log32)-1+-32
=2-3+4-1+8-9=1.
4.答案　 5
解析　设log2a=log3b=log65=k,则a=2k,b=3k,5=6k,
故ab=2k·3k=(2×3)k=6k=5.
5.答案　
解析　a=log333-2=-2=-,b=log323·log23=log32·log23=,c==,
所以a+b+c=-++=.
6.解析　(1)因为logx8=6,所以x6=8,
所以x====.
(2)因为log3(x2-10)=1+log3x,
所以log3(x2-10)=log3(3x),
所以解得x=5.
7.C　因为10b=3,所以b=lg 3,所以log2415====.
8.C　根据题意得55-25=·(85-25),解得h=10,
∴45-25=·(85-25),即=lo,则t=10×≈10×≈16.
9.答案　 1
解析　 原式=1+-··=1+-··=1+-×=1.
10.答案　52
解析　因为log23×log34×…×log(n+1)(n+2)=××…×==log2(n+2),
且log24=2,log28=3,log216=4,log232=5,log264=6,……,
所以当n+2=4,8,16,32,即n=2,6,14,30时,log2(n+2)为整数,
所以在区间(1,50)内所有“贺数”的和是2+6+14+30=52.
11.B　由题可得
两式相除可得=2,
则ln(3+a)=2ln(1+a),∴3+a=(1+a)2,
又∵a>0,∴a=1,
设采摘后t天金针菇失去的新鲜度为60%,则mln(t+1)=0.6,又mln(1+1)=0.4,
∴=,即2ln(t+1)=3ln 2,∴(t+1)2=23=8,
故t+1=2≈2×1.41=2.82,
则t=2.82-1=1.82≈1.9.
12.AC　对于A,log45·log58=·=·=,====,故A正确;
对于B,log62-log82=-=-,log84-log64=-=-,故B错误;
对于C,(lg 2)2+lg 2·lg 5+lg 50=lg 2·(lg 2+lg 5)+lg 50=lg 2·lg(2×5)+lg 50=lg 2+lg 50=lg(2×50)=lg 100=2,故C正确;
对于D,因为3a=10,log925=b,所以a=log310,b=52=log35,
所以log25====,故D错误.
13.AC　对于A,B,31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,……,其个位数字分别为3,9,7,1,3,…,每4个为一组循环出现,
又361÷4=90……1,故3361的个位数字与31的个位数字相同,即3361的个位数字为3,故A正确,B错误;
对于C,D,因为lg 3361=361lg 3≈361×0.477 1=172.233 1,
所以3361=10172.233 1=100.233 1×10172,
因为100.233 1∈(1,2),所以3361为173位数,故C正确,D错误.
14.答案　
解析　由已知得f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3)=f(log224)===.
15.答案　c解析　由f(1-x)=f(1+x)知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以c=f(log5)=f=f,
由f(1-x)=f(1+x)知f(2-x)=f(x),
由f(x)是R上的奇函数知f(x)=-f(-x),
所以f(2-x)=-f(-x),所以f(2+x)=-f(x),
所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),则a=f(5)=f(1),
又<0.<1,所以1<2-<,
因为f(x)在区间[1,2]上单调递减,
所以f16.解析　设3x=4y=6z=t,t>1,
则x=log3t,y=log4t,z=log6t.
(1)∵2x=py,∴2log3t=plog4t=p·.
∵log3t≠0,∴p=2log34=4log32.
(2)证明:∵-=-=logt6-logt3=logt2,==·logt4=×2logt2=logt2,
∴-=.
17.解析　(1)因为logac,logbc是关于x的方程x2-3x+1=0的两个实数根,
所以
由logac·logbc=1得=1,则logca·logcb=1,
由logac+logbc=3得+=3,所以+=3,即logca+logcb=3,
则log(ab)c===.
(2)由loga(1+x)=m,得am=1+x,由loga=n,得an=,则a-n=1-x,
所以am·a-n=(1+x)(1-x)=1-x2=y2,即y2=am-n,
故logay=logay2=logaam-n=.
解后反思
带附加条件的指数、对数问题主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系,利用这些条件表示所要求的式子,解决此类问题要充分利用指数、对数的运算性质,必要时利用换底公式化异为同,同时还要注意整体思想的应用.
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